Luận án Tiến sĩ Toán học: Thác triển Riemann - Hartogs ánh xạ chỉnh hình và hàm chỉnh hình theo từng biến

Luận án Thác triển Riemann - Hartogs ánh xạ chỉnh hình và hàm chỉnh hình theo từng biến trình bày về các nội dung: Thác triển chỉnh hình theo kiểu Hartogs, ánh xạ chỉnh hình theo từng biến trên các tập compact trong hữu hạn chiều, trên các tập mở và trên các tập compact trong vô hạn chiều. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GSTS NGUYỄN VĂN KHUÊ PTS TRẦN HUYÊN

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1998

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

NGUYỄN THÁI SƠN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU i

CHƯƠNG 1 : THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU HARTOGS 1

1.1 Các định nghĩa và các kết quả đã biết 1

1.2 Các kết quả 4

1.3 Ví dụ 10

CHƯƠNG 2 : THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU RIEMANN 15

2.1 Thác triển chỉnh hình qua tập cực 17

2.2 Thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 22

2.3 Miền Hartogs và thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 27

CHƯƠNG 3 : ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN TRÊN CÁC TẬP HỢP COMPACT TRONG HỮU HẠN CHIỀU 35

3.1 Các định nghĩa 37

3.2 Ánh xạ chỉnh hình theo từng biến trên các tập compact trong một không gian Stein bất khả qui địa phương 39

3.3 Ánh xạ chỉnh hình theo từng biến trên các tập compact trong một không gian Stein 50

CHƯƠNG 4: ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN TRÊN CÁC TẬP MỞ VÀ CÁC TẬP HỢP COMPACT TRONG VÔ HẠN CHIỀU 57

4.1 Ánh xạ chỉnh hình theo từng biến trên các tập mở 61

4.2 Ánh xạ chỉnh hình theo từng biến trên các tập compact 65

KẾT LUẬN 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 80

CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG 87

LUẬN ÁN 87

MỞ ĐẦU

Thác triển ánh xạ chỉnh hình là một trong những bài toán trung tâm của giải tích phức hữu hạn cũng như vô hạn chiều Vì vậy nó đã và đang được nhiều tác giả quan tâm đến bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được bài toán đó Đặc biệt gần đây bởi Ivashkovitch [22], Shiffman [33], Nguyen Thanh Van - Zeriahi [51], Alehyane [49], và ở Việt Nam, bởi Hà Huy Khoái, Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Đỗ Đức Thái ([25], [26], [14], [39] )

Cho đến gần đây, việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng chú ý

Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, tức là thác triển Hartogs mà trường hợp đặc biệt (nhưng quan trọng) là với điều kiện nào của không gian phức X mọi ánh

xạ chỉnh hình từ H2(r)  X có thác triển chỉnh hình tới 2, ở đây 0 < r < 1 và

Dạng 2: Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng, chẳng hạn qua điểm kỳ dị cô lập, qua siêu mặt cũng như qua tập đa cực đóng Tức là thác triển kiểu Riemann

Có thể nói rằng trong hầu hết các trường hợp, việc thác triển chỉnh hình kiểu Riemann

tỏ ra khó hơn rất nhiều so với thác triển kiểu Hartogs

Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển của lý thuyết thế vị phức, việc nghiên cứu bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình đã có những bước tiến mạnh mẽ Các công trình của Shiffman, Suzuki, Jărvi, Đỗ Đức Thái đã làm xuất hiện một phương hướng mới trong việc nghiên cứu bài toán Đó là khảo sát việc thác triển chỉnh hình qua tập đa cực và tập

có dung lượng bằng không

Vào những năm 80 của thế kỷ này, D Vogt đã đưa ra và có nhiều kết quả nghiên cứu

về các bất biến tôpô tuyến tính Các bất biến này mở ra nhiều ứng dụng cho giải tích phức Một trong các ứng dụng của chúng mà chúng tôi quan tâm là nghiên cứu tính chỉnh hình của các ánh xạ chỉnh hình theo từng biến, một trong những bài toán được đặt ra vào năm 1906 bởi Hartogs Bài toán này đã được quan tâm nghiên cứu từ lâu và đã có nhiều kết quả quan trọng Từ năm 1972, Nguyễn Thanh Vân lần đầu tiên đã chỉ ra rằng cơ sở Schauder của vài không gian các hàm chỉnh hình có thể được dùng để giải được bài toán về thác triển chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến Theo hướng đó, vào năm 1976, Zaharjuta đã nghiên cứu tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trên các tập hợp có dạng đặc biệt Cm+n

Các kết quả dạng này đã được tổng quát hóa thực sự bởi Nguyễn Thanh Vân

và Zeriahi vào năm 1983 và nhất là gần đây Một cách gần như đồng thời, năm 1981 Siciak, lần đầu tiên sử dụng công thức nội suy Lagrange để nhận được một kết quả tương tự Phương hướng này được Shiffman tiếp nối bằng

cách phát triển lý thuyết thế vị phức được xây dựng bởi Siciak để mở rộng các kết quả nói trên thành một kết quả công bố năm 1989, trong đó ông cải thiện các điều kiện về tính L-chính qui

Quan tâm tới vấn đề nêu trên, chúng tôi đầu tư nghiên cứu về việc mở rộng các kết quả về tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến vào lớp các không gian Frechet

và đối ngẫu Frechet Schwartz mà điểm khởi đầu xuất phát lừ một kết quả của Shiffman năm

1971 về thác triển chỉnh hình Hartogs

Luận án của chúng tôi gồm 4 chương

Trong hai chương đầu chúng tôi nghiên cứu sự thác triển ánh xạ chỉnh hình kiểu Hartogs và sự thác triển chỉnh hình kiểu Riemann Hai vấn đề này có liên quan với nhau Trước hết, chúng tôi tìm một lớp các không gian vô hạn chiều thoả mãn điều kiện thác triển chỉnh hình Hartogs Đó là lớp các không gian thỏa mãn điều kiện lồi-đĩa yếu Và sử dụng kết quả này, chúng tôi chứng minh được rằng nếu X là một không gian phức có tính chất 1-thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực đóng thì nó cũng có tính chất n-thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực đóng với mọi n  2 Ngoài ra chúng tôi cũng nghiên cứu được tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực loại hữu hạn của miền Riemann compact hyperbolic

và của miền Hartogs (X)

Trong hai chương còn lại chúng tôi nghiên cứu tính chỉnh hình của những hàm chỉnh hình theo từng biến trên các tập mở và trên các tập compact trong hữu hạn chiều cũng như trong vô hạn chiều Trong chương 3, chúng tôi tìm được điều kiện về K và z trong đó K là một tập compact trong một không

gian Stein X, sao cho mọi hàm chỉnh hình theo từng biến trên K x Z đều có thể thác triển

chỉnh hình đến một lân cận có dạng W x Z Theo hướng này, dựa vào một kết quả của

Shiffman năm 1989 về những hàm "chỉnh hình-giải tích-theo từng biến" trên các tập con mở

của M x M chúng tôi mở rộng sang lớp các không gian Frechet và hoàn thành công việc

nghiên cứu của mình bằng cách xét các hàm chỉnh hình theo từng biến xác định trên một tập

compact K và lấy giá trị trong không gian các hàm chỉnh hình kiểu bị chặn trên một không

gian đối ngẫu Frechet Công cụ chủ yếu để giải quyết vấn đề được đặt ra là các bất biến tôpô

tuyến tính được đưa ra và nghiên cứu bởi D Vogt vào những năm 80 Chúng tôi cũng nghiên

cứu và mở rộng các kết quả gần đây của Shiffman về tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình

theo từng biến trong trường hợp vô hạn chiều

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và tận tụy của GS TS Nguyễn

Văn Khuê và PTS Trần Huyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người Thầy

của mình

Tác giả xin chân thành cám ơn PGS TS Đỗ Đức Thái, Đại học Sư Phạm thuộc Đại

học Quốc gia Hà Nội, PGS TS Nguyễn Hữu Đức, Đại học Đà Lạt, GS TS Nguyễn Thanh

Vân, Đại học Toulouse đã đọc kỹ bản luận án và giúp tác giả nhiều ý kiến quí báu

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán và Phòng quản lý khoa học

Trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều

kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu

CHƯƠNG 1 : THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU HARTOGS

Như trong phần mở đầu chúng tôi đã nói, phương hướng đâu tiên trong việc nghiên cứu bài toàn thác triển ánh xạ chỉnh hình đó là thác triển lên bao chỉnh hình mà ta quen gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs

1.1 Các định nghĩa và các kết quả đã biết

1.1.1 Định nghĩa Một không gian giải tích Banach X được gọi là có tính chất thác

triển chỉnh hình Hartogs nếu mọi ánh xạ chỉnh hình từ một miền Riemann   trên một không gian Banach B có cơ sở Schauder vào X, đều có thể thác triển chỉnh hình tới ˆ, bao chỉnh hình của 

Về lịch sử, ánh xạ chỉnh hình cần thác triển mà Hartogs chứng minh đầu thế kỷ 20 là hàm số mà miền xác định là một tập mở trong 2 Tiếp đó các nhà toán học như Andreotti,

Stoll đã phát triển và mở rộng định lý bằng cách thay miền xác định và miền giá trị bởi các

đa tạp phức khác nhau

Trong hội nghị Nice năm 1970 Shiing-Shen Chern đã đưa ra giả thuyết sau đây:

Cho X là một đa tạp phức với một mêtric Hermit đầy đủ và có độ cong thiết diện chỉnh hình không dương Cho

và U  k là một lân cận của B Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình f : U  X đều thác triển

chỉnh hình lên B

Giả thuyết đưa ra liền được nhiều nhà Toán học lớn trên thế giới quan tâm Năm 1971 Shiffman lần đầu tiên đã đưa ra khái niệm "điều kiện đĩa" như sau:

1.1.2 Định nghĩa Một không gian phức X được gọi là thỏa mãn điều kiện đĩa nếu

với mọi dãy {fn} trong H(,X), {fn} hội tụ tới một hàm f  H(,X) khi dãy { f |n Ar1 } hội tụ

trong H (Ar1, X) với r nào đó nhỏ hơn 1, ở đây

và một dạng yếu của điều kiện đĩa mà dưới đây ta gọi là điều kiện lồi-đĩa yếu

1.1.3 Định nghĩa Một không gian giải tích Banach X được gọi là lồi-đĩa yếu nếu

mọi dãy {fn}  H(,X) hội tụ trong H(,X) khi dãy {f |n *}  H(*,X) hội tụ trong H(*

Ngoài ra ta còn dùng các ký hiệu

Dùng điều kiện lồi-đĩa yếu, Shiffman đã chứng minh được

1.1.4 Định lý [33] Cho X là một đa tạp phức sao cho đa tạp phức phổ dụng của nó

có một mêtric Hermit đầy đủ với độ cong thiết diện chỉnh hình không dương Cho D là một tập con mở của một đa tạp Stein M sao cho M là bao chỉnh hình của D Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình f : D  X đều có một thác triển chỉnh hình lên M

Áp dụng định lý này bằng cách đặt D = U B và M = B, Shiffman đã chứng minh được giả thuyết nói trên của S.S.Chern

Ngoài ra, cũng ngay trong năm đó, Griffiths đã chứng minh được một cách độc lập giả thuyết của Chern Đó là nội dung của kết quả sau đây

1.1.5 Định lý [11] Cho M là một đa tạp phức có một mêtric Hermit đầy đủ và có độ

cong thiết diện chỉnh hình không dương Khi đó hiện tượng Hartogs đúng với M, nghĩa là mọi ánh xạ chỉnh hình f : N \ U  M đều có một thác triển chỉnh hình lên N, ở đây N là một

đa tạp phức liên thông và U là một lân cận mở đủ nhỏ của một đa tạp con S của N

Như vậy, xuất phát từ giả thuyết của Chern, Shiffman và Griffiths đã đồng thời giải quyết bài toán trong hữu hạn chiều Cũng cần lưu ý rằng, để chứng minh Định lý 1.1.4 ở trên, Shiffman đã dùng một dạng yếu của điều kiện đĩa,

mà như trên chúng tôi gọi là điều kiện íồi-đĩa yếu, ông chứng minh được kết quả tổng quát hơn và được phát biểu lại như sau:

Cho X là một đa tạp phức thoa mãn điêu kiện lôi-đĩa yếu D là một tập con mỏ của một đa tạp Stein M sao cho M là bao chỉnh hình của D Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình/: D —)

Ở đây, chúng tôi cũng sẽ dùng điều kiện lồi-đĩa yếu để nghiên cứu tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs trong vô hạn chiều

1.2 Các kết quả

Trước hết, chúng tôi chứng minh rằng mọi không gian giải tích Banach thỏa mãn điều kiện lồi-đĩa yếu đều có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs

1.2.1 Định lý Cho X là một không gian giải tích Banach thoa mãn điêu kiện lôi-đĩa

yếu Khi đó X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs

Chứng minh Cho f :   X là một ánh xạ chỉnh hình, ở đây  là một miền Riemann trên một không gian Banach B có cơ sở Schauder Xét sơ đồ giao hoán

ở đây f chỉ miền tồn tại của f

Vậy f : f X giả lồi địa phương

Bây giờ ta tiếp tục chứng minh định lý

Vì B có cơ sở Schauder nên để chứng minh ˆ = f ta chỉ cần chứng minh rằng

1

p (E) giả lồi với mọi không gian con hữu hạn chiều của B Muốn vậy, ta còn phải kiểm chứng rằng p (E)1 lồi-đĩa yếu

Cho {k}  H (, 1

p (E) ) sao cho dãy {k |*} hội tụ về  trong H (*

,p (E)1 ) Vì X lồi-đĩa yếu nên { f0k} hội tụ về  trong H (,X) Lưu ý rằng |*  f0

Chọn một lân cận giả lồi V của (0) trong X sao cho V đẳng cấu với một tập giải tích trong một quả cầu mở của một không gian Banach và f (V)1 giả lồi Vì f (V)1 là một miền Riemann giả lồi trên một không gian Banach B có cơ sở Schauder nên 1

f (V) là một miền chỉnh hình Dễ dàng thấy rằng tồn tại k0 và  > 0 sao cho (f0k)()  V với mọi k > k0 và

()  V, ở đây  = {z   : |z| < } Vậy k()  1

f (V) với mọi k > k0 Từ đó ta suy

ra { } hội tụ tới  trong H (,f (V)1 ) (xem Định lý 5 và Bổ đề 6 trong [18]) Do đó

dãy {k} hội tụ trong H (, 1

Trong [33], để chứng minh kết quả của mình, Shiffman đã chứng minh ba bổ đề sau:

Bổ đề 3 Cho X là một không gian giải tích Giả sử rằng mọi dãy {fn} trong H (,X),

điều kiện thác triển Levi thì X thỏa mãn điều kiện thác triển Hartogs

Bổ đề 5 Cho D là một tập mở của một đa tạp Stein M sao cho M là bao chỉnh hình

của D Nếu X thoả mãn điều kiện thác triển Hartogs thì mọi ánh xạ chỉnh hình f: D  X đều thác triển chỉnh hình lên M

Áp dụng ba bổ đề đó, Shiffman đi đến điều phải chứng minh Điều đáng nói ở đây là quá trình chứng minh ba bổ đề nói trên khá là phức tạp Việc chứng minh Định lý của Shiffman trong vô hạn chiều đã được chúng tôi chứng minh trong Định lý 1.2.1 với một phương pháp đơn giản hơn

*

* *

Vào những năm 80, những công trình của Shiffman, Ivashkovitch đã chỉ ra những đặc trưng hình học cho phép nhận biết một không gian có tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Chẳng hạn, vào năm 1987, Ivashkovitch đã chứng minh được một đặc trưng hình học rất quan trọng cho tính thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs của những đa tạp Kahlerlồi chỉnh hình Một đa tạp Kahler lồi chỉnh hình X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs khi và chỉ khi X không chứa đường cong hữu tỉ Kết quả này đã được mở rộng bởi

Đỗ Đức Thái sang trường hợp không gian phức [39]

Năm 1994, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hương đã chứng minh được rằng nếu X

là một đa tạp Banach giả lồi có các C1-phân hoạch đơn vị và X không chứa các đường thẳng phức thì X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs

Chúng tôi muốn mở rộng kết quả trên vào lớp các đa tạp rộng hơn, đó là lớp các đa tạp mà là hợp tăng của những miền giả lồi Thật vậy, ta có

1.2.3 Định lý Cho X là một đa tạp Banach có các C1

-phân hoạch đơn vị và là hợp tăng của những miền giả lồi mà mỗi tập mở compact tương đối trong X đều không chứa đường thẳng phức Khi đó X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs

Chứng minh

(i) Trước hết ta giả sử rằng X giả lồi Cho f :  X là một ánh xạ chỉnh hình Ta xét

sơ đồ giao hoán

ở đây fchỉ miền tồn tại của f với thác triển chính tắc f : f X và e, ,  là các ánh xạ chính tắc song chỉnh hình địa phương

Chứng minh tương tự như Bổ đề 1.2.2, ta có

1.2.4 Bổ đề Ánh xạ f : f X giả lồi địa phương

Để chứng minh rằng   ˆ fta còn phải kiểm chứng rằng fthỏa mãn điều kiện đĩa yếu

lồi-Cho {n}  H (,f) hội tụ tới  trong H (*

,f)

Vì X giả lồi và mọi tập mở compact tương đối trong X đều không chứa đường thẳng phức nên X thỏa mãn điều kiện lồi đĩa yếu (xem [41], Mệnh đề 2.3 ) Vậy { f0n} H (,X)

hội tụ tới f0 trong H (,X)

Chọn một lân cận giả lồi V của f0(0) sao cho V đẳng cấu với một tập giải tích trong một quả cầu mở của một không gian Banach và f (V)1 là một tập giả lồi Khi đó tồn tại một

số n0 và một số  dương sao cho (f0n)()  V với n > n0 , ở đây  = {z   : |z| < } (xem [41], Mệnh đề 2.3 )

Vì thế theo Bổ đề 1.2.4, ta có n()  1

p (V) với n > n0 Suy ra n  trong H (,p (V)1 ) (xem [18, Định lý 5 và Bổ đề 6])

Vậy {n } hội tụ trong H (,f)

(ii) Bây giờ ta giả sử rằng X = n

Vì thế chúng ta có thể xác định các ánh xạ f : = lim ind ^  X và  :   B bởi f | ^ = fn với mọi n  1 và | ^= n với mọi n  1 Vì n là một phép đồng phôi địa phương với n  1 nên từ đó suy ra rằng  cũng là một phép đồng phôi địa phương

Hơn nữa, ta có dn(z)  dn+1(e(z)) với mọi z  ^n và n  1, ở đây dn chỉ khoảng cách biên đối với n : ^ n B với mỗi n  1

Vì ^ giả lồi nên với mỗi z  , — log dn(z) là hàm đa điều hòa dưới Nghĩa là Q giả lồi Do đó  là một miền chỉnh hình

Từ đó ta suy ra  = ^ Đó là điều phải chứng minh

Cũng cần lưu ý rằng, trong [41] Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hương đã chứng minh rằng nếu X là một đa tạp Banach giả lồi và có C1-phân hoạch đơn vị và nếu X không chứa đường thẳng phức thì X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs Do đó tự nhiên nẩy sinh ra câu hỏi là liệu rằng hợp tăng của những miền giả lồi có luôn luôn là giả lồi hay không? Chúng tôi nêu ra ví dụ sau đây để chứng minh rằng câu trả lời là "không" Và do đó Định lý nêu trên là một mở rộng thật sự kết quả của Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hương

Thật vậy, như trong [8] với mỗi n ta đặt

Hiển nhiên Xn là các đa tạp đóng của 3 vì thế Xn là các đa tạp Stein Với mỗi n, xét ánh xạ n : Xn Xn+1 xác định bởi

Rõ ràng n là ánh xạ song chỉnh hình từ Xn lên {  }

Vậy ta xác định được X = lim(X ,n n)

Rõ ràng mỗi tập con compact tương đối trong X không chứa đường thẳng phức vì mỗi tập con compact tương đối trong Xn không chứa đường thẳng phức với mọi n  1 Bây giờ ta chứng minh rằng X không giả lồi Thật vậy, nếu X giả lồi thì trong trường hợp của chúng ta,

X thỏa mãn điều kiện lồi-đĩa yếu Cho {fn} H(, X) là một dãy các ánh xạ được xác định

Vì  0 nên dãy {fn} hội tụ tới f trong H (*

, X) Từ giả thiết ta suy ra {fn} hội tụ tới f trong H(, X)

Xét  = {z   : |z|  },   (0,1) Vì {fn} hội tụ đều trong  nên suy ra X =

X Vậy

với mọi *

Suy ra k 0

f ( ) có thể thác triển chỉnh hình tới  Vô lý vì

0 k

p (0)  0

Do đó X không giả lồi

*

* * Như vậy trong chương này chúng tôi đã chỉ ra được những lớp không gian quan trọng thoả mãn tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs Lớp thứ nhất gồm các không gian giải tích Banach thỏa mãn điều kiện lồi-đĩa yếu Lớp còn lại gồm các đa tạp Banach có các C1- phân hoạch đơn vị và là hợp tăng của những miền giả lồi sao cho mỗi tập mở compact tương đối trong X không chứa đường thẳng phức Lớp thứ nhất bao gồm lớp các không gian thoả mãn điều kiện đĩa Lớp thứ hai là một mở rộng thật sự lớp các đa tạp giả lồi có C1

-phân hoạch đơn

vị và không chứa đường thẳng phức đã được nghiên cứu trước đó vào năm 1993 bởi Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hương

CHƯƠNG 2 : THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU RIEMANN

Như trên đã nói, việc thác triển chỉnh hình kiểu Riemann - tức là thác triển ánh xạ chỉnh hình qua các tập mỏng là phương hướng thứ hai của bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình Nó đã được quan tâm nghiến cứu từ lâu bởi rất nhiều nhà toán học lớn Cùng với sự hình thành của giải tích phức hyperbolic, phương hướng nghiên cứu nói trên đã có những tiến

bộ đáng kể, đặc biệt là việc nghiên cứu bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình qua điểm thủng

Ví dụ ta có định lý Kwack:

Giả sử X là một không gian phức hyperbolic, f : * X là ánh xạ chỉnh hình sao cho

tôn tại dãy {zn}  * , zn  0 mà dãy {f(zn)} hội tụ trong X Khi đó f thác triển thành một

gian có tính chất *

-thác triển nhưng không có tính chất hyperbolic

Vài năm trở lại đây, Royden và một vài tác giả khác đã chỉ ra rằng nếu X là một mặt Riemann compact hyperbolic (tương đương với hiện tượng mọi ánh xạ chỉnh hình từ  vào X

đều là hàm hằng) thì X có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực trong  Jarviđã tổng

quát hoá các kết quả của Royden trong trường hợp các tập con compact có dung lượng bằng 0 trong một miền Z của  Ngoài ra, lần đầu tiên vào năm 1990 Suzuki đã đưa ta kết quả: Nếu

M là đa tạp có phủ phổ dụng là miền bị chặn trong n

với nhóm biến đổi của phủ có một tính

chất nào đó thì M có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập đa cực Lưu ý rằng tồn tại các tập cực nhưng không đa cực [16]

Xét S là một tập đa cực trong một đa tạp phức Z, X là một không gian phức và f : Z \

S  X là một hàm chỉnh hình vấn đề có hay không một thác triển chỉnh hình f : Z  X của f

đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả khác nhau như Nguyen Thanh Van và Zeriahi, Jarvi, Sibony, Suzuki Chẳng hạn nếu X là một miền Siegel loại 2 trong n

thì mọi ánh xạ f có một thác triển chỉnh hình tới z đã được chứng minh bởi Sibony hoặc nếu X là một miền lồi trong

Trong chương này chúng tôi tiếp tục hướng nghiên cứu nói trên của Đỗ Đức Thái Trước hết chúng tôi mở rộng kết quả đó cho các tập cực đóng và

sau đó nghiên cứu tính thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn

2.1 Thác triển chỉnh hình qua tập cực

2.1.1 Định nghĩa Cho tập con X của n

(n  2) Ta nói X là tập cực nếu tồn tại tập

mở Z bao hàm X và hàm điều hòa dưới  trên Z sao cho

Một số kết quả quan trọng sau đây đối với hàm điều hòa dưới và tập cực có thể xem trong [17]:

Trong chương này ta ký hiệu Ci6 (Z, X) = se (z \ s, X) nếu ánh xạ thu hẹp

là song ánh, và ,jy<f(Z, X) ^ #e {1 \ S,X) nếu ánh xạ thu hẹp

đồng phôi, ở đây S là một tập cực đóng trong đa tạp phức Z và X là một không gian phức

Trong trường hợp thứ nhất ta nói X có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực đóng s và trong trường hợp còn lại ta nói X có tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực đóng S

Chúng ta chứng minh định lý sau đây:

2.1.2 Định lý Cho X là một không gian phức sao cho

(ii) Cho n  1 Giả sử  là hàm điều hoa dưới trên một lân cận Z của S sao cho  | S

= -  và  -  trên mọi thành phần liên thông của Z

Thay cho s ta xét S  1( )ta có thể coi S  1( ) Vì bài toán có tính địa phương nên không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng Z = U x W, ở đây U là một đa đĩa mở trong n-1

và W là một tập mở trong 

Với mọi tập cực đóng s trong z, ta đặt

và Sz là tập cực đóng với w  S" và tương tự Sz là tập cực đóng với z S'

Ta kiểm chứng điều này với Sw vì với Sz được tiến hành tương tự Do w  S" nên tồn tại a 

U sao cho (a,w)  s Khi đó (z) = (z, w) điều hòa dưới trên U mà (a)   và |S w=

Tương tự, với mỗi z  S', dãy các ánh xạ chỉnh hình {fk,z}  H(W \ S”, X) cho bởi

fk,z(w) = fk(z,w), hội tụ tới fz trong H(W, X), ở đây fz(w) = f(z, w)

Chúng ta chỉ cần chứng minh cho g, vì việc chứng minh cho gk, hk và h hoàn toàn tương tự

 là một tập đóng trong W Hơn nữa, P là tập cực đóng

Mặt khác, từ giả thiết qui nạp ta suy ra H(W, X)  H(W \ P, X)

với mọi dãy {wp} hội tụ đến w trong W

Vì thế g liên tục trên U \ S' x W Tương tự h liên tục trên U x W \ S"

Vì U x W \ S  (U \ S') x (W \ S") và U x W \ S trù mật trong U x W nên ta có

Vậy từ (*) ta có thể xác định một hàm f trên (U \ S' x W) (U x W \ S") bởi

f  fz trong ơe (W \ p, X) ta có fk)Zk —> fk trong H (W,X)

Vậy ˆfk  ˆf trong H(U \ S' x W, X) và ˆfk  ˆf trong H(U x W, X)

Định lý đã được chứng minh xong

*

* * Như vậy nếu X là một không gian phức có tính chất 1-thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực đóng thì nó cũng có tính chất n-thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực đóng với mọi n  2 Với nhận xét ở đầu chương, kết quả đạt được này coi như một mở rộng kết quả của Đỗ Đức Thái Tuy nhiên về kỹ thuật chứng minh, đó chỉ là một sự cải tiến thích hợp của Đỗ Đức Thái

Bây giờ ta muốn nghiên cứu bài toán nói trên trong trường hợp vô hạn chiều

2.2 Thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn

Trước hết ta nhắc lại định lý Noguchi trên 

Giả sử X là một không gian phức con compact tương đối, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y

Giả sử dãy {fn}  H(*

, X) hội tụ đều tới ánh xạ f0 : * X trong H(*

, X) Gọi ˆfn

:   Y là thác triển chỉnh hình của fn, n  0

Khi đó dãy {f n}  (, Y) hội tụ đều tới ánh xạ f0 :   Y trong H(,Y)

Định lý Noguchi nói trên và Định lý 2.1.2 gợi cho chúng tôi đến vấn đề sau:

Giả sử X là không gian phức sao cho H(,Y) = H( \ S, X) với mỗi tập con cực đóng

S   Phải chăng khi đó H(Z, X) = H(Z \ S, X) với mỗi tập con cực đóng S trong đa tạp phức Z

Câu trả lời đầy đủ cho vấn đề trên chúng tôi chưa đạt được Tuy nhiên, năm 1995 Đỗ Đức Thái đã chứng minh được rằng khẳng định trên là đúng nếu X là không gian giả lồi Thậm chí khẳng định vẫn còn đúng trong trường hợp Z là một tập hợp mở trong một không gian Banach B và S là một tập con đa Cực loại hữu hạn đóng trong Z Ở đây dựa vào định lý 2.1.2 chúng tôi lại quan tâm đến trường hợp Z là một tập mở trong một không gian Banach và

s là một tập cực loại hữu hạn đóng trong Z

2.2.1 Định nghĩa Cho X là tập con của không gian Banach B Ta nói X là tập cực

loại hữu hạn nếu với mọi không gian con hữu hạn chiều E của B tồn tại không gian con hữu hạn chiều F của B bao hàm E sao cho X F là tập cực trong F

2.2.2 Định lý Cho X là một không gian giả lồi sao cho

H (, X) = H (\S,X)

với mọi tập cực đóng S   Khi đó H(Z, X) = H(Z \ S, X) với mọi tập mở Z trong một

không gian Banach B và mọi tập cực loại hữu hạn đóng S trong Z

Chứng minh

(i) Theo giả thiết H(, X) = H(*

, X) và vì vậy theo [39], X không chứa đường thẳng phức Khi đó mọi tập con compact của X có một lân cận hyperbolic trong X (xem [29])

(ii) Cho {fn}  H( \ S, X) với fn  f trong H( \ S, X), ở đây S là tập cực đóng

trong  Chúng ta sẽ chứng minh rằng fn f trong H(, X)

Cho z0  S Vì  là một tập mở và S là tập cực đóng trong  nên ta có thể tìm được một lân cận U của z0 sao cho U S  Khi đó

là tập compact tương đối trong X Theo tính giả lồi của X, bao đa điều hòa dưới ˆKPSH(X) của

K cũng là tập compact trong X Từ (i) ta suy ra tập hợp ˆKPSH(X) có một lân cận hyperbolic

W

Theo nguyên lý môđun cực đại của các hàm đa điều hòa dưới ta có

Cho {zn}  U là một dãy tùy ý hội tụ tới z0 Dễ dàng thấy rằng

ở đây dW và dU là các khoảng cách Kobayashi của W và U tương ứng Do đó fn(zn)  f(z0)

Điều này suy ra fa  f trong H(,X)

(iii) Theo (ii) và áp dụng định lý 2.1.2 ta có H(Z, X) H(Z \ S, X) với mỗi tập mở Z của n và mọi tập cực S  Z

(iv) Bây giờ ta giả sử rằng Z là một tập con mở của một không gian Banach B và S là một tập cực trong Z

Khi đó tồn tại  > 0 sao cho e S = 

Viết B = e  F với E = e  E1, E1 F Do tính compact của e x 0 ta tìm được

một lân cận D của 0  F sao cho e x D S =  và ˆf (e x D) compact tương đối trong X Giả sử  là hàm đa điều hòa dưới vét cạn của X, do nguyên lý mô đun cực đại ta có:

Do  là hàm vét cạn nên ˆf (e x D) là compact tương đối trong X

Theo (i), tập con ˆf( e x D) có một lân cận hyperbolic W

Vậy ˆf liên tục và do đó f chỉnh hình trên e x D

(v) Cuối cùng, bằng cách lặp lại lập luận như trong (ii), nếu {fk}  H(Z \ S, X) = H(Z, X) hội tụ tới f trong H(Z \ S, X) thì fk(zk)  f(z0) với mọi {zk}  Z \ S, zk z0 Điều này suy

ra fk f trong H(Z, X)

Định lý đã được chứng minh xong

Ta kết hợp Định lý 2.2.2 với kết quả của Jarvi [23] để mở rộng các kết quả của ông tới trường hợp vô hạn chiều

2.2.3 Định lý Cho X là một mặt Riemann compact hyperbolỉc Khi đó H(Z, X) 

H(Z \ S, X) với mọi tập mở Z của không gian Banach B và mọi tập cực loại hữu hạn đóng S

2.3 Miền Hartogs và thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn

Trước hết ta nhắc lại định nghĩa về tính thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn

2.3.1 Định nghĩa Một không gian giải tích Banach X được gọi là có tính chất thác

triển chỉnh hình thực sự qua lập cực loại hữu hạn (gọi tắt là có tính chất (SPEP)) nếu H(, X)

 H(Z \ S, X), ở đây Z là một miền trong không gian Banach B và S là một tập cực loại hữu hạn đóng trong z

Bây giờ ta xét X là một không gian phức và  là hàm đa điều hòa dưới trên X Xét miền Hartogs cho bởi

2.3.2 Định lý Giả sử X là một không gian phức và  là một hàm đa điều hòa dưới trên X Giả sử  là một mêtric Hermit trên X

a) Nếu X có tính chất (SPEP) và

với mọi  > 0 và mọi a  X thì (X) cũng có tính chất (SPEP)

b) Nếu (X) có tính chất (SPEP) thì X cũng có tính chất (SPEP) và

với mọi  > 0 và mọi a  X

với mọi tập cực đóng S trong một tập mở bất kỳ Z của 

(i) Giả sử f := (f1, f2) : Z \ S (X) là ánh xạ chỉnh hình Nếu mỗi fj thác triển chỉnh hình tới ˆf trên z, thì hàm j  {z) = log | f (z) |ˆ2  (f (z))ˆ1  0 trên Z \ S Do  là điều hòa dưới nên theo nguyên lý mô đun cực đại  (z) < 0 với mọi z  Z và fˆ (f , f )ˆ ˆ1 2  H(Z \

(X) )

Do giả thiết, f1 thác triển chỉnh hình thành ánh xạ chỉnh hình ˆf1 : Z  X Cho s  S Chọn một lân cận Stein U của ˆf1(s) trong X sao cho U đẳng cấu với một tập giải tích trong một hình cầu mở của m Khi đó tồn tại một lân cận w của s trong Z sao cho ˆf1(z)  U z 

W

Do  là hàm đa điều hòa dưới nên theo Fornaess và Narashimhan [9], -1

(U) là một không gian Stein, ở đây  là phép chiếu chính tắc của (U) =  (x)

(x, ) UC:| | elên U xác định bởi (x, ) = X Do đó ta chỉ cần chứng minh f2 có thác triển chỉnh hình tới ˆf2

Cố định s'  S W tuỳ ý Viết

h1 (z) = (z – s’) pg (z) với g(s’)  0

Ta chọn:  > 0 để p (p + 2) < 1

Do giả thiết đối với , tồn tại  > 0 sao cho

hay tương đương

Ta chọn một lân cận W1 của s' trong W sao cho

 là số liên hợp của p + 2 với p  1, nên theo

[15] f2 được thác triển chỉnh hình đến ˆf2 trên W1 Vậy f thác triển chỉnh hình tới ˆf := (ˆf1,ˆf2) : Z (X)

(ii) Giả sử  k k k 

f (f , f ) là một dãy các ánh xạ chỉnh hình từ Z \ S vào (X) sao

cho dãy này hội tụ tới f = (f1, f2) với mọi tập cực đóng S trong một tập mở bất kỳ Z của 

Theo (i), fi và fi (i = 1, 2) lần lượt được thác triển chỉnh hình thành các ánh xạ chỉnh hình ˆfik và ˆfi và do giả thiết, {ˆf1k} hội tụ về ˆf1trong H(Z, X) Mặt khác theo nguyên lý mô đun cực đại { k

Theo bước 2, f2 được mở rộng tới một hàm chỉnh hình Gateaux ˆf2 trên Z Do đó theo định lý Zorn [48], ˆf2 chỉnh hình trên W Do s tùy ý nên ˆf2 chỉnh hình trên Z Vậy f được thác triển chỉnh hình tới ˆf : Z (X)

Thật vậy, cho s  S Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử s = 0 Vì s = 0 là tập cực loại hữu hạn nên theo định nghĩa, tồn tại một không

gian con hữu hạn chiều E của B và hàm điều hoà dưới  trên một lân cận U của 0 trong E sao cho

Chọn e  U để (e)    và viết B = e  F, ở đây F là không gian con của B với

E = e  E1 với El F

Do e S là tập cực nên tồn tại  > 0 sao cho e S  Vậy tồn tại một lân cận

D của 0  F sao cho ( e D) S 

Ta có ˆf2k hội tụ về ˆf2 đều trên mọi tập compact của  e D

Theo nguyên lý mô đun cực đại, k

2

ˆf hội tụ về ˆf2 đều trên mọi tập compact của

e D



  một lân cận của s = 0 trong Z

Như vậy mệnh đề a) đã được chứng minh Bây giờ ta chứng minh mệnh đề b)

Vì X đóng trong (X) nên X có tính chất (SPEP)

Bây giờ ta chứng minh rằng

với mọi  > 0 và mọi a  X

Thật vậy, giả sử tồn tại a  X và  sao cho

Do

ta có thể tìm được 0 < r0 < 1 sao cho

hay tương đương

Chọn các số nguyên dương k, l sao cho

Đặt a = (a1,a2, an)

Xác định ánh xạ chỉnh hình f : *

(a1, r0) (X) bởi:

Ở đây ta ký hiệu (a1, r0) và *(a1, r0) là đĩa và đĩa thủng có tâm tại a1 và bán kính r0

Vì theo giả thiết, f thác triển chỉnh hình tới  (a1, r0) Điều này vô lý

Vậy Định lý đã được chứng minh xong

Nhận xét: Rõ ràng điều kiện a) của Định lý 2.3.2 luôn được thỏa với  là một hàm

liên tục trên  Tuy nhiên, trong [44] P Thomas và D.D Thai đã xây dựng một hàm  gián

đoạn tại 0 , điều hòa dưới trên  thỏa mãn điều kiện