Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Sử dụng mô hình Toulmin để phân tích quá trình lập luận và chứng minh của học sinh

Mục đích Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Sử dụng mô hình Toulmin để phân tích quá trình lập luận và chứng minh của học sinh phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh của học sinh khi giải quyết các bài toán; phân tích các dạng ngoại suy khác nhau được học sinh sử dụng trong quá trình chứng minh.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng Kết quả nghiên cứu chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Trần Kiêm Minh, người đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng đào tạo sau đại học, Quý Thầy giáo, Cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy, truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai năm học vừa qua

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các em học sinh trường THPT chuyên Quốc Học Huế và các em học sinh trường THPT Tố Hữu đã giúp đỡ tôi trong quá trình thực nghiệm

Sau cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này

Do điều kiện thời gian và khả năng hạn chế, tôi xin chân thành biết ơn và lắng nghe những ý kiến chỉ dẫn, đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

MỤC LỤC

Trang

TRANG PHỤ BÌA i

LỜI CAM ĐOAN ii

LỜI CẢM ƠN iii

MỤC LỤC 1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 4

LỜI GIỚI THIỆU 5

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 8

1.1 Khái niệm chứng minh và lập luận 8

1.1.1 Khái niệm chứng minh 8

1.1.2 Khái niệm lập luận 9

1.2 Các dạng lập luận 9

1.2.1 Suy diễn 9

1.2.2 Quy nạp 9

1.2.3 Ngoại suy 10

1.3 Ngoại suy và chứng minh trong toán học 10

1.3.1 Các dạng ngoại suy 10

1.3.2 Ngoại suy và chứng minh trong giáo dục toán 13

1.4 Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh 14

1.4.1 Các khía cạnh chung giữa lập luận và chứng minh 14

1.4.2 Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh trong các nghiên cứu giáo dục toán 15

1.5 Kết luận chương 1 18

Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 20

2.1 Mô hình Toulmin 20

2.1.1 Cấu trúc của lập luận theo mô hình Toulmin 20

2.1.2 Mô hình Toulmin trong các nghiên cứu giáo dục toán về lập luận và chứng minh 21

2.2 Phân tích quá trình lập luận và chứng minh dựa trên mô hình Toulmin 22

2.2.1 Tính thống nhất nhận thức giữa quá trình lập luận và chứng minh 22

2.2.2 Khoảng cách giữa quá trình lập luận và chứng minh 24

2.2.3 Phân tích cấu trúc giữa lập luận và chứng minh dựa trên mô hình Toulmin 24

2.2.3.1 Cấu trúc của suy diễn, ngoại suy, quy nạp dựa trên mô hình Toulmin 25

2.2.3.2 Phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh 27

2.3 Mô hình Toulmin và phân tích quá trình ngoại suy 27

2.3.1 Đối với ngoại suy đã mã hoá 28

2.3.2 Đối với ngoại suy chưa mã hoá 29

2.3.3 Đối với ngoại suy sáng tạo 29

2.4 Vai trò của giáo viên trong quá trình lập luận của học sinh 30

2.5 Câu hỏi nghiên cứu 31

2.6 Kết luận chương 2 32

Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 33

3.1 Ngữ cảnh và mục tiêu 33

3.1.1 Ngữ cảnh 33

3.1.2 Mục tiêu 33

3.2 Phương pháp nghiên cứu 33

3.3 Nội dung phiếu học tập 33

3.3.1 Phiếu học tập 1 33

3.3.2 Phiếu học tập 2 39

3.3.3 Phiếu học tập 3 42

3.3.4 Phiếu học tập 4 45

3.4 Kết luận chương 3 49

Chương 4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 50

4.1 Phân tích bài làm của học sinh 50

4.1.1 Mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh 50

4.1.1.1 Bài toán 1: 51

4.1.1.2 Bài toán 2: 59

4.1.1.3 Bài toán 3: 66

4.1.1.4 Bài toán 4: 72

4.1.2 Các dạng ngoại suy 75

4.2 Kết luận chương 4 79

Chương 5 KẾT LUẬN 80

5.1 Kết luận 80

5.2 Đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84 PHỤ LỤC P1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Góc

LỜI GIỚI THIỆU

Quá trình lập luận (argumentation), suy luận (reasoning) và chứng minh (proof) là những thuật ngữ xuất hiện nhiều trong các công trình nghiên cứu gần đây

về dạy và học toán Điều đó chứng tỏ ngày càng có nhiều nhà nghiên cứu quan tâm phân tích về mặt nhận thức và cấu trúc lôgic của quá trình lập luận và chứng minh

Từ một quan điểm tri thức luận, lập luận trong toán học có thể xem như là một quá trình thuyết phục ai đó về giá trị chân lý của một mệnh đề hay phát biểu (Chazan

1993, [9]; De Villiers 1990, [10]; Hanna, 1989, [14]; Healy và Hoyles, 2000, [16]; Lakatos, 1976, [22]) Quá trình lập luận có thể là suy diễn, ngoại suy hoặc quy nạp Chứng minh là một trường hợp đặc biệt của quá trình lập luận trong đó kết luận được đưa ra từ các lập luận diễn dịch và các quy tắc suy luận đúng Trong toán học, chứng minh thường là quá trình lập luận suy diễn, trong khi đó quá trình lập luận dẫn đến một giả thuyết thường là quá trình ngoại suy hoặc quy nạp

Gần đây, có nhiều tác giả tập trung vào nghiên cứu bản chất cấu trúc của các quá trình nhận thức liên quan đến mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh toán học của học sinh (Boero v.v 1996, [8]; Pedemonte, 2001, [27]; Pedemonte, 2005, [29]; Pedemonte, 2007, [30]; Pedemonte và Reid, 2010, [32]; Reid và Knipping,

2010, [38]; Martinez và Pedemonte, 2014, [24]) Các nghiên cứu này chỉ ra rằng, lập luận thường có cấu trúc ngoại suy hoặc quy nạp, trong khi đó chứng minh thường có cấu trúc diễn dịch Nếu từ các lập luận ngoại suy (quy nạp) hình thành một giả thuyết, học sinh có thể chuyển đổi thành các lập luận diễn dịch để đi đến chứng minh (quy nạp toán học) giả thuyết đó thì ta nói có một tính liên tục cấu trúc (structural continuity) giữa quá trình lập luận và chứng minh Ngược lại, nếu từ các lập luận ngoại suy hay quy nạp, học sinh không thể đi đến một chứng minh diễn dịch thì ta nói có sự gián đoạn cấu trúc (structural distance/ structural discontinuity) giữa quá trình lập luận và chứng minh

Các nghiên cứu ở trên đã sử dụng mô hình Toulmin (Toulmin, 1958, [40]) để lập luận như là một công cụ có tính phương pháp luận nhằm phân tích mối quan hệ giữa quá trình lập luận đi đến một giả thuyết và chứng minh

Mô hình Toulmin đã góp phần quan trọng trong các nghiên cứu về mối quan

hệ giữa lập luận và chứng minh chẳng hạn như: phân tích tính liên tục/gián đoạn cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh (Pedemonte, 2005, [29]; Pedemonte,

2007, [30]) phân tích vai trò và các dạng ngoại suy được học sinh sử dụng trong quá trình chứng minh (Pedemonte và Reid, 2010, [32])

Dựa trên các nghiên cứu đó của Pedemonte, chúng tôi chọn đề tài ― Sử dụng

mô hình Toulmin để phân tích quá trình lập luận và chứng minh của học sinh‖

với các mục tiêu như sau:

 Phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh của học sinh khi giải quyết các bài toán

 Phân tích các dạng ngoại suy khác nhau được học sinh sử dụng trong quá trình chứng minh

Luận văn này bao gồm 5 chương:

Trong chương 1, chúng tôi bắt đầu từ việc giới thiệu khái niệm lập luận và khái niệm chứng minh trong Toán, các dạng lập luận thường gặp, tiếp theo là mối quan hệ giữa quá trình lập luận và chứng minh trong Toán Từ đó chúng tôi đặt ra một số vấn đề khởi đầu cho nghiên cứu

Trong chương 2, chúng tôi sẽ trình bày mô hình Toulmin cơ bản, một công

cụ phương pháp luận quan trọng cho phép nghiên cứu mối quan hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh Sau đó, dựa vào mô hình Toulmin, chúng tôi sẽ phân tích mối liên hệ về cấu trúc giữa lập luận và chứng minh trong toán học và cấu trúc của các dạng ngoại suy mà học sinh có thể sử dụng trong chứng minh toán Chương này cung cấp khung lý thuyết cho phép chúng tôi thiết kế thực nghiệm và phân tích dữ liệu thực nghiệm trong các chương sau Cuối cùng, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi nghiên cứu cho đề tài

Trong chương 3, chúng tôi trình bày ngữ cảnh và mục tiêu của thực nghiệm Sau đó, chúng tôi trình bày nội dung của các phiếu học tập Cuối cùng, chúng tôi tiến hành phân tích tiên nghiệm các bài toán trong các phiếu học tập Các phân tích này cung cấp cái nhìn tổng quan về các bài toán được đưa ra cho học sinh, cũng như làm cơ sở để đối chiếu và phân tích sau thực nghiệm ở chương 4

Trong chương 4, trước tiên chúng tôi mô tả lại các dữ liệu thực nghiệm thu thập được của một số cặp học sinh điển hình Sau đó, chúng tôi tiến hành phân tích các kết quả chủ yếu từ dữ liệu thu thập được Dựa trên các lý thuyết đã trình bày ở Chương 2, chúng tôi sẽ phân tích theo các hướng: mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận

và chứng minh, các dạng ngoại suy học sinh đã sử dụng trong lập luận Từ đó phát hiện các khó khăn của học sinh trong việc chuyển đổi cấu trúc lập luận sang chứng minh và xem xét dạng ngoại suy nào có thể hỗ trợ cho học sinh trong việc chuyển đổi cấu trúc của lập luận sang chứng minh

Cuối cùng, trong chương 6, chúng tôi đưa ra kết luận cho nghiên cứu này bằng cách phân tích các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi nghiên cứu đặt ra Bên cạnh việc trả lời các câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi cũng bàn luận các đóng góp của nghiên cứu này đối với các vấn đề lớn và có tính khái quát hơn như việc dạy và học chứng minh trong Toán học Kết quả nghiên cứu cũng góp phần khẳng định vai trò chủ đạo của giáo viên trong việc thúc đẩy quá trình lập luận và chứng minh Toán

của học sinh

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Khái niệm chứng minh và lập luận

Trong những ngày đầu tiên, toán học gắn liền với những câu hỏi thực tế về vấn đề đo đạc đất đai của người Ai Cập và người Hy Lạp Vì vậy bản chất của toán học thời kỳ này là xem xét các vấn đề về hình học và lượng giác Hình học cổ đại và các tiên đề của Euclid tập trung thảo luận cho các vấn đề này Có thể nói, thời kỳ này toán học mang tính hiện tượng, nếu có một người vẽ được một hình vẽ hợp lý

và đưa ra các mô tả cho nó thì đã được xem là một biện minh đối với một vấn đề toán học Đôi khi người ta lập luận bằng cách tương tự hoặc bằng cách gọi các vị thần Những suy nghĩ về việc chứng minh các phát biểu toán học hầu như không tồn tại Không có một khái niệm nào về chứng minh cũng như các cấu trúc lôgic và quy tắc suy luận không hề được đưa ra Họ đã nghĩ rằng việc quan sát thực tế hay thực nghiệm là đủ để biện minh cho các phát biểu toán học Nhưng sau này, người Hy Lạp đã tìm được phương pháp để xác định tính đúng hoặc sai của một phát biểu trong toán học Họ thấy rằng, toán học không giống như những môn khoa học khác,

nó thường đề cập đến các thực thể vô hạn hoặc số như tập các số tự nhiện hoặc sự trừu tượng hoá như hình tròn, hình tam giác Vì vậy, họ là những người đầu tiên chuyển đổi các phát biểu toán học thành những lập luận lôgic để phân biệt sự khác nhau giữa những cái có thể và những cái không thể Dựa vào phương pháp suy diễn, một phát biểu được họ chứng minh bằng các tiên đề, hoặc các định lý hoặc một nguyên tắc lôgic (Aristotle, 384 – 322, trước công nguyên) Tiên đề là các khái niệm, các giả thiết được thừa nhận đúng nhưng không cần sự biện minh (Elements, Euclid) Định lý bao gồm các phát biểu đã được chứng minh từ các tiên đề Từ đó, tất cả những gì liên quan đến toán học đều được bắt đầu từ các tiên đề và một quy trình chứng minh chặt chẽ (Wolfram, 2002, [41])

1.1.1 Khái niệm chứng minh

Chứng minh toán học là phương tiện thuyết phục ai đó hoặc chính bản thân mình về một điều gì đó là đúng bằng cách sử dụng một dãy các lập luận phù hợp và các quy tắc suy luận đúng Chẳng hạn, theo Almeida (1994, [4]), chứng minh là một dãy các mệnh đề, được kết nối với nhau bởi các phép suy luận, mà kết thúc là một

mệnh đề kết luận và khởi đầu là các dữ liệu hoặc các sự kiện được thừa nhận hoặc các nguyên lý:

“A proof is a directed tree of statements, connected by implications, whose end point is the conclusion and whose starting points are either in the data

or are generally agreed facts or principles” (Almeida, 1994, [4], p.661)

1.1.2 Khái niệm lập luận

Trong toán học, lập luận liên kết với chứng minh một cách chặt chẽ Mặc dù lập luận là hoạt động thường xuyên xảy ra trong lớp nhưng không có một khái niệm chung nào về lập luận Các nghiên cứu hiện nay cũng không cung cấp cái nhìn sâu sắc về vấn đề này Tuy nhiên, hầu hết các quan niệm về lập luận đều thống nhất cho rằng lập luận trong toán học là quá trình đưa ra những bằng chứng nhằm dẫn đến một kết luận nào đấy Ta cũng có thể xem, quá trình lập luận (argumentation) như một hoạt động diễn ngôn dựa trên các lí lẽ (arguments)

Lập luận suy diễn có các đặc điểm sau :

 Suy diễn bắt đầu với một trường hợp tổng quát để đưa ra kết luận

Lập luận quy nạp có các đặc điểm sau :

 Lập luận quy nạp bắt đầu từ các trường hợp cụ thể đi đến một kết luận tổng quát

 Lập luận quy nạp sử dụng những cái đã biết để kết luận những cái chưa biết (phát hiện quy luật chung)

 Lập luận quy nạp thường đưa ra kết luận không chắc chắn và cần được xác minh

1.2.3 Ngoại suy

Ngoại suy là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận từ một sự kiện quan sát được (Petemonte, 2007, [30])

Ngoại suy thường có các đặc điểm sau:

 Giải thích giả thuyết quan sát được

 Đưa ra các ý tưởng mới và giúp mở rộng tri thức

 Kết luận của một ngoại suy có vẻ hợp lý (plausible) vì kết luận của

nó không thể biết được một cách trực tiếp

Như vậy, trong khi lập luận suy diễn tìm kiếm các kết luận từ những kết quả đúng cho trước, lập luận quy nạp tìm kiếm kết quả tổng quát từ những kết quả đúng của các trường hợp đặc biệt thì ngoại suy đi tìm lời giải thích tốt nhất cho giả thuyết quan sát được trước đó (Peirce, 1960, [36]) và việc giải thích giả thuyết quan sát được trong lập luận ngoại suy có thể dùng đến cả lập luận suy diễn và lập luận quy nạp

1.3 Ngoại suy và chứng minh trong toán học

1.3.1 Các dạng ngoại suy

Trong đời sống hằng ngày, ngoại suy thường xuất hiện một cách tự nhiện trong việc giải thích các sự việc hoặc các hiện tượng của con người Trong Toán, ngoại suy lại thường xuất hiện trong quá trình dạy học các khái niệm mới thông qua việc quan sát các tình huống để đưa ra các lời giải thích hoặc quá trình tìm

kiếm định lý, công thức mới, tìm kiếm lời giải cho một bài toán v.v mà đặc biệt

là trong quá trình chứng minh

Ngoại suy lần đầu tiên được giới thiệu bởi CS Peirce (1839 – 1914), một nhà toán học, triết học, lôgic học người Mỹ nhằm phân biệt với lập luận suy diễn

và lập luận quy nạp Trong những nghiên cứu đầu tiên của mình, Peirce nhấn mạnh vào các lôgic hình thức của ngoại suy, ông gọi ngoại suy là ―hypothesis‖ (Peirce, 1867, [34]) và mô tả bằng phép tam đoạn luận :

Với M bất kỳ có đặc điểm P , P’, P‖

S có P, P’, P‖

∴ S có lẽ là M

( Ở đây, S: là một đối tượng, một trường hợp cụ thể)

Năm 1878, Peirce chú ý đến tầm quan trọng của việc giải thích các vấn đề ngẫu nhiên liên quan đến ngoại suy và ―hypothesis‖ trở thành phương tiện tìm quy tắc chung để giải thích một quan sát ngẫu nhiên Ông ấy đưa ra ví dụ sau :

“Giả sử tôi vào một cái phòng và ở đó tôi tìm thấy một vài cái túi xách có chứa một số loại đậu Trên bàn có một ít hạt đậu trắng Sau một hồi tìm kiếm tôi chỉ thấy có một túi xách chứa đậu trắng Tôi dự đoán rằng, số đậu trắng này rơi

ra từ chiếc túi đó”

Suy luận này được gọi là tạo ra một giả thuyết Đó là suy luận mà từ một

―quy tắc‖ và một ―kết quả‖ dẫn tới một ―trường hợp‖ (Peirce, 1960, [36])

Ở đây ta hiểu một trường hợp là một quan sát cụ thể mà trong đó một điều

kiện được thỏa mãn Chẳng hạn, ―Hàm số y x có đạo hàm tại x 1‖ là một

trường hợp Một quy tắc thường là một mệnh đề có tính khái quát phát biểu rằng

nếu một điều kiện xảy ra thì một điều kiện khác cũng sẽ xảy ra Chẳng hạn, mệnh

đề ―Nếu một hàm số có đạo hàm tại một điểm thì liên tục tại điểm đó‖ là một quy

tắc Một kết quả là một quan sát cụ thể, tương tự một trường hợp, nhưng đề cập

đến một điều kiện, điều kiện này phụ thuộc vào một điều kiện khác được liên kết với nó bởi một quy tắc Ví dụ, ―hàm số y x liên tục tại x 1 là một kết quả‖

Ta có thể phân biệt cấu trúc dạng tam đoạn luận của các kiểu suy luận suy

diễn, quy nạp và ngoại suy dựa vào ba yếu tố đặc trưng là trường hợp, kết quả và

quy tắc như sau:

―retroduction‖ Đến 1903, Peirce lại mô tả ngoại suy bằng phép tam đoạn luận, ngoại suy ở đây được dùng để giải thích các vấn đề quan sát ngẫu nhiên:

Vấn đề C được quan sát ngẫu nhiên

Nếu A đúng thì C là một vấn đề hiển nhiên

∴ Từ đây, có lý do để nghi ngờ C đúng (Peirce, 1960, [36])

Như vậy, đối với Peirce ngoại suy được đề cập để giải thích các quan sát ngẫu nhiên Từ quan sát thực tế có một quy tắc nào đó làm cho giả thiết ban đầu trở nên hợp lý hơn Kết luận của giả thuyết này tuy có vẻ hợp lý nhưng không chắc chắn có thể xác minh hoặc bác bỏ Dựa trên phát biểu của Peirce (1878, [35])

về ngoại suy, Eco (1983, [12]) chỉ ra rằng quy tắc trong phép tam đoạn luận về ngoại suy của Peirce không nhất thiết phải luôn luôn rõ ràng và có sẵn Eco (1983, [12]) mô tả ngoại suy như là việc tìm kiếm một quy tắc tổng quát mà từ đó một trường hợp cụ thể sẽ tuân theo Eco phân biệt ba dạng ngoại suy như sau:

 Ngoại suy đã mã hoá (overcoded abduction): xảy ra khi người lập

luận nhận thức được chỉ có một quy tắc cho phép giải thích kết quả quan sát được, giống như quan niệm của Pierce (1878, [35])

 Ngoại suy chƣa mã hoá (undercoded abduction): xảy ra khi có nhiều

quy tắc có thể giải thích cho kết quả quan sát được, trong đó người lập luận phải chọn ra một quy tắc phù hợp

 Ngoại suy sáng tạo (creative abdution): xảy ra khi người lập luận

chưa biết một quy tắc nào để giải thích cho kết quả quan sát được, và người lập luận phải tìm ra một quy tắc mới để giải thích cho kết quả đó

1.3.2 Ngoại suy và chứng minh trong giáo dục toán

Theo Pedemonte (2007, [30]), chứng minh trong toán học thường là suy diễn, nhưng quá trình phát hiện và đưa ra các phỏng đoán thường là các lập luận ngoại suy Khi học sinh tham gia vào quá trình chứng minh toán học, họ thường đến với một ý tưởng Phân tích những gì mà học sinh thực hiện trong quá trình chứng minh thông thường là đề cập đến các ngoại suy

Ngoại suy đã được xem xét trong mối quan hệ với các hoạt động toán học nói chung trong một số nghiên cứu như Krummheuer, 2007, [21]; Mason,1996, [25]) Ngoại suy cũng được xem xét trong mối quan hệ với chứng minh toán học trong các nghiên cứu về giáo dục toán như Arzarello et al 1998a, [5]; Arzarello et

al 1998b, [6]; Knipping, 2003a, [18]; Knipping, 2003b, [19]; Pedemonte, 2007, [30]; Pedemonte, 2008, [31]) Trong các nghiên cứu này, ngoại suy đóng vai trò quan trọng trong mối quan hệ biện chứng giữa việc phỏng đoán một giả thuyết và chứng minh một kết quả: ngoại suy hỗ trợ việc chuyển đổi từ quá trình lập luận sang các phương thức chứng minh Chẳng hạn, khi giải quyết bài toán kết thúc mở trong hình học, một số học sinh đã không xây dựng được chứng minh suy diễn vì không thể chuyển các lập luận ngoại suy thành các lập luận suy diễn trong chứng minh (Petemonte, 2007, [30]) Điều này cho thấy ngoại suy gây trở ngại cho các học sinh khi họ phải xây dựng một chứng minh suy diễn Tuy nhiên, trong các bài toán về đại số (Pedemonte, 2008, [31]), ngoại suy lại hỗ trợ cho học sinh trong quá trình chứng minh, học sinh không phải gặp một trở ngại nào trong quá trình xây dựng chứng minh vì quá trình chứng minh một bài toán trong đại số bao gồm các thao tác chuyển đổi một công thức từ các công thức đã biết trước Một nghiên cứu về các dạng ngoại suy khác nhau được học sinh sử dụng trong quá trình

chứng minh (Pedemonte và Reid, 2010, [32]) cho rằng việc xây dựng chứng minh

sẽ dễ dàng hơn đối với học sinh nếu lập luận ngoại suy được học sinh sử dụng là dạng ngoại suy đã mã hoá Ngược lại dạng ngoại suy chưa mã hóa hoặc ngoại suy sáng tạo thường gây trở ngại cho học sinh trong quá trình chứng minh vì rất nhiều

dữ liệu tham gia vào quá trình lập luận, dễ gây nhầm lẫn và làm rối loạn tư duy của học sinh Dựa vào các dạng ngoại suy được học sinh sử dụng trong quá trình chứng minh, nghiên cứu này cũng đã trình bày được các khó khăn của học sinh cả trong lập luận khi có ngoại suy xảy ra và sau khi xây dựng được chứng minh

Như vậy, lập luận ngoại suy là một lập luận quan trọng tham gia vào quá trình phân tích giả thiết và đưa ra các ý tưởng mới nhằm hỗ trợ cho việc xây dựng chứng minh toán học Một số dạng ngoại suy có thể giúp học sinh xây dựng chứng minh dễ dàng bởi vì chúng hỗ trợ trong việc tìm và chọn một định lý hoặc những

lý thuyết cần thiết để đi tới chứng minh nhưng một số ngoại suy khác lại cản trở, gây khó khăn cho học sinh trong việc xây dựng chứng minh Điều này có ý nghĩa thiết thực đối với việc dạy và học chứng minh Bởi lẽ, ngoại suy cung cấp cái nhìn sâu sắc trong việc thu hẹp khoảng cách giữa việc tạo ra giả thuyết để đi đến chứng minh cho cả học sinh và giáo viên Do đó, việc phát triển cho học sinh các lập luận ngoại suy trong quá trình chứng minh toán là điều cần thiết

1.4 Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh

1.4.1 Các khía cạnh chung giữa lập luận và chứng minh

Trong toán học, lập luận và chứng minh được mô tả qua bốn đặc điểm chức năng cho phép giải thích các khía cạnh chung của hai khái niệm này:

 Lập luận và chứng minh trong toán học được xem như là một sự biện minh hợp lý Đặc điểm biện minh này có thể nhìn thấy trong quá trình lập luận để tạo ra một phát biểu từ một hoặc nhiều phát biểu cho trước (Duval, 1995, [11])

 Lập luận và chứng minh trong toán học là để thuyết phục Theo một quan điểm nhận thức, lập luận và chứng minh trong toán học được phát triển khi một người nào đó muốn thuyết phục bản thân mình hoặc một người khác về

sự thật của một phát biểu (Chazan, 1993, [9]; De Villiers, 1990, [10]; Hanna, 1989, [14]; Healy và Hoyles, 2000, [16]; Lakatos, 1976, [22])

 Lập luận và chứng minh trong toán học được giải quyết cho một đối tượng phổ thông Đối tượng ở đây có thể là: một cộng đồng toán học, một lớp học, giáo viên hoặc chính bản thân mình

 Lập luận và chứng minh trong toán phụ thuộc vào lĩnh vực: đại số, hình

học, giải tích …

Ngoài các khía cạnh chung được đề cập ở trên, mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh đã được các nhà giáo dục toán học nghiên cứu và phân tích theo các quan điểm khác nhau với nhiều mục đích giáo dục khác nhau

1.4.2 Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh trong các nghiên cứu giáo dục toán

Theo quan điểm xã hội và nhận thức luận (Balacheff, 1988, [7]) không thể đồng nhất lập luận và chứng minh Theo quan điểm nhận thức và ngôn ngữ (Duval,

1995, [11]), sự khác biệt giữa lập luận và chứng minh cũng được nhấn mạnh Khi nghiên cứu mối quan hệ cá nhân với chứng minh toán học như một chuỗi lôgic các bước suy luận Duval cho rằng có một ― khoảng cách về mặt cấu trúc‖ giữa lập luận

và chứng minh ngay cả khi chúng sử dụng các dạng kí hiệu giống nhau và cách kết nối các mệnh đề tương tự nhau Cấu trúc của một chứng minh có thể được mô tả bởi một sơ đồ bậc ba: dữ liệu, phát biểu, quy tắc suy luận (tiên đề, định lý, định nghĩa)

và các bước trong chứng minh liên kết với nhau bởi một ―quá trình lặp chu kỳ‖, tức

là kết luận của một bước được xem như là điều kiện cho bước tiếp theo Trong khi

đó, quá trình lập luận chỉ đưa ra các suy luận dựa trên nội dung Kết quả của nghiên cứu này hỗ trợ các quy tắc dạy học đặc biệt, dựa trên các đồ thị mệnh đề, để xây dựng một bước suy luận

Theo quan điểm sư phạm, chứng minh toán học là một sản phẩm phải phù hợp với một mô hình cho trước, nhưng quan trọng là các yếu tố nội dung được học sinh đưa vào trong quá trình xây dựng chứng minh Mối quan hệ giữa học sinh và chứng minh được liên kết bởi các lập luận, không phải bởi một mô hình chính thức

Từ một quan điểm toán học, Thurston (1994, [39]) ủng hộ mô hình suy diễn trong

chứng minh Theo Thurston, quá trình chứng minh dựa trên các tiêu chuẩn nội dung chứ không phải dựa trên tiêu chuẩn hình thức Nhiều ví dụ về tính liên tục đã được quan sát trong mối quan hệ giữa một bên là các đối tượng phỏng đoán, xác định giả thuyết hoặc đưa ra phỏng đoán mới, một bên là thực hiện thử nghiệm để đưa ra phát biểu (Lakatos, 1976, [22]; Thurston, 1994, [39])

Các nghiên cứu ở Ý (Boero, Garuti, Mariotti, 1996, [8]) tập trung nhấn mạnh tính liên tục tồn tại giữa quá trình lập luận đi đến các giả thuyết và việc thiết lập một

chứng minh Tính liên tục này gọi là tính thống nhất nhận thức Trong quá trình giải

quyết bài toán, một giả thuyết cần được tạo ra trong lập luận Theo giả thuyết về tính thống nhất nhận thức, trong một số trường hợp, lập luận này có thể được các học sinh sắp xếp lại thành một chuỗi lôgic để xây dựng một chứng minh Các nghiên cứu thực nghiệm liên quan đến tính thống nhất nhận thức (Boero, Garuti v.v., 1996, [8]) đã chỉ ra rằng, việc chứng minh sẽ dễ dàng hơn đối với học sinh nếu các hoạt động lập luận dẫn tới việc xây dựng một giả thuyết mà từ đó có thể xây dựng được chứng minh từ các lập luận

Một số nghiên cứu thực nghiệm lại chỉ ra rằng một số sinh viên không thể xây dựng được một chứng minh, ngay cả khi họ biết các định lý để xây dựng nó Thực tế này không phù hợp với giả thuyết thông nhất nhận thức (học sinh có thể thực hiện liên tiếp giữa quá trình tạo ra các giả thuyết và quá trình xây dựng chứng minh) Phân tích này chỉ ra rằng, không phải mọi trường hợp đều phù hợp với giả thuyết về tính thống nhất nhận thức (Pedemonte, 2001, [27]; Pedemonte, 2002, [28]) Nghiên cứu tính thống nhất nhận thức là không đủ để giải thích cho trường hợp một số sinh viên không có khả năng xây dựng các chứng minh Như vậy, các nghiên cứu về tính thống nhất nhận thức mà không liên quan đến tính liên tục giữa lập luận và chứng minh không chỉ quan trọng để làm rõ các loại liên tục được so sánh mà nó còn rất hữu ích trong việc tìm một công cụ để phân tích mối quan hệ nhận thức giữa lập luận và chứng minh (Pedemonte, 2005, [29])

Để làm rõ hơn sự khác nhau giữa các kết quả nghiên cứu, Petemonte (2002, [28]; Pedemonte, 2008, [31]) đã so sánh lập luận và chứng minh theo hai quan điểm: hệ thống tham chiếu và cấu trúc

Hệ thống tham chiếu được tạo thành từ hệ thống biểu đạt (ngôn ngữ, hình vẽ, heuristic…) và hệ thống các kiến thức (khái niệm, định lý) của lập luận và chứng minh Việc phân tích tính thống nhất nhận thức được dựa vào hệ thống tham chiếu Chẳng hạn, có tính liên tục trong hệ thống tham chiếu nếu một số từ ngữ, hình vẽ, định lý được sử dụng trong chứng minh đã được sử dụng trong quá trình lập luận hỗ trợ cho việc hình thành giả thuyết Ngược lại nếu lập luận và chứng minh được xây dựng từ các yếu tố trong các lĩnh vực toán học khác nhau (chẳng hạn lập luận trong

số học và chứng minh trong đại số) thì ta nói có sự gián đoạn giữa lập luận và chứng minh theo hệ thống tham chiếu

Cấu trúc là sự kết nối lôgic nhận thức giữa các phát biểu (ngoại suy, quy nạp

và suy diễn) Nó bao gồm các khái niệm về sự liên tục/ gián đoạn cấu trúc giữa lập luận và chứng minh Trong nghiên cứu của Petemonte (2007, [30]), khi giải các bài toán kết thúc mở trong hình học, nhiều học sinh đã không xây dựng được các chứng minh bởi vì không thể chuyển đổi cấu trúc ngoại suy trong lập luận thành cấu trúc suy diễn trong chứng minh, một số học sinh đã xây dựng luôn chứng minh ―ngoại suy‖ bắt đầu từ các lập luận ngoại suy

Tuy nhiên, theo Petemonte (2008, [31]), tính liên tục/gián đoạn cấu trúc giữa lập luận và chứng minh không phải khi nào cũng gây khó khăn cho học sinh Thật vậy, khi chứng minh các bài toán kết thúc mở trong đại số, mặc dù học sinh đưa ra lập luận ngoại suy trong quá trình lập luận đi đến giả thuyết nhưng chúng không sử dụng chúng trong quá trình xây dựng chứng minh, bởi lẽ cấu trúc suy diễn trong chứng minh rất rõ ràng Trong các trường hợp đặc biệt, lập luận ngoại suy hữu ích trong xây dựng chứng minh vì chúng hỗ trợ cho tính liên tục giữa lập luận và chứng minh trong hệ thống tham chiếu

Nghiên cứu trong lĩnh vực hình học nhằm phân tích mối quan hệ giữa lập luận quy nạp và chứng minh quy nạp toán học, Petemonte (2007, [30]) đã chỉ ra rằng việc xây dựng các chứng minh quy nạp tuỳ thuộc vào dạng khái quát đã sử dụng trong lập luận quy nạp Một số học sinh chỉ xây dựng được chứng minh quy nạp toán học chỉ khi chúng sử dụng quá trình khái quát để tìm ra giải pháp xây dựng bài toán chứng minh quy nạp toán học

Phân tích tính liên tục nhận thức về mối quan hệ giữa quá trình lập luận quy nạp trong số học và chứng minh suy diễn trong đại số (Martinez và Petemonte,

2014, [24]) chỉ ra rằng học sinh gặp trở ngại trọng việc chuyển đổi từ một lập luận trong số học thành lập luận trong đại số và chuyển một lập luận quy nạp thành chứng minh suy diễn Học sinh chỉ xây dựng được chứng minh quy nạp toán học khi chúng sử dụng quá trình khái quát để tìm ra giải pháp xây dựng bài toán chứng minh quy nạp toán học Đặc biệt, quá trình khái quát thực hiện được cả trong số học

và đại số đã rút ngắn khoảng cách nhận thức giữa lập luận và chứng minh trong hệ thống tham chiếu

Như vậy, trong các nghiên cứu giáo dục toán, mối liên hệ giữa lập luận và chứng minh đã được làm rõ hơn dựa trên nội dung của giả thuyết thống nhất nhận thức và cấu trúc giữa lập luận và chứng minh thể hiện trên nội dung của hệ thống tham chiếu và cấu trúc giữa chúng

1.5 Kết luận chương 1

Trong chương 1, chúng tôi đã làm rõ khái niệm lập luận (suy diễn, ngoại suy

và quy nạp) và chứng minh trong toán học, mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh trong các nghiên cứu giáo dục toán Đặc biệt, chúng tôi đã phân tích làm rõ các dạng ngoại suy khác nhau dựa trên các nghiên cứu của Peirce và Eco

Có thể nói, quá trình lập luận và chứng minh toán học liên kết với nhau một cách chặt chẽ Lập luận và chứng minh trong toán học đều là phương tiện thuyết phục một đối tượng nào đó về phát biểu đưa ra Tuy trong quá trình lập luận, phát biểu đưa ra có thể bị bác bỏ nhưng quá trình chứng minh trong toán không thể thiếu

sự lập luận Đặc biệt là lập luận ngoại suy, nó không những tham gia vào quá trình phân tích các giả thiết mà còn đưa ra các ý tưởng mới hỗ trợ cho việc xây dựng các chứng minh trong mọi lĩnh vực toán học Với các dạng ngoại suy khác nhau, học sinh lại đưa ra các ý tưởng khác nhau trong quá trình lập luận Và quan trọng hơn nữa là giữa lập luận và chứng minh còn có mối liên hệ về mặt cấu trúc nhận thức Cấu trúc nhận thức ở đây được thể hiện trên các khái niệm về tính liên tục/ gián đoạn cấu trúc giữa lập luận và chứng minh Vậy, làm thế nào để phân tích cấu trúc lập luận và chứng minh của học sinh? Mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận

và chứng minh của học sinh được phân tích và làm sáng tỏ như thế nào? Trong

chương 2, chúng tôi sẽ trình bày mô hình Toulmin như một cơ sở lý thuyết và một công cụ phương pháp luận cho phép phân tích và làm sáng tỏ các vấn đề liên quan đến cấu trúc lập luận của học sinh

Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Mô hình Toulmin

2.1.1 Cấu trúc của lập luận theo mô hình Toulmin

Lý thuyết tam đoạn luận của Aristotle là lý thuyết đầu tiên mô tả mô hình cấu trúc của lập luận Cấu trúc này bao gồm: tiên đề lớn, tiên đề nhỏ và kết luận Theo Platin, tam đoạn luận không khám phá được kiến thức mới vì kết luận của nó chứa trong các tiên đề Dựa trên tam đoạn luận của Aristotle, Toulmin (1958, [40])

đề xuất một mô hình cấu trúc lập luận dạng đơn giản gọi là mô hình Toulmin cơ bản Trong mô hình Toulmin cơ bản, một lập luận bao gồm ba yếu tố:

 C (Claim): phát biểu kết luận

 D (Data): dữ liệu để biện minh cho phát biểu C

 W (warrant): quy tắc suy luận (nguyên lý, định lý …) cho phép kết nối các dữ liệu D để biện minh cho phát biểu C

Cấu trúc cơ bản của một lập luận được trình bày như hình 2.1:

Hình 2.1: Mô hình Toulmin cơ bản của một lập luận

Có thể nói, bất kì bước đầu tiên nào của một lập luận cũng được trình bày bởi một quan điểm (một khẳng định, một ý kiến) Toulmin gọi các quan điểm đó là các phát biểu Hay nói cách khác đó là kết luận, là mục tiêu của lập luận Bước thứ hai là tìm các dữ liệu D để hỗ trợ cho phát biểu C Các dữ liệu ở đây có thể là các bằng chứng, sự kiện, thông tin, ví dụ… Còn W cung cấp các quy tắc hỗ trợ cho việc thuyết phục, biện minh cho mối liên hệ giữa D và C W ở đây có thể được trình bày bởi một nguyên lý, hoặc một quy tắc, hoặc một định lý hoạt động như cầu nối giữa

D và C

Tuy nhiên, các dữ liệu và quy tắc suy luận nhiều lúc không cho phép chúng

ta chắc chắn tuyệt đối về kết luận vì vậy ba yếu tố tiếp theo là B (Backing), Q

(qualifier), Re (rebuttal) được đề cập để đưa vào mô hình Toulmin như hình 2.2, gọi

là mô hình Toulmin dạng đầy đủ:

 B (Backing): hỗ trợ thêm cho các quy tắc

 Q (qualifier): bày tỏ mức độ tin cậy đối với phát biểu đưa ra Các trạng từ thường dùng là: ―đúng‖, ―có lẽ đúng‖, ―có khả năng‖…

 Re (rebuttal): các điều kiện ngoại lệ của phát biểu hay đưa ra điều kiện để bác bỏ phát biểu

Tính chắc chắn của W sẽ giảm nếu có một trường hợp nào đó ngoại lệ: trong trường hợp này điều kiện của ngoại lệ hay sự bác bỏ cần được đưa vào Q cũng ảnh hưởng đến tính chắc chắn của phát biểu B là cần thiết nếu như quy tắc suy luận đưa

ra chưa đủ thuyết phục hoặc làm rõ thêm cho quy tắc suy luận được đưa ra

Mô hình Toulmin đầy đủ của một lập luận được trình bày như hình 2.2:

Hình 2.2: Mô hình Toulmin đầy đủ của một lập luận 2.1.2 Mô hình Toulmin trong các nghiên cứu giáo dục toán về lập luận và chứng minh

Trong các tài liệu về giáo dục, mô hình Toulmin đã được các nhà nghiên cứu

sử dụng để phân tích và so sánh nhiều khía cạnh khác nhau liên quan đến lập luận

và chứng minh toán học

Mô hình Toulmin được sử dụng để phân tích và ghi lại quá trình học tập trong lớp học của học sinh (Krummehuer, 1995, [20]) Mô hình Toulmin được dùng như là một công cụ tạo ra ngữ cảnh cho các hoạt động lập luận trong lớp (Wood,

1999, [42])

Re: Rebuttal Q: Qualifier

B: Backing W: Warrant

C: Claim D: Data

Theo lý thuyết ngôn ngữ học (Plantin, 1990, [37]) chứng minh là một tập hợp các luận cứ hợp lý được diễn tả như lập luận, những lập luận này cũng được phân tích và so sánh bằng mô hình Toulmin

Mô hình Toulmin cũng được sử dụng bởi nhiều nhà nghiên cứu trong giáo dục toán học (Inglis, Mejia-Ramos, và Simpson, 2007, [17]; Lavy, 2006, [23]) để kiểm tra các lập luận toán học của học sinh Mô hình Toulmin trong các nghiên cứu của Paolo Boero, Nadia Douek, Francesca Morselli, và Bettina Pedemonte (2010, [26])… cũng có ý nghĩa quan trọng trong việc so sánh các lập luận của học sinh và các chứng minh của họ từ quan điểm cấu trúc và nhận thức (Pedemonte 2005, [29]; Pedemonte, 2007, [30]; Pedemonte, 2008, [31]; Pedemonte, 2010, [32]; Pedemonte,

2014, [24]) So sánh này dựa trên giả thuyết chứng minh là một lập luận đặc biệt trong toán học

Có thể nói, mô hình Toulmin là một công cụ phương pháp luận trong các nghiên cứu về lập luận và chứng minh, đặc biệt là để phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh trong những năm gần đây Trong nghiên cứu này, chúng tôi chỉ sử dụng mô hình Toulmin cơ bản để phân tích cấu trúc của các bước lập luận và cấu trúc của các bước chứng minh

2.2 Phân tích quá trình lập luận và chứng minh dựa trên mô hình Toulmin 2.2.1 Tính thống nhất nhận thức giữa quá trình lập luận và chứng minh

Nhận thức là quá trình biện chứng của sự phản ánh thế giới khách quan trong

ý thức con người, nhờ đó con người tư duy và không ngừng tiến đến gần khách thể Tính thống nhất nhận thức được các nhà nghiện cứu ở Ý (Boero, Garuti, Mariotti,

1996, [8]) định nghĩa dựa trên sự liên tục tồn tại giữa quá trình tạo ra một phỏng đoán và quá trình xây dựng một chứng minh Đó là trong quá trình giải quyết một bài toán, một hoạt động tranh luận thường được phát triển để tạo ra các phỏng đoán Giả thuyết về tính thống nhất nhận thức là học sinh có thể biện minh tính hợp lý của các giả thuyết để tạo ra các lập luận và sau đó, sắp xếp, tổ chức các lập luận này thành một chuỗi lôgic trong quá trình xây dựng chứng minh

Theo Pedemonte (2002, [28]) có thể nhận ra tính thống nhất nhận thức (tính liên tục) tồn tại giữa quá trình tạo ra phỏng đoán và quá trình xây dựng chứng minh

dựa trên hệ thống tham chiếu Nó bao gồm: hệ thống biểu đạt (ngôn ngữ, hình vẽ, heuristic …) và hệ thống kiến thức (các khái niệm và các định lý)

 Đối với hệ thống biểu đạt: tính liện tục giữa quá trình tạo ra một phỏng đoán

và quá trình xây dựng một chứng minh xảy ra nếu các từ, cụm từ, câu, các hình vẽ, các biểu thức đại số … đã sử dụng trong quá trình tạo ra phỏng đoán

được sử dụng lại trong quá trình xây dựng chứng minh

 Đối với hệ thống kiến thức: tính liên tục giữa quá trình tạo ra phỏng đoán và quá trình xây dựng chứng minh xảy ra nếu các khái niệm, các định lý đã sử dụng trong quá trình lập luận cho phỏng đoán đã đưa ra được sử dụng lại

trong quá trình xây dựng chứng minh

Theo Pedemonte (2002, [28]) quá trình giải quyết một bài toán hình học (có đưa ra các giả thuyết) thường bao gồm 4 giai đoạn:

1 Giai đoạn lập luận để tạo ra phỏng đoán (giả thuyết)

2 Giai đoạn ổn định quá trình xây dựng giả thuyết

3 Giai đoạn xây dựng chứng minh

4 Giai đoạn ổn định và trình bày chứng minh

Như vậy, tính thống nhất nhận thức được định nghĩa giữa giai đoạn 1 và giai đoạn 3 Nhưng trong quá trình giải quyết bài toán sự tách biệt giữa các giai đoạn không phải luôn luôn rõ ràng, bởi vì các lý do sau:

 Giai đoạn tạo ra phỏng đoán nhiều khi cũng tham gia vào việc biện minh tính hợp lý của nó

 Quá trình tạo ra phỏng đoán xảy ra nhưng không thể biện minh được tính hợp lý của nó

 Các phỏng đoán dùng để xây dựng chứng minh có thể được lấy trực tiếp

từ các lập luận tạo ra giả thuyết

Do đó, tính thống nhất nhận thức được nghiên cứu trực tiếp giữa quá trình lập luận và chứng minh Tính thống nhất nhận thức đã được phát triển để giải thích

và dự đoán những khó khăn của học sinh khi họ tiếp cận với chứng minh Tuy nhiên trong quá trình thực nghiệm, nhóm nghiên cứu ở Ý (Garuti, Boero và Lemut, 1998,

[13]) đã phát hiện một sự khác biệt khác giữa quá trình lập luận và chứng minh Sự khác biệt này được định nghĩa là ―khoảng cách‖ giữa lập luận và chứng minh

2.2.2 Khoảng cách giữa quá trình lập luận và chứng minh

Khoảng cách giữa quá trình lập luận và chứng minh là khoảng cách giữa việc tạo ra lập luận hợp lý cho giả thuyết và lập luận được xây dựng trong quá trình chứng minh Khoảng cách giữa lập luận và chứng minh càng lớn thì càng gây khó khăn cho học sinh trong quá trình chứng minh (Garuti, Boero và Lemut, 1998, [13] Pedemonte, 2002, [28]) Để xác định những thách thức mà học sinh gặp phải, Pedemonte (2002, [28]) đã nghiên cứu các dạng khoảng cách dựa trên các khía cạnh:

 Khoảng cách về văn hoá: xác định thông qua các đối tượng không tham gia vào quá trình chứng minh, hoặc các đối tượng không hiểu rõ sự hữu ích, vai trò của chứng minh

 Khoảng cách trong hệ thống tham chiếu: khoảng cách này được chỉ ra khi tính liên tục (tính thống nhất nhận thức) giữa lập luận và chứng minh không xảy ra hay còn được gọi là ―ngắt quãng nhận thức‖

 Khoảng cách về cấu trúc: thể hiện trên cấu trúc của lập luận, cấu trúc của chứng minh, mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh

Trong phạm vi nghiên cứu này, chúng tôi chỉ tập trung phân tích khía cạnh cấu trúc của quá trình lập luận và chứng minh của học sinh dựa trên mô hình Toulmin

2.2.3 Phân tích cấu trúc giữa lập luận và chứng minh dựa trên mô hình Toulmin

Theo Pedemonte (2007, [31]), sự kết nối lôgic giữa các phát biểu trong lập luận khác với sự kết nối trong chứng minh Mỗi bước trong chứng minh có thể được

mô tả như là một bước suy luận suy diễn Nhưng cấu trúc lập luận không phải chỉ

có cấu trúc suy diễn, mà nó còn bao gồm các bước khác nhau về bản chất: đó là các bước ngoại suy hoặc các bước quy nạp Để phân tích làm rõ cấu trúc của lập luận và chứng minh, chúng tôi sử dụng mô hình Toulmin cơ bản cho mỗi lập luận (hình 2.1)

Từ mô hình Toulmin cơ bản, ta có thể phân biệt và làm rõ cấu trúc của các kiểu suy luận suy diễn, quy nạp và ngoại suy như dưới đây

2.2.3.1 Cấu trúc của suy diễn, ngoại suy, quy nạp dựa trên mô hình Toulmin

Việc so sánh cấu trúc của lập luận và cấu trúc của chứng minh có thể được thực hiện trực tiếp từ mô hình Toulmin Mô hình này cho phép chúng ta xác định các cấu trúc đó

 Một bước suy diễn được trình bày trong mô hình Toulmin có cấu trúc như hình 2.3:

Hình 2.4: Mô hình Toulmin của một bước LL ngoại suy

Dấu hỏi ở trên có nghĩa là dữ liệu sẽ được tìm kiếm để có thể áp dụng quy tắc suy luận biện minh cho phát biểu B Mũi tên luôn hướng về kết luận vì kết luận

là đối tượng mà ta cần phải đi tìm các dữ liệu và quy tắc suy luận phù hợp để biện minh cho nó

W : AB

C : B

D : ?

Quá trình quy nạp khác với suy diễn và ngoại suy Nó được xây dựng bằng việc khái quát hoá (KQH) các phát biểu hoặc bằng các lập luận đã được quan sát hay nghiên cứu Hai quá trình quy nạp (Harel, 2001, [15]) được phân tích trên mô hình Toulmin là:

 khái quát hoá kết quả

 khái quát hoá quá trình

 Khái quát hoá kết quả được trình bày trong mô hình Toulmin có cấu trúc như hình 2.5:

Hình 2.5: Mô hình Toulmin của một LL quy nạp bằng KQH kết quả

Khái quát hoá kết quả chú ý đến tính quy tắc ở các kết quả có được trước

đó : E1, E2, …, En Ở đây C là phát biểu khái quát từ các kết quả E1, E2, …,

En

 Khái quát hoá quá trình được trình bày trong mô hình Toulmin có cấu trúc như hình 2.6:

Hình 2.6: Mô hình Toulmin của một LL quy nạp bằng

khái quát hoá quá trình

Khái quát hoá quá trình chú ý đến tính quy tắc ở các quá trình lập luận trước đó E E1, 1E E2, 2 E3, Ở đây C là phát biểu khái quát các quá trình lập luận E E1, 1E E2, 2E3,

W: Khái quát hóa quá trình (Process pattern generalisation)

C: Phát biểu (statement) D: E1, E1→ E2, E2→E3, ,

W: Khái quát hóa kết quả (Result pattern generalisation)

C: Phát biểu (statement) D: E1, E2, , En

2.2.3.2 Phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh

Phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh là phân tích sự kết nối lôgic nhận thức giữa các phát biểu (ngoại suy, quy nạp và suy diễn)

Nó bao gồm các khái niệm về tính liên tục cấu trúc và tính gián đoạn cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh

 Ta nói rằng tính liên tục cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh xảy ra nếu các bước trong quá trình lập luận có cùng cấu trúc (suy diễn, ngoại suy hoặc quy nạp) với các bước trong chứng minh

 Ngược lại, tính gián đoạn cấu trúc giữa lập luận và chứng minh xảy ra nếu các bước trong quá trình lập luận và các bước trong chứng minh

Quy nạp Quy nạp toán học Liên tục cấu trúc

Kiểu khác Gián đoạn cấu trúc

2.3 Mô hình Toulmin và phân tích quá trình ngoại suy

Như đã trình bày ở các phần trước, lập luận ngoại suy tham gia vào quá trình hình thành giả thuyết và tạo ra các ý tưởng mới trong các hoạt động chứng minh toán học của học sinh Dựa trên các nghiên cứu của Peirce và Eco về ngoại suy,

Pedemonte (2010, [24]) đã phân tích và so sánh các dạng ngoại suy khác nhau được học sinh sử dụng trong quá trình lập luận để xây dựng chứng minh Pedemonte chỉ

ra rằng, một số dạng ngoại suy giúp học sinh xây dựng chứng minh một cách dễ dàng nhưng cũng có một số dạng ngoại suy khác lại gây khó khăn, thách thức cho học sinh trong quá trình xây dựng chứng minh

Các dạng ngoại suy được Pedemonte phân tích dựa trên các nghiên cứu của Peirce và Eco là: ngoại suy chưa mã hoá (undercoded abduction), ngoại suy đã mã hoá (overcoded abduction) và ngoại suy sáng tạo (creative abduction) Pedemonte quan sát các dạng ngoại suy trong các hoạt động toán học của học sinh và việc phân tích các dạng ngoại suy được thực hiện trên mô hình Toulmin cơ bản (hình 2.1)

2.3.1 Đối với ngoại suy đã mã hoá

Trong ngoại suy đã mã hoá, quy tắc suy luận phù hợp nhất đã được lựa chọn Học sinh chỉ có nhiệm vụ phân tích giả thiết, tìm ra các dữ liệu phù hợp để xây dựng chứng minh

Mô hình Toulmin của lập luận ngoại suy đã mã hoá có cấu trúc như hình 2.7:

Hình 2.7: Mô hình Toulmin của một LL ngoại suy đã mã hoá

Như vậy, các lập luận liên quan đến ngoại suy đã mã hoá làm cho học sinh

dễ xây dựng chứng minh suy diễn hơn, vì các định lý (quy tắc) sử dụng trong lập

luận là đủ để giải quyết bài toán Nếu quy tắc tồn tại như một định lý, tất cả các yếu

tố để xây dựng chứng minh đều có mặt Theo nguyên lý về sự thống nhất nhận thức các lập luận trước đó được học sinh sử dụng để xây dựng chứng minh nếu họ có thể sắp xếp các lập luận thành một chuỗi logic

Tuy nhiên vẫn có một hạn chế trong trường hợp này: nếu định lý không đủ

để thực hiện chứng minh, học sinh có thể thay đổi chiến lược giải quyết bài toán Điều này có thể gây khó khăn cho học sinh khi không biết đến các quy tắc phù hợp

để xây dựng chứng minh, lúc này các ngoại suy đã mã hoá có thể là một trở ngại

trong việc xây dựng chứng minh của học sinh

2.3.2 Đối với ngoại suy chƣa mã hoá

Trong ngoại suy chưa mã hoá một vài quy tắc có vẻ hợp lý được đưa ra Học sinh có nhiệm vụ chọn trong số đó một quy tắc đúng và phù hợp nhất để xây dựng chứng minh

Mô hình Toulmin của LL ngoại suy chưa mã hoá có cấu trúc như hình 2.8 :

Hình 2.8: Mô hình Toulmin của một LL ngoại suy chưa mã hoá

Như vậy, đối với ngoại suy chưa mã hoá, học sinh phải lựa chọn một quy tắc phù hợp và đúng nhất để xây dựng chứng minh Điều này có khi sẽ gây khó khăn cho học sinh nếu các dữ liệu cung cấp không đủ cho việc xây dựng chứng minh thì học sinh có thể chọn một quy tắc khác và dẫn đến việc HS không biết quy tắc nào là phù hợp để xây dựng chứng minh

2.3.3 Đối với ngoại suy sáng tạo

Trong ngoại suy sáng tạo, học sinh chưa có sẵn một quy tắc nào để xây dựng một chứng minh Vì vậy, học sinh phải tìm kiếm và tạo ra một quy tắc mới trong quá trình xây dựng chứng minh

Mô hình Toulmin của lập luận ngoại suy sáng tạo có cấu trúc như hình 2.9:

Hình 2.9: Mô hình Toulmin của một LL ngoại suy sáng tạo

Như vậy, ngoại suy sáng tạo có lẽ là một dạng ngoại suy khó nhất làm cơ sở cho một chứng minh suy diễn bởi vì cần phải kiểm tra rất nhiều để khẳng định rằng

quy tắc được tạo ra là một định lý đúng và hữu ích Có thể xảy ra trường hợp quy tắc tạo ra là sai Từ đó, dẫn đến việc học sinh xây dựng một chứng minh sai

Kết luận :

Trong ba dạng ngoại suy được sử dụng để phân tích các hoạt động toán học

mà học sinh sử dụng trong quá trình chứng minh, việc xây dựng một chứng minh dường như dễ dàng hơn đối với học sinh khi ngoại suy được sử dụng trong quá trình lập luận là ngoại suy đã mã hoá, bởi vì học sinh chỉ cần tìm kiếm và liên kết các dữ liệu một cách phù hợp từ các dữ liệu đã có của bài toán Ngược lại, ngoại suy sáng tạo và ngoại suy chưa mã hoá đòi hỏi học sinh phải tìm kiếm rất nhiều thông tin để tham gia trong quá trình lập luận nên rất dễ gây nhầm lẫn và làm rối loạn tư duy của học sinh Đặc biệt là ngoại suy sáng tạo, quy tắc được học sinh tạo ra trong lập luận ngoại suy sáng tạo ít nhất phải được chứng minh (hoặc hợp thức) trong quá trình lập luận Mặt khác nếu quy tắc được các học sinh tạo ra là sai, thì sẽ dẫn đến một chứng minh sai Như vậy, sự liên kết giữa việc tạo ra ngoại suy trong lập luận và xây dựng chứng minh suy diễn không dễ dàng đối với học sinh Một số dạng ngoại suy có thể

là ít gây khó khăn, giúp cho học sinh dễ dàng xây dựng chứng minh Tuy nhiên một

số ngoại suy khác lại gây khó khăn cho học sinh Điều này cho thấy phương pháp giảng dạy và vai trò của giáo viên có liên quan đến khả năng lập luận để các ngoại suy tạo ra không trở thành chướng ngại đối với học sinh trong quá trình xây dựng chứng minh

2.4 Vai trò của giáo viên trong quá trình lập luận của học sinh

Phân tích mối quan hệ về cấu trúc giữa lập luận và chứng minh có vai trò quan trọng trong việc phát hiện và đánh giá những khó khăn của học sinh trong quá

trình lập luận, cũng như các thách thức mà học sinh gặp phải trong việc chuyển đổi

cấu trúc từ quá trình lập luận (ngoại suy, quy nạp, suy diễn) sang chứng minh (suy diễn) Như đã phân tích ở trên, ta thấy rằng nếu quá trình lập luận của học sinh chứa cấu trúc của lập luận suy diễn thì việc xây dựng một cấu trúc suy diễn trong chứng minh là dễ dàng, nhưng nếu quá trình lập luận của học sinh là ngoại suy hoặc quy nạp thì việc xây dựng một cấu trúc suy diễn trong chứng minh của học sinh sẽ gặp khó khăn Đặc biệt là cấu trúc ngoại suy có dạng chưa mã hoá và cấu trúc ngoại suy

sáng tạo Do đó, giáo viên có vai trò quan trọng trong việc hỗ trợ, hướng dẫn, gợi ý cho học sinh trong quá trình lập luận Theo Pedemonte (2010, [24]):

 Giáo viên có thể gợi ý, hướng dẫn cho học sinh tìm mối liên hệ giữa các dữ liệu đã có và hỗ trợ cho học sinh trong việc lựa chọn một quy tắc suy luận (định lý) phù hợp để xây dựng một lập luận có cấu trúc suy diễn;

 Giáo viên có thể gợi ý hoặc khẳng định cho học sinh một quy tắc suy luận phù hợp nhất mà học sinh có thể lựa chọn nếu quá trình lập luận của học sinh có cấu trúc ngoại suy chưa mã hoá;

 Nếu học sinh sử dụng cấu trúc ngoại suy sáng tạo trong lập luận, giáo viên cũng có thể gợi ý, định hướng cho học sinh lựa chọn quy tắc đúng

Đặc biệt, phương pháp giảng dạy của giáo viên cũng có vai trò quan trọng trong quá trình lập luận của học sinh, bởi nó có liên quan đến khả năng đưa ra các giả thuyết ban đầu của học sinh trước khi bắt đầu giải quyết một bài toán (Pedemonte, 2010, [24]) Đồng thời giáo viên cũng có vai trò trong việc thúc đẩy các hoạt động tranh luận của học sinh Như các nghiên cứu thực nghiệm của Boero, Garuti và Mariotti (1996, [8]) đã chỉ ra rằng càng thúc đẩy và phát triển các hoạt động tranh luận của học sinh sẽ giúp học sinh dễ tiếp cận với một chứng minh hơn

2.5 Câu hỏi nghiên cứu

Các phân tích trong chương 1 cho phép chúng tôi đặt ra một số vấn đề cho nguyên cứu Cơ sở lý thuyết trình bày ở Chương 2 giúp chúng tôi định vị cách nhìn khoa học đối với vấn đề nghiên cứu đặt ra và cho phép cụ thể hoá mục tiêu nghiên cứu thành các câu hỏi nghiên cứu sau đây:

 Câu hỏi 1: Mối liên hệ về cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng

minh của học sinh được thể hiện như thế nào trong khi giải quyết các bài toán?

 Câu hỏi 2: Các dạng ngoại suy nào được học sinh sử dụng trong quá

trình lập luận? Vai trò của các lập luận ngoại suy này được thể hiện như thế nào?

 Câu hỏi 3: Học sinh gặp phải khó khăn như thế nào khi chuyển đổi cấu

trúc từ lập luận sang chứng minh trong quá trình giải quyết một bài toán?

2.6 Kết luận chương 2

Trong chương 2, chúng tôi trình bày cơ sở lý thuyết liên quan đến mô hình Toulmin và phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh dựa trên mô hình Toulmin, phân tích các dạng ngoại suy HS có thể sử dụng trong quá trình lập luận Đồng thời, chúng tôi cũng nêu lên vai trò của giáo viên trong quá trình lập luận của học sinh Việc phân tích các yếu tố lý thuyết này cho phép chúng tôi định

vị cách tiếp cận vấn đề và xác định mục tiêu nghiên cứu, từ đó chúng tôi hình thành các câu hỏi nghiên cứu phù hợp cho đề tài Mô hình Toulmin cũng đóng vai trò như công cụ phương pháp luận để chúng tôi phân tích cấu trúc lập luận và chứng minh của học sinh thể hiện trong phần sau của luận văn

Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 3.1 Ngữ cảnh và mục tiêu

3.1.1 Ngữ cảnh

Thực nghiệm đã được tiến hành vào học kỳ 2 của năm học 2014 – 2015 trên đối tượng gồm 16 học sinh của các trường THPT chuyên Quốc học Huế và trường THPT Tố Hữu Các học sinh được chọn phần lớn có kết quả học tập môn toán loại khá trở lên Nội dung thực nghiệm là quá trình lập luận và chứng minh của học sinh khi giải quyết các bài toán đặt ra bởi nhà nghiên cứu

3.1.2 Mục tiêu

Phần thực nghiệm có mục tiêu là thu thập dữ liệu cần thiết và phù hợp về:

 Mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh của học sinh khi

giải quyết các bài toán

 Các dạng ngoại suy mà học sinh sử dụng trong quá trình lập luận

3.2 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng mô hình Toulmin như là một công cụ phương pháp luận

để phân tích quá trình lập luận và chứng minh của học sinh

Để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đặt ra, chúng tôi tiến hành tổ chức thực

nghiệm như sau: 16 học sinh được phân thành 8 nhóm, mỗi nhóm 2 học sinh Các

nhóm học sinh sẽ tiến hành thảo luận về các nhiệm vụ được giao trên mỗi phiếu học tập Sau đó, trình bày bài làm của mình vào các phiếu học tập

Dữ liệu thu thập bao gồm các file ghi âm về quá trình thảo luận của học sinh

và bài làm của học sinh trên các phiếu học tập

3.3 Nội dung phiếu học tập

3.3.1 Phiếu học tập 1

Họ và tên: ………

Lớp: ………

PHIẾU HỌC TẬP 1

Bài toán 1:

Cho tam giác ABC, về phía ngoải tam giác, dựng các tam giác ABD và BCE vuông cân tại B Hãy so sánh diện tích tam giác ABC và BDE ?

Phân tích tiên nghiệm:

Đối với bài toán này HS có thể giải quyết như sau:

K H

E

D

B A

Phân tích cấu trúc của lập luận ngoại suy có thể xảy ra:

 Đối với hướng giải 1: Quan sát hình vẽ bằng trực giác hoặc các phép đo đạc,

HS có thể khẳng định diện tích hai tam giác bằng nhau, từ đó HS đi đến tìm kiếm dữ liệu để biện minh sin ̂ = sin ̂

 Đối với hướng giải 2: Quan sát hình vẽ, bằng trực giác hoặc các phép đo

đạc, HS có thể khẳng định diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác DBE Mà nhận thấy đáy bằng nhau nên dựng các đường cao tương ứng và so sánh chúng Việc so sánh hai đường cao dẫn HS đi đến tìm kiếm dữ liệu để lập luận tam giác CHB bằng tam giác EKB

Dữ liệu: AB = BD, BC = BE (đã có),

sinABC = sinDBE (cần tìm kiếm)

Quy tắc: công thức tính diện tích tam giác

Kết luận (cần kiểm chứng): SABC = SBDE

Bước 2:

Dữ liệu: cần tìm kiếm

Quy tắc: cần tìm kiếmKết luận: sinABC = sin DBE

Bước 1:D1: AB = BD C1: SABC = SBDE

BC = BE

?( sin  ABC = sin  DBE) W: Công thức tính diện tích

Phân tích cấu trúc của lập luận suy diễn có thể xảy ra :

 Đối với hướng giải 1: Từ các giả thiết đã cho của bài toán, HS lập luận sin

ABC = sin DBE, sử dụng công thức diện tích dạng lượng giác, HS kết luận diện tích hai tam giác cần so sánh bằng nhau

 Đối với hướng giải 2: HS dựng các đường cao CH và EK Sau đó chứng

minh tam giác BCH bằng tam giác EKB và suy ra CH = EK Từ đó đi đến kết luận diện tích hai tam giác bằng nhau

C3: SABC = SBDE

D3: AB = BD

C2

W: công thức tínhdiện tích tam giác

Bước 3

Bước 2

Bước 1

Dữ liệu: cần tìm kiếm Quy tắc : định lý các trường hợp bằng nhau của tam giác

Kết luận (cần kiểm chứng) : CHB = EKB

Dữ liệu: cần tìm kiếm

Quy tắc : công thức diện tích

Kết luận (cần kiểm chứng) : CH = EK

Dữ liệu: BA=BD (đã có), CH=EK(cần tìm kiếm)

Quy tắc : công thức diện tích

Kết luận (cần kiểm chứng) : S ABC = S DBE W: định lý các trường hợp

bằng nhau của tam giác

C3: CHB = EKB

D3: ?

D2: ?

C2: CH = EKW: ?

W: Công thức lượng giác

C2: sin ABC = sin

D3: C2 và

AB = BD

BC = BE

C3: SABC = SBDE

 Đối với hướng giải 3: Sử dụng phép quay tâm B, góc quay 900

, HS có thể suy ra diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BDC’, sử dụng tính chất đường trung tuyến, HS suy ra diện tích tam giác BDC’ bằng diện tích tam giác DBE Từ đó đi đến kết luận diện tích hai tam giác cần so sánh bằng nhau

 Đối với hướng giải 4: Dựng hình bình hành ABCD’, HS lập luận được diện

tích tam giác DBE bằng diện tích tam giác BAD’ và diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BAD’ nên diện tích hai tam giác cần so sánh bằng

nhau

Dự đoán về việc thiết lập cấu trúc giữa lập luận và chứng minh của học sinh:

 Từ các lập luận suy diễn, học sinh sẽ dễ dàng xây dựng một chứng minh suy diễn Khi đó tính liên tục cấu trúc giữa lập luận và chứng minh được hình thành

 Từ các lập luận ngoại suy, HS có thể chuyển thành các lập luận suy diễn để xây dựng một chứng minh suy diễn Khi đó tính gián đoạn cấu trúc giữa lập luận và chứng minh được hình thành

D4: C1,C3

W: tính chất bắc cầu

C4: S ABC = S DBE

D3: DB là đường trung tuyến của tam giác DEC' W: trung tuyến chia tam giác thànhhai tam giác có cùng diện tích

C3: S BDC' = S DBE

D2: BC =BC' =BE

W: định nghĩađường trung tuyến

C2: DB là đường trung tuyến của tam giác DEC'W: Tính chất phép quay

C4: S ABC = S DBE

W: tính chất bắc cầu

D4: C2, C3