Một số phương pháp giải các đề thi olympic về phương trình diophant

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ ĐẶNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC ĐỀ THI OLYMPIC VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 20

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

ĐẶNG THỊ THU HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC ĐỀ THI OLYMPIC

VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TSKH Nguyễn VănMậu (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN), thầy đã trực tiếp hướng dẫntận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua

Xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp caohọc Toán K11, các bạn học viên, và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuậnlợi, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyếnkhích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này.Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót vàhạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và cácbạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019

Tác giả

Đặng Thị Thu Hà

Mục lục

1.1 Phương trình Diophant tuyến tính 2

1.1.1 Nghiệm riêng 3

1.1.2 Nghiệm nguyên dương 9

1.2 Nghiệm nguyên dương của hệ phương trình Diophant tuyến tính cơ bản 10

Chương 2 Các phương pháp giải phương trình Diophant 19 2.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử 19

2.2 Phương pháp đồng dư 24

2.3 Phương pháp đánh giá 25

2.4 Phương pháp tham số hóa 27

2.5 Phương pháp quy nạp toán học 30

2.6 Phương pháp xuống thang 33

2.7 Một số phương pháp khác 40

Chương 3 Các dạng toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình Diophant 47 3.1 Một số dạng toán về đa thức nguyên 47

3.2 Một số dạng toán lượng giác liên quan 50

3.3 Một số dạng toán thi Olympic liên quan 66

Mở đầu

Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, Olympic Toán sinh viên, các bàitoán liên quan tới phương trình Diophant (dạng tuyến tính và phi tuyến) thườngxuyên được đề cập Những dạng toán này thường được xem là thuộc loại khó vìphần kiến thức về phương trình Diophant tổng quát không nằm trong chương trìnhchính thức của giáo trình Số học và Đại số bậc trung học phổ thông

Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên

đề phương trình Diophant, tôi chọn đề tài luận văn "Một số phương pháp giải các

đề thi Olympic về phương trình Diophant"

Tiếp theo, khảo sát một số lớp hệ phương trình Diophant liên quan

Cấu trúc luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Các kiến thức bổ túc về số học và phương trình Diophant cơ bản.Chương 2 Các phương pháp giải phương trình Diophant

Chương 3 Các dạng toán liên quan đến hệ phương trình Diophant

Tiếp theo, cuối các chương đều trình bày các bài tập áp dụng và giải các đề thiHSG quốc gia và Olympic liên quan

Chương 1 Phương trình Diophant và

hệ Diophant cơ bản

Ta nhắc lại thuật toán Euclid và liên phân số đã được trình bày tương đối chitiết trong chương trình toán bậc THCS

Ví dụ 1.1 (25,30) = 5, (25,-72) = 1

mỗi số đó

a1, a2, a3, , an là số nguyên dương

Ước số chung lớn nhất của a1, a2, a3, , an ký hiệu là

(a1, a2, a3, , an) hay gcd(a1, a2, a3, , an)

(a, b) = 1 phương trình Diophant tuyến tính

Lời giải Phương trình đã cho tương đương với phương trình

Lời giải Vì (342, −123) = 3 |15 nên phương trình đã cho có nghiệm Ta có

2 Nếu phương trình (1.6) có nghiệm thì nó sẽ có vô số nghiệm

nạp thì phương trình này có vô số nghiệm.

Bài toán 1.3 Giải phương trình Diophant tuyến tính

6x + 15y + 10z = 3 (1.8)Lời giải Phương trình đã cho tương đương với

có một nghiệm riêng là (y1; z1) = (−1; 4) nên phương trình (7a) có một nghiệm

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.9) là

Nhận xét 1.2 Có thể tóm lược cách giải phương trình Diophant tuyến tính nhiều

ẩn trên như sau:

phương trình Diophant tuyến tính 2 ẩn

Mỗi lần giảm số ẩn như vậy ta lại giải phương trình Diophant tuyến tính 2 ẩn

Gọi d = (an−1, an) Khi đó an−1 = d.bn−1, an = d.bn, (bn−1, bn) = 1 Do đó(1.6) trở thành

Do (bn−1, bn) = 1 t nên (1.13) nhất định có nghiệm nguyên, chẳng hạn(xn−1, xn)

Dễ thấy mọi nghiệm nguyên của (1.13) chính là nghiệm của (1.12) với điều kiện(1.11)

1.1.2 Nghiệm nguyên dương

Xét phương trình Dipophant tuyến tính

a1x1 + a2x2 + + anxn = c (1.14)

Từ giả thiết bài ra, ta có thể hạn chế điều kiện của các biến số bởi

trị có thể có của nó và tìm các biến số còn lại từ phương trình đã cho

Bài toán 1.4 Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình Diophant tuyếntính

6x + 15y + 10z = 200 (1.15)Lời giải Theo giả thiết, ta có

tuyến tính cơ bản

Phần này đề cập tới hệ phương trình Diophant tuyến tính, trình bày về hệ haiphương trình ba ẩn với nguyện nguyên dương giải bằng phương pháp ”chìa khóa”(xem [1],[3] và [5])

Bài toán tổng quát 1.1 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình

nguyên dương thì hệ có bấy nhiêu nghiệm nguyên dương.

Bài toán 1.5 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình







x + y + z = 1342x + 1

3z0 = 0.

Vậy bài toán có 7 nghiệm nguyên dương.

Bài toán 1.6 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình







x + y + z = 1342x + 1





x0 + y0 + z0 = 02x0 + 1

Vậy bài toán không có nghiệm nguyên dương

Bài toán 1.7 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình







x + y + z = 1005x + 3y + 1

Vậy bài toán có 3 nghiệm nguyên dương.

Bài toán 1.8 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình







x + y + z = 123x + 4y + 5z = 50

Vậy bài toán có 4 nghiệm nguyên dương.

Bài toán 1.9 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình

Vậy bài toán chỉ có 1 nghiệm nguyên dương.

Bài toán 1.10 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình

3x0 + 4y0 − 25

5 z0 = 0

Vậy bài toán có vô số nghiệm nguyên dương.

Ví dụ 1.3 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình

3x + 4y −

25

5 z =

12015

3x + 4y −

25

5 z =

12015

3x + 4y −

25

5 z =

12015

Chương 2 Các phương pháp giải

phương trình Diophant

Trong chương này, ta xét một số phương pháp thông dụng giải phương trìnhDiophant tiếp cận các đề thi của các kỳ Olympiad Toán học những năm gần đây(xem [3],[4])

nhân tử bất khả quy dạng

f (x, y, , z) = f1(x, y, , z) fs(x, y, , z)

Như vậy, ta thu được 8 hệ sau

Bài toán 2.3 Chứng minh rằng phương trình dạng 1

nghiệm nguyên dương

Lời giải Thật vậy, phương trình đã cho tương đương với

Vậy, ta thu được điều cần chứng minh

Bài toán 2.5 (xem [6]) Xác định tất cả các bộ ba số nguyên dương (x, y, z) thỏamãn phương trình



Bài toán 2.6 (xem [7]) Xác định tất cả các số nguyênn để phương trình sau đây

có nghiệm nguyên dương

Với n = 0, ta có nghiệm nguyên dương x = y = z ∈N∗

Với n = 9 phương trình không có nghiệm nguyên dương (x, y, z)

Bài toán 2.7 (Russia MO, xem [4]) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương củaphương trình

x3 − y3 = xy + 61

tương đương với







3x − 3y − 1 = 29x2 + 9y2 + 1 + 9xy + 3x − 3y = 823

2.2 Phương pháp đồng dư

Bằng cách xét số dư hai vế của phương trình, phương pháp đồng dư thườngdùng để chứng minh phương trình không có nghiệm nguyên hoặc dùng để hạn chếcác khả năng của biến Từ đó, dễ dàng tìm được nghiệm nguyên của phương trình.Dưới đây là một vài ví dụ minh họa cho phương pháp này

Bài toán 2.8 Chứng minh rằng phương trình

(x + 1)2 + (x + 2)2 + · · · + (x + 2001)2 = y2

không có nghiệm nguyên

vế phải là một số chính phương Vậy nên phương trình đã cho không có nghiệmnguyên

Bài toán 2.10 (Balkan MO, xem [4]) Chứng minh rằng phương trình

x5 − y2 = 4

không có nghiệm nguyên

Bài toán 2.11 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

nghiệm

Phương pháp đánh giá là dùng các bất đẳng thức phù hợp để hạn chế lại cáckhoảng đang xét Từ đó, ta tìm được nghiệm nguyên của phương trình một cáchđơn giản hơn

trình đã cho

Bài toán 2.13 (Russia MO, xem [4]) Giải phương trình 1

y − 10. Vì z nguyên dương nên (y − 10) | 100.

Ta thu được các nghiệm

Bài toán 2.15 Giải phương trình nghiệm nguyên dương



1 + 1x



1 + 1y



1 + 1z



1 + 1y



= 43

và suy ra



1 + 1y



= 3

ta không thể liệt kê được hết tất cả các nghiệm đó Khi đó, ta sẽ tìm nghiệm nàydưới dạng tham số như sau:

x1 = g1(k1, k2, , kl), x2 = g2(k1, k2, , kl), , xn = gn(k1, k2, , kl),

Điểm mạnh của phương pháp này là có thể dùng để chứng minh phương trìnhnghiệm nguyên có vô số nghiệm

Sau đây ta sẽ xét một số bài toán minh họa cho phương pháp này

trình

x3 + y3 + z3 = x2 + y2 + z2

đặt y = tx, với t ∈ Z Vậy x3 = x2 + 2t2x2 hay x = 2t2 + 1, u = t 2t2 + 1

Bài toán 2.17 Chứng minh rằng, phương trình x2 = y3 + z5 có vô số nghiệm

Chọn y = (tn+ 1)n−2 ta có z = (tn+ 1)n−1 và x = t (tn+ 1)n−2

Do vậy, phương trình có nhiều vô số nghiệm nguyên dương

x = t (tn + 1)n−2, 13n, y = (tn+ 1)n−2, z = (tn+ 1)n−1, t ∈ N∗

n = 0, kết luận là hiển nhiên Giả sử 23n + 1 chia hết cho 3n Với n + 1 ta biểudiễn

23n+1 + 1 = 23n + 1
22.3n − 23n + 1

Thừa số 23n + 1 chia hết cho 3n theo giả thiết quy nạp.

+ 1 = 23n+ 1
2− 3.23 n

3 n

+ 1

3n



1), tn+ 1) với mọi số nguyên t ≥ 1

Suy ra

(x + y − 7)h(x − y)2 + (y + 7)2 + (x + 7)2i= 0

Ta xét một số quy tắc sử dụng quy nạp toán học

- Nguyên lý quy nạp thứ nhất

Như vậy, sau khi kiểm tra bước cơ sở và chứng minh tính đúng của mệnh đề

P (n + 1) dưới giả thiết mệnh đề P (n) đúng, ta kết luận P (n) đúng cho mọi số tự

- Nguyên lý quy nạp thứ hai

, P (n) đều đúng, trong đó n ≥ α, n ∈ N

Bài toán 2.25 (Belarussia MO, xem [4]) Chứng minh rằng với mọi số nguyên

n ≥ 3, phương trình sau luôn có nghiệm (x; y) trong đó x, y là các số nguyêndương lẻ

7x2 + y2 = 2n

Lời giải Ta sẽ chứng minh, với mỗi n ≥ 3, tồn tại số nguyên dương lẻ xn; yn

Với n = 3, dễ dàng tìm được nghiệm x3 = y3 = 1

+



7xn ± yn2

Bài toán 2.26 (xem [4]) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, phương

x2 + y2 + z2 = 59n

và (x2; y2; z2) = (14; 39; 42) là 2 nghiệm của phương trình

x2k + yk2 + zk2 = 59k

Đặt xk+2 = 59xn, yk+2 = 59yn, zn+2 = 59zn, ∀k ≥ 1 Ta có

x2k+2 + yk+22 + zk+22 = 592 x2k + yk2 + zk2
= 59k+2

12x2 + · · · +

12xk =

+ 12x2

+ · · · + 1

2xk

= 1,

với 2; 2x1; 2x2; ; 2xk là các số nguyên dương đôi một khác nhau

2.6 Phương pháp xuống thang

nhỏ nhất

các nghiệm nguyên (tự nhiên, nguyên dương) của phương trình khác rỗng Ta đưa

đi đến mâu thuẫn Mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả sử là sai và như vậy phươngtrình đã cho vô nghiệm

nguyên dương

(x, y) = d, tức là x = da, y = db, trong đó (a, b) = 1 Khi đó a4 + b4 = (z/d2)2

ra (a2, b2) = 1, tức là (a2, b2, c) là bộ ba Pythagore nguyên thủy Tồn tại các số

tại p, q ∈ N+ sao cho a = p2 − q2, n = 2pq, m = p2 + q2, trong đó p, q khác tính

b = 2h, h ∈ N+, khi đó

h2 = pq(p2 + q2) (2.2)

nên p = u2, q = v2 với u, v ∈ N+, nghĩa là (u2)2 + (v2)2 = t2 hay u4 + v4 = t2,

vậy điều giả sử ban đầu là sai và ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.29 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

x3 − 3y3 = 9z3

9x13 − y3 = 3z3

3x13 + 9y13 = z3

Đó là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình đã cho

Nhận xét 2.4 Trong ví dụ trên, nếu yêu cầu tìm các nghiệm nguyên dương của

phương trình không có nghiệm nguyên dương như sau

dương của phương trình

Vậy nên phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương

Bài toán 2.30 (Korea MO, xem [4]) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

x2 + y2 + z2 = 2xyz

năng xảy ra

Nếu trong ba số x, y, z có một số chẵn, hai số lẻ Giả sử x chẵn, y, z lẻ thì

x12 + y12 + z12 = 4x1y1z1

Đó là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình đã cho

Bài toán 2.31 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

x4 + y4 + z4 = 9u4

nên 9u4 ≡ 4 (mod 5) nhưng x4, y4, z4 ≡ 0 hoặc 1 (mod 5) nên khả năng này

x4 + y4 + z4 ≡ 0 (mod 5)

Đó là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình đã cho

Bài toán 2.32 Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình

x2 − y2 = 2xyz

Lời giải Giả sử x0, y0, z0 là các số nguyên dương thỏa mãn phương trình, trong

x12 − y12 = 2x1y1z0

Vậy nên phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương

Nhận xét 2.5 Để sử dụng phương pháp xuống thang, người ta cần đến nhữngđiểm cực biên của tập hợp số đã cho

pq + qp = r

nguyên tố chẵn Số đó phải bằng 2

p2 + 2p ≡ (±1)2 + (−1)p (mod 3) ≡ 1 − 1 (mod 3) Vậy r chia hết cho 3, nhưng

Bài toán 2.34 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

Do đó y = 2, z = 3 (vì y − 1 ≤ z − 1).

Vậy nghiệm của phương trình (2.3) là (1; 2;3) và các hoán vị của nó

Nhận xét 2.6 Ở đây vì chỉ có hữu hạn số nguyên dương và chúng có vai trò như

(x, y, z) có tính chất (x + y + z)2 chia hết cho nxyz

cả các bộ thỏa mãn điều kiện bài ra

Ta có

n(xyz) = (x + y + z)2 = (x + y)2 + 2z(x + y) + z2 (2.4)

(x + y)2

z > z, trái với giả thiết về tính cực tiểu của

F (1; 4; 5) = 5, F (1; 2; 6) = 6, F (1; 1; 2) = 8, F (1; 1; 1) = 9.

k(nxyz) thì ta thay kn bởi n0

- Vì trong tập hợp các số nguyên dương bao giờ cũng tồn tại số nguyên dương

chất sau:

d1 + d2 + · · · + dn chia hết cho mọi di với 1 ≤ i ≤ n, ta có (d1 + d2 + · · · + dn)k

Vì p1 + p2 + · · · + pn chia hết cho dj nên d1 + d2+ · · · + dn chia hết cho ps, từ

Vì d1, d2, , dn không có ước chung khác 1 nên phải tồn tại dl nào đó không

Đặt d = d1d2 + d2d3 + · · · + dk−1dk

b) Xác định tất cả n sao cho D là một ước số của n2.

Lời giải Các số nguyên tố tìm được là 2 và 3

Suy ra p chia hết một trong ít nhất hai số x, y vì p không chia hết 3.

pn−1 =



xp

+



yp







2x3 − 2y2 + 3 = −1,2x3 + 2y2 + 3 = −5,







2x3 − 2y2 + 3 = 5,2x3 + 2y2 + 3 = 1,







2x3 − 2y2 + 3 = −5,2x3 + 2y2 + 3 = −1

của phương trình sau

(x2 + y)(x + y2) = (x − y)3

Lời giải Ta viết phương trình đã cho dưới dạng phương trình bậc hai ẩn y

ab + 1|a2 + b2 Chứng tỏ rằng a2 + b2

ab + 1 là một số chính phương.

Lời giải Gọi(a, b) là cặp số nguyên dương thỏa mãn điều kiện bài toán thì(a, b)

là nghiệm của phương trình

a2 − kab + b2 = k

Nếu a 6= 0 và b 6= 0 thì a và b cùng dấu

Nếu a > b > 0 Gọi b là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho (a, b) là nghiệm của

Bài toán 2.43 (Olympic Toán Hà Nội mở rộng (HOMC), 2009) Chứng minhphương trình

Bài toán 2.44 (Bucharest MO, xem [4]) Tìm tất cả các cặp số nguyên(x, y) củaphương trình

a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca),

phương trình tương đương với

Bài toán 2.45 (Hungary MO, xem [4]) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương

(x, y, z) của phương trình

x3 + 3y3 + 9z3 − 3xyz = 0

Suy ra 3|y‘1 Đặt y1 = 3y2, với y2 nguyên Thay vào phương trình trên rồi chia cả

Vậy nên phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương

của phương trình

a2 + b2 + c2 = a2b2

(2n)2 ≡ 0 (mod 4)và(2n + 1)2 ≡ 1 (mod 4)

a2 + b2 + c2 ≡ 3 (mod 4)nhưnga2b2 ≡ 1 (mod 4)

a2 + b2 + c2 ≡ 2 (mod 4)nhưnga2b2 ≡ 0hoặc1 (mod 4)

a2 + b2 + c2 ≡ 1 (mod 4)nhưnga2b2 ≡ 0 (mod 4)

Đặt a1 = 2a2, b1 = 2b2, c1 = 2c2, với a2, b2, c2 là các số nguyên Thay vào

a22 + b22 + c22 = 16a22b22

Đó chính là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình đã cho

(không kể các hoán vị của nó) của phương trình

Vậy nên phương trình đã cho không có nghiệm

phương trình

ab2 = ba

(27, 3)

Gọi (a, b) là một nghiệm của phương trình Đặt (a, b) = d thì a = du, b = dv,

Phương trình đã cho tương đương với

(du)dv2 = (dv)u

Ta xét các trường hợp sau

Do đó nghiệm của phương trình là

Do đó, trong trường hợp này phương trình cũng không có nghiệm

Chương Các phương pháp giải< /h3>

phương trình Diophant< /h3>

Trong chương này, ta xét số phương pháp thông dụng giải phương trìnhDiophant tiếp cận đề thi kỳ Olympiad... data-page="28">

2.2 Phương pháp đồng dư

Bằng cách xét số dư hai vế phương trình, phương pháp đồng dư thườngdùng để chứng minh phương trình khơng có nghiệm ngun dùng để hạn ch? ?các khả biến... data-page="14">

tuyến tính bản

Phần đề cập tới hệ phương trình Diophant tuyến tính, trình bày hệ haiphương trình ba ẩn với nguyện ngun dương giải phương pháp ”chìa khóa”(xem [1],[3] [5])

Bài