Bài giảng Kinh tế lượng: Chương 7 - ThS. Trần Quang Cảnh

Bài giảng Kinh tế lượng - Chương 7: Hiện tượng phương sai của sai số (số dư) thay đổi cung cấp cho người học các kiến thức: Bản chất hiện tượng phương sai sai số thay đổi; hậu quả; cách phát hiện phương sai sai số thay đổi; cách khắc phục phương sai sai số thay đổ. Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƯƠNG 7

HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI

CỦA SAI SỐ (SỐ DƯ) THAY ĐỔI

(HETEROSCEDASTICITY)

2

1 Hiểu bản chất và hậu quả của phương sai sai số thay đổi

2 Biết cách phát hiện phương sai sai số thay đổi và biện pháp khắc phục

MỤC

TIÊU

PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI

NỘI DUNG

3

Bản chất hiện tượng phương sai sai số thay đổi

1

Hậu quả

2

3

Cách khắc phục phương sai sai số thay đổi

4

Cách phát hiện phương sai sai số thay đổi

7.1 Bản chất

• Xét ví dụ mô hình hồi qui 2 biến trong đó biến phụ thuộc Y là tiết kiệm của hộ gia đình và biến giải thích X là thu nhập khả dụng của hộ gia đình

4

7.1 Bản chất

5

X 1 X 2 X n

X Y

0

(a)

X 1 X 2 X n

X Y

0

(b)

Hình 7.1: (a) Phương sai của sai số không đổi và (b) Phương sai của sai số

thay đổi

7.1 Bản chất

• Hình 7.1a cho thấy tiết kiệm trung bình có khuynh hướng tăng theo thu nhập Tuy nhiên mức độ dao động giữa tiết kiệm của từng hộ gia đình so với mức tiết kiệm trung bình không thay đổi tại mọi mức thu nhập

• Đây là trường hợp của phương sai sai số (nhiễu) không đổi, hay phương sai bằng nhau

E(ui2 ) =  2

6

1

2

4

5

7.1 Bản chất

• Trong hình 7.1b, mức độ dao động giữa

tiết kiệm của từng hộ gia đình so với mức

tiết kiệm trung bình thay đổi theo thu

nhập Đây là trường hợp phương sai của

sai số thay đổi

E(ui2) = i2

7

Giải thích

• Những người có thu nhập cao, nhìn

chung, sẽ tiết kiệm nhiều hơn so với

người có thu nhập thấp nhưng sự biến

động của tiết kiệm sẽ cao hơn

• Đối với người có thu nhập thấp, họ chỉ

còn để lại một ít thu nhập để tiết kiệm

• Phương sai sai số của những hộ gia đình

có thu nhập cao có thể lớn hơn của

những hộ có thu nhập thấp

8

• Do tích lũy kinh nghiệm mà sai số theo thời gian ngày

càng giảm

• Do bản chất của hiện tượng kinh tế

• Công cụ về thu thập xử lý số liệu cải thiện dẫn đến

sai số đo lường và tính toán giảm

• Trong mẫu có các outlier (giá trị rất nhỏ hoặc rất lớn

so với các giá trị quan sát khác)

• Mô hình hồi quy không đúng (dạng hàm sai, thiếu

biến quan trọng, chuyển đổi dữ liệu không đúng)

9

7.1 Nguyên nhân của phương sai thay đổi

• Hiện tượng phương sai thay đổi thường gặp khi thu thập số liệu chéo (theo không gian)

VD khảo sát doanh thu, chi phí quảng cáo của các công ty khác nhau trong cùng lĩnh vực kinh doanh Do quy mô, thương hiệu các công ty khác nhau nên doanh thu của các công ty có quy mô khác nhau ứng với mức chi quảng cáo

sẽ biến động khác nhau

10

1 Ước lượng OLS vẫn tuyến tính, không chệch

2 Tuy nhiên, chúng sẽ không còn có phương sai nhỏ nhất nữa, nghĩa là, chúng sẽ không còn hiệu quả nữa

3 Ước lượng phương sai của ước lượng OLS, nhìn chung, sẽ bị chệch

11

7.1 Hậu quả của phương sai thay đổi

5 Do đó, các khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết thông thường dựa trên phân phối t và F sẽ không còn đáng tin cậy nữa Do vậy, nếu chúng ta áp dụng các

kỹ thuật kiểm định giả thuyết thông thường sẽ cho ra kết quả sai

Chẳng hạn thống kê t xác định bởi công thức

12

7.1 Hậu quả của phương sai thay đổi

) ˆ ( ˆ

2

* 2 2







SE

t  

7

8

10

11

Do sử dụng ước lượng của là

nên không đảm bảo t tuân theo quy luật

phân phối t-student =>kết quả kiểm định

không còn tin cậy

6.Kết quả dự báo không còn hiệu quả nữa khi

sử dụng các ước lượng OLS có phương sai

không nhỏ nhất

13

) ( i

SE  SE (ˆi)

Phương pháp định tính

1 Dựa vào bản chất vấn đề nghiên cứu

2 Xem xét đồ thị của phần dư

Phương pháp định lượng

1 Kiểm định Park

2 Kiểm định Glejser

3 Kiểm định Goldfeld – Quandt

4 Kiểm định White

14

7.2 Phương pháp phát hiện phương sai thay đổi

VD: nghiên cứu quan hệ giữa chi tiêu tiêu

dùng so với thu nhập, phương sai phần

dư của chi tiêu tiêu dùng có xu hướng

tăng theo thu nhập Do đó đối với các

mẫu điều tra tương tự, người ta có

khuynh hướng giả định phương sai của

nhiễu thay đổi

15

1 Dựa vào bản chất vấn đề nghiên cứu

2 Xem xét đồ thị của phần dư

16

Biến phụ thuộc

Biến độc lập















 

 

 





































 Đường hồi qui ước lượng

2 Xem xét đồ thị của phần dư

Hình a cho thấy biến đổi của các

e i2 không

có tính

hệ thống

Hình b,c,d cho thấy các

e i2thay đổi khi

Y tăng

17

u

Y













 



 

 











 





















(a)

u

Y

 













  













 



















(b) u

Y







 

 

 





 



















 

























(c)

u

Y

 











 















 









 









(d)

3 Kiểm định Park

• Park cho rằng i2là một hàm số nào đó của biến giải thích X

i2= B1+B2ln|Xi|+vi trong đó vi

là phần sai số ngẫu nhiên

• Vì i2 chưa biết, Park đề nghị sử dụng lnei2

thay cho i2và chạy mô hình hồi qui sau

lnei2= B1+ B2 ln|Xi|+ vi(*)

ei2được thu thập từ mô hình hồi qui gốc

18

13

14

16

17

3 Kiểm định Park

• Các bước của kiểm định Park:

1) Chạy hàm hồi qui gốcYi= b1+ b2Xi+ Ui

2) Từ hàm hồi qui, tính , phần dư ei và

lnei2

3 Chạy hàm hồi qui (*), sử dụng biến giải

thích của hàm hồi qui ban đầu Nếu có

nhiều biến giải thích, chạy hồi qui cho từng

biến giải thích đó Hay, chạy hồi qui mô

hình với biến giải thích là

19

i

Yˆ

i Yˆ

3 Kiểm định Park

4) Kiểm định giả thuyết H0: β2= 0,tức, không

có phương sai của sai số thay đổi Nếu giả

thuyết H0 bị bác bỏ, mô hình gốc có

phương sai của sai số thay đổi

5) Nếu giả thuyết H0 được chấp nhận, B1

trong mô hình (*) có thể được xem là giá trị

chung của phương sai của sai số không

đổi,2

20

4 Kiểm định Glejser

• Tương tự như kiểm định Park: Sau khi thu

thập được phần dư từ mô hình hồi qui

gốc, Glejser đề nghị chạy hồi qui | ei |

theo biến X nào mà có quan hệ chặt chẽ

với i2

• Glejser đề xuất một số dạng hàm hồi qui

sau:

|ei| = B1+ B2Xi+ vi

21

i i

e = 1+ 2 +

i i

X B B

e = 1+ 2 1 +

4 Kiểm định Glejser

• Nếu giả thuyết H0:β2= 0 bị bác bỏ thì có thể có hiện tượng phương sai sai số thay đổi

22

i i

X B B

i i

i i

2 1

4 Kiểm định Glejser

• Kiểm định Glejser có một số vấn đề như kiểm định Park như sai sốvi trong các mô hình hồi qui có giá trị kỳ vọng khác không,

nó có tương quan chuỗi

– 4 mô hình đầu cho kết quả tốt khi sử dụng OLS

– 2 mô hình sau (phi tuyến tính tham số) không sử dụng OLS được

• Do vậy, kiểm định Glejser được dùng để chẩn đoán đối với những mẫu lớn

23

5 Kiểm định Goldfeld - Quandt

• Xét mô hình hồi qui sau:

Yi= b1+ b2Xi+ ui Giả sử i2có quan hệ dương với biến X theo cách sau:

i2= 2Xi2 trong đó 2là hằng số

• Các bước thực hiện kiểm định Goldfeld -Quandt như sau:

1 Sắp xếp các quan sát theo thứ tự tăng dần

về giá trị của biến X

24

19

20

22

23

5 Kiểm định Goldfeld - Quandt

2 Bỏ qua quan sát ở giữa theo cách sau:

Đối với mô hình 2 biến:

c = 4 nếu cỡ mẫu khoảng n = 30;

c = 10 nếu cỡ mẫu khoảng n = 60

và chia số quan sát còn lại thành 2

nhóm, trong đó mỗi nhóm có (n – c)/2

quan sát

25

5 Kiểm định Goldfeld - Quandt

3 Sử dụng phương pháp OLS để ước lượng

tham số của các hàm hồi qui đối với (n –

c)/2 quan sát đầu và cuối; tính RSS1 và

RSS2tương ứng

tham số được ước lượng kể cả hệ số

chặn)

26

k 2 c n





5 Kiểm định Goldfeld - Quandt

4 Tính tỷ số

 tuân theo phân phối F với bậc tự do ở tử

số và mẫu số là

27

df RSS df RSS λ

/

/

=

1 2

2

2k c

n 

Nếu  > F ở mức ý nghĩa α thì bác bỏ giả

thuyết H0, nghĩa là phương sai của sai số

thay đổi

6 Kiểm định White

• White đã đề nghị một phương pháp không cần đòi hỏiu có phân phối chuẩn

• Xét mô hình hồi qui sau:

Yi= b1+ b2X2i+ b3X3i+ ui Bước 1: Ước lượng mô hình trên bằng OLS, thu được các phần dư ei

Bước 2: Ước lượng một trong các mô hình sau

ei2= 1+ 2X2i+ 3X3i+ 4X2i2+ 5X3i2+ v2i (1)

28

6 Kiểm định White

hay

ei2 = 1 + 2X2i + 3X3i + 4X2i2 + 5X3i2 +

6X2iX3i + V2i (2) (1) và (2) có thể có số mũ cao hơn và nhất thiết phải có hệ số chặn bất kể mô hình gốc có hay không

R2 là hệ số xác định bội, thu được từ (1) với

mô hình không có số hạng chéo hay (2) với mô hình có số hạng chéo

29

6 Kiểm định White

Đặt GT Ho: 2= 3= 4= 5= 0 (1)

2= 3= 4= 5= 6= 0 (2)

Tương đương H0: phương sai của sai số không đổi

• nR2có phân phối xấp xỉ 2(df), với df bằng

số hệ số của mô hình (1) và (2) không kể

hệ số chặn

30

25

26

28

29

6 Kiểm định White

• Bước 4 Quy tắc quyết định

• nR2 < 2(df): chấp nhận Ho

• nR2 > 2(df): bác bỏ Ho, hay có hiện tượng

phương sai sai số thay đổi

31

7 Phương pháp bình phương

nhỏ nhất tổng quát

• 1 Phương pháp bình phương nhỏ nhất có

trọng số

• 2 Phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng

quát

29/11/2010 701003- Phương sai của sai số thay đổi 32

8 Biện pháp khắc phục

• 1 Phương pháp bình phương bé nhất có trọng

số (trường hợp đã biết i2)

• 2 Phương pháp bình phương bé nhất tổng

quát (trường hợp chưa biết i2)

• 3 Chuyển đổi dạng hàm (trường hợp chưa

biết i2)

29/11/2010 701003- Phương sai của sai số thay đổi 33

8 Biện pháp khắc phục

1 Ước lượng bình phương bé nhất có trọng số (trường hợp đã biết  i 2)

Có mô hình hồi qui mẫu 2 biến:

phương sai sai số của mỗi quan sát đã biết, chia

hay

34

i i i i i i

Y



























 1 1 2

*

*

*

*

*

i i

i i

Ước lượng bình phương

bé nhất có trọng số

• Phương pháp OLS

35

min

2 1 2

















































i i i i i i

e













     

   2  2

*





















i i i i i

i i i i i i i

X X w w

X w X Y X w w



i i

w 1/

Ước lượng bình phương

bé nhất có trọng số

36

31

32

34

35

1 Trường hợp đã biết i

Khi đó

Trong thực tế, chia mỗi quan sát Yivà Xicho

iđã biết và chạy hồi qui OLS cho dữ liệu

đã được chuyển đổi này

Ước lượng OLS của 1và 2được tính theo

cách này được gọi là ước lượng bình

phương bé nhất có trọng số (WLS); mỗi

quan sát Y và X được chia cho trọng số

(độ lệch chuẩn) của riêng nó, i

37

i e

Var e

Var

i i i i

i i

















, 1 ) ( 2 2

2 







Trường hợp 1: Phương sai sai số tỷ lệ với

biến giải thích

Sau khi ước lượng hồi qui OLS thông

thường, chúng ta vẽ đồ thị phần dư từ ước

lượng này theo biến giải thích X và quan

sát hình ảnh của nó Nếu hình ảnh của

phần dư tương tự như hình sau:

38

39

2 Trường hợp chưa biết i

Như vậy, phương sai sai số có quan hệ tuyến tính với biến giải thích

Var(ui) = E(ui2 ) =  2 Xi Chúng ta chia hai vế của mô hình cho căn bậc hai của Xi, với

i i

i i

i i i

X u X X X X

Y





 1 1 2

40

i i i

v X

0



i X

• Khi đó

• Một điều quan trọng mà chúng ta cần lưu ý

là để ước lượng mô hình trên, chúng ta phải

sử dụng mô hình hồi qui qua gốc.

41

i X u Var X

u Var

i i

i









, )



Trường hợp 2: Phương sai sai số tỷ lệ với bình phương của biến giải thích

Var(ui) =E(ui2) = 2Xi2

Nếu hình ảnh của phần dư tương tự như hình bên dưới, phương sai sai số có quan

hệ tuyến tính với bình phương của Xi Chúng ta chia hai vế của mô hình cho Xivới

Xi≠0

42

i i i

i

i

X

u X

X

Y













i

v

X  







1 1 2

37

38

40

41

2 Trường hợp chưa biết i

43

Khi đó:

Trường hợp 3: Phương sai sai số tỷ lệ với

bình phương của giá trị kỳ vọng của Y

Var(ui) = E(ui2) = 2[E(Yi)]2

Chia hai vế của mô hình cho E(Yi) với

E(Yi)=

44

i

Yˆ 12

i X

u Var X

u

Var

i i

i i















, )

2 

Tiến hành theo 2 bước sau:

Bước 1: Ước lượng mô hình hồi qui:

Yi = 1 + 2Xi + ui

bằng phương pháp OLS thông thường, từ đó ta

thu được

Biến đổi mô hình gốc về dạng như sau:

45

i Yˆ

i i

i 2 i 1 i

i

v Yˆ

X Yˆ

1 Yˆ

Y





2 Trường hợp chưa biết i

46

Bước 2: Ước lượng hồi qui trên dù không chính xác là E(Yi\X i), nhưng chúng là ước lượng vững, nghĩa là khi cỡ mẫu tăng lên vô hạn thì chúng hội tụ về E(Yi|Xi) Do vậy, phép biến đổi trên có thể dùng được khi cỡ mẫu tương đối lớn.

Khi đó

i

Yˆ

 

 

i Y

Y E Y

u Var Y

u Var

i i i

i

i i

























,

)

2 2 2 2

Trường hợp 4:Định dạng lại mô hình

Thay vì ước lượng mô hình hồi qui gốc, ta có thể ước lượng mô hình hồi qui:

lnYi= 1+ 2lnXi+ ui Tình trạng phương sai sai số không đồng nhất

sẽ bớt nghiêm trọng hơn so với mô hình gốc bởi vì khi được logarit hóa, độ lớn các biến

bị ‘nén lại’

Một ưu thế của phép biến đổi này là hệ số 2

sẽ đo lường hệ số co giãn của Y theo X, nghĩa là, nó cho biết % thay đổi của Y khi X thay đổi 1%

47

Lưu ý:

• Khi nghiên cứu mô hình có nhiều biến giải thích thì việc chọn biến nào để biến đổi cần phải được xem xét cẩn thận

• Phép biến đổi logarit không dùng được khi các giá trị của các biến âm

• Khi i2 chưa biết, nó sẽ được ước lượng từ một trong các cách biến đổi trên Các kiểm định t, F mà chúng ta sử dụng chỉ đáng tin cậy khi cỡ mẫu lớn, do đó chúng ta phải cẩn thận khi giải thích các kết quả dựa trên các phép biến đổi khác nhau trong các mẫu nhỏ

48

43

44

46

47

Ví dụ

• Cho số liệu quan sát như sau: Y: thu nhập

trung bình (USD/giờ) X1: số năm kinh

nghiệm (năm) X2: số năm được đào tạo

(năm)

1 Ước lượng mô hình hồi quy Y= β0 + β1

X1 + β2.X2 +U

2 Mô hình có phương sai thay đổi không?

Vì sao?

3 Nếu xảy ra phương sai thay đổi, hãy tìm

cách khắc phục

49

1 Ước lượng mô hình

50

2 Phát hiện phương sai thay đổi

• 1 Vẽ đồ thị phần dư

51

b Kiểm định Park

• B1 Tạo biến mới umu=resid

• B2: Chạy hồi quy theo từng Xihoặc theo Y^

theo mô hình:

LOG(umu^2) c LOG(X2)

Hoặc LOG(umu^2) c LOG(X3)

Hoặc LOG(umu^2) c LOG(Ymu)

3 Đặt giả thuyết H0: β2 = 0, hay “không có phương sai thay đổi”

52

b Kiểm định Park

LOG(umu^2) c LOG(Ymu)

53

b Kiểm định Glejser

1 Hồi quy theo mô hình sau ABS(umu) c X2

Hoặc ABS(umu) c X3

2 Đặt giả thuyết H0: β2 = 0, hay không có phương sai thay đổi

54

49

50

52

53

c Kiểm định White

B1 Mở eq01

B2 View\ Residual Tests\ White

Heteroskedasticity (cross terms)

GT Ho: 2= 3= 4= 5= 6= 0

Hoặc

• View\ Residual Tests\ White

Heteroskedasticity (no cross terms)

GT Ho: 2= 3= 4= 5= 0

57

Kết quả

• Theo kết quả bảng trên, ta thấy n*R2 (Obs*R-squared) = 14,70020

• Với mức ý nghĩa 5%, 2(df)= 2(5)=

11,0705 Ta thấy n*R2 > 2(5)

=>bác bỏ Ho 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 0 Cách 2: n*R2 có xác suất p-value= 0,011724 < α

=5% Vậy bác bỏ giả thiết Ho: phương sai không đổi Tức mô hình hồi quy của Y theo X1

và X2 có phương sai thay đổi

58

3 Biện pháp khắc phục

B1 Hồi quy Y, X1, X2 dựa vào các giả thiết B2: Kiểm định tiếp xem có phương sai thay đổi không

Thực hành:

B1: Do ta chưa biết các i2 nên theo các giả thiết sau:

• a E(ui2) = 2Xi2

Chạy hồi quy (Y/X1) (1/X1) c (X2/ X1 )

59

• Dùng kiểm định White có số hạng tích chéo (cross terms)

60

55

56

58

59

• b E(ui2) = 2Xi

Chạy hồi quy (Y/SQR(X1)) 1/SQR(X1)

SQR(X1) (X2/ SQR(X1) )

61

Dùng kiểm định White có số

hạng tích chéo (cross terms)

62

c Dùng phép biến đổi

logarit

• Chạy hồi quy LOG(Y) C LOG(X1) LOG(X2)

63

Dùng kiểm định White có

số hạng tích chéo (cross

terms)

64

Vd2

• Hồi quy lương (W, $) theo số lượng nhân viên (N) tại 30 công ty có các kết quả sau

W=7.5 + 0.009N +e R 2 =0.9 (1)

t na (16.10) W/N=0.008 + 7/8(1/N) +e R 2 =0.99 (2)

t (14.43) (76.58)

1 Giải thích ý nghĩa các hệ số hồi quy.

2 Tại sao tác giả chuyển từ mô hình 1 sang mô hình 2?

3 Hệ số tự do và hệ số góc của hai mô hình có liên hệ như thế nào?

65

Ví dụ

• Cho số liệu quan sát như sau: Y: thu nhập trung bình (USD/giờ) X1: số năm kinh nghiệm (năm) X2: số năm được đào tạo (năm)

1 Ước lượng mô hình hồi quy Y= β0 + β1

X1 + β2.X2 +U

2 Mô hình có phương sai thay đổi không?

Vì sao?

3 Nếu xảy ra phương sai thay đổi, hãy tìm cách khắc phục

66

61

62

64

65