Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính cộng hưởng và không cộng hưởng của bài toán có giá trị biên kì dị

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính cộng hưởng và không cộng hưởng của bài toán có giá trị biên kì dị đưa ra một số khái niệm và định lý cơ bản; tính cộng hưởng và không cộng hưởng của bài toán có giá trị biên kì dị. Mời các bạn tham khảo luận văn để nắm bắt nội dung chi tiết.

NGUYỄN THỊ MAI LÊ

TÍNH CỘNG HƯỞNG VÀ KHÔNG CỘNG HƯỞNG CỦA BÀI TOÁN CÓ GIÁ TRỊ BIÊN KÌ DỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - NĂM 2006

NGUYỄN THỊ MAI LÊ

TÍNH CỘNG HƯỞNG VÀ KHÔNG CỘNG HƯỞNG

CỦA BÀI TOÁN CÓ GIÁ TRỊ BIÊN KÌ DỊ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - NĂM 2006

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Hoàn Hóa đã tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành đề tài nghiên cứu

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy, cô khoa Toán và phòng Khoa học công nghệ – Sau đại học trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt nhiều kiến thức mới, giúp tác giả làm quen dần với việc nghiên cứu khoa học

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy, cô phản biện đã nhận xét và sửa chữa những thiếu sót để luận văn hoàn chỉnh hơn

Tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, thuộc tỉnh Bình Thuận, nơi tác giả đang công tác

Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên tác giả hoàn thành luận văn này

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 5

1.1 Các khái niệm cơ bản: 5

1.2 Phương pháp điểm bất động trong bài toán biên kỳ dị 8

1.2.1 Các định lí cơ bản: 8

1.2.2 Ứng dụng: 18

CHƯƠNG 2: TÍNH CỘNG HƯỞNG VÀ KHÔNG CỘNG HƯỞNG CỦA BÀI TOÁN CÓ GIÁ TRỊ BIÊN KÌ DỊ 27

2.1 Khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán biên: 27

2.2 Khảo sát bài toán giá trị biên Sturm Liouville: 29

2.3 Khảo sát bài toán biên: 30

2.4 Khảo sát bài toán có giá trị biên kỳ dị “cộng hưởng” bậc hai31 KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

MỞ ĐẦU

Cũng như các môn khoa học khác, phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kĩ thuật và những yêu cầu của đòi hỏi thực tế Lí thuyết phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong ứng dụng thực tiễn của Toán học Hầu hết các quá trình tự nhiên đều tuân thủ theo một qui luật nào đó mà phương trình vi phân có thể mô tả được Bằng chứng là các ngành Toán học, Cơ học, Vật lí, Hóa học, Sinh vật, Kinh tế, Sinh thái môi trường… và Xã hội học đều liên quan đến phương trình vi phân

Lí thuyết phương trình vi phân nói chung và lí thuyết các bài toán biên nói riêng đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến việc phát hiện ra một số lượng lớn các ứng dụng, đặc biệt là trong khoa học

y

=+

α

κ mô tả sự

di truyền cấu trúc vững chắc của Oxygen tăng trong tế bào Ở đây ,a,α κ là những hằng số xác định liên quan đến tỉ lệ phản ứng, tính thấm và hằng số Michaelis Nghiệm y chính là sức căng của Oxygen và t = 1 tương ứng với biên của màng tế bào Khi f t,y( )= −κexp(−βy , ,) κ β >0 mô tả sự dẫn nhiệt trong não người Ở đây f là tỉ lệ sản xuất nhiệt trên một đơn vị thể tích, y là nhiệt độ tuyệt đối và t là độ dài bán kính tính từ tâm

• Năm 1927, L.H Thomas và E.Fermi độc lập với nhau tìm ra bài toán biên xác định thế năng tĩnh điện trong nguyên tử Sự phân tích này đưa đến phương trình cấp hai kì dị phi tuyến:

1 3

2 2

y" t y− − = 0Có ba điều kiện biên được quan tâm đó là:

i) Nguyên tử trung hòa với bán kính Bohr, cho bởi:

y 0 =1 by' b −y b = 0ii) Nguyên tử ion hóa, cho bởi:

( ) ( )

y 0 =1 y b = 0iii) Nguyên tử trung hòa cô lập, cho bởi:

Chính sự ứng dụng rộng rãi đó đã hướng chúng tôi đến nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán “cộng hưởng” và “không cộng hưởng” có giá trị biên kỳ dị Đặc biệt chúng tôi nghiên cứu về phương trình vi phân bậc hai:

1 py' ' qy f t,y,y' hầu khắp nơi trên 0,1( ) ( ) [ ]

Với: λm 1− <µ <λm (trường hợp không cộng hưởng)

hoặc µ =λm (trường hợp cộng hưởng), m = 1,2,…

Ở đây λ0 = −∞ và λi, i 1, 2, = là những giá trị riêng của một bài toán tuyến tính xấp xỉ Và y sẽ thỏa mãn một trong những điều kiện biên sau đây:

i) Sturm Liouville

( ) ( ) ( ) { }

Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến kiến thức trình bày trong luận văn, các định lí cơ bản về điểm bất động của ánh xạ compact trong không gian định chuẩn, trong đó quan trọng nhất là định lí Leray-Schauder dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm Áp dụng định lí Leray-Schauder vào chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình:

thỏa mãn các điều kiện biên (SL) hoặc (N) hoặc (P)

Chương 2: Là phần chính của luận văn Khảo sát sự tồn tại nghiệm của các bài toán “không cộng hưởng” có giá trị biên kì dị:

1 py' ' ry f t,y,py' , t 0,1p

Chương 1:

CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

1.1 Các khái niệm cơ bản:

Định nghĩa 1.1

Cho X, Y là các không gian định chuẩn

1) Ánh xạ liên tục F : X→Y được gọi là compact nếu F(X) chứa trong một tập compact của Y

2) Ánh xạ liên tục F : X→Y được gọi là hoàn toàn liên tục nếu ảnh của mỗi tập bị chặn chứa trong một tập compact của Y

3) Ánh xạ liên tục F : X→Y được gọi là compact hữu hạn chiều nếu F(X) chứa trong không gian con tuyến tính hữu hạn chiều của Y

Gọi A={a ,a , ,a1 2 n} là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn E với chuẩn Với ε > cố định đặt: 0

t∈ 0,1 ánh xạ x→H x,t( ) được viết là H : Xt →E

• Chúng ta dễ dàng kiểm tra được quan hệ đồng luân là một quan hệ tương đương

• Ánh xạ đồng luân liên tục H gọi là compact nếu nó là compact

• Ánh xạ đồng luân liên tục H gọi là “fixed point free” trên A⊆X nếu với mỗi t∈[ ]0,1 ánh xạ liên tục HA×{ }t : A→E không có điểm bất động

• Gọi K X,C là tập hợp tất cả các ánh xạ hoàn toàn liên tục F : XA( ) →C sao cho thu hẹp F : AA →C là “fixed point free”

• Hai ánh xạ liên tục F,G K X,C∈ A( ) được gọi là đồng luân (ta viết F G≅ ) trong K X,C nếu có một đồng luân liên tục A( ) H : X 0,1×[ ]→C

i) t p t f t,y,q là đo được, y,q R

ii) y,q p t f t,y,q liên tục hầu khắp nơi t 0,1

iii) Với bất kỳ r>0, tồn tại h L 0,1 sao cho p t f t,y,q h t , hầu khắp nơi

t 0,1 và với mọi y r, q r

1.2 Phương pháp điểm bất động trong bài toán biên kỳ dị

1.2.1 Các định lí cơ bản:

1) Pε là ánh xạ hoàn toàn liên tục từ Aε vào co A( )⊆C

( ) ( ) [ ]n

Vì [ ]0,1 là tập compact và co(A) là một tập đóng, nên ta suy ra tính compact n

của ánh xạ Pε

bởi vì µi( )x ≠0 nếu x-ai < ε

Định lí 1.3 (xấp xỉ Schauder)

C là tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn E Ánh xạ F : E→C là hoàn toàn liên tục thì với mỗi ε > có một tập 0 A= a ,a , ,a{ 1 2 n}⊂F E( )⊆C và một ánh xạ liên tục hữu hạn chiều F : Eε →C sao cho:

1) F xε( )−F x( ) <ε, x E∀ ∈ 2) F Eε( )⊆co A( )⊆C

S Vì vậy (*) suy ra bn →x khi n→ ∞ trong S và do B là tập đóng cho nên

x B∈ Do F liên tục trên B suy ra F b( )n →F x( )

Vậy ta có x F x− ( ) = hay F có điểm bất động 0

Định lí 1.5 (Schauder)

Cho C là một tập con lồi của không gian tuyến tính định chuẩn E thì tất cả các ánh xạ hoàn toàn liên tục F : C→C đều có ít nhất một điểm bất động

Do tG a( ) (+ 1 t F a− ) ( )≠a với mỗi a,t( )∈ ×X 0,1[ ] nên Ht là “fixed point free” Cuối cùng do H0 =F,H1 =G nên F G trong K X,C≅ A( )

Định lí 1.7

Cho U là một tập con mở của một tập lồi C E⊆ , (U, U∂ ) là một cặp trong C Khi đó với bất kỳ u0∈U thì ánh xạ hằng F U( )=u0 là cốt yếu trong K∂U(U,C)

Gọi G K X,C∈ A( ) sao cho FA =GA là “fixed point free”

Ta có tG a( ) (+ 1 t F a− ) ( )≠a, a,t∀( )∈A 0,1×[ ] Thật vậy, giả sử

Gọi H : X 0,1×[ ]→C là một đồng luân hoàn toàn liên tục liên kết giữa G và F sao cho HX×{ }t là một “fixed point free” với mỗi t∈[ ]0,1

S Do sự liên tục của H ta có x=H(x,t) suy ra x B∈ Vậy tập B đóng

Ta đã có A, B là hai tập đóng rời nhau.Gọi λ: X→[ ]0,1 là hàm Urysohn liên tục với λ( )A =1, Bλ( )=0

Định nghĩa hàm J xt( )=H x, x t ; x,t( λ( ) ) ( )∈ ×X 0,1[ ], ta có Jt là một ánh xạ hoàn toàn liên tục Ta chứng minh Jt là “fixed point free” và Jt A =Ht Aø Thật vậy ta chú ý J xt( )= nghĩa là x H x, x t( λ( ) )= , suy ra x thuộc B, vì vậy x

( )x 0 và H x,0( ) x

đó Jt là “fixed point free”

Ta có nếu x A thì x∈ λ( )=1 và J xt( )=H x, x t( λ( ) )=H x,t( )=H xt( )

1) F có điểm bất động

2) x U ∃ ∈ ∂ sao cho x= F xλ ( ) (+ 1−λ)p ,* λ∈(0,1)

Chứng minh:

Chúng ta có thể giả sử F∂U là “fixed point free” trong trường hợp 1) không xảy

ra

Đặt G : U→C là ánh xạ hằng u→p*

Xét phép đồng luân hoàn toàn liên tục H : Ut →C liên kết giữa G và F là

( ) ( ) ( ) *

H x,t =tF x + 1 t p−

Xét hai trường hợp:

i) H(x,t) là “fixed point free” trên U∂

ii) H(x,t) không là “fixed point free” trên U∂

Nếu trường hợp i) xảy ra thì từ định lí 1.7 và 1.9 suy ra F phải có điểm cố định Ngược lại nếu trường hợp ii) xảy ra thì:

Ta có λ ≠0 vì p*∉ ∂U và λ≠ vì 1 F∂U là “fixed point free”ø

Định lý 1.11 (Ascoli – Arzela)

Cho X là không gian mêtric compact, ta kí hiệu C X là tập hợp các hàm liên K( )tục f : X→K (K R,C= ) với chuẩn y =sup f x ,x X{ ( ) ∈ }

Đặt no =max n ,n , ,n{ 1 2 m} ta có:

Định lý Ascoli – Arzela:

Tập A C X⊂ K( ) là compact tương đối khi và chỉ khi A bị chặn đều và A đẳng liên tục

Vậy A liên tục đồng bậc

Điều kiện đủ:

Xét tùy ý dãy { }fn ⊂A, ta chứng minh { }f có dãy con hội tụ Do X là tập ncompact nên có dãy con { }xn ⊂X trù mật trong X

Dãy {f xn( )1 }n bị chặn trong K nên có dãy con { }1

n

f của { }f sao cho n { 1( ) }

f x hội tụ Tương tự, ta có { }2

f x hội tụ, với i 1,k=

Lập “dãy đường chéo” { }n

f x là dãy Cauchy trong K nên hội tụ

Áp dụng mệnh đề ta có { }n

Chứng minh:

Xét hàm số ( )t tp 1 t,t 0

p q

ϕ = + − ≥ Ta có ϕ' t( )=tp 1 − −1 và ' tϕ ( )=0⇔ = t 1Hàm ϕ đạt cực tiểu tại t =1; ϕ( )1 =0 suy ra tϕ( )≥0; t 0∀ ≥

1 0 1 p

Với pf : 0,1 R R là hàm L - Caratheodory

p C 0,1 C 0,1

p 0 trên 0,1ds

Giả sử thêm tồn tại một hằng số M0, độc lập với λ sao cho:

[ ] ( )

[ ] ( ) ( ) 0 1

Suy ra u 0≡ , điều này mâu thuẫn với tính độc lập của y1 và y2

Giải bài toán (1.3) tương đương với việc tìm một hàm y C 0,1 với py' C 0,1∈ [ ] ∈ [ ]

= , điều này mâu thuẫn với tính độc lập của y1 và y2

Chúng ta có thể viết (1.4) lại như sau:

p t f t,u t ,p t u t →p t f t,u t ,p t u' t từng điểm hkn trên [ ]0,1

và tồn tại một hàm khả tích hr sao cho:

B

K , do vậy N liên tục

Chúng ta sẽ sử dụng định lý Arzela-Ascoli để chứng minh N hoàn toàn liên tục

• Lấy Ω là một tập bị chặn trong 1

1.2.2.2 Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình:

Giả sử thêm tồn tại một hằng số M0, độc lập với λ sao cho:

[ ] ( )

[ ] ( ) ( ) 0 1

Ta thấy u thỏa phương trình (pu' ' rpu 0 hầu khắp nơi trên 0,1)+ = [ ] với

( ) ( ) t 0 ( ) ( ) t 1 ( ) ( )

u 0 =u 1 và lim p t u' t lim p t u' t

Suy ra u 0≡ , điều này mâu thuẫn với tính độc lập của y1 và y2

Giải bài toán (1.9) tương đương với việc tìm một hàm y C 0,1 với py' C 0,1∈ [ ] ∈ [ ]

thỏa mãn (1.4) với:

( ) ( ) ( ) ( )

Lí luận tương tự như định lí 1.13 ta có điều cần chứng minh

1.2.2.3 Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình:

Giả sử thêm tồn tại một hằng số M0, độc lập với λ sao cho:

[ ] ( )

[ ] ( ) ( ) 0 1

Chương 2:

TÍNH CỘNG HƯỞNG VÀ KHÔNG CỘNG HƯỞNG

CỦA BÀI TOÁN CÓ GIÁ TRỊ BIÊN KÌ DỊ

2.1 Khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán biên:

u L 0,1∈ (2.5)

[ ] [ ]

G t,s là hàm Green liên quan đến phương trình

py' ' pry 0 hkn trên 0,1 ,y SL hoặc N hoặc P

hằng số nào đó, W là định thức Wronski

Thay điều này vào (2.11) ta được:

y0 2(A0 A ) 2A py'4 1 0 2A py'3 θ0

θ

γ θ

Áp dụng định lý 1.13 hoặc định lí 1.14 ta được điều phải chứng minh

2.2 Khảo sát bài toán giá trị biên Sturm Liouville:

[ ] ( )0 ( )0 ( )

thì L có vô hạn đếm được các giá trị riêng thực và chúng ta có thể đánh giá được các giá trị riêng này

Định lý 2.1 trực tiếp suy ra sự tồn tại nghiệm cho bài toán:

Nếu pf : 0,1 R[ ]× 2 →R là hàm L1-Caratheodory và thỏa (2.2), (2.15)

Lấy f t,u,v( )=nv g t,u,v+ ( ), và thỏa (2.5), (2.6), (2.7) với r t( )=µq t( ) Thì (2.16) có ít nhất một nghiệm

Chứng minh:

Đặt r t( )=µq t( ), làm tương tự như trong chứng minh định lý 2.1 ta có đpcm

2.3 Khảo sát bài toán biên:

chỉ có nghiệm tầm thường

Thì (2.17) có ít nhất một nghiệm

Ta có hai dạng tồn t i nghiệm Trước hết khảo sát bài toán “bên trái” của giá trị

riêng, sau đó khảo sát bài toán “bên phải” của giá trị riêng

Định lý tồn tại I:

Trong suốt phần này đặt :

[ ] [ ] ( ) ( ) ( )

[ ]

0

0 1

tồn tại hằng số A>0,0< 1 và một hàm số

Thì (2.19) có ít nhất một nghiệm y C 0,1 C 0,1 ;py' AC 0,1 ∈ [ ]I 1[ ] ∈ [ ]

Chú ý: Những ví dụ tiêu biểu mà (2.21) thỏa là:

tương ứng với những giá trị riêng λi

Lấy y là nghiệm bất kỳ của (2.26) Thì y u w,u ,w ⊥

0

bQ

αβ

Từ đó ta có:

0 0

α α

+ +

+ +

0 0

0 0

dt

e

α α α

+ +

Sử dụng bất đẳng thức (a b+ ) ≤2 a( +b với a,b,c 0) ≥ Suy ra tồn tại các hằng số Q12, Q13 sao cho:

φ + ≤

∫

Trường hợp này (2.31) hoàn toàn đúng với Q12 =1

Trở lại (2.26) chúng ta có:

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )

1

m 0

y t =λ∫G s,t f s,y s ,p s y' s + µ λ− q s y s ds (2.32) và:

( )0 ( )0 ( )

1 pv' ' qv 0 hkn trên 0,1p

(Q15 , Q16 là hằng số)

Do bất đẳng thức Holder và (2.24) suy ra:

(Q22 ,…, Q26 là hằng số)

Điều này cùng với (2.31) suy ra:

(Q36 ,…, Q40 là hằng số)

Điều này cùng với (2.35), (2.36) suy ra tồn tại hằng số Q41 sao cho:

Chúng ta có thể chứng minh định lí trên nếu m = 1 (tại giá trị riêng đầu tiên)

Đặc biệt khảo sát:

tồn tại hằng số A>0,0< 1 và một hàm số

Lấy y là một nghiệm của (2.26) với m = 1 Theo chứng minh định lý 2.4 với

u =0 và y = w chúng ta có điều tương tự như (2.29):

1 1

p t dt

Có hai trường hợp cần xét:

Trường hợp 1: φ6 >0 hkn trên 0,1[ ]

Thay điều trên vào (2.49) và từ (2.48) dẫn tới:

0 0

0

0 0

1

0

1 1

− +

− +

σκ α

γτ

σκ α

(N11, N12, , N16 là hằng số)

Theo bất đẳng thức Holder ta có:

β σ

σ α

Trường hợp 2: φ6 ≡0 hkn trên 0,1[ ]

Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử σ >0 và φ3 >0 hkn trên 0,1[ ], nếu

không kết quả quá dễ dàng Với t∈(0,1), từ (2.49) ta có:

( ) ( )

0 0

1 1

(N23, N24, , N27 là hằng số)

0 0

κ σκ α

(N28, N29, , N32 là hằng số)

Do đó tồn tại hằng số N33 sao cho:

Và kết quả sau đó tương tự như trong định lý 2.4

Định lý tồn tại II:

Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát bài toán cộng hưởng (2.19) ở “bên phải”

của giá trị riêng

tồn tại hằng số A>0,0< 1 và một hàm số

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày được một phần của lí thuyết bài toán biên kì

dị Qua đó làm rõ hơn ứng dụng định lí điểm bất động của ánh xạ compact trong không gian định chuẩn, cũng như sử dụng linh hoạt lí thuyết ánh xạ đồng luân để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán “cộng hưởng” và “không cộng hưởng” có giá trị biên kì dị

Luận văn cũng chỉ ra rằng bài toán “cộng hưởng” chỉ có nghiệm tầm thường duy nhất, còn bài toán “không cộng hưởng” có nghiệm không tầm thường

Qua luận văn này tác giả đã củng cố được nhiều phần kiến thức đã học, cũng như biết thêm được một số mảng kiến thức mới Tuy nhiên với trình độ còn nhiều hạn chế chắc chắn luận văn còn nhiều thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo và góp ý của quí Thầy Cô

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Lê Hoàn Hóa (2000), Giáo trình Giải tích phi tuyến I

[2] Lê Hoàn Hóa, Giáo trình Phép tính vi tích phân

[3] Nguyễn Bích Huy, Giáo trình Giải tích hàm nâng cao

[4] Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lí thuyết ổn định, Hà Nội, NXB GD

[5] Nguyễn Thế Hoàn – Trần Văn Nhung (1979), Bài tập phương trình

vi phân, Hà Nội, NXB ĐH và THCN

[6] Donal O,Regan (1994), Theory of singular boundary value problems, Singapore, World scientific publishing Co.Pte.Ltd