Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm về Đại số lớp 10

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm về Đại số lớp 10 nghiên cứu nhằm mục đích phát triển các nhiệm vụ đo lường về kiến thức quy trình và khái niệm, nghiên cứu mối quan hệ giữa chúng và khả năng kết hợp hai loại kiến thức để giải quyết một số bài toán không quen thuộc. Các kết quả nghiên cứu đem đến các kết luận sư phạm quan trọng trong dạy học Đại số lớp 10.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VĂN ĐĂNG

KẾT HỢP KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KHÁI NIỆM

Huế, năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào

Tác giả luận văn

Nguyễn Văn Đăng

Trước hết, tơi xin bày tỏ lời biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Trần Vui, người thầy, người hướng dẫn khoa học đã động viên, tận tình định hướng, chỉ bảo và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này

Tơi xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy giáo, Cơ giáo đã giảng dạy chúng tơi trong suốt khĩa học của lớp Cao học K22 Phương pháp Dạy học Tốn tại Trường Đại học Sư phạm Huế

Tơi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, các thầy cơ tổ tốn và tập thể các lớp 10A1, 10A2, 10A3, 10A4, 10A5trường THPT Trần Hưng Đạo đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cũng như nhiệt tình giúp đỡ tơi trong thời gian tiến hành thực nghiệm

Cuối cùng, tơi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tơi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài

Huế, tháng 4 năm 2015

Nguyễn Văn Đăng

Lời cảm ơn

TÓM TẮT

Chúng tôi đã tiến hành đo kiến thức quy trình và khái niệm của học sinh về đại số lớp

10, tập trung chủ yếu vào hàm số, hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai và vấn đề tương đương của các phương trình, bất phương trình Các kết quả nghiên cứu cho thấy, học sinh thường có xu hướng sử dụng các quy trình khi giải quyết các bài toán, khả năng nhận ra mối quan hệ giữa các biểu diễn toán học là thấp Mặt khác, các kết quả còn cho thấy, đứng trước một tình huống ít quen thuộc, tác động trực tiếp của kiến thức quy trình là không đáng kể mà đòi hỏi nhiều hơn về kiến thức khái niệm

Mục đích: Nghiên cứu này có mục đích phát triển các nhiệm vụ đo lường về kiến thức

quy trình và khái niệm, nghiên cứu mối quan hệ giữa chúng và khả năng kết hợp hai loại kiến thức để giải quyết một số bài toán không quen thuộc Các kết quả nghiên cứu đem đến các kết luận sư phạm quan trọng trong dạy học đại số lớp 10

Phương pháp: Dữ liệu được thu thập theo các giai đoạn khác nhau từ 140 học sinh

Phân tích nhân tố khẳng định được sử dụng để phát triển các nhiệm vụ đo lường về các thành phần “kiến thức quy trình về đại số”, “kiến thức khái niệm về đại số” và “khả năng kết hợp kiến thức để giải quyết một số bài toán ít quen thuộc” Kĩ thuật mô hình cấu trúc cho phép tích hợp phân tích nhân tố và phân tích hồi quy thành một mô hình phân tích để nghiên cứu các mối quan hệ Cho dù mối quan hệ nhân quả có thể không được chứng minh nhưng các phân tích là phù hợp để nghiên cứu liệu các mối quan hệ

đề nghị trong mô hình có phù hợp với mẫu số liệu được thu thập

Các kết quả: Một lượng lớn học sinh cho thấy có kiến thức quy trình cao nhưng kiến

thức khái niệm thấp, một số học sinh có cả điểm số quy trình thấp và khái niệm thấp Tuy nhiên những học sinh có điểm số cao về nhiệm vụ khái niệm thì cũng có điểm số cao về nhiệm vụ quy trình Vì vậy các kết quả ủng hộ quan điểm kế thừa đó là kiến thức quy trình là điều kiện cần nhưng không là điều kiện đủ cho kiến thức khái niệm Các phỏng vấn chỉ ra rằng việc dạy học ở nhà trường tập trung chủ yếu vào việc nhớ quy trình mà ít liên kết đến các kiến thức khái niệm

Kết luận: Chương trình dạy học chúng ta hiện nay tập trung chủ yếu vào việc rèn

luyện các kĩ năng và thực hành các thuật giải Việc thực hành các thuật toán chưa đủ để giúp học sinh áp dụng các kiến thức vào thực tế hoặc giải quyết các bài toán ít quen thuộc Do đó chúng ta cần chú trọng hơn nữa đến việc phát triển kiến thức khái niệm, cần cho học sinh tiếp cận một khái niệm dưới dạng các biểu diễn khác nhau, khuyến khích các em tự giải thích, khám phá trước khi dạy học

MỤC LỤC

TRANG PHỤ BÌA i

LỜI CAM ĐOAN ii

LỜI CẢM ƠN iii

TÓM TẮT iv

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT v

DANH MỤC CÁC BẢNG 3

GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 5

1.1 Giới thiệu 5

1.1.1 Nhu cầu nghiên cứu 5

1.1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu 6

1.2 Mục đích nghiên cứu 7

1.3 Các câu hỏi nghiên cứu 8

1.4 Ý nghĩa của nghiên cứu 8

1.5 Các thuật ngữ 9

1.6 Cấu trúc của luận văn 9

1.7 Tóm tắt chương 1 10

TỔNG QUAN CÁC VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 11

2.1 Tính hai mặt của kiến thức toán học 11

2.2 Kiến thức quy trình và khái niệm 13

2.3 Đo lường kiến thức quy trình và khái niệm 16

2.4 Mối quan hệ giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm 18

2.5 Các phương pháp phát triển hai loại kiến thức 20

2.6 Tóm tắt chương 2 22

THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 23

Giới thiệu 23

3.1 Thiết kế nghiên cứu 24

3.2 Kiến thức quy trình về đại số 25

3.3 Kiến thức khái niệm về đại số 26

3.4 Thu thập dữ liệu cho nghiên cứu 27

3.5 Các nhiệm vụ đo các loại kiến thức 28

3.6 Các nhiệm vụ đo kiến thức quy trình về đại số 29

3.6.1 Các quy trình đồ thị 30

3.7 Các nhiệm vụ đo kiến thức khái niệm về đại số 33

3.7.1 Mối quan hệ giữa các biểu diễn đồ thị và đại số 34

3.7.2 Giải thích đồ thị 37

3.7.3 Giải thích đại số 38

3.8 Các bài tập đo khả năng kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm để giải quyết một số bài toán không quen thuộc 39

3.9 Tóm tắt chương 3 42

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 44

4.1 Một số kết quả từ để kiểm tra thử 44

4.1.1 Các nhiệm vụ đo kiến thức quy trình đồ thị 44

4.1.2 Các nhiệm vụ đo kiến thức quy trình đại số 44

4.2 Điểm số cho các nhiệm vụ 45

4.3 Điểm tổng 46

4.4 Điểm số cho các câu hỏi 47

4.4.1 Quy trình đồ thị 47

4.4.2 Các quy trình đại số 1 48

4.4.3 Các quy trình đại số 2 49

4.4.4 Các mối quan giữa biểu diễn đại số và đồ thị 50

4.4.5 Giải thích đồ thị 50

4.4.6 Giải thích đại số 51

4.4.7 Giải quyết các bài toán 52

4.5 Các mô hình 53

4.5.1 Mô hình giả thuyết ban đầu 53

4.5.2 Mô hình đầy đủ 53

4.6 Độ tin cậy 55

4.7 Liên quan giữa kiến thức quy trình và khái niệm 56

4.8 Phỏng vấn 56

4.9 Tóm tắt chương 4 60

THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN 61

5.1 Kết luận từ mô hình thống kê 62

5.1.1.Mô hình đo lường 62

5.1.1.1 Câu hỏi nghiên cứu số 1: 63

5.1.2 Mô hình cấu trúc 65

5.1.2.1 Câu hỏi nghiên cứu số 2 66

5.1.2.2 Câu hỏi nghiên cứu số 3 66

5.2 Các phản ánh từ phỏng vấn 68

5.3 Tóm tắt chương 5 69

KẾT LUẬN 70

DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1 Tổng hợp các bài tập trong sách đại số 10……… 7

Bảng 2.1 Các thuật ngữ tìm thấy trong các bài báo được chia làm hai loại 13

Bảng 2.2 Các quan điểm về mối quan hệ giữa kiến thức quy trình (P) và kiến thức khái niệm (C) 18

Bảng 4.1 Phạm vi điểm số cho mỗi nhiệm vụ 45

Bảng 4.2 Phạm vi điểm số cho mỗi câu hỏi 46

Bảng 4.3 Thống kê điểm số trung bình và độ lệch chuẩn cho các nhiệm vụ quy trình đồ thị 48

Bảng 4.4 Thống kê điểm số trung bình và độ lệch chuẩn cho các nhiệm vụ quy trình đại số 1 49

Bảng 4.5 Thống kê điểm số trung bình và độ lệch chuẩn cho các nhiệm vụ quy trình đại số 2 49

Bảng 4.6 Thống kê điểm số trung bình và độ lệch chuẩn cho các nhiệm vụ mối quan hệ giữa biểu diễn đại số và đồ thị 50

Bảng 4.7 Thống kê điểm số trung bình và độ lệch chuẩn cho các nhiệm vụ giải thích đồ thị 51

Bảng 4.8 Thống kê điểm số trung bình và độ lệch chuẩn cho các nhiệm vụ giải thích đại số 51

Bảng 4.9 Thống kê điểm số trung bình và độ lệch chuẩn cho các nhiệm vụ giải quyết các bài toán 52

Bảng 4.10 Hệ số tin cậy Cronbach Alpha 55

DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 2.1 Kết quả hỗ trợ bởi quan điểm kế thừa 19

Hình 2.2 Kết quả hỗ trợ bởi quan điểm tương tác động 19

Hình 2.3 Kết quả hỗ trợ bởi quan điểm đồng hoạt hóa 20

Hình 3.1 Các nhiệm vụ đo kiến thức về quy trình đồ thị 30

Hình 3.2 Các nhiệm vụ đo kiến thức quy trình đại số 1 32

Hình 3.3 Các nhiệm vụ đo kiến thức quy trình đại số 2 32

Hình 3.4 Một nhiệm vụ từ đề kiểm tra thử chỉ ra mối quan hệ giữa biểu diễn đại số

và đồ thị 34

Hình 3.5 Một nhiệm vụ từ để kiểm tra thử để đo khả năng đưa ra một biểu diễn đại số từ biểu diễn đồ thị 34

Hình 3.6 Các nhiệm vụ để đo khả năng làm việc với các biểu diễn khác nhau 36

Hình 3.7 Các nhiệm vụ đo các giải thích đồ thị 38

Hình 3.8 Các nhiệm vụ đo các giải thích đại số 39

Hình 3.9 Một số bài toán đo khả năng kết hợp kiến thức 42

Hình 4.1 Biểu đồ tần số về điểm tổng của đề kiểm tra chính thức 46

Hình 4.2 Sai làm của học sinh khi vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối 48

Hình 4.3 Sai lầm của học sinh khi giải bất phương trình 49

Hình 4.4 Kết quả phân tích mô hình cấu trúc ban đầu 53

Hình 4.5 Mô hình các biến tiềm ẩn về mô hình giả thuyết 54

Hình 4.6 Mô hình các biến tiềm ẩn về mô hình đầy đủ 54

Hình 4.7 Kết quả phân tích mô hình cấu trúc đầy đủ 55

Hình 4.8 Điểm số kiến thức quy trình và khái niệm 56

Hình 4.9 Các nhiệm vụ sử dụng trong phỏng vấn 59

Hình 5.1 Một hướng đề xuất của kết luận 71

Chương 1

GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Giới thiệu

1.1.1 Nhu cầu nghiên cứu

Một vài lí thuyết về dạy học và nhận thức thừa nhận rằng hành vi của chúng ta được hình thành bởi ít nhất hai loại kiến thức: một cái cung cấp sự hiểu biết trừu tượng về các quy tắc và các mối quan hệ giữa các mẫu kiến thức trong một lĩnh vực nào đó,

và một cái khác cho phép chúng ta giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và hiệu quả Trong các nghiên cứu thực nghiệm về dạy học toán vấn đề trước thường được đặt tên là KTKN, trong khi cái sau được gọi là KTQT

Khi học sinh thực hành giải toán, điều này có làm tăng sự hiểu biết của các em về các khái niệm cơ bản? Trong tình huống nào thì các khái niệm trừu tượng giúp học sinh phát hiện hoặc thực hiện các quy trình một cách đúng đắn? KTQT và KTKN

có quan hệ như thế nào khi học sinh giải quyết các bài toán không quen thuộc? Các câu hỏi này liên quan đến một chủ đề nghiên cứu trọng tâm trong các lĩnh vực phát triển nhận thức và tâm lí giáo dục: mối quan hệ giữa KTQT và KTKN Tuy nhiên, nghiên cứu về các quan hệ phát triển giữa hai loại kiến thức này có các kết quả không rõ ràng, một phần vì thiếu sự chú ý về tính hợp lí các phép đo hoặc ảnh hưởng của kiến thức ban đầu lên các mối quan hệ (Schneider, Rittle-Johnson & Star, 2011)

Theo Peschek và Schneider (2001), toán học có thể được xem như là khoa học của việc kết nối và cập nhật các mối quan hệ giữa các biểu diễn, tính toán và giải thích Việc liên kết giữa các biểu diễn khác nhau không chỉ hỗ trợ phát triển KTKN (Parpet, 1987) mà còn liên kết giữa KTQT và KTKN (Schwarz, Dreyfus & Bruckheimer, 1990; Haapasalo, 2003; Haapasalo & Kadijevich, 2003; Haapasalo, Zimmermann & Rehlich, 2004) Điều này phù hợp với Rittle-Johnson, Siegler & Alibali (2001), họ tìm thấy rằng sự thay đổi của biểu diễn vấn đề tác động đến mối quan hệ giữa hai loại kiến thức

Đại số là một lĩnh vực quan trọng của toán học, việc dạy và học đại số ngày càng nhận được sự chú ý từ phía các giáo viên cũng như các nhà nghiên cứu Đại số cung cấp một nền tảng khái niệm để hiểu biết về nhiều khái niệm khác mà các học sinh sẽ học trong môn Toán Hiểu biết của học sinh về khái niệm đại số xuất phát từ những năm đầu đến trường và tiếp tục xuyên suốt qua các trải nghiệm học toán của các em

ở THPT và sau này Với sự phổ biến của chủ đề đại số trong chương trình môn toán, chứng tỏ vai trò quyết định của nó trong việc giúp học sinh phát triển việc đánh giá các mối quan hệ tồn tại giữa các chủ đề khác nhau trong toán học Thực vậy, vấn đề này đã được chú ý hơn trong chương trình hội nghị về các tài liệu giảng dạy chính của Hiệp hội Giáo viên Toán Quốc gia Hoa Kỳ (National Council of Teacher of Mathematics, 1989, 2000)

Mặc dầu trải qua một bước dài đáng kể, chúng ta phải cải thiện niềm tin và năng lực của học sinh trong việc sử dụng các kĩ năng và khái niệm đại số, một điều lưu ý rằng nhiều việc cần được làm trong lĩnh vực này bởi học sinh vẫn tiếp tục trải nghiệm một cách khó khăn sau này, như các thao tác vô nghĩa khi giải phương trình

và hệ phương trình… (Chazan,v1996; Stacey & MacGregor, 1999; Kirshner & Awtry 2004)

Cũng như nhiều lĩnh vực khác, trong toán học nói chung và đại số nói riêng, học sinh phải học đồng thời các khái niệm cơ bản và các quy trình phù hợp để giải quyết các vấn đề Khả năng toán học của học sinh dựa vào sự phát triển và kết nối các KTKN và các quy trình của các em Hiebert và Wearne (1986) cho rằng việc thiếu khả năng toán học thường do thiếu sự kết nối giữa KTQT và KTKN Song thực tế dạy học vẫn còn nhiều giáo viên chỉ tập trung rèn luyện KTQT cho học sinh, khi học sinh gặp sai lầm thì họ cho là học sinh quên công thức, thuật toán để giải… Một mặt khác nhiều bài tập trong sách đại số 10 như: vẽ đồ thị, giải phương trình, bất phương trình… đều có thuật toán để giải quyết Học sinh được giao nhiều bài tập, tuy nhiên những bài tập này không đòi hỏi suy nghĩ và nhiều khi chỉ là sự bắt chước cách giải mẫu đã có Đối với những dạng bài tập này học sinh chỉ làm việc với những kí hiệu hình thức Do đó không kích thích sự hứng thú, khả năng tự học cũng như học sinh không thể hiểu rõ ý nghĩa của các mối quan hệ trong đại số Điều đó dẫn đến học sinh không hiểu bản chất và gặp khó khăn trong việc nắm bắt các kiến thức Đại số, chứ chưa nói đến việc áp dụng các kiến thức đó vào các vấn đề thực tiễn của cuộc sống

1.1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu

Chương trình toán chúng ta hiện nay còn nặng về KTQT, chẳng hạn trong sách đại

số 10, các bài tập thường được giải quyết theo hướng áp dụng kiến thức, trong một

số trường hợp, cách giải mẫu đã được trình bày trước lớp bởi giáo viên, nên các em chỉ việc áp dụng cách giải mẫu này cho một loạt bài tập tương tự Và các em tin

rằng học toán thực chất là thực hành một thuật toán, một quy tắc và nó đảm bảo thành công nếu tránh các sai sót Thực tế dạy học cho thấy, học sinh vẫn có những sai lầm hoặc gặp khó khăn trong việc vận dụng kiến thức để giải quyết các bài toán không quen thuộc Các nghiên cứu chỉ ra rằng việc học sinh hiểu sai hoặc thiếu KTKN về đại số thường dẫn đến sử dụng quy trình không đúng (Anderson, 1989; Van Lehn & Jones, 1993) hay sự phát triển của KTQT và KTKN thực sự là một quá trình tương tác (Riddle-Johnson, Schneider, & Star, 2011; Rittle-Johnson, Siegler,

& Alibali, 2001) Do đó cần có một sự cân đối giữa KTQT và KTKN Vì vậy chúng

tôi chọn “Kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm về đại số ở lớp 10” làm đề tài

nghiên cứu của luận văn này

Bảng 1.1 Tổng hợp các bài tập trong sách đại số 10

KTQT

Số bài tập KTKN

Số bài toán áp dụng có nội dung

số bậc nhất, hàm số bậc hai và một số bài toán tương đương về phương trình và bất phương trình) và để điều tra nghiên cứu mối quan hệ giữa hai loại kiến thức toán học này Một mục đích khác của nghiên cứu là điều tra nghiên cứu khả năng kết hợp KTQT và KTKN về đại số của học sinh lớp 10 khi giải quyết một số bài toán Cuối cùng, một mục đích có nhiều tham vọng hơn của nghiên cứu là liên quan đến phân tích các kết quả để đề xuất sự kết hợp KTQT và KTKN một cách hợp lí trong dạy học đại số lớp 10

Luận văn sẽ tập trung nghiên cứu các vấn đề sau đây:

 Làm rõ khái niệm KTQT và KTKN, mối quan hệ giữa chúng Đặc biệt là KTQT và KTKN trong đại số lớp 10

 Nghiên cứu phương pháp đo KTQT và KTKN trong Đại số lớp 10

 Nghiên cứu mối quan hệ giữa KTQT và KTKN trong đại số lớp 10

 Nghiên cứu khả năng kết hợp KTQT và KTKN về đại số của học sinh lớp 10 khi giải quyết một số bài toán ít quen thuộc

1.3 Các câu hỏi nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã được đề cập ở trên, đề tài này sẽ gắn liền với các câu hỏi nghiên cứu sau:

Câu hỏi 1: Chúng ta đo kiến thức quy trình và khái niệm của học sinh về Đại số 10

như thế nào?

Câu hỏi 2: Các kiến thức quy trình và khái niệm của học sinh lớp 10 về đại số liên

quan với nhau như thế nào?

Câu hỏi 3: Khả năng kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm của học sinh lớp 10

về đại số được thể hiện qua việc giải quyết các bài toán được kiểm tra như thế nào?

Các câu hỏi nghiên cứu trong luận văn này có thể chia thành hai loại Câu hỏi thứ nhất diễn tả cách đo kiến thức quy trình và khái niệm, trong khi câu hỏi thứ hai và thứ ba là đề cập đến các mối quan hệ Mỗi câu hỏi được phân tích một cách riêng rẽ, nhưng điều quan trọng nên nhớ rằng chúng không phải được xem xét một cách độc lập

1.4 Ý nghĩa của nghiên cứu

 Thứ nhất: Nghiên cứu này cung cấp các nhiệm vụ đo lường tin cậy và hợp lí

về kiến thức quy trình và khái niệm ở đại số lớp 10

 Thứ hai: Làm rõ mối quan hệ giữa KTQT và KTKN trong một số lĩnh vực

của đại số 10, cụ thể là hàm số, hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, các bài toán

về phương trình và bất phương trình tương đương

 Thứ ba: Kết quả nghiên cứu cho thấy tầm quan trọng của việc kết hợp KTQT

và KTKN trong việc giải quyết các bài toán đại số Từ đó cần phải bổ sung thêm các bài tập khái niệm trong chương trình đại số lớp 10 hiện nay

1.5 Các thuật ngữ

Bởi vì các khung nghiên cứu khác nhau và thực sự KTQT và KTKN không dễ dàng

để định nghĩa một cách chính xác (Carpenter, 1986), một số quan điểm về kiến thức

và khái niệm có thể được tìm thấy trong luận văn Ở đây chúng tôi đã chọn một quan điểm động về KTKN, dẫn đến sự phân biệt giữa KTQT và KTKN như sau:

 KTQT có nghĩa là việc sử dụng thành công và linh hoạt các quy trình, thuật

toán hoặc quy tắc cụ thể trong các biểu diễn thích hợp Điều này luôn yêu cầu không chỉ kiến thức về các đối tượng được sử dụng mà còn kiến thức về cú pháp và định dạng cho hệ thống (các hệ thống) biểu diễn mô tả chúng

 KTKN có nghĩa là kiến thức và sự điều khiển khéo léo xung quanh các mạng

lưới cụ thể, các yêu tố của chúng có thể là các khái niệm, các quy tắc (các quy trình, thuật toán…) và thậm chí các vấn đề (một vấn đề được giải quyết có thể giới thiệu một khái niệm hoặc một quy tắc mới) được cho dưới các dạng biểu diễn khác nhau

1.6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bày trong năm chương:

Chương 1 Giới thiệu vấn đề nghiên cứu

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các phần: giới thiệu, nhu cầu nghiên cứu,

đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, câu hỏi nghiên cứu và ý nghĩa nghiên cứu của luận văn, tóm tắt chương 1

Chương 2 Tổng quan các vấn đề nghiên cứu liên quan

Trong chương này, chúng tôi trình bày về nội dung lí thuyết liên quan đến KTQT và KTKN, đo lường KTQT và KTKN, mối quan hệ giữa KTQT và KTKN, tóm tắt chương 2

Chương 3 Thiết kế nghiên cứu

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các thiết kế phục vụ cho nghiên cứu, đối tượng và công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập dữ liệu, quy trình phân tích dữ liệu, tóm tắt chương 3

Chương 4 Các kết quả nghiên cứu

Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả thu được từ các bài toán kiểm tra

và phỏng vấn, tóm tắt chương 4

Chương 5 Thảo luận và kết luận

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các thảo luận và các kết luận, tóm tắt chương 5

KẾT LUẬN

1.7 Tóm tắt chương 1

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày mục đích và ý nghĩa của nghiên cứu Đồng thời, chúng tôi phát biểu ba câu hỏi nghiên cứu, định nghĩa một số thuật ngữ được sử dụng trong luận văn Chúng tôi sẽ trình bày nền tảng lý thuyết làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu ở chương tiếp theo

Chương 2

TỔNG QUAN CÁC VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN

Trong chương này chúng tôi sẽ xác định và làm rõ nền tảng lý thuyết, tóm tắt sơ lược các nghiên cứu liên quan đến đề tài

2.1 Tính hai mặt của kiến thức toán học

Kiến thức toán học có tính hai mặt đó là biết thế nào và biết tại sao Có nhiều tên

gọi cho sự phân cực này và nó không bị giới hạn trong toán học nhưng nó dường như quan trọng trong các câu hỏi nhận được dưới dạng tổng quát (Scheffler, 1965), (Hiebert & Lefevre, 1986) Sau đây là chúng tôi tóm tắt một số quan điểm về bản chất của kiến thức toán học:

 Sfard (1991) đã phân biệt giữa “hiểu biết thao tác” và “hiểu biết cấu trúc” Trong khi hiểu biết thao tác nói đến các quá trình liên quan đến các hoạt động trên các đối tượng, hiểu biết cấu trúc liên quan đến các đối tượng tạo ra các quá trình đó Theo Sfard (1991) hiểu biết cấu trúc của một khái niệm là cần thiết nếu chúng ta muốn dùng khái niệm này để phát triển thành các khái niệm phức tạp hơn Bạn cần hiểu cấu trúc các số tự nhiên để có thể thực hiện các phép toán trên các số hữu tỉ Bằng cách này Sfard đề nghị một hướng phát triển từ thao tác tới cấu trúc trong các giai đoạn mà cô ấy gọi là thao tác, cô đọng và đồ vật hóa Khi một người đã trải qua các giai đoạn này thì họ sẽ có

cơ sở để phát triển hiểu biết cấu trúc của khái niệm

 Nesher (1986) phân biệt giữa việc học thuật toán và việc học hiểu, chỉ ra rằng

“việc thực hiện thuật toán” và “hiểu biết” có thể duy nhất được kiểm tra riêng

lẻ sau khi việc học được hoàn thành

 Hiebert và Lefeve (1986) cho rằng KTKN là kiến thức phong phú trong các mối quan hệ, có thể được xem như một mạng lưới kiến thức được kết nối với nhau KTKN được đặc trưng bởi các liên kết và một đơn vị KTKN không thể

là một mẫu thông tin cô lập Liên kết giữa các mối quan hệ là quan trọng như mỗi mẫu thông tin của chính nó Hơn nữa họ đã nhấn mạnh rằng mỗi mẫu thông tin là một phần của KTKN chỉ khi người học nhận ra được sự liên quan của nó tới các mẫu thông tin khác Chẳng hạn, đối với hàm số, một học sinh có thể biết được biểu thức đại số và đồ thị đại diện cho cùng một khái niệm toán học, nó là bản chất của KTKN Mặt khác theo định nghĩa của Hiebert và

các quy trình trong các dạng biểu diễn khác nhau Trái với KTKN, KTQT không đòi hỏi phải hiểu sâu các khái niệm cơ bản Hiebert và Lefeve (1986)

đã chia KTQT thành hai, một bên là kiến thức về hình dạng và bên còn lại là kiến thức về các thuật toán và các quy tắc Biết hình dạng là biết sử dụng các

kí hiệu và các quy ước cú pháp Một học sinh nắm được khía cạnh này của kiến thức thì nhận ra được rằng biểu thức f x 2x1 là đúng và

 1 2

f x  x là không thể chấp nhận được Kiến thức hình dạng không bao gồm kiến thức để thực hiện các tính toán hoặc các giải thích, nhưng có thể biết được tính đúng sai trong sử dụng kí hiệu Một khía cạnh khác của KTQT là thuộc về các thuật toán hoặc các quy tắc để giải quyết các vấn đề toán học, chúng là các quy trình theo từng bước

 Hiebert & Wearne (1986) nhấn mạnh rằng KTQT phong phú trong các thuật toán để hoàn thành các nhiệm vụ nhưng lại thiếu trong các mối quan hệ, ngược lại KTKN là phong phú trong các mối quan hệ nhưng lại thiếu trong các thuật toán để hoàn thành các nhiệm vụ Họ cũng cho rằng sự thiếu khả năng toán học là thiếu sự kết nối giữa KTQT và KTKN Chẳng hạn một học sinh có khả năng để thực hiện phép cộng hai hàm số khi cho bởi biểu thức hoặc đồ thị nhưng không nhận ra rằng hai phép toán này là giống nhau Theo Hiebert & Wearne (1986), đó là sự liên kết giữa hai biểu diễn khác nhau, chúng là cốt lõi của KTKN

 Rittle-Johnson, Siegler và Alibali (2001) định nghĩa “KTQT” là khả năng thực hiện một dãy các hành động để giải quyết các vấn đề, trong khi đó “KTKN” là hiểu biết rõ ràng hay tiềm ẩn về các quy tắc mà nó quản lí một phạm vi và các quan hệ giữa các đơn vị kiến thức trong phạm vi đó Hai loại kiến thức này nằm trong một miền liên tục và không thể luôn luôn bị tách rời Họ đề nghị rằng hai loại kiến thức này phát triển một cách tương tác và kĩ thuật chính đằng sau các mối quan hệ này là thay đổi biểu diễn trong một vấn đề

 Skem (1976) đã phân biệt giữa hai kiểu hiểu biết toán học: hiểu biết công cụ

và hiểu biết quan hệ Ông ấy đã mô tả hiểu biết quan hệ là “biết làm gì và biết tại sao như vậy”, và quá trình của việc học các quan hệ toán học là “xây dựng dần một cấu trúc khái niệm” Mặt khác hiểu biết công cụ là “các quy tắc mà không có các lí do”

 Gray & Tall (1993) định nghĩa “khái niệm” là “một đối tượng kết hợp bao gồm một quá trình, một khái niệm suy ra bởi quá trình đó và một kí hiệu mà chúng có thể dùng để biểu thị” và giới thiệu “tư duy quy trình” và “tư duy khái niệm”

2.2 Kiến thức quy trình và khái niệm

Tính hai mặt biết thế nào và biết tại sao đã được phân tích bởi nhiều nhà nghiên

cứu Không có sự phân biệt rõ ràng giữa chúng, nhưng chúng đều có một vài đặc trưng để chia thành hai với nhiều tính chất tương tự

Bảng 2.1 Các thuật ngữ tìm thấy trong các bài báo được chia làm hai loại

Hiểu biết thao tác Hiểu biết cấu trúc Stard (1991)

Hiểu biết công cụ Hiểu biết quan hệ Skemp (1976), Mellin-Olsen (1981)

Hiebert & Lefevre (1986), Haapasalo & Kadijevich (2000)

Rittle-Johnson, Siegler & Alibali (2001)

Ý tưởng chính của Stard (1991) đó là một khái niệm toán học, khi hiểu cấu trúc, chúng ta có thể thấy và điều khiển chúng như một đơn vị riêng lẻ hoặc một đối tượng mà không liên quan đến các thao tác mà nó dẫn đến “hiểu biết cấu trúc” Trong quan điểm này “hiểu biết thao tác” có trước hiểu biết cấu trúc và nó phản ánh lên khả năng của học sinh để thực hiện các thao tác chẳng hạn như tính toán Khi đó

có thể nói rằng hiểu biết thao tác phản ánh lên khả năng để thực hiện các thuật toán, không chú ý các liên quan đến các chủ đề toán học khác cũng như các kiến thức trước đó Ý tưởng này hoàn toàn tương tự với sự phân biệt giữa hiểu biết công cụ và hiểu biết quan hệ (Mellin-Olsen, 1981; R R Skemp, 1976)

Nesher (1986) cho rằng “hiểu biết” liên quan đến sự điều khiển của cá nhân qua quá trình biết, ông đã phân biệt giữa “học thuật toán” và “học hướng đến hiểu biết”, quan điểm này chỉ ra rằng “thực hiện thuật toán” và “hiểu biết” chỉ có thể được kiểm tra một cách riêng lẻ sau khi việc học được hoàn thành

Trước hết, chúng ta xem xét kiến thức khái niệm Một khái niệm là „một ý tưởng trừu tượng được tổng quát hóa từ các ví dụ cụ thể‟ (Meriam-Webster‟s Collegiate Dictionary, 2012) Kiến thức về các khái niệm thường được gọi là kiến thức khái

niệm (e.g Bymes & Wasik, 1991; Canobi, 2009; Rittle-Johnson, Siegler, & Alibali, 2001) Kiến thức này thường không gắn liền với một loại vấn đề cụ thể nào Nó có thể rõ ràng hoặc tiềm ẩn và do đó không được phát biểu bằng lời (Goldin Meadow, Alibali, & Church, 1993) Theo Sfard (1991) hiểu biết cấu trúc của một khái niệm giúp học sinh có thể thấy khái niệm như là một đơn vị để có thể thực hiện những phép toán ở mức tiếp theo Trong các nghiên cứu khác về giáo dục toán, kiến thức khái niệm có thể được xem là việc hiểu và nhận ra các quy tắc hoặc các đặc trưng quan trọng trong một phạm vi cũng như các mối quan hệ hoặc các kết nối giữa các mẫu kiến thức khác nhau (Carpenter, Franke, Jacobs, Fennema, & Empsom,1998; Hiebert & Wearne, 1996; Rittle-Johnson & Star, 2007)

Tiếp theo, xem xét kiến thức quy trình Một quy trình là một dãy các bước, hoặc các hành động, được thực hiện theo trình tự để hoàn thành một mục đích Kiến thức về các quy trình thường gọi là kiến thức quy trình (chẳng hạn, Canobi, 2009; Rittle-Johnson và nnk, 2001) Các quy trình được mô tả là “việc sử dụng các cấu trúc như các kĩ năng, các phương án, các sản phẩm, và các hành động bên trong” (Bymes & Wasik, 1991, t 777) Quy trình có thể là (1) các thuật toán- một dãy quyết định trước các hành động mà sẽ hướng đến câu trả lời đúng khi thực hiện đúng hoặc (2) các hành động có thể mà chúng được sắp xếp thành một dãy thích hợp để giải quyết một vấn đề cho trước (ví dụ, các bước giải phương trình) Kiến thức này phát triển thông qua thực hành giải quyết vấn đề, và do đó nó gắn liền với các loại vấn đề cụ thể Hơn nữa, “bản chất liên tiếp của các quy trình có lẽ đặt chúng tách rời với các dạng kiến thức khác” (Hiebert & LeFevre, 1986)

Các nghiên cứu đã đưa ra một sự phân cực nhất định giữa hai loại kiến thức toán học và do đó có thể dẫn đến sự đơn giản hóa bởi các giáo viên và thậm chí các nhà nghiên cứu giáo dục toán Họ thường phân biệt với việc nói rằng sự thực hiện thuật toán và hiểu (Nesher, 1986) Điều này dẫn đến một sự phân cực mà KTQT là phong phú và động trong bản chất, trong khi đó KTKN thì nghèo nàn và tĩnh Tuy nhiên giả thiết này không phù hợp với mô hình kiến tạo hiện đại của việc dạy và học, trong đó KTKN được xem một cách động, nó được kiến tạo bằng cách sử dụng nhiều loại khác nhau của các dạng biểu diễn khái niệm (đặc biệt phát biểu bằng lời,

đồ thị và kí hiệu) và việc xử lí linh hoạt giữa các thuộc tính khái niệm này Để tránh quan điểm KTQT là động và KTKN là tỉnh Dựa vào các phân tích dài hạn, Haapasalo & Kadijevich (2000) đã đề nghị các đặc trưng động cho KTQT và KTKN như sau:

 KTQT có nghĩa là việc sử dụng linh hoạt và thành công các quy tắc, các thuật

toán hoặc các quy trình cụ thể trong các dạng biểu diễn thích hợp Điều này luôn luôn yêu cầu không chỉ kiến thức về các đối tượng được sử dụng mà còn kiến thức định dạng và thuật toán cho các hệ thống biểu diễn mô tả chúng

 KTKN có nghĩa là kiến thức của các mạng lưới đặc thù và sự điều khiển khéo

léo theo chúng Các yếu tố của mạng lưới này có thể là các khái niệm, các quy tắc (các thuật toán, các quy trình…) và thậm chí là các vấn đề (một vấn đề được giải quyết có thể đem đến một khái niệm hay một quy tắc mới) được cho dưới các dạng biểu diễn khác nhau

Các đặc trưng ở trên không đối lập với quan điểm của Star (2007) đó là hai loại kiến thức này có thể xuất hiện ở một cá nhân ở mức độ hời hợt hoặc ở mức độ sâu sắc Trong một vài trường hợp, sự phân biệt KTQT và KTKN chỉ ở mức độ hiểu biết các hành động áp dụng KTQT thường đòi hỏi các bước thực hiện tự động và vô thức, trong khi đó KTKN đặc biệt yêu cầu tư duy có ý thức Tuy nhiên, KTQT cũng có thể được chứng minh trong một mô hình phản chiếu của tư duy, chẳng hạn khi học sinh kết hợp khéo léo hai quy tắc mà không biết tại sao chúng được thực hiện Các đặc trưng này nó rời khỏi quan điểm thường thấy của Hiebert và Lefevre (1986) là KTQT chỉ là các quy tắc hoặc thuật toán được biểu diễn phần lớn dưới dạng các kí hiệu và KTKN có nghĩa ít hay nhiều kiến thức khai báo với các định nghĩa Quan điểm động của KTKN nó phù hợp với lí thuyết hiện đại của hệ thống thần kinh, nó cho phép giải quyết các vấn đề phức tạp thông qua “điều khiển khéo léo” Điều này nó khác với quan điểm của Rittle-Johnson, Siegler và Alibali (2001) cho rằng KTQT chỉ là kiểu kiến thức khi thực hiện các dãy hành động để giải quyết các vấn đề và KTKN có nghĩa sự hiểu biết các mối quan hệ giữa các đơn vị kiến thức trong một phạm vi Tuy nhiên Haapasalo & Kadijevich (2000) cũng đồng ý với các quan điểm là kĩ thuật đằng sau mối quan hệ giữa KTQT và KTKN là sự thay đổi trong biểu diễn vấn đề

Haapasalo & Kadijevich (2000) đã đề nghị các đặc trưng của KTQT và KTKN mà

nó phù hợp với các mô hình dạy và học kiến tạo (Haapasalo, 2012) Các đặc trưng này không chỉ nhấn mạnh một vài khía cạnh quan trọng mà nó thiếu ở các quan điểm khác mà còn cho phép rời xa hai quan điểm truyền thống về mối quan hệ giữa hai loại kiến thức (chẳng hạn KTQT phụ thuộc KTKN và KTKN phụ thuộc KTQT) Hơn nữa, họ đã nhấn mạnh rằng sự phân biệt của hai loại kiến thức này ít nhất phụ

thuộc vào một người, nội dung và hoàn cảnh Bởi vì KTQT và KTKN không thể được đo một cách trực tiếp, họ thấy rằng nó là phù hợp để thiết kế những bài tập khái niệm và bài tập quy trình và nghiên cứu sự thành công của học sinh trong các bài tập đó

Bởi vì những lí do ở trên, chúng tôi thấy phù hợp để dùng thuật ngữ của Haapasalo

và Kadijevich (2000) để làm cơ sở lí thuyết cho luận văn này Hơn nữa, dựa vào định nghĩa của họ để đưa ra một khung lí thuyết phù hợp nhằm thảo luận cách KTQT và KTKN liên quan với nhau như thế nào, chúng là những kết luận sư phạm quan trọng Những phân tích của họ bộc lộ bốn quan điểm giữa các nhà nghiên cứu

về mối quan hệ này, chúng tôi sẽ trình bày nó ở phần tiếp theo cùng với những kết luận sự phạm của họ đó là “tiếp cận giáo dục” và “tiếp cận phát triển”

2.3 Đo lường kiến thức quy trình và khái niệm

Thật khó để phát triển các câu hỏi để kiểm tra KTQT mà không đòi hỏi KTKN và ngược lại Phần lớn các câu hỏi có cả đặc trưng quy trình và khái niệm (Silver, 1986) Mặc dầu vậy, các nghiên cứu thực nghiệm về KTQT và KTKN cho đến nay

đã dựa trên hai tập hợp các câu hỏi kiểm tra để đánh giá các mức độ của hai loại kiến thức này (Nesher, 1986; Byrnes và Wasik, 1991; Palmiter, 1991; Shimizu, 1996)

Việc phát triển các câu hỏi kiểm tra quy trình và khái niệm là một công việc khó khăn và phức tạp Trong khi bài tập KTQT chủ yếu là các mục tiêu định lượng, yêu cầu nhiều việc tính toán, các nhiệm vụ khái niệm, chúng đòi hỏi việc hiểu biết một lĩnh vực cơ bản, không có mục tiêu định lượng, chúng yêu cầu rất ít tính toán

Mỗi kiểu kiến thức được đo như thế nào là quyết định cho việc giải thích rõ ràng về mối quan hệ giữa KTQT và KTKN KTKN được đánh giá với nhiều cách khác nhau, nhưng trái lại KTQT thì có ít cách đo lường hơn

Việc đo KTKN thay đổi cho dù các bài tập yêu cầu KTKN rõ ràng hay tiềm ẩn Đo KTKN tiềm ẩn thường là các bài tập đánh giá trên đó học sinh thực hiện các lựa chọn theo loại (kiểm chứng tính đúng đắn một quy trình mẫu hoặc câu trả lời) hoặc thực hiện một đánh giá chất lượng (ví dụ, đánh giá một quy trình mẫu như rất thông minh, loại thông minh, hoặc không thông minh) Các đo lường tiềm ẩn khác là chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn (ví dụ, các phân số kí hiệu thành các mẫu biểu đồ) và so sánh các đại lượng

Các đo lượng KTKN rõ ràng bao gồm việc cung cấp các định nghĩa và các giải thích Các ví dụ gồm có việc khái quát hoặc việc lựa chọn các định nghĩa cho các khái niệm và các thuật ngữ, việc giải thích tại sao một quy trình tiến hành, hoặc vẽ một sơ đồ khái niệm Những bài tập này có thể là đầy đủ cho các yếu tố đánh giá bằng giấy bút hoặc trả lời bằng phát biểu trong suốt cuộc phỏng vấn đơn giản hoặc tiêu chuẩn (Ginsburg, 1997)

Rõ ràng, có nhiều bài tập khác nhau được dùng để đo KTKN Một chức năng quyết định của các bài tập khái niệm là tương đối không quen thuộc với người tham gia,

vì vậy các người tham gia phải nhận được một câu trả lời từ KTKN của họ, hơn là thực hiện một quy trình đã biết để giải quyết vấn đề Ví dụ, các bài toán so sánh độ lớn thỉnh thoảng được sử dụng để đo lường KTKN về độ lớn số (Hecht, 1998; Schneider, Crabner, & Paetsch, 2009) Tuy nhiên, học sinh thỉnh thoảng được dạy các quy trình để so sanh độ lớn hoặc phát triển các quy trình với việc thực hành lặp

đi lặp lại; đối với các em này, vấn đề so sánh độ lớn được đo là KTQT, không phải

là KTKN

Ngoài ra, việc đo lường KTKN mạnh hơn nếu chúng ta sử dụng các bài tập đa dạng Thứ nhất, việc sử dụng bài tập đa dạng có nghĩa để đánh giá các khái nhiệm giống nhau giảm bớt sự tác động lên các bài tập với các điểm riêng biệt (Schneider & Stem, 2010) Thứ hai, KTKN trong một lĩnh vực thường yêu cầu kiến thức của nhiều khái niệm, dẫn đến cấu trúc đa chiều Mặc dầu kiến thức mỗi loại là liên quan, có sự phân biệt riêng trong các mối quan hệ đó (Dowker, 2008; Jordan, Mulhem, & Wylie, 2009)

Việc đo lường KTQT có ít sự khác nhau hơn Các bài tập hầu hết là các cách để giải quyết vấn đề và kết quả đo lường thường là sự đúng đắn của câu trả lời hoặc các quy trình Thông thường, các nhà nghiên cứu xem xét thời gian giải quyết vấn đề phù hợp (Canobi, Reeve, & Pattison, 1988; LeFvevre et al, 2006; Schneider & Stem, 2010) Các bài tập quy trình là tương tự, chúng bao gồm những loại vấn đề

mà con người đã giải quyết trước đó và do vậy họ biết quy trình để giải quyết vấn

các phản ánh có ý thức và thường là phụ thuộc vào KTKN (Anderson, 1993) Khi quan tâm về KTQT là mềm dẻo, các nhà nghiên cứu đánh giá kiến thức về nhiều quy trình của học sinh và khả năng chọn chúng để giải quyết các vấn đề một cách hiệu quả (e.g Blöte, Van der Burg, & Klein, 2001; Star & Rittle-Johnson, 2008; Verschaffel, Luwel, Torbeyns, & Van Dooren, 2009) Tính mềm dẻo của KTQT là liên quan đến KTKN, nhưng sự liên quan này được đánh giá là không thường xuyên (Schneider, Rittle-Johnson & Star, 2011)

Để nghiên cứu mối quan hệ giữa KTQT và KTKN, nó quan trọng để đánh giá cả hai một cách độc lập Tuy nhiên, điều quan trọng để nhận ra rằng nó khó cho một yếu

tố để đo một kiểu kiến thức mà độc lập với kiến thức khác

2.4 Mối quan hệ giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm

Thảo luận về KTQT và KTKN đưa ra nhiều quan điểm khác nhau, trong đó một loại kiến thức là điều kiện cần hoặc có thể là điều kiện đủ cho loại kiến thức khác hoặc

cả hai chiều Nhưng nhìn chung người ta đều chấp nhận với nhau rằng không hoàn toàn theo cách này hay cách khác

Kiến thức toán học bao gồm cả KTQT và KTKN và “Mối liên kết giữa KTQT và KTKN có thể có nhiều thuận lợi cho việc tiếp thu và sử dụng KTQT.” (Hiebert & Lefevre, 1986) Phát biểu này chỉ ra rằng liên kết giữa hai loại kiến thức là quan trọng cho chúng ta để có thể áp dụng trong toán học Vậy những lợi thế của việc liên kết này là gì? Thứ nhất, nó cho phép một cá nhân suy luận bằng ý nghĩa của đối tượng, chứ không phải là suy luận thông qua một ngôn ngữ trung gian Thứ hai, từ mối liên hệ này sẽ đem lại nhiều lợi ích cho khả năng để lựa chọn và sử dụng hiệu quả các quy trình (Hiebert & Lefevre, 1986) Thứ ba, KTKN sẽ làm tăng khả năng phát hiện ra việc dùng sai quy trình hoặc không phù hợp trong tình huống cụ thể Hơn nữa KTKN cung cấp khả năng kiểm tra kết quả hoạt động toán học, nghĩa là phản ánh trên câu trả lời

Haapasalo & Kadijevich (2000) đã đưa ra 4 quan điểm về các phụ thuộc nhân quả giữa KTQT (kí hiệu Q) và KTKN (kí hiệu K) liên quan đến quá trình dạy học

Bảng 2.2 Các quan điểm về mối quan hệ giữa kiến thức quy trình (Q) và kiến thức

khái niệm (K)

Quan điểm kế thừa: Q là điều kiện cần nhưng không là điều kiện đủ của K (Kline

(1980), Kitcher (1983), Gray & Tall (1993) và Sfard (1994))

Quan điểm tương tác động: K là điều kiện cần nhưng không là điều kiện đủ của Q

((Byrnes & Wasik (1991))

Quan điểm đồng hoạt hóa: Q là điều kiện cần và đủ của K (Hiebert (1986),

(Byrnes & Wasik (1991) và Haapasalo (1993))

Quan điểm bất hoạt hóa: Q và K không liên quan nhau (Nesher (1986) và

Resnick & Omanson (1987))

Dựa vào lí thuyết của Sfard (1991) về sự phát triển từ hiểu biết thao tác đến hiểu biết cấu trúc thông qua thao tác, cô đọng và đồ vật hóa và một khi cho rằng hướng nhân quả là phù hợp với Hình 2.1 Quan điểm (Haapasalo & Kadijevich, 2000) ủng

hộ hướng nhân quả này và đặt tên là quan điểm kế thừa Quan điểm kế thừa phát

biểu rằng KTQT là điều kiện cần nhưng không là điều kiện đủ cho KTKN Các quy trình được xem như là một phần cơ sở của sự phát triển khái niệm

Hình 2.1 Kết quả hỗ trợ bởi quan điểm kế thừa Trái lại với quan điểm kế thừa là quan điểm tương tác động Byrnes & Wasik

(1991) cho rằng nhiều học sinh tính toán sai là do họ không hiểu ý nghĩa của kí hiệu

và các quy trình sẽ trở nên có ý nghĩa nếu như học sinh biết mối liên hệ giữa các đối tượng đó Họ cũng đồng ý rằng KTKN sẽ góp phần vào việc tìm ra được các lỗi trong tính toán Quan điểm này được kiểm tra bởi Byrnes và Wasik (1991) được chỉ

ra ở Hình 2.2

Hình 2.2 Kết quả hỗ trợ bởi quan điểm tương tác động Việc kiểm tra quan điểm đồng hoạt hóa dường như là một nhiệm vụ đầy hứa hẹn hơn cả, vì quan điểm này cho rằng KTQT không chỉ là điều kiện cần mà còn là điều

kiện đủ cho KTKN Byrnes & Wasik (1991) dựa vào các bài kiểm tra đã chỉ ra rằng KTKN không chắc là nguyên nhân dẫn đến các lỗi tính toán Mặt khác các nghiên cứu cũng chỉ ra rằng nếu thiếu KTKN thì dẫn đến thiếu KTQT Quan điểm này đề

Kiến thức quy trình

Kiến thức khái niệm

Kiến thức khái niệm

Kiến thức quy trình

nghị rằng việc phát triển KTQT và KTKN nên được quan tâm một cách song song trong cùng một thời điểm Khi làm việc với các quy trình, KTKN sẽ được dùng và tiếp tục phát triển Quan điểm này cũng được công nhận bởi Byrne (1998) và Haapasalo (1993), trong trường hợp này mối quan hệ nhân quả là hai chiều được chỉ

ra trong Hình 2.3

Hình 2 3 Kết quả hỗ trợ bởi quan điểm đồng hoạt hóa

Haapasalo & Kadijevich (2000) định nghĩa hai cách tiếp cận sư phạm đó là tiếp cận phát triển và tiếp cận giáo dục Cách tiếp cận phát triển được hổ trợ bởi các quan điểm kế thừa và quan điểm đồng hoạt hóa Cách tiếp cận giáo dục được hổ trợ bởi quan điểm tương tác động và quan điểm đồng hoạt hóa Vì vậy các cách tiếp cận kéo theo những lí giải khác nhau nhưng đồng hoạt hóa được sử dụng trong cả hai cách tiếp cận đó

Tiếp cận phát triển dựa trên ý tưởng là KTQT có trước KTKN Điều này được ủng

hộ bởi quan điểm của Sfard (1991) là sự phát triển nó diễn ra qua các giai đoạn: thao tác, cô đọng hóa và vật chất hóa Tiếp cận giáo dục cho rằng KTQT được kích hoạt bởi KTKN Có nhiều nghiên cứu chỉ ra rằng KTKN có trước KTQT trong cùng thời điểm (Byrnes & Wasik, 1991)

Vai trò của giáo viên cũng có ảnh hưởng quan trọng Haapasalo (1993) đưa ra bằng chứng rằng việc dạy toán truyền thống bị phân cực để áp dụng vào các tiếp cận nói trên Các giáo viên, đặc biệt dạy ở các lớp tiểu học, đi đến các quy trình trước, sau

đó KTKN xuất hiện như là một hệ quả Mặt khác ở các lớp cao hơn, khái niệm toán học được định nghĩa trước hết, theo sau đó là thực hành và luyện tập các quy trình

2.5 Các phương pháp phát triển hai loại kiến thức

Phương pháp dạy học hỗ trợ phát triển KTQT và KTKN là quan trọng và có tính quyết định Ở đây, chúng tôi nêu lên ba tiếp cận dạy học tổng quát có nhiều triển vọng và được trích trong luận văn

Tiếp cận thứ nhất nhằm thúc đẩy việc so sánh các quy trình giải toán khác nhau Đây là một tiếp cận dạy học hiệu quả Trong một loạt các nghiên cứu, các học sinh làm việc theo nhóm trên các ví dụ minh họa hai quy trình đúng và khác nhau về

Kiến thức khái niệm

Kiến thức quy trình

việc giải quyết cùng một vấn đề và được khuyến khích để so sánh chúng hoặc làm việc trên cùng một ví dụ ở một thời điểm và được khuyến khích để phản ánh chúng riêng rẽ Đối với các học sinh, những người biết một trong các quy trình giải toán ở

đề kiểm tra thử, việc so sánh các quy trình hỗ trợ KTQT lớn hơn (Rittle-Johnson & Star, 2007; Rittle-Johnson, Star, & Durkin, 2009) hoặc KTKN lớn hơn (Rittle-Johnson & Star, 2009; Rittle-Johnson et al., 2009; Star & Rittle-Johnson, 2009) Đối với người mới học, những người không biết một quy trình giải ở đề kiểm tra thử, không có lợi ích nào được tìm thấy về KTQT hoặc khái niệm (mặc dầu việc so sánh cải thiện tính lính hoạt quy trình; thấy Rittle-Johnson et al., 2009; Rittle-Johnson, Star, & Durkin, 2011) Hơn nữa, các học sinh so sánh các quy trình không đúng để điều chỉnh KTQT và KTKN và giảm bớt các sai lầm (Durkin & Rittle-Johnson, 2012) Nói chung, việc so sánh các quy trình có thể giúp học sinh nhận được KTQT và KTKN, nhưng sự thuận lợi của nó là chắc chắn hơn nếu học sinh có kiến thức ban đầu đầy đủ

Tiếp cận thứ hai là khuyến khích việc tự giải thích khi nghiên cứu các quy trình giải toán Ví dụ, khuyến khích các học sinh tiểu học giải thích tại sao các lời giải cho việc giải quyết các bài toán bằng nhau là đúng hoặc không đúng hỗ trợ lớn hơn sự chuyển đổi quy trình (Rittle-Johnson, 2006) Tương tự, việc thúc đẩy các học sinh trung học tự giải thích khi nghiên cứu các ví dụ về xác suất hổ trợ KTKN về xác suất lớn hơn (mặc dầu nó dường như làm trở ngại KTQT; Berthold & Renkl, 2009) Tiếp cận thứ ba là đem đến các cơ hội khám phá vấn đề trước khi dạy học (Schwartz, Chase, Chin, & Oppezzo, 2011) Ví dụ, học sinh tiểu học đã giải quyết một tập hợp các bài toán không tương tự và nhận một bài học về khái niệm bằng nhau, và trật tự giải quyết vấn đề và bài học được thực hiện (DeCaro & Rittle-Johnson, 2011) Trẻ em giải quyết vấn đề không tương tự trước bài học, chúng thu được KTKN nhiều hơn so với trẻ em giải quyết vấn đề sau bài học Tương tự học sinh trung học khám phá các vấn đề và phát hiện các công thức riêng của mình để tính toán về tỉ lệ trước khi dạy nhận được KTQT và KTKN sâu về tỉ lệ hơn các học sinh nhận được bài học trước (Schwartz et al., 2011) Khám phá vấn đề trước tiên phù hợp với sự giới thiệu từ các bài giảng giáo dục toán mà các học sinh có cơ hội

để cố gắng và nhận ra một số thứ mà nó không hiển nhiên ngay lập tức (Hiebert & Grouws, 2009)

Chúng tôi cho rằng việc tạo môi trường cho học sinh so sánh, tự giải thích và khám

phá là các tiếp cận dạy học triển vọng cho việc phát triển KTQT và KTKN Học

sinh cần có cơ hội để tự mình khám phá kiến thức mới, chẳng hạn như dựa vào các

dạng biểu diễn của đồ thị hàm số bậc hai để hình thành định lí về dấu của tam thức

bậc hai là cơ hội để các em phát triển mối quan hệ giữa các biểu diễn, tạo hứng thú

hơn trong quá trình học tập kiến thức mới

2.6 Tóm tắt chương 2

Trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu các quan điểm về kiến thức quy trình và

khái niệm, trình bày lí do lựa chọn thuật ngữ của Haapasalo và Kadijevich (2000)

để làm cơ sở lí thuyết cho luận văn Chúng tôi cũng đã trình bày bốn quan điểm về

mối quan hệ giữa kiến thức quy trình và khái niệm, các đo lường hai loại kiến thức

và giới thiệu ba tiếp cận dạy học nhằm phát triển hai loại kiến thức này

Chương 3

THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU Giới thiệu

Mục đích của nghiên cứu là thiết kế các bài tập để đo KTQT, KTKN về đại số lớp

10 và nghiên cứu khả năng kết hợp hai loại kiến thức để giải quyết một số bài toán không quen thuộc trong đại số Chúng tôi tập trung vào các khái niệm hàm số, hàm

số bậc nhất, hàm số bậc hai và một số vấn đề về phương trình và bất phương trình tương đương Dữ liệu của nghiên cứu được thu thập từ các học sinh lớp 10 trường trung học phổ thông Các bài tập được phát triển để khám phá cách mà các học sinh thực hiện trên các nhiệm vụ quy trình và mức độ mà các em bộc lộ KTQT Hơn nữa, các bài tập cũng được lên kế hoạch để đo khả năng áp dụng các khái niệm toán học trong đại số Các bài tập được phát triển phù hợp với tiêu chuẩn về bản chất các biến đo lường kiến thức Tất cả các biến chứa trong một mô hình đo tâm lí Mô hình bao gồm nhiều giả thuyết về cách đo kiến thức và khả năng kết hợp kiến thức để giải quyết vấn đề Nó cũng phản ánh các khái niệm này liên quan hoặc phụ thuộc lẫn nhau như thế nào

Để tiến hành kiểm tra, một tập hợp các nhiệm vụ nhằm để đo KTQT về đại số, KTKN về đại số có được bằng việc sử dụng phân tích nhân tố khẳng định Phần này của nghiên cứu liên quan như một phần đo lường Để đánh giá một phân tích là ý nghĩa, nhìn chung các biến đo lường những gì mà chúng dự định để đo Mặt khác, một tập hợp các nhiệm vụ có nghĩa để đo KTQT, chỉ đo KTQT và không đo điều gì khác Để làm được điều đó, KTQT về đại số phải được phân tích thành các tiêu chí phù hợp mà có thể được đo và phù hợp với việc chấp nhận chung về ý nghĩa của thuật ngữ Mặc dầu có một sự nhất trí chung giữa các nhà nghiên cứu và các giáo viên về ý nghĩa của KTQT, tình huống nó trở nên phức tạp hơn khi nói đến KTKN Khả năng kết hợp KTQT và KTKN, chúng không là một thuật ngữ đã thiết lập, được đo bằng các bài tập chỉ ra khả năng kết hợp hai loại kiến thức để giải quyết các vấn đề không quen thuộc

Dường như khó hoặc thậm chí là không thể phát triển các kĩ năng thuật toán mà không có một số loại KTKN, ít nhất trên một thành phần cơ bản gồm có trong các tính toán và không chắc rằng học sinh có thể phát triển các kĩ năng mà không thể phản ánh lên các kết quả Một mặt khác, việc hiểu một khái niệm mà không liên quan đến các quy trình cơ bản dường như là không thể, ít nhất là đối với toán học

Vài lí thuyết đã thảo luận về cách mà các kiểu kiến thức phụ thuộc nhau như thế nào Cơ sở của giả thuyết đầu tiên về mối quan hệ dựa vào các nghiên cứu trước bởi Sfard (1991), Hiebert & Lefevre (1986), Kandijevich and Haapasalo (2001) và các người khác Phần này của nghiên cứu là liên quan đến mô hình các biến tiềm ẩn

Mô hình đo lường và mô hình các biến tiềm ẩn được kết hợp thành mô hình cấu trúc tuyến tính (SEM) thực hiện từ phần mềm AMOS AMOS (hay còn gọi là SPSS AMOS) là công cụ để xây dựng các mô hình cấu trúc Những loại mô hình này được sử dụng rộng rãi trong điều tra khoa học xã hội và nhân văn, đặc biệt khi nghiên cứu các hiện tượng mà các biến không thể đo lường một cách trực tiếp, thường là trường hợp với hiểu biết toán học Thậm chí mối quan hệ nhân quả không được minh chứng rõ, việc phân tích sẽ cho chúng ta những đề nghị liên quan trong

mô hình kết nối với các mẫu dữ liệu (Bollen, 1989)

Tất cả các câu hỏi của nghiên cứu này được giả định như một giả thuyết, chúng được gắn vào một mô hình thống kê, nhưng mô hình này không chỉ là một công cụ

để kiểm tra giả thuyết mà còn là một công cụ để thảo luận những vấn đề giống như cách học sinh tiếp cận để học, thực hành dạy học cũng như sử dụng các đánh giá

3.1 Thiết kế nghiên cứu

Để đương đầu với các thách thức, một thiết kế trong ba giai đoạn được áp dụng, đó

là đề kiểm tra thử, đề kiểm tra chính thức và phỏng vấn tương ứng Hai đề kiểm tra được giao cho các nhóm học sinh khác nhau ở các thời điểm khác nhau, nhưng các

em đều là những học sinh lớp 10 Hơn nữa, ba học sinh được phỏng vấn về nền tảng giáo dục và niềm tin toán học của các em từ trường trung học để tìm một giải thích

có thể cho kết quả của đề kiểm tra chính thức

Sự chú ý trong đề kiểm tra thử là thực hiện các kiểu nhiệm vụ khác nhau trong cùng một kiểu khám phá để có một vài nền tảng phát triển các bài tập cho đề kiểm tra chính thức Kết quả được sử dụng để phản ánh loại kiến thức yêu cầu, các mức độ khó và khả năng để bài tập bộc lộ sự phân biệt giữa các học sinh

Đề kiểm tra chính thức được dự định để phát triển mô hình thống kê và thực hiện phân tích về các câu hỏi nghiên cứu Sự phát triển của mô hình bao gồm một ước lược về các tham số mô hình, một đánh giá về chỉ số mô hình và sự phỏng đoán có thể cho mô hình Một thách thức khác là việc tìm một phương pháp thích hợp để phán đoán liệu các đo lường trong mô hình là có hợp lệ hay không, nghĩa là chúng

đo những gì mà chúng dự định để đo Để đối mặt với thách thức của nghiên cứu

giống như KTKN về đại số, chúng là mập mờ và khó để đo trực tiếp, các khái niệm này được xem như các nhân tố bằng sử dụng kĩ thuật phân tích nhân tố Phân tích nhân tố khẳng định được áp dụng để phát triển các bài tập đo các khái niệm: KTQT

về đại số, KTKN về đại số và khả năng sử dụng hai loại kiến thức này để giải quyết một số bài toán Các mối quan hệ giữa các khái niệm được điều tra bởi các hồi quy tuyến tính Một kĩ thuật mô hình cấu trúc cho phép hợp nhất phân tích nhân tố và phân tích hồi quy vào một mô hình thống kê

3.2 Kiến thức quy trình về đại số

Từ định nghĩa của Haapasalo và Jadijvevich (2000) chúng ta có thể thấy kiến thức quy trình về đại số có nghĩa là việc sử dụng thành công và linh hoạt các quy tắc, các thuật toán hoặc các quy trình cụ thể khi chúng được dụng áp dụng trong đại số Điều này bao gồm việc sử dụng thành công các thuật toán theo các bước trình tự và việc sử dụng các quy tắc trong các biểu diễn riêng rẽ, chẳng hạn như các biểu diễn đại số và đồ thị và kể cả việc sử dụng các cú pháp và định dạng chúng yêu cầu cho

hệ thống biểu diễn mô tả chúng

Các câu hỏi có mục đích kiểm tra KTQT về đại số điển hình là các câu hỏi mà các học sinh được yêu cầu để tính giá trị của hàm số tại một điểm, vẽ đồ thị hàm số hoặc giải phương trình, bất phương trình Đặc biệt, các câu hỏi này được giải theo quy trình từng bước mà không cần thiết một kiến thức sâu về đại số

KTQT về đại số được đo bởi các biến sau:

Cho dù các dạng biểu diễn khác được sử dụng trong toán học, chẳng hạn như bảng

và lời văn, thật khó để tạo ra các bài tập cho các loại biểu diễn này để phân biệt giữa

các lời giải khác của chúng yêu cầu nhiều hơn tư duy có ý thức, và có thể liên quan nhiều hơn đến KTKN Vì đồ thị và biểu thức đại số là các dạng biểu diễn chiếm ưu thế trong dạy và học toán và cũng rõ ràng để phân biệt nên đo lường về KTQT về đại số được giới hạn bởi ba biến đề cập ở trên

3.3 Kiến thức khái niệm về đại số

Kiến thức khái niệm về đại số là việc sử dụng thành công các mạng lưới cụ thể và các mối quan hệ liên quan đến đại số Điều này bao gồm việc sử dụng các mối quan

hệ giữa các dạng biểu diễn khác nhau, mối quan hệ đến các chủ đề toán học khác và kiến thức trước đó Nó cũng bao gồm khả năng để chọn các phương pháp phù hợp

và phản ánh trên kết quả của một nhiệm vụ toán học Kiến thức khái niệm về đại số cũng bao gồm khả năng tư duy hàm số như một đơn vị từ các quy trình và sở hữu các kĩ thuật để kiểm tra liệu các tính chất là đúng hay sai khi đánh giá một lời giải Khi nói đến việc đo lường KTKN về đại số, chúng ta cần mô tả khách quan, và các đặc trưng này cần được đo lường hoặc ít nhất một vài biến quan sát Một khía cạnh của việc có KTKN là có cảm giác tốt về một đẳng cấu giữa các biểu diễn khác nhau, cho cùng một đối tượng ở trong đầu người học Các học sinh trong nghiên cứu này được yêu cầu trả lời câu hỏi ở đó các em phải thay đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau Một ví dụ cho điều này là chỉ ra các đồ thị liên quan với các biểu thức đại số Một kiểu bài tập khác để đo KTKN của hàm số gồm có các câu hỏi mà các học sinh được yêu cầu để thực hiện các phép tính trên đồ thị trong đó chỉ các đồ thị được biểu diễn và các biểu thức đại số tương ứng đã được xóa đi Sự chú ý được kiểm tra

là khả năng để tính toán đồ thị như các đơn vị, không đi vào các bước quy trình trên các hàm số đã cho

KTKN về đại số được đo lường bởi các biến tiềm ẩn sau đây:

Mối quan hệ giữa biểu diễn đại số và biểu diễn đồ thị (KN1)

Giải thích đồ thị (KN2)

Giải thích đại số (KN3)

Các dạng câu hỏi đầu tiên diễn tả khả năng thấy được mối quan hệ giữa các biểu diễn khác nhau của hàm số Trong dạng câu hỏi thứ hai, các đồ thị được xem như là một đối tượng Trong các trường hợp khác, đồ thị như là một “đơn vị” chúng được xem xét một cách tổng thể Điều này khác với các câu hỏi về “quy trình đại số” ở đó các phép toán được thực hiện trên các yếu tố trên đồ thị, chẳng hạn như đọc giá trị

từ đồ thị Trong câu hỏi này, thuật ngữ “không quy trình” cũng có thể được sử

dụng, liên quan đến sự vắng mặt của các quy trình đại số Nhìn chung, một khi có thể nói rằng đồ thị là biểu diễn cô đọng của một hàm số hơn là biểu thức đại số, và biểu thức đại số mang đến các thông tin chi tiết hơn về cách thực hiện các quy trình

Ý tưởng là đặt các câu hỏi mà đồ thị mang đến đầy đủ các thông tin để giải quyết bài tập mà không có chi tiết về các quy trình

Tập hợp các bài tập dạng thứ ba yêu cầu các học sinh đưa ra các giải thích về hàm

số đã cho bởi biểu thức đại số, các bài tập này được thiết kế để đo khả năng thực hiện các phản ánh trên hàm số đã cho đúng hơn là thực hiện các quy trình thuật toán Câu hỏi này liên quan đến cách hàm số có thể được xem như các đơn vị khi

chúng được biểu diễn chỉ duy nhất bằng các tên giống như f, và một vài tính chất

được cho dưới dạng văn bản, các nhiệm vụ về phương trình và bất phương trình tương đương, đánh giá lời giải đúng hoặc sai cũng được xem xét

3.4 Thu thập dữ liệu cho nghiên cứu

Nghiên cứu này được tiến hành tại trường THPT Trần Hưng Đạo - Lệ Thủy - Quảng Bình, và dữ liệu để phân tích chính thức được thu thập từ 100 học sinh lớp

10 đã học xong các nội dung: hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, phương trình và bất phương trình Vì sự phát triển một tập hợp các nhiệm vụ thích hợp được xem là quyết định, một đề kiểm tra thử được giao cho 40 học sinh, được thực hiện trước khi đề kiểm tra chính thức tiến hành Những trải nghiệm từ đề kiểm tra thử được sử dụng để phát triển các nhiệm vụ phù hợp cho đề kiểm tra chính thức Cuối cùng ba học sinh đến từ các lớp khác nhau được chọn để phỏng vấn Tóm lại, nghiên cứu này dựa vào dữ liệu thu thập từ 143 học sinh lớp 10 trường THPT Trần Hưng Đạo THPT Trần Hưng Đạo là ngôi trường nằm ở phía nam Huyện Lệ Thủy, địa bàn tuyển sinh là các trường THCS các xã lân cận nhà trường, khối 10 gồm có 10 lớp, trong đó 5 lớp học theo ban khoa học tự nhiên và 5 lớp học ban cơ bản Những lớp tiến hành điều tra là các em học theo chương trình ban khoa học tự nhiên, đây là những học sinh được chọn ra từ 10 lớp nói trên

Đề kiểm tra thử tiến hành như một công cụ đánh giá các kiểu nhiệm vụ khác nhau

để phát triển các nhiệm vụ thích hợp cho đề kiểm tra chính thức Vì vậy các kết quả

từ đề kiểm tra thử không được phân tích với mô hình giả thuyết Thay vào đó là việc kết hợp các phân tích và các thống kê đơn giản được sử dụng nhằm đánh giá các nhiệm vụ liên quan đến khả năng đo các khía cạnh khác nhau của kiến thức

3.5 Các nhiệm vụ đo các loại kiến thức

Phần này chúng tôi cung cấp một sự diễn tả về các nhiệm vụ trong đề kiểm tra chính thức cho mỗi câu hỏi, và các biến tiềm ẩn liên quan Vì tính hợp lí của mỗi nhiệm vụ có thể được đánh giá bởi phần lớn nội dung do đó các thảo luận khá chi tiết Chúng ta thường nghĩ một nhiệm vụ là định hướng kĩ năng, trong khi từ vấn đề kết hợp với một số thứ bao gồm nhiều hơn chỉ là các quy trình mà thôi Trong chương này, từ nhiệm vụ được sử dụng khi diễn tả các câu hỏi khác nhau, cho dù chúng đo KTQT, KTKN hoặc khả năng áp dụng

Một điều rất quan trọng để nhớ các thách thức khác nhau được yêu cầu để giải quyết một vấn đề toán học Điều này có lẽ liên quan đến mô hình nhận thức của Polya về quá trình giải quyết vấn đề, chúng bao gồm bốn bước (Polya, 1945):

1 Hiểu vấn đề

2 Tìm kiếm phương án giải quyết

3 Sử dụng phương án để giải quyết vấn đề

4 Kiểm tra và đánh giá câu trả lời

Bốn bước này có thể là tham khảo hữu ích khi các tiêu chuẩn về các nhiệm vụ khác nhau được thảo luận Các câu hỏi liên quan là: Loại kiến thức gì được yêu cầu cho mỗi bước? Từ cái nhìn đầu tiên, dường như bước thứ 3 là giai đoạn quy trình, trong khi khó để thấy cách mà chỉ một mình quy trình là đủ để làm việc thông qua các bước khác Tất cả các giai đoạn là thích hợp đối với KTKN và khả năng kết hợp để giải quyết một số bài toán

Sự chú ý của đề kiểm tra thử là việc tìm ra nhược điểm và độ tin cậy của các loại nhiệm vụ Một phân tích đầy đủ cho đề kiểm tra thử không được đưa ra một cách riêng rẽ, vì sự chú ý là nghiên cứu các nhiệm vụ hơn là kết quả của học sinh Thay vào đó một trải nghiệm từ đề kiểm tra thử được sử dụng để chỉ rõ cho việc phát triển các nhiệm vụ trong đề kiểm tra chính thức thích hợp Các nhiệm vụ trong đề kiểm tra chính thức được thảo luận, chúng có nghĩa rằng tất cả các nhiệm vụ bao gồm trong một loại câu hỏi được thảo luận trong cùng một phần tương ứng

Để có thể chắc chắn thiết kế được các nhiệm vụ, chúng yêu cầu chủ yếu KTQT về đại số Sự khó khăn đặt ra trong việc phát triển các nhiệm vụ ở đó việc dùng KTKN

về đại số là vắng mặt khi học sinh làm việc với chúng Nếu một học sinh được yêu cầu để tính toán giá trị của biểu thức 2

3

x  tại x2 và học sinh đưa ra một kết quả

âm, thì học sinh có thể kết luận rằng kết quả là sai bởi vì x2 không âm và vì vậy câu

trả lời không thể nhỏ hơn 3 Trong trường hợp này học sinh có thể tính giá trị trở lại, dựa trên sự lí giải dựa vào một loại kiến thức, chúng có thể được xem xét như KTKN Tuy nhiên, vì chúng tôi không xem xét loại kiến thức này là đối lập, điều này không gây ra vấn đề cho các phân tích

Các nhiệm vụ đo KTKN về đại số được thiết kế theo cùng một cách, chúng khó để giải quyết chỉ bằng một mình KTQT Những nhiệm vụ này được xác định bằng cách là các học sinh không thể sử dụng phương án giải quyết thuật toán thuần túy

3.6 Các nhiệm vụ đo kiến thức quy trình về đại số

KTQT về đại số có lẽ đang phản ánh ở toán học nhà trường hiện nay là việc tập trung vào các kĩ năng Kadjevich (1999) cho rằng các kĩ năng này chủ yếu được bồi dưỡng thông qua các bài tập quy trình, chủ yếu là các mục tiêu định lượng Baker & Czarnocha (2002) đã điều tra sự phát triển nhận thức phụ thuộc vào KTQT và KTKN Họ đã đo KTQT thông qua điểm số trung bình của một học sinh trong môn toán Điều này có thể nói rằng đặc trưng của toán học nhà trường phản ánh chủ yếu lên kiến thức quy trình

Các bài tập đo KTQT về đại số được thiết kế để kiểm tra khả năng của học sinh thực hiện một kế hoạch hoặc chính xác hơn là thực hiện một quy trình Như đề cập

ở trước, điều này liên quan đến bước thứ 3 trong sơ đồ bốn bước của Polya Cả hiểu vấn đề và lập kế hoạch để giải quyết vấn đề không có vai trò quyết định trong trường hợp này Một mặt khác, các nhiệm vụ nên rõ ràng để hiểu những gì học sinh được yêu cầu và các vấn đề cần việc chọn lựa giữa các phương án giải quyết được hạn chế tối đa Việc thực hiện chọn lựa giữa các phương án giải quyết có thể được xem như một quá trình, chúng đòi hỏi KTKN, vì sự chọn lựa thường xuyên dựa vào việc kiểm chứng các tính chất hoặc các mối quan hệ

Những bài tập này có thể được giải quyết bằng việc sử dụng các thuật toán quen thuộc và các quy trình từng bước ở đó bước tiếp theo được thực hiện phụ thuộc duy nhất vào tình trạng của bước trước và lời giải có thể xác định đúng vị trí mà không cần tìm kiếm các quan hệ với các dạng biểu diễn toán học khác Nếu một vấn đề được thể hiện thông qua đồ thị, không có biểu diễn toán học khác của vấn đề là cần thiết phải huy động Cuối cùng, các bài tập đo KTQT về đại số không nên liên quan đến áp dụng hoặc các môn học từ các lĩnh vực khác của nghiên cứu vì áp dụng được xem xét trong khả năng giải quyết một số bài toán không quen thuộc Thậm chí nếu

các vấn đề mà bao gồm những mối quan hệ mà cũng yêu cầu kĩ năng quy trình, nó

sẽ khó để phân biệt các kiểu kiến thức mà các học sinh áp dụng trong câu trả lời

Ba câu hỏi đo KTQT về đại số, một câu liên quan đến quy trình đồ thị và hai câu khác liên quan đến quy trình đại số Điểm số cho mỗi câu hỏi được tạo nên bởi một nhân tố cơ bản chung, đặt tên là KTQT về đại số và điểm số giữa các câu hỏi được mong đợi là tương quan với vài mức độ Một mặt khác các câu hỏi cũng sẽ giải thích sự khác nhau trong đồ thị và kĩ năng quy trình, vì thế các câu hỏi là khác nhau

3.6.1 Các quy trình đồ thị

Câu hỏi này được thiết kế để đo liệu học sinh có thể vẽ một đồ thị, giả thiết rằng các

em đã tính toán giá trị cho một tập hợp cặp điểm x f x;    Một đồ thị không đúng

có thể bắt nguồn từ thực tế là học sinh không thể tính toán giá trị của hàm số hoặc thiếu khả năng vẽ đồ thị, thậm chí các cặp giá trị là đúng Các bài tập được đưa ra trong đề kiểm tra thử

Hình 3 1 Các nhiệm vụ đo kiến thức về quy trình đồ thị

Các bài tập được dự định tập trung vào phần chia của KTQT là liên quan đến đồ thị, các học sinh phải tính toán giá trị của hàm số bằng đại số trước khi các em vẽ đồ thị Một khi có thể cho rằng câu hỏi chứa các yếu tố đại số, nhưng vì tính toán với vai trò đó được xem xét là tầm thường, các học sinh không được mong chờ có nhiều vấn đề với phần này của bài tập Bài tập thứ ba nó được mong đợi khó hơn hai bài

tập đầu Thực tế rằng các giá trị tính toán được cho là đơn giản và chúng ta có lí tin rằng các phần còn lại thuần túy là quy trình đồ thị, nghĩa là vẽ các điểm trong hệ trục tọa độ và vẽ đồ thị

Hiebert và Lefevre (1986) mô tả các bước quy trình như “hệ thống sản xuất mà yều cầu một vài loại đầu vào có thể nhận kết quả đầu ra” Trong trường hợp này, đầu vào được đưa ra là biểu thức đại số quen thuộc với học sinh Các đối tượng khác được thực hiện dựa trên các kí hiệu và học sinh được giả sử có một khái niệm hóa khách quan về chúng Vì vậy đầu vào hoặc “điểm bắt đầu” nên được hiểu một cách

rõ ràng Các kí hiệu chẳng hạn như “x” và “+” được cho là quen thuộc với các học

sinh Đối với một học sinh để hiểu phát biểu bài toán (bước 1), các em cũng phải có một ý tưởng rõ ràng những gì mà giai đoạn cuối được mong chờ

Tìm kế hoạch giải quyết vấn đề (bước 2) không là vấn đề cho các lí do đơn giản mà các học sinh đã làm việc với các nhiệm vụ tương tự một vài lần trước đó

Tất nhiên là có thể một vài thứ có thể thử đưa ra một đồ thị trên các tính toán, và thử tái hiện nó bằng việc vẽ một hình tương tự trên giấy Điều này không phải là tiếp cận chung, vì các học sinh quen thuộc với kiểu trả lời được mong chờ

Xem xét các bình luận trước, đối với các học sinh không thể vẽ đồ thị, có lẽ đã sai trong bước thứ 3 (Polya), thực hiện kế hoạch Một học sinh khi nối các điểm để vẽ

đồ thị có thể phát hiện ra điểm nào đó không nằm trên đồ thị và sẽ kiểm tra lại bằng việc tính toán Điều này có nghĩa là các em có thể kiểm tra câu trả lời là lỗi (Polya bước 4) và ít nhất là đã chứng tỏ có khả năng để sửa nó Cũng khó để xác định liệu các học sinh đã phản ánh thực sự lên các câu trả lời hay là nguyên nhân của việc bắt chước quy trình Tuy nhiên chúng tôi có thể nói với một số lượng nào đó các em bị lỗi là không thể thực hiện thuật toán

3.6.2 Các quy trình đại số

Câu hỏi QTĐS1 (QTĐS1 trong Hình 3.2) có lẽ là đại diện cho loại quy trình mà các học sinh có các trải nghiệm nhiều nhất từ trường học, và nhiều đề nghị đổi mới bằng cách tập trung vào khám phá các mẫu và tìm kiếm lời giải hơn là chỉ nhớ các quy trình và các công thức (Schoenfeldf, 1982) Đối với mục đích đo lường cho câu hỏi này, sự quen thuộc của học sinh với mỗi bài tập và có lí để tin rằng bước 1và bước 2 trong Polya không phải là nguyên nhân của vấn đề

Để khám phá cách mà các bài tập có thể phát hiện ra sự thay đổi giữa các học sinh, các câu hỏi sau được kiểm tra trong đề kiểm tra thử:

1 Cho hàm số f x   2x 1 và g x  x 2

Tìm x để f x g x 

2 Cho hàm số f x  2x1 và g x 3x5

Tìm x để f x g x 

Các câu hỏi để đo KTQT đại số được chỉ ra ở Hình 3.2

Hình 3 2 Các nhiệm vụ đo kiến thức quy trình đại số 1

Trong các bài tập 4, 5 và 6, 7 các quy trình theo sau là dễ hoặc khó được đưa ra Trong giải quyết bài tập 6, các tiếp cận quy trình khác là có thể Vì với hai điểm đã cho, có thể thay tọa độ của một điểm vào một biểu thức g x ax b để tìm b và sau đó sử dụng tọa độ điểm khác để tìm a Một tiếp cận khác là thay tọa độ của hai

điểm đã cho vào công thức         2 1   

3.7 Các nhiệm vụ đo kiến thức khái niệm về đại số

Các câu hỏi nên bao quát các khía cạnh chính của ý nghĩa KTKN để thỏa mãn các tiêu chuẩn về tính hợp lệ nội dung (Bollen, 1989), nói cách khác, chúng nên đo những gì mà chúng dự định để đo Chúng tôi cần tóm tắt bản chất về KTKN được thảo luận trong chương 2

Các câu hỏi nên giữ các khía cạnh vật chất hóa (Stard, 1991), đó là một khái niệm

có thể được hiểu như một đơn vị, mà không có tư duy của các quy trình cơ bản Breidenbach (1992) cho rằng một cách duy nhất để thực hiện một đối tượng toán học là tóm gọn thành một quá trình

Thách thức là việc tạo ra các bài tập trong đó các hàm số được xem như các đơn vị

và đưa ra câu hỏi trong một cách như vậy tiếp cận quy trình không làm việc

Một khía cạnh quan trọng khác liên quan đến các mối quan hệ Heibert và Lefevre (1986) diễn tả KTKN như “một mạng lưới trong đó các mối quan hệ liên kết là nổi bật như các mẫu thông tin riêng rẻ” Điều này phù hợp với “việc xử lí khéo léo theo các mạng lưới” xuất hiện trong phần định nghĩa KTKN ở trang 15 Chúng tôi có thể nói rằng để có KTKN sâu sắc là có thể tổ chức và cấu trúc nội dung thành tổng thể mạch lạc bằng việc phán đoán nhiều mối quan hệ Các bài tập ở đó mà thách thức nằm trong việc liên kết giữa các dạng biểu diễn được tính đến Có các vấn đề liên quan khác, như khả năng để liên kết đến những kiến thức toán học khác Đây có thể

là kiến thức cũ, chẳng hạn như kiến thức về số học cơ bản, đại số và các ký hiệu, nhưng nó cũng liên quan đến các khái niệm sẽ phát triển sau này

Cả phương án thứ hai và thứ tư trong mô hình Polya bao gồm sự phán đoán về các vấn đề liên quan Tìm phương án để giải quyết vấn đề sẽ là không thể không có sự hình dung hoặc một vài ý tưởng về các phương án khác nhau có thể hướng đến Lập

kế hoạch xảy ra trước khi thực hiện kế hoạch (bước 3) và sẽ dựa vào một số thứ khác hơn các bước quy trình

Việc kiểm tra các câu trả lời cũng liên quan đến các tính chất của khái niệm này Xem xét các câu trả lời có nghĩa là đánh giá liệu kết quả có lí hay không Sự có mặt của các kĩ thuật biểu diễn là một đặc trưng cho KTKN về đại số Đôi khi học sinh phát hiện ra kết quả một quy trình là không hợp lí nhờ dựa vào các yêu cầu hoặc các tính chất nào đó không phù hợp Trong các trường hợp này, các em dường như thử lại

3.7.1 Mối quan hệ giữa các biểu diễn đồ thị và đại số

Các câu hỏi này liên quan đến các dạng biểu diễn khác nhau Sự chú ý không phải

là kiểm tra các kĩ năng đại số và khả năng thao tác trên đồ thị riêng rẽ, mà để kiểm tra liệu các học sinh có khả năng thấy các mối quan hệ giữa các biểu diễn đồ thị và biểu diễn đại số hay không Haapasalo (1993) đã phân biệt các mức độ nhận dạng, thể hiện và củng cố khái niệm Ông ấy nhận thấy rằng các kiểu bài tập thể hiện khái niệm (có nghĩa là các bài tập yêu cầu học sinh thay đổi từ một dạng ngôn ngữ này sang dạng ngôn ngữ khác, hay từ dạng kí hiệu này sang dạng khác, từ dạng biểu diễn này sang biểu diễn khác) là đáng tin cậy để đo KTKN Một câu hỏi đặt ra là liệu các học sinh có thể thực hiện sự chuyển đổi này dựa vào “việc điều khiển khéo léo” hay các em cần làm việc đó thông qua các phương án quy trình

Các câu hỏi trong đề kiểm tra thử:

1 Dưới đây là đồ thị của hàm số yax2bxc , tìm tất cả các giá trị của x để

0

Hình 3 4 Một nhiệm vụ từ đề kiểm tra thử chỉ ra mối quan hệ giữa biểu diễn đại số

và đồ thị

2 Dưới đây là đồ thị của hàm số f(x), hãy viết biểu thức của f(x)

Hình 3 5 Một nhiệm vụ từ đề kiểm tra thử để đo khả năng đưa ra một biểu diễn đại