Bảng tổng hợp các chuyên đề về hàm số lượng giác

Kết luận hàm số lẻ... GV: Nguyễn Thị Tố Nga Nếu đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải thì hàm số đồng biến trên khoảng đó  Nếu đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải thì hàm số nghịch

GV: Nguyễn Thị Tố Nga

Tổng hợp các chuyên đề về hàm số lượng giác, phương trình lượng giác

Dạng 1) Tìm TXĐ của hàm số lượng giác:

Phương pháp:

 Sử dụng phương pháp đã biết về tìm TXĐ của hàm số

 Sử dụng các kết quả sau:

 

sin

y f x xác định khi f(x) xác định

 

cos

y f x xác định khi f(x) xác định

 

tan

y f x xác định khi  

¸c ®inh cosf x

f x x









 

cot

y f x xác định khi  

¸c ®inh cosf x

f x x







 1

tan

y

x

 xác định khi cos 0

x x











1 cot

y

x

 xác định khi cos 0

x x











Dạng 2) Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác

Phương pháp:

 Xuất phát từ các BĐT:

1 sinx 1

   Mở rộng  1 sin f x 1

   Mở rộng  1 cos f x  1

2

0 sin x1 Mở rộng 0 sin 2 f x 1

0sinx 1 Mở rộng 0sin f x  1

0 sinx 1 Mở rộng 0 sin f x  1

 Áp dụng phép biến đổi:

y a x b x a b x với cos 2a 2 ,sin 2b 2

 Lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai f t  at2 bt c ( t là các hàm số lượng giác cơ bản)

 Sử dụng định nghĩa tập giá trị của hàm số: Tìm điều kiện của y để phương trình yf x  có nghiệm đối với ẩn x thuộc TXĐ của hàm số

Dạng 3) Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác:

 Bước 1.Tìm TXĐ của hàm số: D

 Bước 2 Kiểm tra điều kiện  x D  x D(1)

- Nếu (1) sai ( Tức là tồn tại x oD nhưng  x oD.Kết luận HS không chẵn,không lẻ

- Nếu (1) đúng, chuyển sang bước 3:

 Bước 3 Tính f(-x), so sánh với f(x)

- Nếu f  x f x  Kết luận hàm số chẵn

- Nếu f  x  f x  Kết luận hàm số lẻ

- Nếu x m f o µ  x o f x o thì hàm số không là hàm số chẵn;

Nếu x oD µ m f  x o  f x o thì hàm số không là hàm số lẻ

Dạng 4) Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng, đoạn cho trước

Dựa vào đồ thị hàm sô để suy ra, cụ thể

GV: Nguyễn Thị Tố Nga

 Nếu đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải thì hàm số đồng biến trên khoảng đó

 Nếu đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó

Dạng 5) Phương trình bậc nhất đối với 1 HSLG

a) Định nghĩa: là pt có dạng at b 0a0 ( t là hàm số lượng giác cơ bản)

b) Cách giải: Chuyển vế b, chia cả hai vế của pt cho a đưa về dạng b

t a



Dạng 6) Phương trình bậc hai đối với 1 HSLG:

a) Định nghĩa: Là phương trình có dạng: at2bt c 0( t là 1 trong các HSLG cơ bản) b) Cách giải:

 Đặt các HSLG bằng ẩn phụ,( điều kiện cho ẩn phụ nếu có)

 Giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ

 Đối chiếu với điều kiện

 Thay vào chỗ đặt, giải phương trình theo ẩn x

 Kết luận: Phương trình có các nghiệm ( hoặc pt có họ nghiệm) là:

Chú ý: Có thể giải theo cách ngắn gọn như sau:

VD: sin2 3sin 2 0 sin 1 2  

x

x













Dạng 7) Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx

a) Định nghĩa: Là pt có dạng: asin2 x b sin cosx x c cos2x d  1

b) Cách giải:

 Nếu cos 0

2

x  x k , khi đó sin2x 1 Phương trình trở thành a = d

+ Nếu đề bài cho a = d thì

2

x k là một họ nghiệm của pt

+ Nếu đề bài cho a d thì kết luận

2

x k không là nghiệm của phương trình

 Nếu cosx 0, chia cả hai vế của pt cho cos x2 , ta có pt:

2

Giải phương trình (2)

 Kết luận:

Dạng 8) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

a) Định nghĩa: asinx b cosx c  1 a2b2 0

b) Cách giải:  1  a2 b2sinx  c

Trong đó sin 2a 2 ,cos 2b 2

(Chọn giá trị cho  nếu sin ,cos  rơi vào trường hợp đặc biệt ) Khi đó pt sinx  2c 2



 (2) Giải (2) và kết luận

c) Chú ý : Với phương trình asinx b cosx c  1 a2b2 0

d) Cách giải:  1  a2 b2sinx   c

Trong đó sin 2a 2 ,cos 2b 2

(Chọn giá trị cho  nếu sin ,cos  rơi vào trường hợp đặc biệt )

GV: Nguyễn Thị Tố Nga

Khi đó pt sinx  2c 2



 (2)

Dạng 9) Phương trình đối xứng với sinx và cosx:

a) Định nghĩa: asinxcosx bsin osx + c = 0xc (1)

b) Cách giải:

 Đặt t sinxcosx ( Điều kiện: t  2)

2

1 sin cos

2

t



Thay sinxcos , sinx xcosxvào pt tacó:

2 1

2

t

at b   c (2)

 Giải phương trình (2) theo t, đối chiếu với điều kiện

 Thay vào chỗ đặt, giải phương trình sinxcosx t

 Kết luận:

Dạng 10) Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu:

a) Phương pháp: Phân tích đồng thời điều kiện của pt, giá trị của x tìm được thành hợp của những nghiệm thành phần và đối chiếu

M t s giá tr c a x v các nghi m th nh ph n c a nó: ột số giá trị của x và các nghiệm thành phần của nó: ố giá trị của x và các nghiệm thành phần của nó: ị của x và các nghiệm thành phần của nó: ủa x và các nghiệm thành phần của nó: à các nghiệm thành phần của nó: ệm thành phần của nó: à các nghiệm thành phần của nó: ần của nó: ủa x và các nghiệm thành phần của nó:

1)

2

2 1

x k

x k

x k











  



2)

2

2

x k k

x















  



3)

2 3

x k k











 









  



4)

4 2 4

4 3 4

x k

k x























  





 







 





5)

6 2 6 3 6

6 4 6 5 6

x k

k x































  









  

 











  



b) Chú ý: Có thể đưa về cùng đuôi k hoặc cùng đuôi k2 tuỳ thuộc vào điều kiện, giá trị của x tìm được

Dạng 11) Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng để giải PTLG:

Các công thức áp dụng:

Dạng 12) Áp dụng công thức nhân đôi, nhân 3, hạ bậc để giải PTLG:

Các công thức áp dụng:

GV: Nguyễn Thị Tố Nga

2

sin 1

2 2 2

sin2x = 2 sinxcosx cos2x=cos

= 2cos =1- 2cos

x x





2

2

1 cos 2 cos

2

1 cos 2 sin

2

x x

x x









3 3

Dạng 13) Sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích để giải PTLG

a) Phương pháp: Biến đổi pt đã cho về dạng

 

 

1

0

0

n

n

f x

f x





 



b) Chú ý: Sử dụng một số kĩ năng biến đổi sau:

cos 2xcos x sin x cosxsinx cosx sinx

cos x sin x cos x sin x cos xsin x cos x sin2x

1 sin 2 xsin x2sin cosx xcos x sinxcosx

sin x 1 cos x 1 cosx 1 cos x

cos x 1 sin x 1 sinx 1 sin x

2

at bt c có hai nghịêm là t t1 2, thì phận tích at2 bt c  t t1 t t 2

x



Dạng 14) Giải PTLG với điều kiện x cho trước:

a) Phương pháp:

 Giải phương trình tìm được các giá trị của x

 Cho x thoả mãn điều kiện cho trước

 Giải bất phương trình tìm k ( chú ý k nguyên ) Suy ra giá trị của x tương ứng

 Kết luận: Các nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện là:

a) Ví dụ x   ;    x

Với x k  ta có  k    1 k 1

Vì k Z nên k = 0  x0

Một số ph ươ ng trình có nghiệm gọn:





2

x  x k  tanx 0 sinx 0 x k 

2

2

x  x  x k