ĐỀ THI HSG TOÁN12

2 Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm bên trong tam giác ABC... Người chơi thắng cuộc nếu có ít nhất 2 con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.. Tính xác suất để trong 3 ván người chơi đó thắng

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA

GV: Trần Đình Hiền

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC : 2009 - 2010

MÔN THI : TOÁN - LỚP 12

Thời gian làm bài : 180 phút

Câu I:

1) Giải phương trình : 1 1sin 2 cos sin  1 sin 2

x



2) Cho x,y > 0 thỏa mãn 2 5

4

x y  Chứng minh rằng : cos( ) .sin

.sin

x y

Câu II:

1) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :

2

2







 2) Tính tổng :

k

S

(k  N, 0 k  2008)

Câu III:

1) Cho x,y  0 và x2 + y2 = 1 Tìm GTNN, GTLN của 2 2

P

2) Cho dãy số (un) với u1 = 1 và 1

2

n

u



  , với n  N, n  2 Chứng minh dãy số (un) hội

tụ và tính lim un

Câu IV:

1) Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(2; - 1) và cos 1 ;cos 1

A B Tìm tọa độ đỉnh C 2) Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm bên trong tam giác ABC Qua M vẽ những đường thẳng lần lượt song song với các cạnh SA, SB, SC cắt các mặt SBC, SCA, SAB theo thứ tự tại A’, B’, C’ a) Chứng minh rằng: MA' MB' MC'

SA  SB  SC có giá trị không đổi khi M thay đổi khi M di động trong

tam giác ABC

b) Xác định M để MA’.MB’.MC’ có giá trị lớn nhất

Câu V:

Cho hàm số f: R  R thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) 2, ,

3

f x f y f xy



Hãy tính giá trị f(2009)

………… Hết …………

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA

GV: Trần Đình Hiền

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC : 2009 - 2010

MÔN THI : TOÁN - LỚP 12

Thời gian làm bài : 180 phút

Câu I:

1) Giải phương trình : x2 3 x x3x2 4x 1

2) Tìm m để phương trình :  4 4 

4 sin xcos x (3 2 ) cos 2 m x1 -m0 có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn ;

6 4

 



Câu II:

1) Tính tổng S = 2010  20102

0

k k

k C





2) Gieo đồng thời 3 con xúc xắc Người chơi thắng cuộc nếu có ít nhất 2 con xúc xắc xuất hiện mặt

6 chấm Tính xác suất để trong 3 ván người chơi đó thắng ít nhất là 2 ván

3) Cho a,b,c  0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1 CMR: 1 2

Câu III:

1) Chứng minh rằng: a) sin tan  , 0;

4

x    x x  ; b) 12 12 1 42 , 0;





2) Cho tam giác ABC có 3

2

a

a

h   b c Chứng minh rằng tam giác ABC đều

3) Cho phương trình: x n x n 1 x 1 0

     Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương phương trình

có đúng 1 nghiệm dương xn và tìm lim xn

Câu IV:

1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi C’ là trung điểm của cạnh SC Mặt phẳng () qua AC’ cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’ , D’ Đặt ;

D D

  Chứng minh rằng:

3x  y 2

2) Cho tam giác ABC đều cạnh a, trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S, đặt

SA = x, (x > 0) Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng d và HK

a) CMR: HK  (SBC)

b) Tìm x để thể tích khối tứ diện SBCP nhỏ nhất

3) Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 2x - 2y - 14 = 0, (C2): x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 Viết phương trình đường thẳng  sao cho đường thẳng  cắt (C1) tại A,B và cắt (C2) tại M,N thỏa mãn

AB  MN 

Câu V:

Tìm đa thức P(x) , biết P2x x2 P x( )2,  x  R

………… Hết ……….