Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu mối liên hệ giữa kiến thức về chứng minh trong hình học được giảng dạy cho sinh viên Cao đẳng Sư phạm và cho học sinh Trung học cơ sở

Luận văn nghiên cứu làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng chứng minh trong hai hệ thống dạy học khác nhau ở lớp 7 trường Trung học cơ sở và ở trường Cao đẳng Sư phạm, từ đó xác định ảnh hưởng của các mối quan hệ thể chế này lên việc hình thành mối quan hệ cá nhân của sinh viên. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.

TS LÊ VĂN TIẾN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại Học Sư Phạm TP-Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn tận tình của TS LÊ VĂN TIẾN Thầy không những hướng dẫn và truyền cho tôi những kinh nghiệm quí báu trong nghiên cứu khoa học mà còn động viên khuyến khích tôi vượt qua những khó khăn trở ngại trong chuyên môn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Thầy

Lời cảm ơn đặc biệt tôi xin gửi đến Bà CLAUDE COMITI ANNIE BESSOT, những người đã phải trải qua một hành trình dài để đến với lớp học, tham gia giảng dạy nhiệt tình giúp chúng tôi tích lũy được nhiều kiến thức quí báu về Didactique Toán

Tôi xin chân thành cảm ơn quí Thầy Cô trong hội đồng đã dành thời gian đọc kỹ và đóng góp nhiều ý kiến quí báu cho bản luận văn nàỵ

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư Phạm TP-HCM, Phòng Khoa Học Công Nghệ Sau Đại Học quí Thầy Cô Khoa Toán, đặc biệt TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU và TS ĐOÀN HỮU HẢI đã nhiệt tình giảng dạy và tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp tôi kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Trường Cao Đẳng Sư Phạm Bến Tre, gia đình và bạn bè gần xa đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi an tâm học tập và nghiên cứu

Tất cả những tình cảm và sự giúp đỡ hôm nay của quí Thầy Cô, bạn bè sẽ là động lực

để tôi bước tiếp con đường nghiên cứu khoa học

PHẦN MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG CHỨNG MINH Ở LỚP 7 TRƯỜNG THCS 7

1.1 Đối tượng chứng minh trong chương trình 8

1.2 Đối tượng chứng minh trong sách giáo viên 9

1.3 Đối tượng chứng minh trong sách giáo khoa 14

1.4 Kết luận 29

CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI ĐỐI TƯỢNG CHỨNG MINH TRONG ĐÀO TẠO Ở TRƯỜNG CĐ SP 33

2.1 Chiến lược đào tạo giáo viên ở trường CĐSP 34

2.2 Chiến lược và nội dung đào tạo liên quan đến chứng minh 40

2.3 Kết luận 48

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM 51

3.1 Mục đích và phương pháp thực nghiệm 51

3.2 Phân tích các "thiết bị" thực nghiệm 52

3.3 Phân tích dữ liệu thu thập được 59

3.4 Kết Luận 69

PHẤN KẾT LUẬN 71

TÀI LIỆU THAM KHẢO 74

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn để tài

Nhiệm vụ của nhà trường Cao Đẳng Sư Phạm (CĐSP) là đào tạo những giáo viên tương lai giảng dạy ở trường Trung Học Cơ Sở (THCS) Xuất phát từ thực tế trong nhiều năm qua ở trường CĐSP Bến Tre : Sinh viên khi đi thực tập sư phạm ở trường THCS thường gặp nhiều khó khăn trong việc vận dụng những kiến thức đã được truyền thụ trong quá ữình đào tạo vào thực tế giảng dạy Phải chăng chương trình đào tạo giáo viên ở trường Cao đẳng Sư Phạm hiện nay còn khiếm khuyết ? Giải quyết được vấn đề này, về phương diện đào tạo sẽ góp phần xây dựng một chiến lược đào tạo nhằm cung cấp cho giáo sinh những công cụ cần thiết khi giảng dạy ở Trung Học Cơ Sở, riêng chúng tôi, qua nghiên cứu này sẽ có những điều chỉnh hợp lý trong quá trình tham gia giảng dạy các học phần của chương trình đào tạo giáo viên THCS

- Những nghiên cứu trên hệ thống giáo dục và trên giảng dạy (R)

Trong trường hợp của chúng tôi, (S) là hệ thống dạy học ở trường THCS, (P) là hệ thống đào tạo ở trường CĐSP

Một trong những chức năng của đào tạo là cho phép áp dụng vào trong (S) những kết quả của (R) bằng cách tính đến những ràng buộc của (P)

Mặt khác, chức năng chủ yếu của hệ thống đào tạo giáo viên (trường CĐSP) là chuẩn

bị cho sinh viên những công cụ tri thức cần thiết để họ có thể họat động trong một hệ thống đào tạo khác : dạy học ở trường THCS

Như vậy, để có câu trả lời cho những câu hỏi gợi ra ở trên, cần thiết nghiên cứu đồng thời hai hệ thống đào tạo khác nhau : Dạy học ở trường THCS và đào tạo ở trường CĐSP

Từ đó, mục đích của chúng tôi là thực hiện một nghiên cứu so sánh về các hình thức

và tổ chức các đối tượng kiến thức toán học được giảng dạy ở trường THCS và CĐSP

Tuy nhiên, luận văn này chỉ hạn chế vào việc nghiên cứu cho một trường hợp cụ thể : Đối tượng chứng minh ở lớp 7 trường THCS và ở trường CĐSP

Cụ thể, vấn đề là tìm kiếm những yếu tố trả lời cho những câu hỏi sau đây :

1 Chứng minh được đưa vào chương trình Hình học lớp 7 THCS như thế nào? Trong những kiểu tình huống và dạng bài tập nào ? Đặc trưng của chúng ?

2 Trong chương trình đào tạo giáo viên ở trường CĐSP, chiến lược nào về đào tạo giáo viên đã được sử dụng? Trong chiến lược đào tạo này, đối tượng chứng minh được đề cập

ra sao ? Đặc trưng của chúng ?

3 Đào tạo ở trường CĐSP đã cung cấp những công cụ nào cần thiết cho thực tế nghề nghiệp của sinh viên trong dạy học chứng minh ? Những công cụ nào cần thiết nhưng không được cung cấp ? Những khiếm khuyết của hệ thống đào tạo này ?

4 Dạy học chứng minh ở trường THCS và đào tạo liên quan tới chứng minh ở trường CĐSP tạo ra những điều kiện, ràng buộc và khó khăn gì đối với sinh viên ?

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và giả thuyết nghiên cứu

Nghiên cứu này được đặt trong phạm vi lí thuyết nhân chủng học của didactique toán

Cụ thể hơn, các khái niệm về mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân của lí thuyết này là những công cụ cho phép chúng tôi phân tích việc dạy học chứng minh trong hai thể chế khác nhau : Thể chế dạy học ở lớp 7 trường THCS và thể chế đào tạo ở trường CĐSP

Khái niệm về mối quan hệ thể chế với một đối tượng tri thức được đưa vào bởi Chevallard (1989)1 Quan điểm chủ yếu của kiểu tiếp cận này là : một tri thức không thể tồn tại trong một xã hội trống rỗng, bất kỳ tri thức nào cũng xuất hiện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định và được gắn với ít nhất một thể chế nào đó Nói cách khác, một tri thức bất kỳ là tri thức của một thể chế nhất định nào đó Ngoài ra, cùng một đối tượng tri thức

có thể sống trong những thể chế khác nhau, và để một tri thức có thể sống trong một thể chế

nó cần phải tuân thủ một số những đòi hỏi nhất định Điều này kéo theo rằng nó phải tự thay đổi, nếu không nó không thể được duy trì trong thể chế

Lý thuyết nhân chủng học về các tri thức chủ yếu dựat trên 3 thuật ngữ : các đối tượng, các cá thể và các thể chế trong đó khái niệm cơ bản là khái niệm thể chế vì nó chỉ rõ

hệ thống thực tiễn xã hội Trong phạm vi của lý thuyết này, một đối tượng tri thức O được coi

là tồn tại ngay khi mà một cá nhân hay một thể chế nhận biết nó như đã tồn tại Chính xác hơn, người ta nói rằng đối tượng O tồn tại đối với một thể chế I nếu như tồn tại một quan hệ thể chế R1(O) từ I đến O Cũng thế, đối tượng O tồn tại đối với một cá thể X nếu như tồn tại một quan hệ cá nhân R (X, O) từ X đến O

Quan hệ thể chế R1(O), nói chung phản ánh những gì diễn ra trong I liên quan đến số phận của O

Quan hệ cá nhân R (X, O) có thể xem là toàn bộ những tác động qua lại mà X thực hiện với O (thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó ) Như vậy có thể nói rằng có việc học của cá nhân X đối với tri thức O nếu như quan hệ R (X, O) thay đổi : hoặc là nó bắt đầu được thiết lập (nếu chưa tồn tại) hoặc là nó được thay đổi (nếu nó đã tồn tại)

Trong một thể chế nhất định, quan hệ thể chế đối với một tri thức gắn liền với vị trí của các thành tố trong thể chế Nếu là thể chế dạy học, người ta phải xét đến ít nhất là : quan

hệ thể chế đối với thầy giáo và quan hệ thể chế đối với học sinh Quan hệ thể chế đối với thầy giáo xác định cái mà thể chế đòi hỏi người thầy giáo phải thực hiện Cũng thế, quan hệ thể chế đối với học sinh xác định cái mà thể chế đòi hỏi người học sinh phải thực hiện

Số phận của một đối tượng tri thức được đặt dưới sự vận động nhất thời của thể chế Khi một đối tượng tri thức cần dạy O được đưa vào thì mối quan hệ thể chế với đối tượng này

sẽ được thiết lập và tồn tại suốt thời gian ở đó đối tượng còn là cái được thua của việc dạy học Quan hệ thể chế này được gọi là quan hệ chính thức với đối tượng O

"Giống như bất kỳ quan hệ nào, quan hệ này được tách thành quan hệ chính thức đối với thầy giáo và quan hệ chính thức đối với học sinh - sự chia cắt này sẽ xác định, ở một thời điểm nhất định, vị trí của thầy giáo và vị trí của học sinh đối với tri thức đang xét"

(Chevallard, 1989, 222)

Việc nghiên cứu mối quan hệ của một thể chế I đối với đối tượng bi thức O cho phép

Trong một thể chế dạy học, cái được thua của việc dạy học là một tri thức Ý định của thể chế là làm thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh với tri thức này để nó trở nên phù hợp với quan hệ thể chế Điều này dẫn đến chỗ phải thiết lập một sự phân định, trong bất kỳ một thể chế dạy học nào, ở một thời điểm nhất định, giữa những đối tượng thực sự là cái được thua của việc dạy học với những đối tượng khác (đã từng có ích và bây giờ không còn ích lợi nữa hay những đối tượng không hề là cái được thua của việc dạy học nhưng nó hiện diện ở đó) Theo quan điểm này, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế giữ một vai trò rất quan trọng

trong các thể chế dạy học Về mặt này, Chevallard cũng đã chỉ rõ : "Vấn đề trung tâm của việc dạy học là nghiên cứu quan hệ thể chế, những điều kiện và những hệ quả của nó Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân là vấn đề cơ bản về mặt thực tiễn, và là thứ yếu về mặt KH luận của việc dạy học"

Như vậy, đối với nghiên cứu của chúng tôi, vấn đề chủ yếu là làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng chứng minh trong hai hệ thống dạy học khác nhau : lớp 7 trường THCS va

ở trường CĐSP, từ đó xác định ảnh hưởng của các mối quan hệ thể chế này lên việc hình thành mối quan hệ cá nhân của sinh viên, được xem như là chủ thể đồng thời của hai thể chế trên Nghiên cứu ảnh hưởng này thể hiện chủ yếu qua việc kiểm nghiệm giả thuyết nghiên cứu sau :

"Trong dạy học chứng minh, sinh viên luôn tìm cách tuân thủ những nguyên tắc

và phương pháp sư phạm tổng quát mà họ đã học ở trường CĐSP Họ không có ý thức trong việc phân tích trí thức cần giảng dạy, tình huống dạy học tương ứng hay hoạt động của lớp."

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu đã chọn ở trên, để đạt được mục đích nghiên cứu

đề ra, chúng tôi tiến hành các phân tích sau đây :

- Phân tích chương trình, sách giáo khoa Hình học 7 và sách hướng dẫn giáo viên tương ứng

- Phân tích chương trình và các giáo trình sử dụng trong đào tạo giáo viên ở trường CĐSP về dạy học chứng minh

Những phân tích trên chủ yếu nhằm làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng chứng minh trong hai hệ thống đào tạo tương ứng

- Triển khai các "thiết bị" thực nghiệm cho phép xác định được ảnh hưởng của các mối quan hệ thể chế đã nêu đối với mối quan hệ cá nhân của sinh viên

So sánh các kết quả đạt được từ 3 nghiên cứu trên cũng sẽ cho phép đưa ra những kết luận về sự khiếm khuyết của hệ thống đào tạo ở trường CĐSP

5 Tổ chức của luận văn

Mở đầu : Những câu hỏi khởi đầu của nghiên cứu

Chương 1 : Mối quan hệ thể chế với đối tượng chứng minh ở lớp 7 trường THCS Chương 2 : Mối quan hệ thể chế với đối tượng chứng minh trong đào tạo ở trường CĐSP

Chương 3 : Thực nghiệm

Kết luận

CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG CHỨNG MINH

Ở LỚP 7 TRƯỜNG THCS

MỞ ĐẦU

Mục đích của chương này là nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng "Chứng minh" ở lớp 7 trường Trung học Cơ sở : Đối tượng này xuất hiện ở đâu? Hoạt động ra sao? có vai trò gì? Giữ những mối quan hệ như thế nào với các đối tượng khác?

Cụ thể, chúng tôi sẽ tìm câu trả lời cho những câu hỏi chúng tôi đặt ra trong phần trước mà chúng tôi trình bày lại dưới đây theo thuật ngữ "quan hệ thể chế" :

- Mối quan hệ thể chế với đối tượng Suy luận và chứng minh được thiết lập và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học hình học ở lớp 7 ?

- Mối quan hệ này có những đặc trưng cơ bản nào ?

Thể chế dạy học Hình học ở lớp 7 THCS buộc các giáo viên và học sinh phải sử dụng chương trình, sách giáo khoa và sách giáo viên của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo Vì thế, phân tích chương này đặt cơ sở trên các tài liệu sau đây :

- Chương trình môn Toán THCS - Vụ Giáo Dục phổ thông, Bộ Giáo Dục và Đào Tạo,

1995

- Sách giáo khoa "Hình học 7", Nhà xuất bản giáo dục 1999

- Sách giáo viên "Hình học 7", Nhà xuất bản giáo dục 1999

Thông thường, giữa chương trình và sách giáo viên có những cách biệt nhất định Một trong những nguyên nhân của cách biệt này là ở chỗ : Người soạn thảo chương trình thường không phải là người viết sách giáo khoa Ngược lại, sách giáo

viên là nơi mà những tác giả sách giáo khoa thể hiện phần nào quan điểm và ý đồ của mình, cũng như một số điều kiện và ràng buộc liên quan đến các đối tượng tri thức cần giảng dạy Những quan điểm, ý đồ, những điều kiện và ràng buộc này thường chỉ thể hiện một cách ngầm ẩn trong sách giáo khoa Vì vậy, chúng tôi hy vọng việc phân tích sách giáo viên có thể

cho phép hiểu rõ hơn đặc trưng của đối tượng "Suy luận và chứng minh" trong sách giáo

khoa, nghĩa là đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng này

Về mặt hình thức, trước hết chúng tôi thực hiện một phân tích khá riêng lẽ ba tài liệu nêu trên Tuy nhiên các phân tích này được thực hiện trong mối quan hệ qua lại Đặc biệt, cả

ba phân tích này sẽ là cơ sở rút ra những nhận định mà chúng tôi sẽ trình bày trong phần kết luận của chương Mặt khác việc phân tích riêng lẻ như vậy cũng cho phép phát hiện những tương đồng cũng như những cách biệt có thể có giữa 3 loại sản phẩm của noosphère : Chương trình - Sách giáo viên - Sách giáo khoa

1.1 Đối tượng chứng minh trong chương trình

Chương trình Hình học lớp 7 bao gồm bốn chương : Chương 1 : Bổ sung về đoạn thẳng, góc, tam giác Chương 2 : Hai đường thẳng song song Chương 3 : Các trường hợp bằng nhau của tam giác Chương 4 : Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Tuy nhiên, không có một mục chuyên biệt nào trong các chương này đề cập một cách

tường minh các khái niệm Suy luận và Chứng minh Duy nhất, một mục nhan đề "Định lý"

xuất hiện ở phần hướng dẫn Tuy nhiên, phần hướng dẫn và giải thích chương trình Hình học

7 rất sơ sài Liên quan đến chứng minh, chỉ một vài yêu cầu được nêu lên ở trang 26 :

"Khi chứng minh các bài toán hình học, học sinh có đầy đủ các kiến thức để sẵn sàng minh chứng cho các lập luận của mình

Khi luyện tập, ngoài các yêu cầu về kiến thức khoa học, giáo viên phải hết sức chú ý rèn luyện cách trình bày, các lập luận, cách chứng minh một bài toán hình học, nhất là ở giai đoạn đầu Tăng cường các bài toán mẫu? "để học sinh hiểu thế nào là chứng minh?" Phần hình vẽ, ghi giả thiết và kết luận rất quan trọng đối với học sinh Làm tốt phần này sẽ giúp cho học sinh nắm chắc hơn nội dung bài toán, từ đó, dễ dàng tư duy để lập luận chứng minh"

Một vài yếu tố của mối quan hệ thể chế đối với đối tượng chứng minh có thể được nêu lên từ trích đoạn này :

Về phía học sinh, thể chế đòi hỏi họ phải "có đầy đủ các kiến thức để sẵn sàng minh chứng cho các lập luận của mình" Đó là những kiến thức nào? Phải chăng đó là những tính chất hình học, những định nghĩa, mà chúng làm căn cứ của suy luận?

Mối quan hệ thể chế đối với giáo viên thể hiện ở những việc mà giáo viên cần phải làm : Tăng cường trình bày cho học sinh các bài toán mẫu (chính xác hơn là các chứng minh mẫu); rèn luyện cho học sinh cách lập luận và cách trình bày một chứng minh; chú trọng hoạt động vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận

1.2 Đối tượng chứng minh trong sách giáo viên

Trước hết, sách giáo viên nhấn mạnh mối liên hệ cũng như sự khác biệt cơ bản giữa Hình học ở lớp 7 và Hình học ở lớp 6 :

"Hình học 7 là phần tiếp nối hữu cơ của Hình học 6 Những khái niệm mở đầu hình học phẳng được học ở lớp 6 là căn cứ logic cho việc xây dựng giáo trình Hình học 7 Dạy học Hình học 7 khác hẳn với dạy học Hình học 6 ở chỗ : học sinh phải nhận thức được các thuộc

Như vậy, trong phạm vi hình học, lớp 7 thuộc vào giai đoạn chuyển tiếp từ Hình học quan sát - thực nghiệm sang Hình học suy diễn Tuy nhiên, suy luận và chứng minh chiếm một vị trí quan trọng hơn so với nhận thức trực giác :

"Hình học 7 có nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận diễn dịch Mặc dù

ở giai đoạn đầu lớp 7, vẫn dành cho "trực giác" vị trí cần thiết trong nhận thức hình học" (trang 3)

"Ở lớp 7 lần đầu tiên học sinh được rèn luyện có hệ thống kỹ năng suy luận diễn dịch (một kỹ năng đặc trưng cho tư duy toán học)

Hình học 7 chú trọng dẫn dắt học sinh từng bước đi vào suy luận hình học từ đơn giản đến phức tạp bằng những câu hỏi và bài tập thích hợp", (trang 5)

Hơn thế nữa, sách giáo viên (trang 3) nhấn mạnh mục tiêu cần đạt trong Hình học 7 là: "học sinh biết lập luận có căn cứ" Cụ thể, thể chế dạy học ở lớp 7 đòi hỏi học sinh :

- Biết chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hai góc bằng nhau) bằng cách khẳng định sự bằng nhau của hai tam giác có hai cạnh tương ứng (hai góc tương ứng) là hai đoạn thẳng (hai góc) cần chứng minh

- Biết trình bày chứng minh rõ ràng, đủ luận cứ

- Biết lập luận bằng phản chứng (chứng minh bằng phản chứng, chứng minh bằng phương pháp loại trừ)

- Từ các chứng minh theo sơ đồ : P → Q, Q → P, P ↔ Q mà đi đến dấu hiệu nhận biết các hình (tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông), các cách định nghĩa về một khái

tầm quan trọng của suy luận ở lớp 7, cũng như quy trình rèn luyện kỹ năng suy luận mà thể chế muốn đưa vào trong sách giáo khoa

"Đây là loại kỹ năng đặc trưng của việc dạy học hình học từ lớp 7 trở đi Kỹ năng này được chuẩn bị từng bước từ chỗ có yêu cầu trả lời câu hỏi "vì sao?" đến chỗ có yêu cầu

"chứng minh rằng"; từ kỹ năng thực hiện một bước suy luận đến kỹ năng thực hiện một dãy vài ba suy luận; từ chỗ lập luận theo mẫu gắn liền với nội dung cụ thể của kiến thức đến chỗ

có ý thức về cách lập luận, " (trang 11)

Chúng tôi sơ đồ hóa như sau tiến trình hình thành kỹ năng suy luận, và như vậy tiến trình thiết lập mối quan hệ thể chế với đối tượng Suy luận, chứng minh :

• Giải thích vì sao? → Chứng minh rằng

• Một bước suy luận → Một dãy vài ba suy Rèn luyện kỹ năng suy luận

• Tập lập luận theo mẫu → Ý thức về lập luận

Theo giải thích của sách giáo viên, kỹ năng suy luận bao hàm hai kiểu kỹ năng: kỹ năng vận dụng định nghĩa khái niệm và kỹ năng vận dụng quy tắc suy luận Và để rèn luyện

kỹ năng suy luận cần đưa vào các dạng bài tập sau (trang 11 - SGV) :

■ Bài tập rèn luyện kỹ năng vận dụng định nghĩa khái niệm

Việc rèn luyện kĩ năng này được tiến hành thông qua các kiểu nhiệm vụ sau đây :

• Làm bộc lộ cấu trúc logic của khái niệm Chẳng hạn làm bộc lộ cấu trúc định nghĩa trung điểm đoạn thẳng :

Ví dụ : "I là trung điểm của đoạn thẳng AB (IA + IB = AB) và (IA = IB)."

Như vậy, có thể hiểu vấn đề là dùng các ký hiệu toán học và logic để trình bày một định nghĩa Tuy nhiên, cần lưu ý rằng : ở đây (trong sách giáo viên) dấu đã

được sử dụng, còn sách giáo khoa thì không) Trong khi dấu phép toán Hội ∧ (ứng với liên từ

"Và") không được đưa vào

• Khẳng định một đối tượng nào có những thuộc tính của khái niệm đã biết (nhận dạng khái niệm)

Ví dụ : "Trên tia Ox xác định điểm A và điểm B sao cho OA = 2cm và OB = 4cm : a) Điểm A có nằm giữa O và B không? b) So sánh OA và AB; c) A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không?"

• Nêu những tính chất của một đối tượng nào đó mà ta đã biết có những thuộc tính của một khái niệm đã biết

Ví du : "Biết giao điểm O của hai đường thẳng xx', yy' là trung điểm chung của hai đoạn thẳng CD có độ dài 3cm và EF có độ dài 5cm, muốn xác định vị trí các điểm E, F trên yy' và xác định các điểm C,D trên xx' cần nêu ra các tính chất sau : O nằm giữa E, F và OE =

OF = 2,5cm; O nằm giữaC, D và OC= OD = 1,5cm."

■ Bài tập rèn luyện kỹ năng vận dụng quy tắc suy luận

Việc rèn luyện kĩ năng này được tiến hành thông qua các kiểu nhiệm vụ sau đây :

• Khẳng định Q đúng hoặc có Q (đã biết "Nếu p thì Q" và đã biết p đúng hay có P)

Ví dụ :

"Điền vào chỗ trống : Nếu hai tam giác EFG và IJK có E = I; EF = IJ; EG = IK thì "

• Khẳng định P đúng hoặc có P để suy ra Q (đã biết, "nếu P thì Q")

Ví dụ : "Gọi Ot là tia phân giác xOy, gọi A là điểm trên tia Ox, B là điểm trên tia Oy

Chúng tôi sẽ phân tích kỹ hơn trong phần [3] những bài tập dạng trên

Đặc biệt, sách giáo viên rất quan tâm đến hoạt động phân tích đi lên hoặc đi xuống khi chứng minh

Ví dụ : Khi dạy định lý "Nếu đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác

và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba " Sách giáo viên hướng dẫn giảng dạy như sau : (trang 88 - SGV)

"Giáo viên giới thiệu định lý, sau khi viết giả thiết, kết luận, giáo viên hướng dẫn quá trình phân tích đi lên để luyện cho học sinh kỹ năng chứng minh :

- Đường thẳng đi qua trung điểm D của cạnh AB và song song với cạnh BC sẽ cắt cạnh AC ở điểm E (bài tập 4 §9), (cặp tam giác nào ?) => (CE = AE) Vì chưa có cặp tam giác ấy ta nghĩ tới việc vẽ thêm yếu tố phụ CD' // AD như hình vẽ SGK

Sau khi GV đã gợi ý phân tích đi lên HS tham gia chứng minh."

Về mặt logic, chúng ta thấy ngầm ẩn trong hướng dẫn này là lược đồ phân tích đi lên như sau :

-

- Từ Pk-1 ta đi tìm mệnh đề Pk sao cho Pk-1 là hệ quả logic của Pk (để chứng minh Pk-1

ta cần chứng minh được Pk) Trong đó Pk = P là một mệnh đề đúng đã biết, hay giả thiết đã cho

Sơ đồ của tiến trình này là : Q <=P1, <= P2 <= <= Pk-1<= Pk = P

Sách giáo viên giải thích rằng nếu học sinh không được trang bị kỹ năng phân tích sẽ gặp lúng túng trong chứng minh nhất là đối với những bài toán mà nhất thiết phải kẻ thêm yếu tố phụ ở hình vẽ

Nhận xét:

- Sách giáo viên rất quan tâm đến việc rèn kỹ năng suy luận cho học sinh Yêu cầu

"rèn kỹ năng lập luận" được đưa vào trong rất nhiều bài học

- Mục tiêu cần đạt trong dạy học hình học lớp 7 được sách giáo viên nhấn mạnh là

học sinh biết lập luận có căn cứ

- Hai kiểu kỹ năng suy luận mà sách giáo viên đặt biệt quan tâm là:kỹ năng vận dụng định nghĩa khái niệm và kỹ năng vận dụng qui tắc suy luận nhất là qui tắc logic p => q

- Mỗi bài học sách giáo viên đều lưu ý giáo viên là phải rèn cho học sinh kỹ năng phân tích đi lên hoặc đi xuống, nếu không học sinh sẽ khó tìm ra hướng chứng minh

1.3 Đối tượng chứng minh trong sách giáo khoa

Như dự đoán của chúng tôi trong phân tích chương trình, khái niệm Chứng minh xuất hiện lần đầu tiên trong bài học "Định lý" của chương I "Bổ sung về đoạn thẳng, góc, tam giác" Tuy nhiên, điều này không cho phép khẳng định rằng : mối quan hệ thể chế với đối tượng Suy luận và chứng minh được thiết lập từ chính thời

điểm này, mà có thể trước cả khi xuất hiện chính thức khái niệm này Vì như sách giáo viên yêu cầu : kĩ năng suy luận phải được chuẩn bị từng bước, từ chỗ yêu cầu trả lời câu hỏi "vì sao ?" đến chỗ có yêu cầu "chứng minh rằng"

Vì thế, để thấy rõ quá trình hình thành mối quan hệ thể chế trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích sách giáo khoa ở hai thời điểm khác nhau : thời điểm trước và sau khi đưa vào khái niệm chứng minh

Trước hết, chúng tôi sẽ phân tích riêng lẻ hai thời điểm này để làm rõ cách tổ chức tiếp cận với đối tượng Suy luận và chứng minh Việc so sánh sau đó sẽ cho phép thấy rõ hơn đặc trưng của mối quan hệ thể chế nói trên

1.3.1 Thời điểm trước khi đưa vào khái niệm chứng minh

1.3.1.1 Phần lí thuyết

Mặc dù khái niệm "Chứng minh", cũng như bản thân từ "Suy luận" chưa xuất hiện nhưng suy luận diễn dịch đã hiện diện trong lời giải của một số bài toán được đưa vào trong phần lý thuyết

Chẳng hạn, ngay bài mở đầu của chương 1 "Trung điểm của đoạn thẳng", chúng tôi

đã ghi nhận bài toán và suy luận sau :

"2) Bài toán : Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB, so sánh AM với AB, so sánh

MB với AB

Giải: Vì M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB nên : AM + MB = AB (1)

Vì M cách đều hai đầu đoạn thẳng AB nên : AM = MB (2)

Từ (1)và (2) suy ra :

Từ kết quả đạt được trong việc giải bài toán này, sách giáo khoa đưa vào tính chất:

"Khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng đến mỗi đầu đoạn thẳng bằng nửa độ dài đoạn thẳng đó."

Rõ ràng, trên đây là một chứng minh (tất nhiên ngầm ẩn) Tuy nhiên cần lưu ý rằng, suy luận này được đưa vào không phải từ yêu cầu trả lời cho câu hỏi "vì sao?" như sách giáo viên gợi ý, mà vấn đề là so sánh các đoạn thẳng

Biểu tượng "Vì sao ?", đặc trưng cho yêu cầu "suy luận" như mong muốn của sách giáo viên chỉ xuất hiện sau đó trong hai bài tập (trên tổng số 5 bài tập) của phần bài tập

Như vậy, chúng tôi tự hỏi: yếu tố nào trong bài toán cho biết cần phải suy luận mà không được rút ra kết luận từ đo đạc trực tiếp như ở các lớp trước ?

Nhưng, chúng tôi nghĩ rằng : ngay cả khi việc giải thích "vì sao ?" được nêu lên một cách rõ ràng trong bài toán, thì cũng không có yếu tố nào cho phép học sinh nhận ra yêu cầu phải suy luận và yêu cầu phải từ bỏ cách đo đạc thực nghiệm

Mặt khác, cần nhấn mạnh rằng, lời giải bài toán nêu trên bao gồm tất cả 6 bước suy luận Còn trong các bài toán khác được đưa vào trong phần lí thuyết của các bài học sau (trang 6, 9), các "chứng minh" cũng bao hàm không dưới 6 bước suy luận

Các thuật ngữ "Định nghĩa", "Định lý" đã được dùng một cách có hệ thống, trước khi định nghĩa khái niệm Định lý được đưa vào trong bài "Định lý " sau đó

Như vậy, có một sự cách biệt giữa sách giáo khoa và sách giáo viên Tổ chức của sách giáo khoa dường như không phù hợp với quan điểm thể hiện trong sách giáo viên, theo đó, người ta phải:

"dẫn dắt học sinh từng bước đi vào suy luận hình học từ đơn giản đến phức tạp ",

" chuẩn bị từng bước ; từ kỹ năng thực hiện một bước suy luận đến kỹ năng thực hiện một dãy vài ba suy luận"

Hơn nữa, bài học đầu tiên nêu trên đánh dấu một sự thay đổi đột ngột hợp đồng didactique về học tập hình học Nói cách khác bài học đầu tiên này không cho phép thực hiện

sự nối khớp giữa Hình học quan sát - thực nghiệm (mà học sinh đã làm quen trước lớp 7) với Hình học suy diễn ở lớp 7 và như vậy không cho phép học sinh thay đổi cách đặt vấn đề về học tập hai loại hình học này Sự thay đổi thái độ đối với chúng được thực hiện chủ yếu qua

sự thay đổi hợp đồng : Từ nay, người ta cấm rút ra một kết quả hình học từ đo đạc và ghi nhận thực nghiệm và người ta cho phép làm điều đó bằng suy luận

- Điểm I nằm ngoài đường thẳng AB; (1)

- Điểm I là một điểm của đoạn thẳng AB; (2)

- Điểm I cách đều hai đầu đoạn thẳng AB; (3)

- Điểm I nằm giữa và cách đều 2 đầu đoạn thẳng AB (4)

- Điểm I nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB; (5)"

- Cho biết CI + ID= CD và CI = ID (3)"

Tương tự hai bài tập trên là bài tập 5 và 6 trang 8 - SGK Nhân xét:

- Hai bài tập ở ví dụ 1 và ví dụ 2 nhằm làm bộc lộ cấu trúc định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng : I là trung điểm của đoạn thẳng AB <=> (IA + IB) = AB và (IA = IB)

- Ví dụ 1 cho học sinh có cơ hội vận dụng định nghĩa theo chiều (=>), ví dụ 2 cho học sinh có cơ hội vận dụng định nghĩa theo chiều (<=)

- Học sinh làm quen với hoạt động logic : xét tính đúng sai của mệnh đề

- Học sinh làm quen với các mệnh đề thể hiện các mối quan hệ trừu tượng được phát biểu khái quát bằng ngôn ngữ mà có thể có hay không sự hiện diện của hình vẽ

■ Dạng 2 : Khẳng định một đối tượng nào đó có những thuộc tính của khái niệm đã biết:

• Ví dụ 1 : (bài tập 2 - trang 4 - SGK)

"Trên tia Ox xác định điểm A và điểm B sao cho OA = 2cm, OB = 4cm

a/ Điểm A có nằm giữa hai điểm OvàB không? Vì sao?

b/ Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?

c/ Vì sao có thể khẳng định rằng đoạn thẳng OB chỉ có một trung điểm?"

• Ví dụ 2 : (bài tập 3 - trang 5 - SGK)

"Gọi o là góc chung của hai tia đối nhau Ox, Ox'; trên tia Ox xác định điểm A sao cho OA = 2cm, trên tia Ox' xác định điểm B sao cho OB = 2cm Hỏi o có là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Vì sao?"

Nhận xét

- Hai bài tập trên nhằm giúp học sinh khẳng định rằng một điểm nào đó có là trung điểm của đoạn thẳng không Mục đích chính cũng là rèn cho học sinh kỹ năng vận dụng định nghĩa khái niệm

- Mặt khác, mỗi bài tập đều yêu cầu giải thích "Vì sao?" nghĩa là học sinh phải có trách nhiệm : vừa nêu khẳng định vừa nêu căn cứ của khẳng định, đó cũng là đặc trƣng cho lời giải mong đợi của dạng bài tập trên

■ Dạng 3 :Nêu những tính chất của một đối tƣợng nào đó mà ta đã biết nó có những thuộc tính của một khái niệm đã biết

Ví dụ : (bài tập 3b § 1 - trang 5 - SGK)

"Gọi o là giao điểm của hai đường thẳng xx', yy' Trên xx' hãy vẽ đoạn thẳng CD có

độ dài 3cm, trên yy' hãy vẽ đoạn thẳng EF có độ dài 5cm sao cho o là trung điểm chung của

cả hai đoạn thẳng ấy"

Muốn xác định vị trí các điểm E, F trên yy' và xác định các điểm C, D trên xx' cần nêu các tính chất sau : O nằm giữa E, F và OE = OF = 2,5cm; O nằm giữa C, D và OC = OD = 1,5cm

Chúng tôi thống kê số bài tập của mỗi dạng như sau:

Số bài tập và phần trăm tương ứng

7 31,8%

5 22,7%

10 45,5% Tổng số bài tập trong sách giáo khoa

- Dạng bài tập 3 chiếm vị trí quan trong nhất trong ba dạng, đó cũng là dạng đòi hỏi học sinh suy luận phức tạp hơn hai dạng còn lại.Trong các mẫu suy luận ở phần lý thuyết của SGK, kiểu suy luận này cũng rất thường xuất hiện

- Kỹ năng suy luận được yêu cầu và nhấn mạnh ngay từ bài mở đầu Hình học 7 Tư tưởng "chuẩn bị dần dần, từng bước" (như sách giáo viên đã nêu) cho học sinh đi vào kỹ năng suy luận dường như không thực hiện được

1.3.2 Thời điểm sau khi đưa vào khái niệm chứng mình

1.3.2.1 Trong phần lý thuyết

"Tính chất "khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng đến mỗi đầu đoạn thẳng bằng nửa độ dài đoạn thẳng đó" được khẳng định là đúng không phải bằng đo đạc trực tiếp mà bằng suy luận Một tính chất như thế gọi là định lý"

"Chứng minh đính lý là dùng lập luận để suy từ giả thiết ra kết luận Lập luận là nêu những khẳng định và vạch rõ vì sao, căn cứ vào đâu mà có những khẳng định đó"

Yêu cầu của sách giáo viên về bài học Định lý(trang 35 - SGV):

"- Học sinh hiểu thế nào là định lý, biết ghi giả thiết kết luận của định lý

- Bước đầu rèn kỹ năng suy luận và chứng minh "

Về phương pháp, nội dung của bài "Định lý", SGV (trang 36) hướng dẫn :

"- Giáo viên giới thiệu giả thiết, kết luận của định lý

- Học sinh làm bài tập 1 (SGK có yêu cầu học sinh nêu giả thiết kết luận của mỗi định lý)

- Giáo viên giới thiệu thế nào là chứng minh định lý (như SGK), nhấn mạnh điều sau đây :

Lập luận = Nêu khẳng định + Nói rõ căn cứ

Giáo viên kẻ bảng gồm 2 cột; một cột ghi các khẳng định, một cột ghi các căn cứ của những khẳng định ấy Giáo viên ghi lần lượt các khẳng định của chứng minh định lý trung điểm đoạn thẳng, gọi học sinh lên bảng điền vào cột các căn cứ

- Học sinh khác lên ghi cả khẳng định lẫn căn cứ của chứng minh định lý về tia phân giác của góc"

Ngoài các khái niệm Định lí và Chứng minh, một khái niệm mới xuất hiện : khái niệm Lập luận Sách giáo khoa giải thích : lập luận là nêu những khẳng định và vạch rõ vì sao, căn

cứ vào đâu mà có những khẳng định đó Ngược lại, thuật ngữ Suy luận xuất hiện ngay từ đầu, nhưng không có một giải thích nào Vậy, có sự phân biệt nào giữa các khái niệm Lập luận và Suy luận ?

Một ví dụ "mẫu" (hay "chứng minh mẫu" - như cách giải thích của sách giáo viên) được đưa vào ngay sau khi mô tả các khái niệm "Định lý" và "Chứng minh định lý" - nhằm minh họa cho các khái niệm "khẳng định" và "căn cứ của khẳng định" và do đó minh họa cho các khái niệm Lập luận và Chứng minh

"Ví dụ : Trong chứng minh định lý về trung điểm của đoạn thẳng (xem § 1) các khẳng định và căn cứ của chúng như sau :

AM + MB = AB (1) (1): (Vì M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB)

AM = MB (2) (2): (Vì M cách đều hai đầu đoạn thẳng AB)

AM + AM = AB (3) (3): (Căn cứ vào (1) & (2))

BM = ½ AB (Vì AM = MB)"

Một câu hỏi cần thiết được đặt ra :

Việc mô tả các khái niệm Lập luận, Chứng minh và việc trưng ra ví dụ "mẫu" như trên là đủ để học sinh hiểu được thế nào là một chứng minh ? thế nào là soạn thảo một chứng minh ?

Từ thời điểm đưa vào khái niệm "Định lý" và "Chứng minh định lý", thuật ngữ

"Chứng minh" xuất hiện một cách có hệ thống trong cả phần lý thuyết và bài tập Trong lời giải của tất cả những bài tập, hay chứng minh các định lí thuộc phần lí thuyết, chúng tôi thấy luôn có ba bước : - Giả thiết - Kết luận - Chứng minh Như vậy việc xác định giả thiết và kết luận có mục đích làm cơ sở cho chứng minh, nhưng không thuộc vào chứng minh

Đặc biệt, phép chứng minh bằng phản chứng xuất hiện trong §9 khi chứng minh 2 hệ quả của tiên đề Ơclit, nhưng không có một mô tả nào về phương pháp chứng minh này Nói cách khác, nó được đưa vào bằng cách "phô bày" (par ostension) Việc mô tả phương pháp chứng minh này được đưa vào sau đó trong phần "Bài đọc thêm" với một mục riêng nhan đề

"Chứng minh bằng phản chứng" (trang 32):

"Trong chứng minh hệ quả 1 của tiên đề Ơlit chúng ta làm như sau :

- Bắt đầu bằng việc giả sử rằng "c không cắt b"

- Tiếp đó chúng ta vạch rõ điều giả định trên dẫn đến một điều trái với tính chất thừa nhận từ trước hoặc trái với một định lý đã được chứng minh (ở đây trái với tiên đề ơlit)

- Cuối cùng, khẳng định kết luận "C cắt b" là đúng Chứng minh như trên gọi là chứng minh bằng phản chứng"

Theo hướng dẫn của sách giáo viên (trang 12), "Để rèn kỹ năng lập luận bằng phản chứng, chủ yếu cho hoe sinh nắm chắc các mẫu suy luân trong sách giáo khoa rồi bổ sung

bằng một số bài tập tương tự" (Chúng tôi nhấn mạnh)

Như vậy, tương tự như trường hợp của chứng minh, ở đây việc học tập chứng minh bằng phản chứng cũng được thực hiện theo kiểu "bắt chước" Qua những mẫu mà giáo viên

có nhiệm vụ chưng ra, thể chế hy vọng học sinh sẽ học được chứng minh hay chứng minh bằng phản chứng !

Các khái niệm "Định lý thuận" và "Định lý đảo" chỉ được đề cập trong bài đọc thêm nhan đề "Định lý thuận, định lí đảo", nhưg các thuật ngữ này được sử dụng một cách tường minh trong các bài học sau như bài 20 (trang 68)

1.3.2.2 Trong phần bài tập

Từ yêu cầu của bài "Định lý" được trình bày ương sách giáo viên (trang 35) và bài học sách giáo khoa, và từ phân tích các bài tập cho trong sách giáo khoa chúng tôi nhận phân loại như sau các dạng bài tập liên quan trực tiếp đến đối tượng Suy luận và chứng minh :

♦ Dạng 1 : Khẳng định Q đúng hoặc có Q (đã biết "Nếu p thì Q" và đã biết p đúng hay

có P)

• Ví dụ 1 (bài tập 1 - SGK - trang 18)

"Luyện tập diễn đạt các định lý đã học (điền vào chỗ trống bằng những nội dung thích hợp)

a/ Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng CD thì

b/ Nếu thì IE = IK= ½ EK

c/ Nếu tia Ot là tia phân giác của góc xOy thì

d/ Nếu thì AÊB = AÊC = ½ BÊC

e/ Nếu hai góc xOy, x'Oy' là hai góc đối đỉnh thì

g/ Nếu hai đường thẳng xx', yy' cắt nhau ở O và xÔy = 90 0 thì "

• Ví dụ 2:(trang 29 - SGK)

"Điền vào chỗ trống bằng nội dung thích hợp :

a/ Nếu hai tam giác EFG và IJK có EF = IJ, Ê = Î, EG = IK thì

b/ Nếu hai tam giác XYZ và TUV có ̂ = ̂,XY= VU, XZ=VT thì "

Hai bài tập trên đƣợc sách giáo khoa đƣa vào với hình thức điền vào chỗ trống trong phát biểu của tính chất hình học, với mục đích sau:

- Giúp học sinh có cơ hội làm quen dần quen dần với cách nói "nếu thì" Nhƣ chỉ

dẫn của sách giáo khoa, " phần sau từ nếu là phần giả thiết, phần sau từ thì là phần kết luận ", thì khi đƣa định lý về dạng "Nếu thì" học sinh sẽ dễ dàng xác định giả thiết và kết

luận của định lý hơn

- Có thể xem đây là một dạng của hoạt động ngôn ngữ Theo nhƣ giải thích của sách giáo viên (trang 13) thì những liên từ logic "và", "hoặc", "nếu thì" cũng là những đối tƣợng cần làm cho học sinh có ý thức khi sử dụng chúng

♦ Dạng 2: Khẳng định P đúng hoặc có P để suy ra Q (đã biết "Nếu P thì Q")

Ví dụ: "Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy, gọi A là điểm trên tia Ox, B là điểm trên tia Oy sao cho OA= OB, gọi C là điểm trên tia Ot, hỏi hai tam giác COA, COB có bằng nhau không? Vì sao?"

Dạng bài tập trên cũng nhằm rèn cho học sinh kỹ năng vận dụng qui tắc suy luận cụ thể là sử dụng mệnh đề logic : p⇒ q nhƣng ở mức độ suy luận cao hơn dạng 1 Ở dạng 1 đã biết "nếu p thì q và biết p đúng hay có p, từ đó khẳng định q đúng Trong dạng 2 chỉ biết "nếu

p thì q" mà chƣa có p, để suy ra đƣợc q cần khẳng định p đúng hay tìm ra đƣợc p Cụ thể, bài

tập trên sách giáo khoa đƣa vào với mong muốn học sinh sử dụng tính chất "Nếu hai tam giác ABC và A'B'C có AB=A'B', A=A',AC=A'B' thì hai tam giác đó bằng nhau"

Lời giải mong đợi của bài tập trên (theo sách giáo viên- trang 40):

"Xét hai tam giác COA, COB, chúng có:

CÔA=CÔB (OC là tia phân giác của AÔB);

Cạnh OC chung;

OA=OB (theo cách xác định A,B);

Vậy,∆ AOC=A BOC ( trường hợp bằng nhau c-g-c)"

Ở thời điểm này, sách giáo khoa đã xuất hiện khái niệm "chứng minh", tuy nhiên đặc trƣng cho yêu cầu suy luận trong bài tập trên vẫn đƣợc thể hiện qua biểu tƣợng "Vì sao ".Nhƣ vậy, khi gặp biểu tƣợng này thì học sinh tự hiểu nhiệm vụ của mình là phải suy luận Đây là hợp đồng ngầm ẩn xuất hiện trong thể chế dạy học hình học lớp 7

♦ Dạng 3 : Chứng minh định lý

Đây là dạng toán chủ yếu ở thời điểm sau khi đƣa vào khái niệm "chứng minh" Dạng toán này đƣợc thể hiện qua các kiểu nhiệm vụ sau:

+ Kiểu nhiệm vụ 1: Điền vào chỗ trống trong một suy luận hay một chứng minh

Kiểu bài tập này chỉ xuất hiện một lần sau bài học định lý, cụ thể nhƣ sau:

• Ví dụ (bài tập 2 - trang 18 - SGK)

"Luyện tập trình bày chứng minh (điền vào chỗ bằng những nội dung thích hợp) : a/ Chứng minh rằng nếu hai đường thẳng xx', yy' cắt nhau ở O và tạo ra một góc vuông xOy thì các góc yOx', x'Oy',y'Ox cũng là góc vuông

Giả thiết: xx' cắt yy' ở O

xÔy = 90 0 Kết luận:

Chứng minh : xây + x'Ôy = 180 0 (vì )

c/ Chứng minh định lý : "Hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông"

Giả thiết: Hai góc xOy, x'Oy, , tia Ot là của góc xÔy;

tia Ot' là của góc x'Ôy Kết luận:

Chứng minh : Gọi m 0 là số đo của góc xOy, ta có :

xÔt = ½m 0 (1) vì

x'Ôy = 180 0 - m 0 vì

x’Ôt’ = ½ (180 0

- m 0 ) = 90 0 - ½ m 0 vì xÔt' = 180 0 - (90 0 - ½ m 0 )

Đó là điều phải chứng minh "

+ Kiểu nhiệm vụ 2: Thực hiện yêu cầu "chứng minh rằng "

Từ chương 2 trở đi, hoạt động điền vào chỗ trống không còn xuất hiện nữa Đặc trưng cho yêu cầu suy luận và chứng minh trong giai đoạn này được thể hiện chủ yếu qua biểu

tượng "chứng minh rằng"

Ví dụ:"Chứng minh rằng nếu hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau từng đôi một thì hai tam giác ấy bằng nhau"

Để đáp ứng được yêu cầu "chứng minh rằng", sách giáo viên đã đưa ra lời giải sau:

"Tam giác ABC vuông góc ở A, tam giác A'B'C'vuông góc ở A'có góc A= A'(=90) AB

= A'B'; AC = A'C'(theo giả thiết)

Vậy ∆ ABC=∆ A'B'C(trường hợp bằng nhau c-g-c)"

So sánh về cấp độ suy luận thể hiện qua hai biểu tượng "vì sao?" và biểu tượng

"chứng minh rằng", chúng tôi nhận thấy tương đương nhau, thậm chí có những bài để đáp ứng được yêu cầu giải thích "vì sao", học sinh phải suy luận phức tạp hơn nhiều, cụ thể là bài

tập 5 (trang 16-SGK):

"Cho biết ∆ ABC=APQR;∆ PQR=∆ XYZ Hai tam giác ABC và XYZ có bằng nhau không?Vì sao?"

Lời giải mong đợi của bài tập trên như sau (theo hướng dẫn SGV-trang 34):

"Bước 1:Vì ∆ ABC=∆ PQR nên ̂= ̂; AB=PQ, (1)

Bước 2: vì ∆ PQR=∆ XYZ nên ̂= ̂; PQ=XY, (2)

Bước 3: Vì ̂= ̂ và P=X nên ̂= ̂

Vì AB= PQ và PQ = XY nên AB = XY

Bước4:Vì ̂= ̂,

AB-XY, nên ∆ ABC=∆ XYZ"

Bài tập trên ở vào thời điểm trước khi đưa vào khái niệm "chứng minh", chúng tôi nêu

ra ở đây nhằm để so sánh cấp độ suy luận giữa hai thời điểm.Một hợp đồng ngầm ẩn hiện diện trong thể chế dạy học Hình học lớp 7 là:dù gặp biểu tượng "Giải thích vì sao" hay

"chứng minh rằng", học sinh tự hiểu nhiệm vụ của mình là phải suy luận chứ không được dùng trực giác

1.4 Kết luận

Phân tích chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên của chúng tôi đã cho phép làm

rõ những điểm cơ bản trong mối quan hệ thể chế với đối tượng "Chứng minh" trong Hình học

7 Sau đây là những điểm mấu chốt của mối quan hệ thể chế này :

■ Đối tượng Suy luận và chứng minh chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình Hình học 7 Nó xuất hiện ngay từ bài học đầu tiên của sách giáo khoa

■ Mối quan hệ thể chế với đối tượng này được thiết lập qua hai giai đoạn nối tiếp nhau : giai đoạn ngầm ẩn và giai đoạn tường minh

• Trong giai đoạn ngầm ẩn ( trước khi đưa vào các khái niệm Định lí và Chứng minh), các thuật ngữ Suy luận, Lập luận và Chứng minh không được đưa vào, nhưng nhiều

chứng minh (với nhiều bước suy luận) đã được trình bày Yêu cầu suy luận thể hiện chủ yếu qua biểu tượng "giải thích vì sao ?" Tuy nhiên, biểu tượng này không xuất hiện trong bài học đầu tiên, ở đó một chứng minh đã được đưa vào Để rèn luyện kĩ năng suy luận, sách giáo khoa đã đưa vào các dạng bài tập sau :

-Bài tập làm bộc lộ cấu trúc logic của khái niệm

-Khẳng định một đối tượng nào đó có những thuộc tính của khái niệm đã biết

-Nêu những tính chất của một đối tượng nào đó mà ta đã biết nó có những thuộc tính của khái niệm đã biết

Trong đó, dạng bài tập 3 chiếm vị trí quan trọng nhất So sánh với yêu cầu của sách giáo viên thì tổ chức của sách giáo khoa không phù hợp :Yêu cầu của sách giáo viên là phải chuẩn bị dần dần từng bước để học sinh học tập suy luận có nghĩa là ở thời điểm trước khi đưa vào khái niệm "chứng minh" phải dành cho những bài tập suy luận đơn giản một vị trí quan trọng nhất

• Trong giai đoạn tường minh (từ khi đưa vào các khái niệm Định lí và Chứng minh),

các khái niệm Định lí, Chứng minh, Lập luận và Suy luận được trình bày rõ ràng với một vài

mô tả và một mô hình "chứng minh mẫu" Từ nay, yêu cầu suy luận và chứng minh xuất hiện chủ yếu qua biểu tượng "Chứng minh rằng " Các bài tập gắn liền với suy luận và chứng minh có thể phân loại như sau :

- Khẳng định Q đúng hoặc có Q (đã biết "Nếu p thì Q" và đã biết P đúng hay có P)

- Khẳng định P đúng hoặc có P để suy ra Q (đã biết "Nếu P thì Q")

- Dạng chứng minh định lý

Trong đó, dạng chứng minh định lý chiếm vị trí quan trọng nhất Đây là dạng bài tập xuất hiện cả trong phần lý thuyết và bài tập với biểu tượng "chứng minh rằng" So với giai đoạn trước, đây là dạng bài tập mới

■ Có một sự cách biệt giữa chương trình, sách giáo viên với sách giáo khoa Chẳng hạn, trong khi chương trình đòi hỏi:

"Sách giáo khoa Hình học 7 chỉnh lí có ý thức dẫn dắt học sinh từng bước đi vào suy luận hình học từ đơn giản đến phức tạp, mặc dù ở giai đoạn đầu lớp 7, vẫn dành cho "trực giác" một vị trí cần thiết trong nhận thức hình học."

còn sách giáo viên yêu cầu rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh theo lược đồ:

• Giải thích vì sao? → Chứng minh rằng

• Một bước suy luận →Một dãy vài ba suy luận

• Tập lập luận theo mẫu → Ý thức về lập luận

thì trong sách giáo khoa, nhiều suy luận khá phức tạp đã xuất hiện ngay từ những bài học đầu tiên Hơn nữa, vai trò của trực giác rất hạn chế Có chăng nó chỉ giới hạn trong việc vẽ và quan sát các hình hình học

Đặc biệt, không có một tình huống nào cho phép nối khớp giữa Hình học quan sát, thực nghiệm (mà học sinh đã làm quen trước lớp 7) với Hình học suy diễn ở lớp này Bài học hình học đầu tiên ở lớp 7 đánh dấu một sự ngắt quãng đột ngột của hợp đồng didactique trong việc học tập hình học Trước đây, người ta có quyền rút ra những kết quả từ ghi nhận thực nghiệm, còn từ bây giờ việc này "bị cấm" : kết quả đạt được chỉ hợp pháp khi nó được rút ra bằng suy luận

Như vậy, thể chế không cho học sinh những cơ hội thay đổi cách đặt vấn đề về học tập hình học

■ Việc rèn luyện cách lập luận, cách chứng minh chủ yếu được tiến hành theo kiểu

"phô bày" (par ostension) Cả chương trình và sách giáo viên đều khuyên tăng cường các bài toán mẫu, các lập luận và chứng minh mẫu Sách giáo khoa đã tôn trọng tư tưởng chỉ đạo này Như vậy, qua các "mẫu" này thể chế hy vọng học sinh có thể học được cách suy luận và chứng minh theo kiểu "bắt chước"

Những phân tích trên cho phép đặt ra một vài câu hỏi, mà theo chúng tôi, rất cần thiết được trả lời:

- Học sinh lớp 7, thậm chí lớp 8 và lớp 9, có ứng xử như thế nào trước những kết quả hình học đạt được từ ghi nhận thực nghiệm như các em đã từng gặp trước lớp 7 ?

- Kiểu học bằng bắt chước như thể chế mong muốn là đủ để học sinh hiểu được thế nào là chứng minh ? như thế nào là soạn thảo một chứng minh? Quan niệm nào mà học sinh

- Làm thế nào xây dựng những tình huống cho phép thực hiện sự nối khớp Hình học quan sát - thực nghiệm và Hình học suy diễn ? Những tình huống nào cho phép học sinh thay đổi cách đặt vấn đề về học tập hai loại hình học này ?

- Việc đào tạo ở trường CĐSP có tính đến những đặc trưng nêu trên cửa mối quan hệ với đối tượng Suy luận và chứng minh trong thể chế dạy học ở lớp 7 trường THCS ?

CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI ĐỐI TƯỢNG CHỨNG

MINH TRONG ĐÀO TẠO Ở TRƯỜNG CĐ SP

MỞ ĐẦU

Mục đích chủ yếu của chương này là nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với đối tượng "Chứng minh" trong chương trình đào tạo giáo viên Toán Trung học cơ sở ở trường Cao Đẳng Sư Phạm Tuy nhiên để hiểu rõ những điều kiện và ràng buộc của thể chế đối với đối tượng này, trước hết chúng tôi làm rõ chiến lược đào tạo tổng quát được áp dụng ở trường CĐSP

Chủ yếu chúng tôi tìm cách trả lời cho các câu hỏi sau :

- Chiến lược tổng quát nào đã được áp dụng trong đào tạo ở Trường CĐSP? Có chiến lược đào tạo chuyên biệt về đối tượng " Chứng minh" ? Nếu có, đặc trưng của nó như thế nào?

-Với chiến lược đào tạo trên, nhà trường CĐSP mong muốn sinh viên đạt được những kiến thức và khả năng nào nói chung và về chứng minh nói riêng?

Phân tích chương này đặt cơ sở trên các tài liệu liên quan đến chương trình đào tạo và các giáo trình trong đó có đề cập đến đối tượng chứng minh, cụ thể như sau:

+ Chương trình đào tạo giáo viên THCS trình độ CĐSP - MÔN TOÁN (Ban hành theo Quyết định số 3086 /GD - ĐT ngày 30/8/1996 của Bộ trưởng Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo,

áp dụng từ năm học 1996-1997)

+ Giáo trình phương pháp dạy học môn Toán - Tập 1 & 2,(2000), Bộ GD & ĐT

+ Giáo trình Thực hành giải Toán - Năm 1999 - Bộ GD & ĐT

+ Giáo trình Tập hợp và Logíc - Năm 1998 - Bộ GD & ĐT

2.1 Chiến lược đào tạo giáo viên ở trường CĐSP

Giáo viên THCS được đào tạo ở trường CĐSP 3 năm Hiện nay, đa số các trường CĐSP ở Việt Nam đều đào tạo theo dạng "ghép môn" chẳng hạn : Toán -Lý; Toán - Tin học; Hóa - Sinh Tỷ lệ số tiết đào tạo đạo của hai môn ghép là 70% và 30% Sinh viên ra trường hầu hết là dạy môn được đào tạo với số tiết nhiều hơn

Trên cơ sở nghiến cứu chương trình đào tạo của Trường CĐSP chúng tôi không thấy

có chiến lược đào tạo chuyên biệt như phân loại trong bài báo của Catherine Houdement và Alain Kusniak (1995) Chiến lược đào tạo ở Trường CĐSP hiện nay là trang bị cho sinh viên một tổ hợp các loại tri thức khác nhau sau đây :

- Tri thức chung

- Tri thức chuyên ngành

- Tri thức liên quan tới nghiệp vụ sư phạm

Dưới đây, chúng tôi phân tích chi tiết hơn việc đào tạo các loại tri thức này 2.1.1 Tri thức chung

Tất cả sinh viên CĐSP, không phân biệt chuyên ngành, đều được trang bị tri thức chung qua các học phần như : Triết, Ngoại ngữ, Kinh tế chính trị, giáo dục quốc phòng Với loại tri thức này, nhà đào tạo mong muốn sinh viên ra trường, ngoài những tri thức sự phạm

và tri thức chuyên ngành còn đạt được những tri thức liên quan đến đời sống xã hội

2.1.2 Tri thức chuyên ngành

Sinh viên mỗi chuyên ngành đều được học những kiến thức nâng cao qua các học

văn hoá trong bài báo của Catherine, với loại tri thức này nhà đào tạo muốn gia tăng khối lượng kiến thức của sinh viên trong một lĩnh vực nhất định và không lường trước kiến thức

đó có cần cho sinh viên khi đứng lớp về sau hay không

2.1.3 Tri thức liên quan đến nghiệp vụ sư phạm

Tri thức liên quan đến nghiệp vụ sư phạm gồm có phần lý thuyết và phần thực hành 2.1.3.1 Đào tạo lý thuyết về nghiệp vụ sư phạm

Ngoài tri thức chung và tri thức chuyên ngành, sinh viên sư phạm ngành Toán còn được trang bị tri thức liên quan đến nghiệp vụ sư phạm, cụ thể qua các môn học: Tâm lý, Giáo dục học, Phương pháp giảng dạy, Thực hành giải Toán

Tâm lý học và giáo dục học là các môn mà tất cả sinh viên sư phạm không phân biệt chuyên ngành đều được học Các môn học này có mục đích cung cấp cho sinh viên những tri thức sư phạm tổng quát như : tâm lý người học, kỹ năng ứng xử sư phạm, vai trò trách nhiệm người Thầy Loại tri thức này không phụ thuộc vào nội dung của một ngành khoa học cụ thể nào, chẳng hạn Toán học

Các môn Phương Pháp Dạy Học Toán (PPDH) và Thực hành giải toán chỉ trang bị riêng cho sinh viên ngành Toán nghĩa là sinh viên sư phạm ngành nào sẽ được học phương pháp giảng dạy cho riêng ngành đó

Môn PPDH Toán gồm 2 học phần Học phần 1 gồm 7 chương (Phụ lục số 1) Nội dung của học phần này chủ yếu đề cập đến những nguyên tắc và phương pháp dạy học tổng quát, chẳng hạn như dạy học Toán ở Trường THCS phải đảm bảo tính khoa học, tính thực tiễn, tính thống nhất giữa cụ thể và trừu tượng, Sau đó là đưa ra cách thức soạn bài lên lớp Học phần 2 gồm 8 chương (phụ lục số 2) đề cập các nội dung dạy học cụ thể, chẳng hạn dạy học Hàm số, phương trình, bất phương trình,

Môn PPDH được xem là liên quan trực tiếp nhất đến nghề nghiệp sau này của sinh

"- Học xong học phần này sinh viên sẽ nắm được những vấn đề cơ bản về lý luận dạy học môn toán, phục vụ thiết thực cho việc dạy toán ở trường THCS cụ thể là:

+ Hiểu sâu sắc vị trí, mục đích nhiệm vụ môn toán ở trường THCS

+ Biết phân tích cơ sở khoa học, cấu trúc chương trình toán ở trường THCS

+ Biết phân tích nội, phương pháp, kết cấu các kiến thức trong sách giáo khoa Rèn luyện cho sinh viên những khả năng nghiệp vụ cần thiết như:

+ Nghiên cứu sử dụng sách giáo khoa + Soạn bài lên lớp, hướng dẫn học sinh học tập

+ Lựa chọn phương pháp hợp lý nhằm nhằm phát huy tính tự giác, tích cực, độc lập học tập toán của học sinh"

Như vậy, một trong những khả năng đòi hỏi ở sinh viên, theo mục tiêu chương trình,

là sinh viên phải "biết phân tích nội dung, phương pháp, kết cấu các kiến thức trong sách giáo khoa", tuy nhiên chúng tôi không tìm thấy nội dung nào đề cập đến hoạt động phân tích

sách giáo khoa Như vậy cách phân tích ra sao?, và dựa vào đâu để sinh viên phân tích được ?

Nội dung học phần Thực hành giải toán gồm 14 chương (phụ lục số 3), được giảng

dạy trong 75 tiết, ở học kỳ II năm 2 Nội dung của môn học này là đưa ra một số dạng toán thường gặp ở phổ thông các kỹ thuật giải và trình tự giải một bài toán, với mục đích rèn luyện cho sinh viên kỹ năng thực hành giải toán đặt biệt là các bài toán tương tự trong sách giáo khoa ở THCS Cụ thể, chương trình đào tạo (trang 47) nêu ra mục tiêu của môn học này như sau :

" Hình thành thói quen mang tính nghiệp vụ cho sinh viên : thầy hướng dẫn học sinh