Luận văn Thạc sĩ Toán: Xây dựng hàm tử Ext bằng phương pháp phân hoạch các dãy khớp

Luận văn Xây dựng hàm tử Ext bằng phương pháp phân hoạch các dãy khớp: khái niệm và kết quả của lý thuyết modun, phân lớp các mở rộng, tích mở rộng và các đồng cấu, cấu trúc nhóm Abel cho Ext(C,A), hàm tử Ext, xây dựng Extn(C,A). Mời các bạn cùng tham khảo.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

-ooo -

XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN HOẠCH CÁC DÃY KHỚP

TP.HCM 1996

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

MỤC LỤC

§ 1 K IẾN THỨC CHUẨN B Ị 1

§ 2 PHÂN LỚP CÁC MỞ RỘNG 4

§ 3 TÍCH MỞ RỘNG VÀ CÁC ĐỒNG CẤU 8

§ 4 CẤU TRÚC NHÓM ABEL CHO EXT(C, A) 19

§ 5 HÀM TỬ EXT 28

§ 6 XÂY DỰNG EXT n(C, A) 33

Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học Sư phạm và Đại học Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn thầy Trần Huyên, người đã trực tiếp ra đề tài và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này

§ 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Mục này dành cho việc nhắc lại 1 vài khái niệm và kết quả của lý thuyết modun cần dùng về sau :

1 Tổng trực tiếp của hai môđun

a Định nghĩa : Cho X Y là các R-mođun Trên tập XxY = {(X y), X ∈ X y ∈ Y} ta định

nghĩa 2 phép toán sau :

(x1, y1)+ (x2, y2) = (x1 + x2 ,y1 + y2)

α ∈ R :α(x,y) = (αx, αy)

∀ x1, x2 , x ∈X.∀y1, y2, y∈ Y Khi đó X xY cùng với hai phép toác trên lập thành một R-Mođun và được gọi là tổng trực tiếp của hai mođun X và Y và được ký hiệu X⊕ Y

b Đặc trưng của tổng trực tiếp

• Ta gọi các đồng cấu :

Là các phép nhúng các modun thành phần vào tổng trực tiếp và các đồng cấu :

là các phép chiếu xuống các modun thành phần

Mệnh đề 1.1

Các hệ thức:

Là đặc trưng cho tổng trực tiếp hai modun X,Y

c.Tổng trực tiếp hai đồng cấu

Nếu f: X1 Y1, g: X2 Y2 là đồng cấu modun thì :

Cũng là đồng cấu modun và ta gọi là đồng cấu tổng trực tiếp của hai đồng cấu

2.Dãy khớp

• Dãy các khớp đồng cấu :

Được gọi là dãy khớp nếu với mọi n:

Im fn-1 = Ker fn (từ hai đầu nếu có)

• Dãy khớp S có dạng :

Được gọi là bắt đầu từ A và kết thúc tại C và có độ dài n

 Cho 2 dãy khớp S và S’ có cùng độ dài n

Bộ các đồng cấu

Trong đó : A A’ , i : Bi B’i ; i = ; 1: C C’ Được gọi là một cấu xạ từ S S’ nếu biểu đồ sau là giao hoán :

• Nếu T là dãy khớp khác :

Bắt đầu từ C và kết thúc tại D với độ dài m

Khi đó : tích Ionet của hai dãy khớp S, T được xác định là dãy khớp sau :

Dĩ nhiên tích S.T bắt đầu từ A qua trung gian C kết thúc tại D có độ dài m+n

• Tổng trực tiếp của hai dãy khớp độ dài n

Giả sử S và S’ là hai dãy khớp có độ dài n :

Khi đó tổng trực tiếp của S và S’ là dãy khớp sau :

3 Khái niệm dãy khớp ngắn :

Cho A, B, C là các R –Modun và x : A ; : B C là các R – đồng cấu

• Dãy E: 0 A B C 0 được gọi là dãy khớp ngắn nếu – đơn cấu , – toàn cấu và Im = Ker

• Dãy khớp ngắn E : 0 A 0

được gọi là chẻ ra nếu B = Im ⊕ B’ trong đó B’ B Nói cách khác E là chẻ ra nếu Im

là 1 hạng tử trực liếp của mođun B

Mệnh đề 1.2 :

Cho f : X → Y g : Y →Zlà các đồng cấu Nếu hợp thành gf : X →Z là đẳng cấu thì:

a ) g - toàn cấu, f đơn cấu

ii) có nghịch đảo trái, tức là tồn tại đồng cấu p : B A sao cho p = 1A

iii) ơ có nghịch đảo phải, tức là tồn tại đồng cấu q : C B sao cho q = lC

Bổ đề (5 ngắn)

Cho biểu đồ các R-đồug cấu và R-mođun

trong đó 2 dòng là khớp, hai hình vuông là giao hoán Khi đó :

a) Nếu , - đơn cấu thì - đơn cấu

b) Nếu , - toàn cấu thì - toàn cấu

c) Nếu , - đẳng cấu thì - đẳng cấu

4 Đồng cấu chéo, đổng cấu tổng :

Cho các R - mođun A và C

 Đồng cấu C : C C ⊕ C

c (c, c) được gọi là đồng câu chéo

 Đồng cấu A : A ⊕ A A

(a1, a2) a1 + a2 được gọi là đồng cấu tổng

Mệnh đề 1.4 : Giả sử , là các đồng cấu : A A’ ; : C’ C Thế thì:

§ 2 PHÂN LỚP CÁC MỞ RỘNG

Phần này dành cho việc xây dựng tập nếu Ext(C A) Gia sử A và C ià các mođun trên vành R có đơn

vị Ta gọi một mở rộng của A nhờ c là dãy khớp ngắn các R-mođun và R- đồng cấu :

Tập hợp các mở rộng của A nhờ Cta sẽ ký hiệu là D (C A)

Trường hợp C làmođun xạ ảnh, ta xét dãy khớp :

Do C xạ ảnh nên đồng cấu lC : C → C phân tích được qua

toàn cấu σ :B → c, ∃h : C → B sao cho : σ.h = lC

Suy ra h lànghịch đảo phải của σ Vậy là dãy khớp ngắn chẻ ra

Trường hợp A là mođun nội xạ thì trong dãy khớp :

do A là mođun nội xạ nên đồng cấu 1A : A A phân tích được qua đơn

cấu A→ B tức là ∃ g : B → A sao cho : g.χ = lA Suy ra g là nghịch đảo

trái của χ

Vậy E là dãy khớp ngắn chẻ ra

Từ các mở rộng của Ai nhờ Ci (i = ) khi xử dụng khái niệm tổng trực tiếp của hai mô-đun ta có thể xây dựng được các mở rộng mới Cụ thể là với các mở rộng :

thì ta có thể mở rộng tổng trực tiếp :

(1)

Định nghĩa này là hợp lý vì khi đó dãy (1) là khớp

Thật vậy do χ1, χ2 đơn cấu nên χ1⊕ χ2 cũng đơn cấu, do σ1 , σ2 toàn cấu nên σ1⊕ σ2 cũng toàn cấu

• Ta chứng minh : Im (χ1 ⊕ χ2) - Ker (σ1 ⊕ σ2)

Trước hết (σ1⊕ σ2 (χ1 ⊕ χ2) = σ1 χ1 ⊕σ2 χ2 = 0 Suy ra : Im (χ1 ⊕ χ2) ∈ Ker(σ1 ⊕ σ2) (2) Ngược lại ∀ (b1, b2) ∈ Ker (σ1 ⊕ σ2) thì: (σ1⊕ σ2)(b1, b2) = 0

Suy ra (σ1 (b1), σ2 (b2)) = (0, 0) tức là σ1 (b1) = 0 và σ2 (b2) = 0

Dẫn tới : b1 ∈ Ker σ1 = Im χ1 và b2 ∈ Ker σ2 = Im χ2 Vậy (b1, b2) ∈ Im(χ1 ⊕ χ2) Nghĩa là : Ker (σ1⊕ σ2) ∈ Im(χ1 ⊕ χ2) (3)

Từ (2) và (3) suy ra đpcm Cho

Và là các mở rộng của A nhờ c bộ ba các đồng cấu :

= (1A, , lC)- Với : B B’ được gọi là một cấu xạ toàn đẳng nếu biểu đồ sau là giao hoán:

Khi đó ta cùng nói E là toàn đẳng với E’ và ký hiệu E ≡ E’

Ví dụ, từ sơ đồ giao hoán :

Trong đó χ (m) = 2m, i(n) = n với (k) = k ∈ Z2 ; ∀m, n, k ∈ z

Ta có E= E’

Ví dụ về sự không toàn đẳng của 2 mở rộng cùng nguồn & đích có thể xét -2 dãy sau :

Trong đó χ(m) = 3m ∀m ∈ Z và là phép chiếu tự nhiên từ Z lên Z3

Thật vậy nếu ∃α đẳng cấu : Z Z đế E ≡ E' thì vì Z là nhóm cyclic với 2 phân tử sinh là

1,-1 nên α chỉ có thể là lz hoặc - 1z Cả 2 đẳng cấu đó đều không làm cho biểu đồ giao hoán

Vậy E E'

Về tính chất của quan hệ toàn đẳng, chúng ta có mệnh đề sau :

Mệnh đề 2.2 : Quan hệ toàn đẳ (C,A) là một quan hệ tương đương

Và E’ : 0 → A B’ C →0 là hai mở rộng mà E = E’ nhờ cấu xạ toàn đẳng : =

(1A , lC) Lúc đó ta có biểu đồ giao hoán :

Vậy thì βχ.= χ'.1A với tích χ-1A là một đơn cấu nên β là một đơn cấu và σ' β = 1C σ , với tích lc.σ là toàn cấu nên β là một toàn cấu Từ đó suy ra β là 1 đẳng cấu Theo bổ đề 5 ngắn thì β đẳng cấu Suy ra tồn tại β-1 : B’→Bvà ta cũng có biểu đồ giao hoán :

tức là chúng ta có cấu xạ toàn đẳng : = (1A β -1 lC): E'→ E

Điều này dẫn đến E' E. hay quan hệ toàn đẳng có tính chất đối xứng

Mặt khác nếu ta có E, E', E" ∈ D (C, A) mà E ≡ E' và E≡ E” nhờ các cấu xạ toàn

Đó chính là tập các lớp toàn đẳng của các mở rộng của A nhờ C mà lớp chứa mở rộng E ta

ký hiện là E hoặc Cls E Đôi khi nếu không sự nhầm lẫn ta có thể viết E∈ Ext(C, A) thay cho Cls E ∈ Ext( C A)

Một ví dụ về Ext(C A) đó là khi A là mođun nội xạ hoặc C là mođun xạ ảnh thì = (C, A) chỉ gồm các mở rộng chẻ do vậy Ext(C, A) chỉ gồm một lớp hay nói cách khác Ext (C, A) chỉ có một phần tử

Bây giờ ta xét Ext(Z2, Z) Tập này chỉ có hai phần tử- là lớp các mở rộng chẻ có đại diện :

với i1 là phép nhúng,π1 là phép chiếu Z ⊕ Z2 lên Z2 và lớp còn lại với đại diện :

Trong đó i2 (m) = 2m và π2 (m) = ∀m ∈ Z Thật vậy, trước hết E1 ≠ E2 vì nếu trái lại thì

Z ≅ Z⊕ Z2 là điều vô lý

Ngoài ra, Ext(Z2, Z) không có lớp nào khác

Nếu có một lớp ∈ Ext(Z2, Z) mà 1 ≠ 2 ta sẽ chứng minh 1 ≡ 2 hay E ≡ E2

Khi đó với mọi b ∈ B có sự biểu diễn : b = i3(m) + k.u (k = 0; 1)

§ 3 TÍCH MỞ RỘNG VÀ CÁC ĐỒNG CẤU

Bây giờ ta cần trang bị cho Ext (C, A) một phép toán, hai ngôi để nó trở thành một nhóm Abel Muốn thực hiện điều này ta cần một vài chuẩn bị trước :

Trước hết ta đưa ra định nghĩa tích bên phải của một mở rộng với một đồng cấu

Cho E : 0 → A B C →0 là một mở rộng của A nhờ C và đồng cấu γ : c →c

Mở rộng E’: 0 → A B C →0 được gọi là tích của mở rộng E và đồng cấu γ nếu tồn tại cấu xạ = (1A, β, γ) : E' → E nghĩa là ta có biểu đồ giao hoán sau :

Tích của mở rộng E và đồng cấu γ được ký hiệu bởi: E' = Eγ

Ví dụ từ biểu đồ giao hoán các đồng cấu trong phạm trù z - mođun :

( 2 )

Trong đó

Ta có E' = Eγ Định nghĩa trên là tốt theo như khẳng định trong mệnh đề sau :

Để chứng tỏ sự tồn tại của mở rộng E', ta cần tìm modun B' và các đồng cấu :

sao cho biểu đồ :

là giao hoàn và dòng trên là khớp

• Ta lấy B' là tập con của B ⊕ C' được xác định :

Dĩ nhiên B' mođun con của B ⊕ C ' vì:

∀ (b,c’) và (b1,c1’) ∈ B’ ta có : (b, c’) – (b1,c1’) = (b - b1, c’-c1) ∈ B’ bởi vì (b –b1) = (b) – (b1) = (c’) - (c1’) = (c’ – c1’)

Suy ra b ∈ Ker σ = Imχ nghĩa là ∃a ∈ A sao cho b = χ(a)

Vậy (b c') = (χ (a), 0) = χ'(a) ∈ Imχ' tức là Ker σ' Im χ' (**)

Trong đó: , ’ , , và xác định như ví dụ đã đưa ở trên, thì ta cũng có :

: E'' = E như là E' = E nhưng rõ ràng là E' E''

Tuy nhiên E’’ E’ bởi cấu xạ toàn đẳng = (16z ,-i; 1Z3) : E’’ E’ trong đó :

-i : 2Z Z

n -n Thật vậy, tính toàn đẳng của cấu xạ là rõ ràng nhờ sự giao hoán của biểu đồ sau:

Sự kiện này thực ra chỉ là một trường hợp cụ thể của một mệnh đề tổng quát hơn :

Mệnh đề 3.2 : Cho mở rộng E :

E : 0 → A B C →0 và đồng cấu : C' →C Nếu E' = E và E'' = E Thì E = E'', hay

nói các khác mở rộng E là tồn tại duy nhất, chính xác tới một toàn đẳng

Chứng minh :

Chúng ta chỉ cần chứng minh nếu E'' = E thì E = E’’ trong đó :

E’ : 0 → A B C →0

là mở rộng được xây dựng trong mệnh đề 3.1

Giả sử = (1A ’, ): E" →E là cấu xạ xác định E"; trong sơ đồ sau :

ta định nghĩa " : B’’ → B’ như sau : ∀ b’’ ∈ B’’ , "(b’’) = ‘’(b’’)

Từ (*) và (**) ta suy ra 2 hình vuông ở dòng 1 là giao hoán Vậy :

0 = (1A, ’’, 1C ) E’’ E’ là cấu xạ toàn đẳng và E’’ E’

Từ mệnh đề 3.2 ta có :

Hệ quả : Nếu E1,E2 ∈ (C, A) mà E1 E2 và : C’ thì E1 E2

Chứng minh : trong sơ đồ sau:

Ta có 1 = (1A, ’,1C ) là cấu xạ toàn đẳng , 2 =(1A, ’, ) là cấu xạ xác định E1

Khi đó : 1 = 1 2 =(1A, ’ ’’, ) là cấu xạ xác định E2 Tức là biểu đồ giao hoán trên cho phép xem E1 chính là E2

Từ đó theo mệnh đề 3.2 : E1 E2

Thực chất kết quả của mệnh đề 3.2 có thế mở rộng hơn tới cái gọi là "tính chất đối phổ dụng của E như sau :

Mệnh đề 3.3 :

Cấu xạ = ( 1A , ’, ): E E có tính chất đối phổ dụng, tức là với mọi cấu xạ

1 = ( 1, 1 , ) : E1 E đều phân tích được 1 cách duy nhất qua , nghĩa là E duy nhất qua , nghĩa là ∃ duy nhất cấu xạ 0: E1 E sao cho 1= 0

Do 1, 1 là đồng cấu nên ’là đồng cấu Để chứng tỏ 0 = ( 1, ’, C’) : E1 E là cấu xạ ta

sẽ chỉ ra hai hình vuông ở dòng trên trong biểu đồ là giao hoán

Thật vậy, ∀a1∈ A1 :

cấu xạ là 0 duy nhất vì nếu cấu xạ 0= ( 1, ’’, C’’)điều kiện trên thì ∀b1∈ B1 :

Trước tiên ta chỉ ra sự tồn tại cấu xạ : E1 ⊕ E2 E1 ⊕ E2

Ta giả sử

(1A1, 1, 1) là cấu xạ : E1 E1 1 (1A1, 2, 2) là cấu xạ : E2 E2 1 khi đó ta có bộ ba đồng cấu :

: (1A1 ⊕ A2, 1 ⊕ 2, 1 ⊕ 2): E1 ⊕ E2 E1 ⊕E2 là một cấu xạ

Gọi 1 =(1A1 ⊕ A2, , 1 ⊕ 2)là cấu xạ xây dựng mở rộng : (E1 ⊕ E2)( 1 ⊕ 2)

Theo tính chất đối phổ dụng của 1, ∃!cấu xạ :

Cấu xạ 0 là cấu xạ toàn đẳng :

Tương tự như trên, chúng ta có định nghĩa tích bên trái của một mở rộng với một đồng cấu

Cụ thể là :

Cho E : 0 → A B C →0 là một đồng cấu mở rộng thuộc Ext(C A) và đồng cấu

: A → A’

Mở rộng E' : 0 A’ B’ C 0 thuộc Ext(C, A’) được gọi là tích của đồng cấu với mở rộng E nếu tồn tại cấu xạ :

= ( , , 1C): E E’ nghĩa là ta có sơ đồ sau giao hoán :

Tích của đồng cấu với mở rộng E được ký hiệu E' = E

Ví dụ từ biểu đồ giao hoán sau trong phạm trù các Z - mođun :

Ta chỉ ra sự tồn tại của mở rộng E mẹo biểu đồ sau :

trong đó B’ được xác định là modun thương B’ = (A’ ⊕ B) / N

với N = {(-αa, a ) / a ∈A)} là modun con của A'⊕ B nhờ α, là các đồng cấu

Các đồng cấu của biểu đồ được xây dựng như sau :

Dễ dàng thấy rằng ’, ’, là những đồng cấu và chúng làm cho biếu đồ giao hoán

Nhưng vì đơn ánh nên a = 0 Suy ra - (a) = 0 = a'- a'1

Vậy a’ = a'1 tức là ’ đơn ánh

∀c ∈ C do toàn ánh nên ∃ b ∈ B sao cho : (b) = c mà (b) = (0, b) + N nên : ’[(0 b) + N] = (b) = c Suy ra ’ - toàn ánh

 Ta có ’ ’(a’) = ’[(a' 0) + N] = (0) = 0 Suy ra Im ’ Ker ' (1)

Nếu (a’, b) + N ∈ Ker thì: [(a\ b) + N] = 0 Mà '[(a' b) + N] = (b);

nên (b) = 0 b ∈ Ker = Im

Vậy ∃ a∈ c A sao cho (a) - b do đó :

(a)= (b) = (0, b) + N Mặt khác (a) = ’ (a)

Trong đó các đồng cấu , ’, , ’, , được xác định như ví dụ đã đưa ra ở trên

Ta cũng có: E’’ = E như là E’ = E, nhưng rõ rang là E’ E’’

Tuy nhiên E’’ E’ nhờ cấu xạ toàn đẳng = (16z,-iz;1z6): E’ E’’

Trong đó :

-i : Z Z

n -n

Thật vậy tinh toàn đẳng được khẳng định bởi sự giao hoán hiển nhiên của biểu đồ sau :

Sự kiện này chỉ là một trường hợp cụ thể của mệnh đề tổng quát hơn :

Ta xây dựng : β’: B’ B’’ như sau:

∀ (a’,b) + N ∈ B’ : β’’[(a’,b) + N] = ’’(a’) + β’(b)

Khi đó β" được xác định duy nhất không phụ thuộc vào sự lựa chọn cặp đại diện (a’, b) của lớp (a', b) + N

Do ’’, β’là đồng cấu nên β’’ là đồng cấu Dễ thấy hai hình vuông dưới là giao hoán

Vậy 0 = ( 1A’, β’’,1C) là cấu xạ toàn đẳng Suy ra E' E"

Hệ quả : Nếu E1 và E2 là hai mở rộng thuộc Ext(C, A ) mà E1 E2 thì với đồng cấu

α: A → A’ ta có αE1 αE2

Chứng minh :

Trong sơ đồ sau :

Với 1 = ( 1A, , 1C) là cấu xạ toàn đẳng và

2= (α, β,1C): E1 → E là cấu xạ xác định E1

Khi đó ta cũng có cấu xạ:

là cấu xạ xác định E2 Vậy thì E1 = E2

Kết quả của mệnh đề 3.6 có thể mở rộng hơn tới "tính chất phổ dụng" của E Điêu đó thể

hiện trong mệnh đề sau :

Mênh đề 3,7 :

Câu xạ = ( , β, lC): E E có tính chất phổ dụng, tức là mỗi cấu xạ

1= ( , β1, ) : E E1 , đều phân tích được một cách duy nhất qua Nghĩa là tồn tại duy

nhất cấu xạ : 0 (1A, β’, 1): E E1 sao cho 1 = 0

Chứng minh :

• Sợ tồn tại:

Xét biểu đồ :

Ta xác định β’ như sau : β’ : B = (A’⊕ B)/ N B1, β’[(a’,b) + N]= x1(a’) + β1(b)

Khi dó β’ là ánh xạ và dễ thấy β’ là đồng cấu đồng thời β1= β’ Β

(Vì β’ β(b) = β’[(0,b) + N]) = 1(0) + β1(b) = β1(b))

Ta sẽ chứng tỏ hai hình vuông dòng dưới là giao hoán Vì :

(Vì khớp tại B1 nên 1 1 = 0) Suy ra sự tồn tại cấu xạ :

0 = (1A, β’, ) : E E1

Sự duy nhất : Giả sử ∃ β’’ : B’ B1 cũng làm cho biểu đồ giao hoán, tức là ta có :

Khi đó

∀ (a’, b) +N ∈ B Vậy ’’ = ’ có nghĩa là cấu xạ tồn tại duy nhất

Tương tự như tích bên trái, ta có kết quả:

Mệnh đề 3.8 :

Nếu

Chúng ta đã định nghĩa tích bên trái và tích bên phải của một mở rộng với một đồng cấu Vấn

đề đặt ra là khi thực hiện các tích bên trái và bên phải một mở rộng với các đồng cấu thì thứ

tự thực hiện có làm thay đổi kết quả không?

Cụ thể là cho :

E : 0 A’ B’ C 0 thuộc Ext (C, A) và các đồng cấu : A ; : C’ C Thế thì

chúng ta có các tích (E ) và ( E) Khi đó có mối quan hệ gì giữa các tích đó Mệnh đề

sau đây sẽ trả lời câu hỏi đó của chúng ta

Gọi = 2 1 = ( , β2 β1, ) : E → E Mở rộng ( E) có tính đối phổ dụng, nghĩa là cấu

xạ = ( , β2 β1, ) phân tích được dưới dạng

Nhưng ( , β’, 1C’ ) lại là cấu xạ để xây dựng mở rộng (E ) ( E)

Mối liên quan giữa tích trái và tích phải với các đồng đồng cấu chéo, đồng cấu tổng cho ta kết

Câu xạ : E E’được cho bởi biểu đồ giao hoán :

Do tính phổ dụng của E, cấu xạ : : E E’có thể phân tích qua 0 = ( , β’, 1C), nghiã là ta

có : = 1 0

Nhưng cấu xạ 1: αE E lại chính là cấu xạ xác định E’ nên αE = E’

Bây giờ ta chứng minh a) và b)

• Ta có bộ ba ( A B c): E E ⊕ E làm giao hoán biểu đồ :

Khi đó theo bổ đề trên thì:

tức có a) Mặt khác, ta cũng có cấu xạ:

nhờ sự giao hoán của biểu đồ ;

và theo bổ đề trên ta có :

§ 4 CẤU TRÚC NHÓM ABEL CHO EXT(C, A)

Trong mục này chúng ta trang bị cho Ext(C, A) một phép toán để biến nó thành nhóm Abel

Trong mục 3, chúng ta đã định nghĩa tổng trực tiếp của hai mở rộng thuộc Ext(C A) Tổng

Nói cách khác biểu đồ giao hoán :

là một cấu xạ toàn đẳng Vậy E1 ⊕E2

E1’⊕ E2’

Bây giờ chúng ta đưa ra định nghĩa phép cộng của hai mở rộng thuộc (C,A).Cho E1, E2, ∈

(C,A) Mở rộng : E1 + E2 = A(E1 ⊕E2) C được gọi là tổng của hai mở rộng E1, E2

Trong định nghĩa này, nếu ta thay E1 và E2 bởi các mở rộng toàn đẳng với chúng thì tổng mới

cũng toàn đẳng với tổng ban đầu

Mệnh đề 4.2

Cho các mở rộng E1 E1’, E2 E2’ Vậy thì E1 + E2 E1’ + E2’

Chứng minh :

Theo mệnh đề 4.1 chúng ta đà có : E1 ⊕E2 E1’⊕ E2’

Hơn nữa, từ các hệ quả của mệnh đề 3.2; 3.6 ta có :

Bây giờ chúng ta sẽ xác định phép cộng cho Ext (C, A):

Cho , Ext (C, A).Lớp chứa mở rộng E1 + E2 được gọi là tổng của và hay

+ =

Mệnh đề 4.2 cho ta định nghĩa trên là tốt hay nói cách khác, tổng + không phụ thuộc

vào mở rộng đại diện E1 + E2

Trong những trường hợp không sợ nhầm lẫn ta có thể viết E1+ E2 thav cho +

Chúng ta có thể chỉ ra rằng Ext (C, A) với phép cộng trên lặp thành một nhóm Abel Để thực

hiện điều này ta xây dựng một nhóm Abel và nhúng Ext (C, A) vào nhóm đó như là một

Phần tử đối của phần tử (f g) là (-f -g) Trong nhóm FR (C, A) chúng ta chú ý đến một nhóm

con mà ta ký hiệu là SR (C, A) sẽ thiết lập dưới đây

Với mỗi hàm h : C A, chúng ta lập hàm : Ch : CxC theo qui tắc :

Khi đó ta đặt :

Rõ ràng SR(C, A) là một bộ phận của FR(C A) Hơn nữa SR(C, A) là nhóm con của FR (C, A) Bởi vì với ∀ ( Ch, Ch) ( Ch’, Rh’) thuộc SR(C, A) ta có :

Để nhúng Ext(C,A) vào nhóm thương này, ta sẽ thiết lập một qui tắc :

: Ext(C, A) FR(C, A)/SR(C, A) như sau:

Với mỗi mở rộng E : 0 → A B C →0

Ta xác định một cặp (f,g) ∈ FR(C, A) mà ta sẽ gọi là hệ các thương của mở rộng E Ta lấy hàm chọn u: C B của mở rộng E sao cho u =1C ; tức là : u(c) = c, ∀c ∈C Điều này thực hiện được vì là toàn ánh

Khi đó ∀(c1,c2) ∈CxC thì:

Suy ra : u(c1) + u(c2) –u(c1 + c2) ∈ Ker = Im

Do đơn ánh nên tồn tại duy nhất a ∈A sao cho :

Đặt f(c1,c2) = a ta được hàm f : CxC →A thỏa mãn:

Tương tự, ∀(r,c) ∈ RxC:

Suy ra ru(c) – u(rc) ∈ Ker = Im Vì đơn ánh nên ∃ duy nhất a ∈ A mà :

(a) = ru(c) – u(rc)

Đặt g(r,c) = a , vậy thì tồn tại hàm g : RxC →A mà ru(c) + u(rc) = [g(r,c)]

Ta đặt :

Ta nhận thấv rằng một hệ các thương (f, g) của mở rộng E xác đinh như trên là phụ, thuộc vào cách lấy hàm chọn u Như vậy có thể bị phụ thuộc vào hàm chọn u

Dưới đây ta sẽ chứng minh rằng thật ra có được xác định như vậy là hợp lý.Điều đó được khẳng định bởi các mệnh đề dưới đây :

Ta lấy hai hàm chọn u’ u, khi đó ∀c ∈C :u’(c) – u(c) ∈ Ker = Im

Do đơn ánh , tồn tại hàm h : C → A sao cho :

b) Chứng minh mệnh đề 4.4 :

Ta phải chỉ ra rằng : Nếu E E’ thì E & E’ có chung một thương; giả sử (f, g) là một hệ các thương của E với hàm chọn u : C → B Ta sẽ chứng minh (f, g) cùng là một hệ các thương của E’ Do E E’ nên ta có biểu đồ giao hoán :