Các định luật bảo toàn trong cơ lí thuyết và một số bài toán ứng dụng (2017)

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đề tài “ Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết và một số bài toán ứng dụng ” được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tìn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS.NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2017

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đãluôn sát cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vànghiên cứu để hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Trần Thị Trà My

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài “ Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết

và một số bài toán ứng dụng ” được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan Tôi cũng xin cam đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của

bất kì khóa luận tốt nghiệp khác Nếu có gì không trung thực trong khóa luậntôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017.

Sinh viên

Trần Thị Trà My

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Nội dung nghiên cứu 2

7 Đóng góp đề tài 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG 3

1.1 Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm 3

1.1.1 Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm 3

1.1.2 Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm 4

1.2 Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm 5

1.2.1 Định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm 5

1.2.2 Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm 7

1.3 Một số bài toán ứng dụng 8

CHƯƠNG 2: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔ MEN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 13

2.1 Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm 13

2.1.1 Định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm 13

2.1.2 Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm 14

2.2 Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm 15

2.2.1 Định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm 15

2.2.2 Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm 18

2.3 Một số bài toán ứng dụng 18

CHƯƠNG 3: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 27

3.1 Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm 27

3.1.1 Định luật biến thiên động năng của chất điểm 27

3.1.2 Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm 28

3.2 Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm 30

3.2.1 Định li biến thiên động năng của hệ chất điểm: 30

3.2.2 Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm 32

3.3 Một số bài toán ứng dụng 34

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

đề của kĩ thuật nói riêng và thế giới tự nhiên nói chung Vì vậy cho đến hiệnnay nó vẫn là một trong các cơ sở của khoa học tự nhiên và xã hội.

Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết trong đó nghiên cứumột cách toàn diện các quy luật chuyển động cơ học của vật thể dưới tác dụngcủa các lực Lý thuyết động lực học được xây dựng trên những định luật cơbản của động lực học Chúng là kết quả của hàng loạt các thi nghiệm và quansát đã được kiểm nghiệm qua thực tiễn Các định lý này phản ánh mối liên hệ

cụ thể khác nhau giữa lực với chuyển động Trong giai đoạn phát triển hiệnnay của Vật lý học, các định luật bảo toàn cho phép ta hiểu được sâu sắc thêmnhiều thông tin về chuyển động của vật thể và vận dụng có hiệu quả trongviệc giải các bài toán cơ học phức tạp

Trong động lực học,việc sử dụng phương pháp của phần động họctrong các bài toán hệ vật là việc làm hết sức phức tạp Hơn nữa trong phần lớncác bài toán động lực học của hệ, vấn đề chính không phải là khảo sát mộtcách chi tiết toàn bộ chuyển động của chất điểm thuộc hệ mà chỉ nghiên cứucác hiện tượng theo từng mặt riêng biệt Để giải quyết các bài toán như vậy,việc sử dụng các định luật bảo toàn sẽ làm cho quá trình giải đơn giản vànhanh chóng hơn

Chinh vì vậy, tôi đã chọn đề tài “ Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết và một số bài toán ứng dụng ”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết

- Sử dụng các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết để giải một số bàitập cơ lý thuyết

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung

lượng và định luật bảo toàn cơ năng

- Áp dụng các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mômen xung lượng và định luật bào toàn cơ năng để giải một số bài tập cơ lýthuyết

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô menxung lượng, định luật bảo toàn cơ năng và vận dụng các định luật bảo toàn đó

để giải một số bài tập cơ lý thuyết

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp vật lý lý thuyết

- Phương pháp giải tích

6 Nội dung nghiên cứu

Chương 1: Định luật bảo toàn xung lượng và một số bài tập ứng dụng.Chương 2: Định luật bảo toàn mô men xung lượng và một số bài tậpứng dụng

Chương 3: Định luật bảo toàn cơ năng và một số bài tập ứng dụng

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI

TOÁN ỨNG DỤNG

1.1 Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm.

1.1.1 Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm.

a Xung lượng của chất điểm.

Tích giữa khối lượng m của chất điểm và vận tốc v⃗ của nó được gọi là

xung lượng P⃗ của chất điểm

P⃗ = mv⃗ (1.1)

b Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm.

Khối lượng của chất điểm không thay đổi trong quá trình chuyển độngnên đạo hàm hai vế của (1.1) theo thời gian t, ta được:

P =

=

F

P F

Trong đó: P⃗ là xung lượng của chất điểm

F⃗ là lực tác dụng lên chất điểm

1.1.2 Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm.

Nếu chất điểm là cô lập ( không có lực tác dụng ) hoặc tổng hợp lực tác

→dụng lên chất điểm bằng 0, nghĩa là F = 0

P = FBiểu thức → →

trở thành:

P⃗ = 0Hay P⃗ = P⃗

0 = c⃗⃗⃗o⃗⃗⃗n⃗⃗s⃗⃗tKhi đó xung lượng của chất điểm được bảo toàn

Nếu thành phần của lực trên một trục cố định nào đó bằng không tạimọi thời điểm thì thành phần của xung lượng trên trục đó được bảo toàn

Vi dụ: Nếu Fz = 0 thì Pz bảo toàn Pz = Pz0 = const

Ta biết Pρ = mρ là thành phần xung lượng trên trục ρ Do đó (1.3) có

thể viết dưới dạng:

Pρ − mρφ2 =

FρNhư vậy, nếu Fρ = 0 thì Pρ = mρφ2 nghĩa là Pρ vẫn không bảo

toàn Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm được phát biểu

như sau:

“ Nếu chất điểm là cô lập ( không có lực tác dụng ) hoặc tổng hợp lựctác dụng lên chất điểm bằng 0 thì xung lượng của chất điểm được bảo toàn ”

P⃗ = 0 hay P⃗ = P⃗

0 = c⃗⃗⃗o⃗⃗⃗n⃗⃗s⃗⃗t

(1.4)

1.2 Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm.

1.2.1 Định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm.

Xét hệ chất điểm gồm N chất điểm M1, M2, … , MNLực tác dụng lên chất điểm của hệ chia thành nội lực và ngoại lựca) Nội lực: là lực do các chất điểm của hệ tương tác với nhau.Tổng nội lực tác dụng lên các chất điểm của hệ là :

N

i n

b) Ngoại lực: là lực do các vật thể ở ngoài hệ tương tác lên các chất điểmtrong hệ

Tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ là :

N

→e

= ∑F⃗ ei=1Trong đó F⃗

i

là ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i

Ký hiệu xung lượng của hệ chất điểm là P⃗ thì theo định nghĩa:

N NP⃗ = ∑ P⃗ i =

∑ miv⃗ i

Trong đó Pi  mi

vi là xung lượng của chất điểm thứ i Nghĩa là xung lượng

của hệ chất điểm bằng tổng xung lượng của các chất điểm trong hệ

Đạo hàm hai vế của phương trình trên theo thời gian, ta được:

N

d P⃗

dt = ∑ mi

i=1 Nd

d

v ⃗ i dt

dt = ∑ mω⃗⃗ i

i i=1

(1)

Trong đó ω⃗⃗ i là gia tốc của chất điểm thứ iLại có:

N N

i n

i n

i n

i n

e

∑ mi ω⃗⃗ i =

∑(F⃗ i

+ F⃗ i ) (2)

N N

i=1 j=

1 j≠i

i=1 j=

1 j>i

1 j<i

N

i=1 j=

1 j<i

∑ F⃗ i = ∑(F⃗ ij + F⃗ ji) = 0i=1

Vậy tổng nội lực của hệ bằng 0

Khi đó, (2) trở thành:

N

i.j=

1 j<i

d P⃗

i=1

N e

dt = ∑F⃗ ii=1

d

P⃗

dt =

Hay P⃗ = F⃗ e (1.5)

Biểu thức (1.5) biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của hệ chấtđiểm được phát biểu như sau:

“ Đạo hàm véc tơ xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian bằngtổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ.”

P⃗ =F⃗ eTrong đó: P⃗ là xung lượng của hệ chất điểm

F⃗ e là tổng ngoại lực tác dụng lên hệ chất điểm

Ý nghĩa: định luật biến thiên xung lượng cho ta biết mối liên hệ giữagia tốc, lực và thời gian Nó giúp ta xác định được một trong ba đại lượng khibiết hai đại lượng còn lại

Định luật biến thiên xung lượng còn được áp dụng trong nghiên cứu lýthuyết va chạm

1.2.2 Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm.

Nếu thành phần của tổng ngoại lực tác dụng lên hệ trên một trục cốđịnh nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng của

hệ trên trục đó bảo toàn

e

Vi dụ: Nếu Fz

điểm ban đầu

= 0 thìPz = Pz0 = const với Pz0 là thành phần của Pz

ở thờiTrong trường hợp cơ hệ kín là hệ mà trong đó các chất điểm của hệ không chịu một ngoại lực nào tác dụng lên chúng hay F⃗ e = 0 Từ (1.5) suy ra:

dP⃗

dt = e = 0P⃗ = P⃗ 0 =c⃗⃗⃗o⃗⃗⃗n⃗⃗s⃗⃗tNhư vậy, đối với hệ kín thì xung lượng của hệ được bảo toàn

Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau:

“ Đối với hệ kín, xung lượng của hệ được bảo toàn ”

1.3 Một số bài toán ứng dụng.

P⃗ = P⃗ 0 = c⃗⃗⃗o⃗⃗⃗n⃗⃗s⃗⃗t

(1.6)

Bài 1: Hãy tìm vận tốc sau va chạm đàn hồi tuyệt đối của hai quả cầu giống

nhau, chuyển động gặp nhau với vận tốc v1 và v2

⃗⃗⃗⃗′ ⃗ ′Giả sử sau va chạm vận tốc của hai quả cầu là v1 và v2

Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng cho hai quả cầu :

P⃗ trước = P⃗

sau

⃗⃗⃗⃗′ ⃗ ′mv⃗⃗⃗1 + m 2 = mv1 + mv2

⃗⃗⃗⃗′ ′ ⃗

→ v⃗⃗⃗1 + v⃗⃗2 = v1 +

v2Chiếu (1) lên Ox, ta được:

(1)

v1 − v2 = −v′1 + v′2 (2)

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hai quả cầu:

1

2

1 2 1 ⃗⃗⃗⃗′ 2 1 ⃗ ′ 2

2 m(v⃗⃗⃗1)

+

2 m (v2)

v1 − v2 = −v′1 +

v′2{

Bài 2: Hai quả cầu đàn hồi tuyệt đối giống nhau va chạm với các vận tốc v

bằng nhau về độ lớn Trước khi va chạm quả cầu bên trái có vận tốc hướng vềbên phải theo đường nối tâm hai quả cầu, còn quả cầu bên phải có vận tốc hợpvới đường nối tâm một góc α ( hình 1.2 ) Hãy tìm vận tốc của các quả cầusau khi va chạm

�

O1

O2

Chiếu (1) lên Ox:

′ ′

mv1 − mv2cosα = mv1x + mv2x

′ ′

2 y

Mà v1 = v2 =

v

→ v1 − v2cosα = v1x + v2x

′ ′Chiếu (1) lên Oy:

sin α

2 2

→ v′1x + v′2x

′

′

= 2v2 − v2sin2α (5)

2 ′ 2Suy ra:

v′2x − v(1 + cosα)v2x

2 x 2 x

1 x

v′ = −vcosα < 0 (loại)

v′ = v (thỏamãn)

v′ = v − vcosα − v =

−vcosαVậy vận tốc của hai quả cầu sau va chạm là:

2 2 2 2 2 ′

v′1 = v′1x + v′1y

2 2

2 2 2 2 2v′2 = v′2x + v′2y

= v + v sin α → v′α 2 = v√1 + sin

Kết luận chương 1

Các định luật bảo toàn mà chúng ta nhận được trong chương này đềuxuất phát từ phương trình chuyển động của Niu Tơn Vì thế các định luật đóliên hệ chặt chẽ với các tính chất của thời gian và không gian trong cơ học cổđiển Định luật bảo toàn xung lượng liên hệ với tính đồng nhất của khônggian, do tính chất này mà các tính chất cơ học của một hệ kín không thay đổivới mọi dịch chuyển song song của hệ trong toàn bộ

Đối với một số bài tập cơ học thỏa mãn định luật bảo toàn thì có thểgiải bằng các định luật bảo toàn và cũng có thể giải bằng phương trình tổngquát của động lực học nhưng giải bằng các định luật bảo toàn sẽ đưa kết quảnhanh chóng hơn

Khi áp dụng định luật bảo toàn xung lượng và định luật biến thiên xunglượng của cơ hệ, ta lần lượt làm theo thứ tự sau:

- Xác định trạng thái của cơ hệ khảo sát ( hệ kín hay hệ không kín ),

từ đó xác định hướng giải của bài toán sẽ áp dụng định luật bảo toàn xunglượng hay định luật biến thiên xung lượng của hệ

- Xác định các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ Chọn hệ trục tọa độ tương

- Xác định xung lượng của cơ hệ

- Áp dụng biểu thức của định luật, từ đó giải các phương trình vi phân

để tìm các đại lượng cần thiết theo yêu cầu của đề bài

F

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔ MEN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI

TOÁN ỨNG DỤNG

2.1 Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm.

2.1.1 Định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm.

Xét một chất điểm tự do có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực → Theo định luật II Niu tơn, ta có:

m ω⃗⃗ = F⃗ ( ω⃗⃗ : gia tốc của chất điểm )

dv⃗

→ m

dt = F⃗

Nhân hữu hướng với r về bên trái, ta được:

dv⃗

[r m

dt] = [r F⃗ ]Tích hữu hướng [r F⃗ ] được gọi là mô men lực của chất điểm, ký hiệu là L⃗

dt = L⃗⃗ → M⃗ = L⃗ ( 2.2 )Trong đó M⃗ = [r m v⃗ ] = [r P⃗ ] được gọi là mô men xung lượng của chất điểm

Biểu thức ( 2.2 ) biểu diễn định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau:

“ Đạo hàm véc tơ của mô men xung lượng của chất điểm theo thời gian bằng mô men lực tác dụng lên chất điểm đó ”

M⃗ =L⃗

Trong đó: M⃗ = [r m v⃗ ] = [r P⃗ ]: mô men xung lượng của chất điểm

L⃗ = [r F⃗ ] : mô men lực của chất điểm

2.1.2 Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm.

Nếu thành phần mô men lực trên một trục cố định nào đó tại mọi thờiđiểm bằng 0 thì thành phần của mômen xung lượng của chất điểm trên trục

đó được bảo toàn

Vi dụ: Nếu Lz = 0 thì Mz bảo toàn

Mz = Mz0 = const (2.3)Nhận xét: Mô men lực (hay các thành phần của nó trên các trục nàođó) bằng không khi lực tác dụng lên chất điểm bằng không Nhưng cũng cóthể xẩy ra trường hợp, lực tác dụng lên chất điểm khác không mà mô menlực lại bằng không

Ví dụ 1: Cho trước lực tác dụng lên chất điểm có hướng luôn cố định, ta

chọn trục Oz thế nào để nó cộng tuyến với hướng của lực đó Từ đây, ta có(hình

x x

Hình 2.1

Ví dụ 2: Lực xuyên tâm, đó là lực có đường tác dụng luôn đi qua một

điểm cố định – tâm của lực (đường tác dụng của lực là đường thẳng màvectơ lực nằm trên đó) Trong trường hợp này mô men lực bằng không Thậtvậy:

Chọn điểm cố định O làm gốc toạ độ (Hình 2.1 b) khi đó:

F⃗ = Fγn⃗ γ ; L⃗ = 0M⃗ = m[r v⃗ ] = M⃗ 0 (2.5)

Nghĩa là mô men xung lượng của chất điểm đối với tâm của lực bảo

“ Trong hệ quy chiếu quán tính mà tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng

0 hoặc lực tổng hợp cộng tuyến với bán kińh vectơ xác định vị tri của chấtđiểm thì mô men xung lượng của chất điểm bảo toàn ”

M⃗ = M⃗ 0 = c⃗⃗⃗o⃗⃗⃗n⃗⃗s⃗⃗tTrong đó: M⃗ = [r m v⃗ ]: mô men xung lượng của chất điểm

M⃗ 0: mô men xung lượng ban đầu của chất

điểm

2.2 Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm.

2.2.1 Định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm.

d v⃗ i in e[ri mi

dt ] = [ri F⃗ i ] + [ri F⃗ i ]

d d

ri in e

i n

i n

L⃗ i

= [ri F⃗ i

⃗⃗ i

]: mômen nội lực của chất điểm thứ i

e = [ri Fe]: mômen ngoại lực của chất điểm thứ iM⃗ i = [ri mi v⃗ i] = [ri P⃗ i]: mômen xung lượng của chất điểm thứ iLấy tổng biểu thức (2.7) theo tất cả các chất điểm trong hệ, ta nhận

được:

NM⃗ = ∑ L⃗ i

N

i=1 i=1Trong đó M⃗ là mô men xung lượng của hệ, bằng tổng mô men xung lượng của các chất điểm trong hệ

NM⃗ = ∑ M⃗ i i=1Các lực tương tác giữa mỗi cặp các chất điểm theo định luật III NiuTơn thì bằng nhau về độ lớn và hướng ngược chiều nhau trên đường thẳngnối các chất điểm tương tác Do đó ta có thể biểu diễn mô men nội lực dướidạng

tổng các mô men lực theo tất cả các cặp chất điểm tương tác

��j

Chọn gốc O làm gốc tọa độ

Vị tri của chất điểm Mi và Mj của hệ đối với gốc O được xác định bằng bán kính véc tơ ri và rj Ta có :

i n

i n

i,j=0 i<j

∑ L⃗ i = 0 (2.9)i=1

Bởi vì : [ri F⃗ ji] + [rj F⃗ ij] = [( i − rj) F⃗ ij] = 0

( vì F⃗ ij cộng tuyến với rji = ri − rj )

Do đó tổng mô men nội lực tác dụng lên chấtđiểm của hệ bằng 0

Từ biểu thức (2.8) và (2.9), ta nhận được biểu thức của định luật biến thiên mô men xung lượng của hệ chất điểm:

M⃗ = L⃗ e (2.10)

Trong đó L⃗ e là tổng mô men ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ:

NL⃗ e = ∑ L⃗ i

i=1Định luật biến thiên mô men xung lượng của hệ chất điểm được phátbiểu như sau:

“ Đạo hàm mô men xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian bằngtổng mô men ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ ”

Ý nghĩa: định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm đểnghiên cứu chuyển động của cơ hệ bao gồm cả chuyển động quay và chuyểnđộng tịnh tiến