Bài báo trình bày phương pháp biến đổi Fourier (FFT) để tính hệ số dẫn vĩ mô cho vật liệu hai pha dạng nềncốt liệu trong không gian hai chiều, trong đó pha cốt liệu có hình dạng elliptic. Xác định tính chất dẫn vĩ mô (tính chất dẫn hiệu quả) của vật liệu bằng phương pháp FFT đối với một số mô hình tuần hoàn trong không gian hai chiều, có tỉ lệ thể tích giữa các pha thay đổi và so sánh với các phương pháp xấp xỉ khác.
Trang 1Mô phỏng số FFT hệ số dẫn vĩ mô vật liệu hai pha dạng nền-cốt liệu elliptic và các phương pháp xấp xỉ
Nguyễn Văn Luật 1 , Nguyễn Trung Kiên 2
1 Đại học Công nghiệp Hà Nội
2 Đại học Giao thông vận tải Hà Nội Email: luatnv1980@gmail.com
Tóm tắt
Bài báo trình bày phương pháp biến đổi Fourier (FFT) để tính hệ số dẫn vĩ mô cho vật liệu hai pha dạng nền-cốt liệu trong không gian hai chiều, trong đó pha nền-cốt liệu có hình dạng elliptic Xác định tính chất dẫn vĩ mô (tính chất dẫn hiệu quả) của vật liệu bằng phương pháp FFT đối với một số mô hình tuần hoàn trong không gian hai chiều, có tỉ
lệ thể tích giữa các pha thay đổi và so sánh với các phương pháp xấp xỉ khác
Từ khóa: hệ số dẫn, cốt liệu dạng elliptic, phương pháp biến đổi Fourier
1 Mở đầu
Các loại vật liệu tổ hợp ngày nay được áp dụng trong hầu hết các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và đời sống Việc nghiên cứu tính chất dẫn vĩ mô hay đồng nhất hóa vật liệu được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu và đã đưa ra nhiều kết quả xấp xỉ cho các mô hình vật liệu khác nhau Đối với các mô hình vật liệu trong tính toán để cho đơn giản có thể được lý tưởng hóa hình học dưới dạng cốt liệu hình cầu hoặc trong không gian hai chiều là hình tròn Tuy nhiên trong thực tế cốt liệu có những hình dạng phức tạp hơn nhiều và cần xấp xỉ dưới dạng hình học không tròn mà có dạng như elliptic Tính chất vĩ mô của vật liệu tổ hợp phụ thuộc vào nhiều yếu tố phức tạp như cấu trúc hình học pha, các tính chất của vật liệu thành phần,
tỷ lệ thể tích giữa các pha Do đó trong các nghiên cứu chủ yếu chỉ tìm được cận trên, dưới và các công thức xấp xỉ áp dụng cho một số mô hình vật liệu Hướng tiếp cận để tính xấp xỉ cho các mô hình như của (Maxwel,1884), (Winner, 1912), (Voight, 1928), (Reuss, 1929), (Bruggeman, 1935), (Hamilton and crosser, 1962), (Lewis and Nielsen, 1970), (Mori and Tanaka, 1973) Một hướng tiếp cận khác là xây dựng biên trên
và biên dưới cho hệ số dẫn vĩ mô như (Hill, 1952), (Hashin and Strikman, 1962), (Pham DC, 1996)…Ngoài
ra các phương pháp số hiện nay cũng là cách tiếp cận hiệu quả trong việc xác định tính chất vĩ mô của vật liệu như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp biến đổi Fourier (FFT) Phương pháp FFT áp dụng trong lĩnh vực cơ học vật liệu tính mô đun đàn hồi cho vật liệu tổ hợp được đề xuất đầu tiên vào năm bởi (Moulicec and Subquet, 1994) Trong bài báo này sử dụng phương pháp FFT để tính hệ số dẫn vĩ mô cho một số mô hình vật liệu hai pha với pha cốt liệu có hình học dạng elliptic được sắp xếp tuần hoàn trong pha nền, trong đó có so sánh với các phương pháp xấp xỉ khác
2 Phương pháp biến đổi Fourier (FFT)
Nội dung cơ bản của phương pháp biến đổi Fourier là thiết lập được phương trình Lippman-Schwinger đối với bài toán không đồng nhất và sử dụng toán tử Green tuần hoàn Sau đó sử dụng thuật toán lặp Ứng xử của các vật liệu thành phần được mô tả bởi định luật Fourier:
Trang 2trong đó E (x)và J (x) lần lượt là trường gradient nhiệt độ và dòng nhiệt địa phương thỏa mãn phương trình cân bằng
E x( ) T( ),x ( ) J x 0 (2) Trường gradient E (x) và T (x) có thể tách thành các thành phần sau:
0 0
( )
per
per
trong đó 0
E là gradient vĩ mô đồng nhất đối với phần tử đặc trưng, eper gọi là thành phần nhiễu có tính chất tuần hoàn Do tính chất tuần hoàn nên ta có:
eper( ) x V 0; E0 E x ( ) V (4) với ký hiệu • V là trung bình trên trên thể tích của phần tử đặc trưng V, 1
V
d V
x
Bài toán trên phần tử đặc trưng có thể quy về tìm các thành phần Tper, eper Đưa vào môi trường làm chuẩn
có hệ số dẫn C0, phương trình cân bằng trở thành
0
· · ( C C) ( ) 0
J E x (5) với C ( ) x C ( ) x C0
Thay E x ( ) từ (2) vào (5) viết lại dưới dạng tương đương sau
·C0T per · ( )τ x 0 (6) trong đó tenxơ τ( ) x gọi là tenxơ "cực" được xác định bởi : τ x( )C( )x E 0eper( )x
Do tính chất chu kỳ của phần tử đặc trưng nên per, per
T e và τ x ( ) được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier:
V
V
trong đó F chỉ Tper, eper và τ( ) x , còn ˆF là biến đổi Fourier của các đại lượng này, đó là ˆper, ˆper
T e và ˆ
Ở đây tính chất tuần hoàn được thể hiện bởi
.( )
1
d
j j j j
x h x
với mj là số nguyên bất kỳ, 2 aj là kích thước của phần tử đặc trưng song song với trục x ej, j là vectơ cở
sở theo hướng x dj, là số chiều của không gian
, j j ( j 0, 1, 2 )
k
j k
n
n a
e , không tổng theo j Thay các biểu diễn dạng chuỗi Fourier của Tper, eper và τ( ) x vào phương trình (6) thu được
( 0 ) ˆper( ) i . ˆ ( ) i . 0
từ đó các trường ˆper
T và ˆper
e có thể xác định như sau:
Trang 3ˆ ( ) ˆ0 , ˆ ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ 0 ˆ0( ) ( ) ˆ
trong đó 0
( )
Γ là toán tử Green phụ thuộc môi trường đồng nhất C0 được xác định bởi
0
0 ( )
.C
Từ đó thu được phương trình Lippman-Schwinger
Eˆ( ) Eˆ0( ) Γˆ0( ) ( ) ˆ Eˆ0( ) Γˆ0( ) ( ( ) C C0) * ( )Eˆ (12) Nghiệm của phương trình được tìm bởi sơ đồ lặp sau:
1 0
ˆ ( ) ˆ ( )· ( ( ) ) ˆ ( ), 0
i
(13)
Chú ý rằng Γ0· C0 Ei( ) Ei( ) với 0 xem Michel(1999-[5]), phương trình (13) được viết lại dưới dạng sau:
1 0
ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ
i
trong đó J ˆ ( )i là biến đổi Fourier của Ji( ) x Liên hệ giữa trường dòng J và trường gradient E trong không gian Fourier được biểu diễn bằng biểu thức:
trong đó ký hiệu "*" là tích "convolution" Biến đổi Fourier của tenxơ hệ số dẫn:
V
C C e d C I
với C I, lần lượt là tenxơ hệ số dẫn và hàm dạng của pha , I( ) được xác định theo Nemat-Nasser (1999-[7]):
1 .
V
V
x
(17) Thay các biểu thức (15), (16) vào (14) thu được
1 0
ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ). ( ) * ˆ (
,
i
C I
(18)
Để xác định hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu composite, cho phần tử đặc trưng chịu tác dụng của gradient vĩ mô 0
E Khi quá trình lặp theo (18) hội tụ (số hạng đầu tiên E1E0 ), ta có
0 ( 0) Ceff
trong đó eff
C là hệ số dẫn hiệu quả của vật liệu composite Từ đó rút ra thuật toán số để xác định hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần có cấu trúc tuần hoàn:
Trang 4Bước i=1: E ˆ1( ) 0 0; E ˆ1(0) E0
J ˆ1( ) C ( )* E ˆ1( )
Bước i: E ˆi( ) và ( ) J ˆi đã biết
Kiểm tra hội tụ
ˆ 1( ) ˆ ( ) ˆ0( ) ( )i
ˆi 1( ) ( )* ˆi 1( )
C
Kiểm tra điều kiện hội tụ được xác định bằng biểu thức sau:
1
ˆ ( ) ˆ ( )
,
ˆ ( )
i
J
‖ ‖ với là sai số cho trước (
3
10
3 Một số phương pháp xấp xỉ
Trong mục này giới thiệu một số phương pháp tính xấp xỉ, đánh giá hệ số dẫn vĩ mô (C eff) của vật liệu nền-cốt liệu dạng elliptic đẳng hướng trong không gian hai chiều với các ký hiệu: CI, vIlà hệ số dẫn và tỉ lệ thể tích của pha cốt liệu, CM, vM là hệ số dẫn và tỉ lệ thể tích của pha nền
3.1.1 Xấp xỉ Hamilton (1962-[1])
M
n
, là thông số hình học của cốt liệu, trong trường hợp cốt liệu dạng elliptic 0.4
3.1.2 Xấp xỉ Maxwell (1892-[1])
M
3.1.3 Xấp xỉ Lewis-Nielsen (1970-[1])
1
M
I
A v
v
1
I M I M
C C C A C
I m
v
Trong đó A, m là các hệ số hình học cốt liệu (lấy giá trị A=1.5, m 1 với hình cầu, A=3, m 0.637 với hình dạng khác)
3.1.4 Xấp xỉ Mori-Tanaka (1973-[4])
Trong không gian hai chiều, cốt liệu elliptic xấp xỉ Mori-Tanaka có dạng:
eff
Trang 5trong đó
2
, r là tỉ số giữa hai bán trục chính của elliptic
3.1.5 Đánh giá Hashin-Strikman (1962-[3])
Hashin-Strikman dựa trên nguyên lý biến phân riêng đưa vào trường khả dĩ phân cực đã xây dựng được đánh giá trên và dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu nhiều thành phần đẳng hướng
1
*
C
v
* ( 1) 0, min 1, , n , max 1, , n
4 Kết quả so sánh
Trong mục này sẽ đưa ra kết quả tính toán FFT hệ số dẫn vĩ mô cho một số mô hình vật liệu có cốt liệu dạng elliptic trong không gian hai chiều và so sánh với các phương pháp xấp xỉ khác Hàm dạng (17) cho cốt liệu elliptic trong không gian hai chiều [2]
( ) 1
( ) 2 ( ) / i c
I S J e x
Trong đó J1là hàm Bessel loại 1, Slà diện tích bề mặt của cốt liệu, xc( ) là véc tơ xác định vị trí trọng tâm của pha cốt liệu
2 2 2 2 1/2
1 1 2 2
1
a ,a2 là độ dài các bán trục chính của cốt liệu elliptic, 1,2là các thành phần của theo các trục của elliptic
- Kết quả tính toán FFT cho mô hình vật liệu có cốt liệu elliptic sắp xếp tuần hoàn trong phần tử đặc trưng (unit cell) theo hình vuông (square) và so sánh với các mô hình xấp xỉ khác Do cốt liệu không chồng lấn nên tỉ lệ thể tích cốt liệu chỉ có thể tăng đến một giới hạn nhất định Trên hình 2 với pha nền có hệ số dẫn CM=1, pha cốt liệu có hệ số dẫn CI=10, a2 0.2 a1, trong trường hợp này cả FFT và các xấp xỉ khác đều nằm trong đánh giá của Hashin-Strickman (HS) và gần nhau khi tỉ lệ thể tích cốt liệu nhỏ Kết quả trên hình 3 với CM=10, CI=2 thì có thể thấy chỉ có FFT nằm trong đánh giá của HS, điều này khẳng định độ tin cậy của phương pháp FFT so với các phương pháp xấp xỉ trước đó
Hình 1: Mô hình cốt liệu elliptic có cấu trúc tuần hoàn
Trang 6- Xem xét trường hợp cốt liệu gồm 2n elliptic phân bố hỗn độn không chồng lấn trong phần tử đặc trưng với n elliptic nằm ngang và n elliptic thẳng đứng (hình 4) Kết quả tính toán thể hiện trên hình 5 với
sự thay đổi tỉ lệ thể tích của pha cốt liệu (VI) và các giá trị khác nhau của HSD giữa pha nền (CM) và pha cốt liệu (CI), có thể thấy FFT cũng luôn nằm trong đánh giá của HS trong khi các kết quả xấp xỉ khác có thể nằm ngoài đánh giá của HS
Hình 2: Kết quả FFT và so sánh với các phương pháp xấp xỉ, CM=1, CI=10
Hình 3: Kết quả FFT và so sánh với các phương pháp xấp xỉ, CM=10, CI=2
Trang 7Hình 4: Mô hình elliptic phân bố ngẫu nhiên
Hình 5: Kết quả FFT và so sánh với các phương pháp xấp xỉ: (a) CM=1, CI=10; (b) CM=10, CI=2,
(a)
Trang 85 Kết luận
Báo cáo đã xây dựng được thuật toán FFT và chương trình số dựa trên phần mềm Matlab để tính hệ
số dẫn vĩ mô cho vật liệu nền cốt liệu dạng elliptic sắp xếp tuần hoàn trong không gian hai chiều, trường hợp này phức tạp hơn trường hợp cốt liệu có dạng hình tròn [6],[8] Trong việc so sánh giữa FFT và các phương pháp xấp xỉ khác cho thấy FFT luôn nằm trong đánh giá của HS trong khi các phương pháp xấp xỉ khác có thể nằm ngoài HS, điều đó chứng tỏ phương pháp FFT cho kết quả chính xác và tin cậy hơn so với các phương pháp xấp xỉ khác
Lời cảm ơn: Các tác giả cảm ơn đền tài NCCB trong cơ học mã số 107.02-2015.05 (Quỹ Nafosted) Tài liệu tham khảo
[1] Azeem S, Zain-ul-Abdein M (2012), Investigation of thermal conductivity enhancement inbakelite–graphite
particulate filled polymeric composite In-ternational Journal of Engineering Science 52, 30-40
[2] Bonnet G.(2007), Effective properties of elastic periodic composite media with fibers Journal of the Mechanics
and Physicsof Solids 55, 881-899
[3] Hashin Z And Shtrikman S.(1962), Avariational approach to thetheory of the effective magnetic permiability of
multiphase materials J Appl.Phys 33, 3125-3131
[4] Mori T.and Tanaka K.(1973), Averages tress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting
inclusions ActaMetall 21, 571-574
[5] Michel J, Moulinec H,Suquet P.(1999), Effective properties of composite materials with periodic microstructure:
a computational approach Comput Methods Appl.Mech Engrg 172, 109–143
[6] Nguyen Trung Kien, Nguyen Van Luat, Pham Duc Chinh “ Estimating effective conductivity of unidirectional transversely isotropic composites” Tạp chí Cơ học Việt Nam (Vietnam Journal of Mechanics), 203-213, Volume 35 (2013)
[7] Nemat-Nasser S, HoriM.(1999), Micromechanics: overall properties of het- ero geneous materials
Amsterdam;New York:Elsevier, 786p
[8] Nguyen Van Luat, Nguyen Trung Kien ‘FFT-simulations and multi-coated inclusion model for macroscopic conductivity of 2D suspensions of compound inclusions” Tạp chí Cơ học Việt Nam (Vietnam Journal of Mechanics), 169-176, Volume 37 (2015)