Đề tài nghiên cứu về các nội dung: những kiến thức về vật lý thống kê và thuyết tương đối liên quan đến hệ khí điện tử suy biến, quá trình cân bằng hấp dẫn của hệ khí, tìm ra biểu thức để tính khối lượng tới hạn của sao lùn trắng, thuyết tương đối rộng và nghiệm Schwarzschild cho không thời gian trong ngôi sao - nghiệm này còn có tên là nghiệm Schwarschild nội,... Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 2Bộ Giáo Dục và Đào Tạo Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM
KHỐI LƯỢNG TỚI HẠN CỦA SAO LÙN TRẮNG
Trang 3Trong các giáo trình thiên văn học, ta luôn gặp khái niệm khối lượng tới hạn Chandrasekhar Rất tiếc trong các giáo trình đã có tại Việt Nam không hề đề cập tới cách chứng minh chi tiết
sự tồn tại của khối lượng Chandrasekhar Vấn đề chứng minh chi tiết là cần thiết và cấp bách cho cả giáo viên lẫn sinh viên khi nghiên cứu về vật lý thiên văn
Trong tương lai có thể Khoa Vật lý sẽ mở chuyên đề cao học vật lý thiên văn Như vậy phải chuẩn bị trước các giáo trình nâng cao và việc nghiên cứu sự tiến hóa của các sao là điều bắt buộc
Từ ba nhu cầu trên, tác giả đã chọn đề tài: "Khối lượngtới hạn của sao lùn trắng và sao neutron "
2 Kết quả đạt được:
A Để thực hiện tốt nhiệm vụ đặt ra tác giả phải giải quyết những vấn đề sau:
- Những kiến thức về vật lý thống kê và thuyết tương đối liên quan đến hệ khí điện tử suy biến
- Quá trình cân bằng hấp dẫn của hệ khí
- Tìm ra biểu thức để tính khối lượng tới hạn của sao lùn trắng
- Thuyết tương đối rộng và nghiệm Schwarzschild cho không thời gian trong ngôi sao - nghiệm này còn có tên là nghiệm Schwarschild nội
- Xây dựng mô hình sao sao cho đủ đơn giản để có thể tính được khối lượng tới hạn của sao neutron mà không quá khác xa so với thực tế
- Tìm những kết quả mới nhất để đối chiếu với kết quả tính toán của tác giả
Trang 4B Sau đây là những kết quả đạt được theo nội dung đã thuyết minh đăng ký:
Dựa vào lập luận của Chandrasekhar và Fowler tác giả đã tìm ra biểu thức tính áp suất của hệ khí điện tử siêu tương đối tính
Sau đó tìm ra phương trình cân bằng hấp dẫn rồi ghép với biểu thức tính áp
suất của hệ khí điện tử siêu tương đối tính
Kết quả trên dẫn tới phương trình Lane - Emdem
Với các số liệu hiện nay tác giả đã tìm được khối lượng tới hạn cho sao lùn trắng , mà nhờ công trình này, Chandrasekhar và Fowler đã nhận được giải Noel Vật lý năm 1983
Tiếp theo tác giả tìm nghiệm Schwarschild nội cho không thời gian trong ngôi sao Từ đây tìm tiếp phương trình cân bằng thủy tĩnh do Oppenheimer - Volkoff tìm ra lần đầu tiên vào năm 1939
Sau đó, xây dựng mô hình sao đủ đơn giản để cho ta biết giới hạn cực đại của các sao và kết quả ta được biểu thức:
Trang 5Vấn đề đặt ra ở đây là tìm cho được giá trị 𝜌 đúng với thực tế Sự phát của lý thuyết cũng như thực nghiệm của vật lý hạt nhân tại mật độ cực cao sẽ cho câu trả lời đúng Rất tiếc là sự hiểu biết về hệ khí neutron suy biến tạm dừng lại ở giá trị 10.1014g.cm-3
Từ đây ta tính được MMax≃ 3,5MSUN - 5,3 MSUN
3 Kết luận.
A Theo Oppenheimer - Volkoff thì khối lượng tới hạn của sao neutron vào khoảng 0,7 MSUN Harrison - Wheeter cho ra kết quả từ 1,6-2 MSUN
Pandharipande - Smith sau khi sử dụng hai phương pháp khác nhau để
tính cho ra kết quả từ 2-2,7 MSUN
Gần đây Rhoades - Ruffini theo một phương pháp khác đã cho ra kết quả là khối lượng tới hạn của sao neutron không thể vượt quá 3,2 MSUN Theo Inverno khối lượng tới hạn của sao neutron không thể vượt quá 5 lần khối lượng mặt trời Trong cuốn sách Vật Lý Các Sao in năm 1999 tác giả Phillips cũng đưa ra kết quả tương tự
Như vậy ta có thể suy ra giá trị chính xác của khối lượng tới hạn cho sao neutron sẽ nằm trong khoảng 3 tới 5 lần khối lượng mặt trời Tóm lại, sau khi đốt hết nhiên liệu nhiệt hạch , nếu lõi sao có khối lượng lớn hơn 5 lần khối lượng mặt trời thì nó sẽ co lại mãi và sẽ trở thành lỗ đen, một vật thể kỳ lạ của tự nhiên đang được rất nhiều nhà vật lý lý thuyết và thiên văn nghiên cứu
B Từ đề tài trên, ta nhận thấy vẫn còn rất nhiều vấn đề chưa được giải quyết tận gốc như: Sự có mặt của hạt quark tại mật độ cực cao Do ta chưa phát hiện ra hạt quark tại trạng thái tự do nên rất có thể sự tương tác của hệ quark sẽ gần giống như hệ khí Fermi lý tưởng tương đối tính (Collins -Perry) và điều này sẽ ảnh hưởng tới phương trình trạng thái như thế nào ta vẫn chưa biết được rõ
Sự tương tác của các nucleons tại mật độ cao hơn 10.1014 g.cm-3 cho đến nay vẫn còn nhiều điều chưa rõ ràng Tuy nhiên Hagedon đã mạnh dạn tính toán cho khối lượng cực đại của sao neutron
và kết quả thật bất ngờ Nó vào khoảng 0,7 MSUN - Một kết quả thấp hơn nhiều so với kết quả quan sát Một vấn đề khác chưa được giải quyết tận gốc, đó là vấn đề ngưng tụ pion Từ phản ứng
n→p + π
Trang 6-ta thấy sẽ có nhiều hạt pions xuất hiện tại một độ cực cao Do hạt pions có spin=0 nên rất có thể có hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein (Bose-Einstein condensation) và ảnh hưởng của nó lên khối lượng tới hạn vẫn chưa có lời giải đáp
II BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI
Để tiện việc theo dõi và sử dụng sau này, đề tài chia làm hai phần - Phần đầu sẽ là cơ sở lý thuyết và những tính toán cụ thể để tìm ra khối lượng cho sao lùn trắng về phương hướng giải quyết, tác giả tuân theo phương hướng do Chandrasekhar vạch ra Tuy nhiên, việc tính toán
áp suất của khí điện tử suy biến sẽ dựa trên cách tính trong các tài liệu về vật lý thống kê hiện nay Lý do là để sinh viên và giáo viên tiện theo dõi
Phần hai là tính khối lượng tới hạn cho sao neutron theo phương pháp Oppenheimer-Volkoff nhưng số liệu cho mật độ khối lượng được lấy theo Shapiro-Teukolsky Kết quả của tác giả
sẽ khác xa so với Oppenheimer-Volkoff nhưng lại phù hợp với những số liệu gần đây nhất do Phillips đưa ra vào năm 1999
Trang 7A KHỐI LƯỢNG TỚI HẠN CỦA SAO LÙN TRẮNG
Số phận cuối cùng của một ngôi sao phụ thuộc chủ yếu vào khối lượng chứa trong lõi khi phản ứng nhiệt hạch không còn duy trì áp suất cần thiết để cân bằng với lực hấp dẫn Tại trạng thái này ngôi sao phải dựa vào áp suất không bắt nguồn từ phản ứng nhiệt hạch để chống đỡ với lực hấp dẫn của chính mình Áp suất này gọi là áp suất khí điện tử suy biến Tuy nhiên sự cân bằng thủy tĩnh sẽ trở nên không ổn định nếu lực hấp dẫn được chống đỡ bởi áp suất của hạt siêu tương đối tính Nguyên lý chung đó đã áp đặt giới hạn cực đại cho khối lượng của hệ khí điện tử suy biến
Ta sẽ chứng minh rằng khi khối lượng của lõi ngôi sao vượt qua một giá trị tới hạn nào đó thì khí điện tử suy biến sẽ không có khả năng giữ cho ngôi sao nằm tại trạng thái cân bằng thủy tĩnh Giá trị khối lượng tới hạn đó gọi là khối lượng Chandrasekhar và bằng 1,4 khối lượng mặt trời
Vậy số phận tiến hóa của ngôi sao phụ thuộc chủ yếu vào việc khối lượng lõi của nó lớn hơn hoặc nhỏ hơn khối lượng Chandrasekhar Những ngôi sao có khối lượng lõi nhỏ hơn 1,4 khối lượng mặt trời sẽ giữ được trạng thái ổn định nhờ áp suất của khí điện tử suy biến Sau khi bị mất lớp khí loãng bên ngoài nó sẽ biến thành sao lùn trắng - White Dwarf - một vật thể nén đặc - Compact Object - có bán kính cỡ 106 - l07 m với mật độ trung bình cỡ 106g.cm-3 Nó sẽ lạnh dần và trở thành sao lùn đen, vừa tối tăm, vừa lạnh lẽo Với những ngôi sao có khối lượng lớn hơn 1,4 khối lượng mặt trời sẽ tiến hóa theo con đường khác mà ta sẽ
đề cập trong bài báo kỳ sau
1 Áp suất của hệ khí điện tử suy biến:
Từ phương trình cơ bản của nhiệt động lực ta thấy nếu quá trình thay đổi thể tích của
hệ khí mà vẫn giữ nguyên số hạt và giữ nguyên entropy thì:
Do đó ta có công thức liên hệ:
nên công thức (1) có dạng:
Trang 8Ta áp dụng (2) cho hệ khí điện tử suy biến Khi đó ta có:
EF: mức fermi của hệ khí điện tử suy biến
v: tốc độ của điện tử có động lượng p
g(p)dp = 2𝑉
ℎ 34𝜋𝑝2𝑑𝑝 Sau khi thay cac biểu thức trên vao (2) ta được:
Đặt biến số mới:
𝑥= 𝑝
𝑚𝑐
rồi lại thay vào (3) ta được:
Do hệ của ta là hệ khí điện tử suy biến nên các điện tử sẽ lấp đầy từ mức thấp nhất đến mức cao nhất nên số điện tử trong hệ sẽ là:
Ta cóhai trường hợp cho khí điện tử suy biến:
a Khi pF<< mc ⇒ x <<1 Các điện tử không tương đối tính
b Khi pF>> mc ⇒ x >>1 Các điện tử làsiêu tương đối tính
Nếu hệ khí của ta có khối lượng tăng dần thì ta có quá trình sau:
Trang 9Hệ khí cổ điển → bị co lại do hấp dẫn của chính mình nên mật độ tăng lên hệ khí không tương đối tính → tiếp tục co lại làm mật độ tăng lên nữa → chuyển sang hệ khí lượng tử siêu tương đối tính → sẽ tiếp tục co lại nếu áp suất của khí điện tử không còn đủ sức chống đỡ với lực hấp dẫn Lúc này sẽ xuất hiện quá trình vật lý mới và ta có hệ khí của các proton, neutron
và điện tử
Ta chú ý trường hợp khí điện tử là siêu tương đối tính bởi đây là giới hạn trên của hệ khí
và nó quyết định giới hạn trên của áp suất suy biến
Công thức (6) rất quan trọng Nó cho ta biết áp suất khí điện tử siêu tương đối tính tăng không nhanh trong khi mật độ tăng Đây là điều quan trọng trong việc ổn định của sao lùn trắng và cũng quyết định giới hạn trên của khối lượng sao Mặc dù áp suất là do các điện tử siêu tương đối tính đóng góp nhưng người ta thường biểu diễn nó thông qua mật độ khối lượng nghỉ của các ion trong lõi ngôi sao
𝜌: mật độ khối lượng của hệ khí
ni: mật độ của ion thứ i
mi: khối lượng nghỉ của ion thứ i
Mật độ khối lượng của lõi sao được tính theo công thức:
n: mật độ Nucleons trong hệ
ne: mật độ điện tử trong hệ
μe: số trung bình các Nucleons trên một điện tử
Từ (9) ta tính ne thông qua mật độ khối lượng của hệ
Thay (10) vào (6) ta được:
Trang 102 Phương trình cân bằng hấp dẫn (gravitational equilibrium)
Lực hấp dẫn là động lực chính cho sự tiến hóa của các ngôi sao Nó nén vật chất lại và đưa đến sự hình thành các sao Ta chỉ chú ý tới sự phân bố có tính đối xứng cầu của vật chất và tạm thời không chú ý tới chuyển động quay Xét phần tử khối lượng có mặt cắt như hình vẽ Phần tử có diện tích mặt cắt vuông góc với bằng một đơn vị Ta có áp suất tại r là P Áp suất tại mặt ứng với r + dr là P + dP
Sự thay đổi áp lực lúc này là do lực -dP tác dụng lên phần tử khối lượng ta đang xét theo hướng tăng của r (dấu trừ là do lực 𝑫𝑷 ngược vớichiều tăng của𝒓 ) Áp lực này sẽ được cân bằng bởi lực hút hấp dẫn xuất phát từ khối lượng M(r) của khối cầu lên phần tử khối lượng đang xét là 𝝆𝒅𝒓 Theo định luật Newton lực đó sẽ bằng:
Do hệ đang xét nằm tại trạng thái cân bằng nên
(12)
Trang 11Ta có thể biến đổi (12) thành dạng rất gọn như sau:
Phương trình này có tên phương trình cơ bản của cân bằng hấp dẫn Phương trình này liên
quan đến hai ẩn số là P và ρ Ta có thể chuyển thành phương trình của một hàm chưa biết
bằng cách giả định rằng tồn tại mối liên quan không phức tạp giữa P và ρ và mối liên hệ này
đúng cho toàn bộ ngôi sao Áp suất P do khí điện tử suy biến trong sao đóng góp và được tính
theo công thức (11)
P: áp suất của khí điện tử suy biến trong sao
Ρ: mật độ khối lượng của sao
K: hằng số
𝛾: (n+1)/n
Nhiệm vụ của ta là ghép phương trình (13) và (14) lại với nhau Ý nghĩa của việc ghép
hai phương trình này chính là điều mà Fowler và Chandrasekhar đã đề ra: Áp suất giữ cho
sao lùn trắng cân bằng với lực hấp dẫn của chính nó là do khí điện tử suy biến trong sao đóng
góp
3 Tìm khối lượng tới hạn cho sao lùn trắng:
Ta đưa vào hàm số mới θ thỏa mãn biểu thức sau:
Phương trình (19) có tên phương trình Lane_Emdem chỉ số n với các điều kiện biên như
sau:Khi r = 0 ⟹ ξ = 0 ta có:
Trang 12Năm 1907 Emdem đã giải (19) cho n = 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5
Năm 1908 G Green đã giải phương trình trên cho n = 1,5; 2,5; 3
Năm 1931 Sadler và Miller đã tính kỹ cho n = 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5
Sau đây là kết quả của các tác giả trên
Trong đó ξ1 là nghiệm của đa thức θ(ξ1) = 0
Để tìm khối lượng sao ta áp dụng công thức:
Khi ξ = ξ1 ta có θ(ξ1) = 0 nhưng mặt khác tại bề mặt sao ta có áp suất và mật độ đều bằng zero Vậy giá trị ξ1 ứng với bề mặt sao hay khi r = R Do đó cận tích phân chỉ cần lấy từ 0 đến ξ1 mà thôi
Khi phản ứng nhiệt hạch chấm dứt, nhiệt độ trong lõi ngôi sao giảm dần và nó sẽ co lại do lực hấp dẫn của chính mình vì áp suất nhiệt động không đủ sức chống lại lực hấp dẫn Lúc này áp suất của khí điện tử suy biến sẽ phát huy vai trò của mình trong việc duy trì sự cân bằng với lực hấp dẫn Tuy vậy, nếu khối lượng của sao tăng sẽ làm lực hấp dẫn mạnh lên làm thể tích sao nhỏ lại dẫn tới việc tăng mật độ khối lượng Khí điện tử suy biến sẽ từ không tương đối tính trở nên tương đối tính và trạng thái giới hạn sẽ là siêu tương đối tính Trạng thái này xảy
ra khi x>>l hay
𝑃 𝐹
𝑚𝑐 ≫ 1 ⟹ 𝑃𝐹 ≫ 𝑚𝑐
m: khối lượng của điện tử
Trường hợp này ứng với γ = 4/3 hay ứng với n = 3 Với n = 3 phương trình Lane_Emdem cho
ta kết quả :
Thay vào (21) ta được
Trang 13Nếu lõi sao chứa toàn Helium thì μe = 2 Ta có khối lượng tới hạn của sao
là:
Mtới hạn=Mchan = 1,43 MSUN
Nếu lõi sao chứa toàn là sắt thì μe= 2,17 Khối lượng tới hạn lúc này sẽ là:
Mtới hạn= Mchan = 1,4 MSUN
Khi khối lượng lõi sao đạt giá trị Chandrasekhar thì điện tử trở nên siêu tương đối tính, mật độ sẽ đạt giá trị vô cùng lớn còn bán kính sẽ tiến về zero Vậy những ngôi sao mà áp suất của khí điện tử suy biến đóng vai trò chính trong việc duy trì sự cân bằng với lực hấp dẫn của chính nó thì khối lượng của nó không thể vượt quá Mtới hạn
Chandrasekhar là người đầu tiên tìm ra khối lượng cực đại cho sao lùn trắng (ông nhận giải Nobel vật lý năm 1985 chính nhờ công trình này) Ông nhấn mạnh tầm quan trọng của phát hiện trên như sau:
Lịch sử cuộc sống của các ngôi sao có khối lượng nhỏ dứt khoát phải khác với lịch sử cuộc sống của các ngôi sao có khối lượng lớn Với các ngôi sao có khối lượng nhỏ thì trạng thái cuối cùng trong suốt quá trình tồn tại của mình sẽ là sao lùn trắng Với các ngôi sao có khối lượng lớn (M>Mchan)sẽ không thể trải qua trạng thái lùn trắng mà sẽ trải qua trạng thái khác mà ta cần nghiên cứu thêm
Sau này sự tính toán lý thuyết cho thấy những trạng thái cuối cùng khác trong quá trình tiến hóa của các ngôi sao có khối lượng lớn đó là sao Neutron và lỗ đen
Trang 14B KHỐI LƯỢNG TỚI HẠN CỦA SAO NEUTRON
Những sao có khối lượng lớn hơn khối lượng Chandrasekhar vài lần sẽ tiến hóa theo con đường khác với các sao có khối lượng nhỏ hơn khối lượng Chandrasekhar Sau khi đốt hết nhiên liệu nhiệt hạch sao sẽ co lại do lực hấp dẫn của chính mình Do áp suất khí điện tử suy biến siêu tương đối tính không chống đỡ được đối với lực hấp dẫn nên sao co lại cho tới khi mật độ vật chất trong sao đạt giá trị có thể so sánh được với mật độ hạt nhân trong nguyên tử Tại trạng thái này áp suất của khí neutron suy biến và lực đẩy hạt nhân của các neutron sẽ trở nên rất lớn và nó có xu hướng chặn đứng quá trình co lại của sao Khi quá trình trên xảy ra sẽ tạo nên sóng chấn động "shock wave" và sóng sẽ lan truyền từ lõi ra lớp vỏ ngoài, tạo nên một vụ nổ khủng khiếp làm bắn tung lớp vỏ ngoài ra xa Hiện tượng này gọi là siêu tân tinh - Supernova Do mất lớp vỏ ngoài nên sao chỉ còn lại phần lõi và nếu lõi sao có khối lượng lớn hơn 1,4 khối lượng mặt trời thì nó sẽ tiến hoa thành sao neutron
Một cách gần đúng, ta coi các neutron trong sao neutron đóng vai trò giống như điện
tử trong sao lùn trắng Do các điện tử suy biến không có khả năng giữ cho sao lùn trắng ở trạng thái cân bằng khi khối lượng sao lớn hơn khối lượng Chandrasekhar nên ta hy vọng một hiện tượng tương tự sẽ xảy ra đối với các hạt neutron trong sao neutron Các neutron suy biến cũng sẽ không có khả năng giữ cho sao ở trạng thái cân bằng khi khối lượng sao lớn hơn một giá trị tới hạn nào đó Tuy vậy ta cần chú ý tới một số khác biệt sau :
- Tại mật độ rất cao ta phải tính đến sự tương tác giữa các hạt neutron
- Trường hấp dẫn trong sao rất mạnh nên phải thay thế thuyết hấp dẫn Neutron bằng thuyết hấp dẫn Einstein để mô tả sự cân bằng của hộ các neutron trong trường hấp dẫn
- Mặc dù có sự khác nhau quan trọng trên nhưng nó không hề ảnh hưởng tới việc tồn tại khối lượng tới hạn của sao neutron Ảnh hưởng chính của sự khác biệt trên là ở chỗ nó làm cho sự tính toán khối lượng tới hạn trở nên vô cùng khó khăn và vì vậy cho tới ngày nay vẫn chưa tìm ra một giá trị chính xác cho khối lượng tới hạn
Giá trị chính xác khối lượng cực đại của sao neutron đóng vai trò chủ đạo trong việc tìm kiếm lỗ đen của các nhà thiên văn Khối lượng của các thành viên trong hệ sao đôi có thể được xác định nhờ vào sự quan sát chuyển động tương đối giữa chúng Nếu một trong số hai thành viên của hệ sao đôi là vật thể nén không nhìn thấy có khối lượng lớn hơn khối lượng cực đại lý thuyết của sao neutron thì gần như chắc chắn nó là lỗ đen