Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng phương pháp vectơ trong giải bài toán hình học không gian

Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng phương pháp vectơ trong giải bài toán hình học không gian là một cách nghiên cứu giải bài tập hình học bằng phương pháp vectơ là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ như: Quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu là năng lực tư duy mà đặc trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận dụng những hiểu biết đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất.

M C L C  01Ụ Ụ TÀI LI U THAM KH O   02Ệ Ả

A. Ph n m  đ u 03 ầ ở ầ

I.     Lý do ch n đ  tài   .………….  03     ọ ề  

II.    M c đích nghiên c u………  ……    04     ụ ứ   III.  Phương pháp nghiên c u……… 04     ứ  

IV. Th c tr ng trự ạ ước khi th c hi n các gi i pháp c a đ  tài  05ư ệ ả ủ ề

V.   D  ki n k t qu  đ t 06 ự ế ế ả ạ       

B. Ph n n i dung 07ầ ộ

I    Quy trình gi i bài toán b ng phả ằ ương pháp véc tơ

1.   Quy trình gi i bài toán b ng phả ằ ương pháp véc t ……… 07ơ

2.   Các d ng hình h c chuy n đ i c  b n………07ạ ọ ể ổ ơ ả

3.   Các d ng bài t p c  b n ……… 07ạ ậ ơ ả

II.  Các bài t p minh h a 09ậ ọ

1.   Dành cho h c sinh trung bình khá 09ọ

2.   Dành cho h c sinh khá gi i 12ọ ỏ III. Bài t p tham kh o  15ậ ả

IV. K t qu 15ế ả

V.  Gi i pháp m i  16ả ớ

VI. Th c ti n gi ng d y 16ự ễ ả ạ VII. K t lu n    17     ế ậ  

TÀI LI U THAM KH O:Ệ Ả

1]  Đào Tam, Giáo trình hình h c s  c p 2007, NXB Đ i h c S  ph m.ọ ơ ấ ạ ọ ư ạ

[2] Nguy n Văn L c, Phễ ộ ương pháp vec t  gi i toán hình h c ph ng, NXB Giáo ơ ả ọ ẳ

D c.ụ

[3] Nguy n Văn L c, Phễ ộ ương pháp vec t  gi i toán hình h c không gian, NXB ơ ả ọ Giáo D c.ụ

[4] Tuy n ch n theo chuyên đ  toán h c và tu i tr  , NXB Giáo D c.ể ọ ề ọ ổ ẻ ụ

[5] T p chí toán h c nhà trạ ọ ường ­ tháng 7/ 2015

[6] B. I. Acgunop­ M.B.Ban, Hình h c s  c p 1977, NXB Giáo D c.ọ ơ ấ ụ

[7] Lê Thi u Tráng , Lu n văn ti n sĩ , V n d ng phép bi n ch ng duy v t nh m ế ậ ế ậ ụ ệ ứ ậ ằ phát tri n năng l c toán h c cho h c sinh khá gi i trong d y h c n i dung vec t  ể ự ọ ọ ỏ ạ ọ ộ ơ trong trường ph  thông ­ 2015.ổ

A Ph n m  đ u ầ ở ầ

I­ Lí do ch n đ  tài  ọ ề  :   

     1.V  m t lý lu n ề ặ ậ

        Theo Lu t Giáo d c Vi t Nam năm 2015: Phậ ụ ệ ương pháp giáo d c c n ph i b i ụ ầ ả ồ

dưỡng phương pháp t  h c, rèn luy n kĩ năng v n d ng ki n th c vào th c ti n, ự ọ ệ ậ ụ ế ứ ự ễ tác đ ng đ n tình c m, đem l i ni m vui, h ng thú h c t p cho h c sinh. ộ ế ả ạ ề ứ ọ ậ ọ

        T  đó, m c tiêu d y h c môn Toán là: Trang b  cho h c sinh nh ng tri th c, kĩ ừ ụ ạ ọ ị ọ ữ ứ năng, phương pháp toán h c ph  thông, c  b n, thi t th c. Góp ph n phát tri n ọ ổ ơ ả ế ự ầ ể năng l c trí tu , b i dự ệ ồ ưỡng ph m ch t trí tu  cho h c sinh. Góp ph n hình thành vàẩ ấ ệ ọ ầ   phát tri n các ph m ch t, phong cách lao đ ng khoa h c, bi t h p tác lao đ ng, có ể ẩ ấ ộ ọ ế ợ ộ

ý chí và thói quen t  h c thự ọ ường xuyêncho h c sinh. T o c  s  đ  h c sinh ti p ọ ạ ơ ở ể ọ ế

t c h c cao đ ng, đ i h c, trung h c chuyên nghi p, h c ngh  ho c đi vào cu c ụ ọ ẳ ạ ọ ọ ệ ọ ề ặ ộ

s ng lao đ ng.    ố ộ

      “ S  d ng phử ụ ương pháp vect  trong gi i bài toán hình h c không gian ” là ơ ả ọ

m t cách nghiên c u  gi i bài t p hình h c b ng  phộ ứ ả ậ ọ ằ ương pháp vect  là s  t ng ơ ự ổ

h p, ph i h p nh p nhàng các năng l c trí tu  nh  : quan sát, ghi nh , óc tợ ố ợ ị ự ệ ư ớ ưởng 

tượng và ch  y u là năng l c t  duy mà đ c tr ng là năng l c t  duy đ c l p, linh ủ ế ự ư ặ ư ự ư ộ ậ

ho t, sáng t o, v n d ng nh ng hi u bi t đã h c đ  gi i quy t v n đ  đạ ạ ậ ụ ữ ể ế ọ ể ả ế ấ ề ược đ t raặ  

m t cách t t nh t. ộ ố ấ

      Đáp  ng yêu c u “Phát tri n t  duy khoa h c” và “tăng cứ ầ ể ư ọ ường   các em ý ở

th c, năng l c v n d ng m t cách thông minh nh ng đi u đã h c”.ứ ự ậ ụ ộ ữ ề ọ M t đi m đ i ộ ể ổ

m i trong phớ ương pháp d y h c hi n nay luôn coi tr ng vi c l y h c sinh làm ạ ọ ệ ọ ệ ấ ọ trung tâm, người th y ch  đóng vai trò là ngầ ỉ ười giúp các em đi đúng hướng, giúp các 

em ti p thu ki n th c m t cách ch  đ ng, sáng t o. s c c n thi t.ế ế ứ ộ ủ ộ ạ ứ ầ ế

    2.V  m t th c ti n ề ặ ự ễ

        Trong chương trình hình h c   THPT, khi d y gi i bài t p toán nói chung , ọ ở ạ ả ậ

gi i bài t p toán b ng công c  vect  nói riêng h c sinh thả ậ ằ ụ ơ ọ ường g p nh ng khó ặ ữ khăn trong vi c tr  l i các câu h i sau:ệ ả ờ ỏ

 ­ Làm th  nào đ  phát hi n công c  thích h p cho vi c gi i bài toán đã cho ?ế ể ệ ụ ợ ệ ả

 ­ D a vào c  s  nào đ  lự ơ ở ể ưạ ch n đúng các ki n th c đã bi t đ  gi i bài toán đa ọ ế ứ ế ể ả cho ?

 ­ Bi n đ i bài toán nh  th  nào đ  có th  đ a bài toán v  d ng quen thu c ?ế ổ ư ế ể ể ư ề ạ ộ

 ­ Có nh ng d ng bài toán nào có th  l a ch n công c  vec t  đ  gi i ?ữ ạ ể ự ọ ụ ơ ể ả

Vi c ch  ra các căn c  đ  phát hi n hệ ỉ ứ ể ệ ướng gi i đúng bài toán hình h c ph  thông ả ọ ổ

b ng phằ ương pháp vec t  s  giúp ngơ ẽ ườ ọi h c có t  duy trong vi c h  th ng hóa các ư ệ ệ ố

d ng toán, gi i đạ ả ược các bài toán hình h c m t cách đ n gi i h n mà vi c gi i nó ọ ộ ơ ả ơ ệ ả

b ng phằ ương pháp t ng h p thì công k nh và hình v  thì ph c t p.Ngoài ra ổ ợ ề ẽ ứ ạ

phương pháp này còn giúp giáo viên và h c sinh trong ho t đ ng gi ng d y và h c ọ ạ ộ ả ạ ọ

t p môn hình h c đ t hi u qu  cao h n.ậ ọ ạ ệ ả ơ

         sách giáo khoa chỞ ương trình hi n nay, ph n vec t  trong không hian đệ ầ ơ ược  trình bày kĩ, khuy n khích đế ược h c sinh h c và s  d ng phọ ọ ử ụ ương pháp vec t  vào ơ

gi i bài t p h n chả ậ ơ ương trình cũ. Song ngay c    sách giáo khoa, sách bài t p và cả ở ậ ả  các tài li u tham kh o cũng ch a đ a ra đệ ả ư ư ược phương pháp c  th  cho t ng ph n ụ ể ừ ầ

mà ch  đ a ra m t s  ví d  r i gi i. Do đó h c sinh ch a khai thác sâu đỉ ư ộ ố ụ ồ ả ọ ư ược 

phương pháp này nên ch  y  gi i bài t p hình b ng phủ ế ả ậ ằ ương pháp thông thường mà 

phương pháp này đòi h i ph i có t  duy , trí tỏ ả ư ưởng tượng cao và hình v  ph c t p. ẽ ứ ạ Trong khi nhi u bài toán hình h c không gian n u gi i b ng phề ọ ế ả ằ ương pháp vec t  thìơ  

l i gi i s  ng n g n và hình v  không ph c t p.ờ ả ẽ ắ ọ ẽ ứ ạ

       M t khác các đ  thi đ i h c cao đ ng h ng năm đáp án cho bài hình không gianặ ề ạ ọ ẳ ằ   không đ a ra cách gi i b ng phư ả ằ ương pháp vec t  Đi u đó làm cho giáo viên và h cơ ề ọ   sinh ít chú tr ng cũng nh  ch a th y đọ ư ư ấ ược tính  u vi t c a phư ệ ủ ương pháp này

      Vi c s  d ng thành th o phệ ử ụ ạ ương pháp véc t  giúp h c sinh có th  làm nhanh ơ ọ ể

m t s  bài t p rèn luy n và phát tri n t  duy lôgic toán, giúp h c sinh l p 11 có ộ ố ậ ệ ể ư ọ ớ

ti n đ  t t đ  h c phề ề ố ể ọ ương pháp t a đ  trong hình h c gi i tích l p 12, phù h p v iọ ộ ọ ả ớ ợ ớ  

xu th  h c và thi hi n nay.ế ọ ệ

     3.V  cá nhân ề

        Ph n đ u đ  d y t t các môn h c nói chung và môn Toán nói riêng là nguy n ấ ấ ể ạ ố ọ ệ

v ng tha thi t c a đ i ngũ giáo viên THPT. Nh  chúng ta đã bi t, Toán là khoa hoc ọ ế ủ ộ ư ế

t  duy  tr u tư ừ ượng nh ng Toán h c THPT l i mang tính tr c quan, c  th  b i vì ư ọ ạ ự ụ ể ở

m c tiêu c a môn toán   trung h c là hình thành nh ng bi u tụ ủ ở ọ ữ ể ượng toán h c ban ọ

đ u và rèn luy n kĩ năng toán cho h c sinh, t o c  s  phát tri n t  duy và phầ ệ ọ ạ ơ ở ể ư ương  pháp cho h c sinh sau này. ọ

       M t m t khác toán h c còn có tính th c tri n. Các ki n th c toán h c đ u b t ộ ặ ọ ự ễ ế ứ ọ ề ắ

đ u t  cu c s ng. M i mô hình toán h c là khái quát t  nhi u tình hu ng trong ầ ừ ộ ố ỗ ọ ừ ề ố

cu c s ng. D y h c toán h c   trung h c là  hoàn thi n nh ng gì v n có trong h c ộ ố ạ ọ ọ ở ọ ệ ữ ố ọ sinh, cho h c sinh làm và ghi l i m t cách chính th c các ki n th c toán h c b ng ọ ạ ộ ứ ế ứ ọ ằ ngôn ng  và các kí hi u toán h c. M i ti t h c là d p đ  h c sinh hình thành nh ngữ ệ ọ ỗ ế ọ ị ể ọ ữ  

ki n th c và kĩ năng m i, v n d ng m t cách sáng t o nh t, thông minh nh t trong ế ứ ớ ậ ụ ộ ạ ấ ấ

vi c h c toán trong cu c s ng sau này. Chính vì v y, ngệ ọ ộ ố ậ ười giáo viên c n bi t phát ầ ế huy tính tích c c, trí thông minh c a h c sinh thông qua gi  h c toán.ự ủ ọ ờ ọ

      Vì v y tôi ch n đ  tài nghiên c u c a mình là ‘‘Kinh nghi m hậ ọ ề ứ ủ ệ ướng d n h cẫ ọ   sinh s  d ng phử ụ ương pháp vec t  gi i bài toán hình h c không gian’’.ơ ả ọ

II­ M c đích nghiên c uụ ứ

       Nghiên c u lu n văn ngứ ậ ườ ọi h c n m đắ ược các căn c  l a ch n công c  thích ứ ự ọ ụ

h p, l a ch n đúng ki n th c đã h c đ  v n d ng gi i bài t p hình h c b ng công ợ ự ọ ế ứ ọ ể ậ ụ ả ậ ọ ằ

c  vect  Ngoài ra còn giúp ngụ ơ ườ ọi h c phân d ng đạ ược các bài t p , m i liên h  ậ ố ệ

gi a bài t p này v i bài t p kia.ữ ậ ớ ậ

III­ Đ i tố ượng nghiên c uứ

  Véc t  trong không gian và các phép toán, các bài t p hình h c trong không gianơ ậ ọ III­ Phương pháp nghiên c uứ

       Xu t phát t  đ i tấ ừ ố ượng và nhi m v  nghiên c u đ  đ t đệ ụ ứ ể ạ ược m c đích đã đ  ụ ề

ra trong quá trình nghiên c u tôi đã s  d ng các phứ ử ụ ương pháp ch  y u sau:ủ ế

1 Ph   ươ ng pháp nghiên c u  lý lu n ứ ậ  

 ­ Nghiên c u tài li u.ứ ệ

 ­ Nghiên c u và t ng k t kinh nghi m gi ng d y.ứ ổ ế ệ ả ạ

 ­ Nghiên c u m t s  quan đi m, t  tứ ộ ố ể ư ưởng sáng t o.ạ

   2.Ph ươ ng pháp nghiên c u theo phân lo i các d ng bài t p ứ ạ ạ ậ

­ Nghiên c u các bài toán khai thác v  tri th c c i ngu n.ứ ề ứ ộ ồ

­ Nghiên c u các bài toán có c u trúc tứ ấ ương t ự

 IV­ Th c tr ng trự ạ ước khi th c hi n các gi i pháp c a đ  tàiư ệ ả ủ ề      

1. Thu n l i   ậ ợ  

      ­   Ki n th c đã đế ứ ược h c, các bài t p đã đọ ậ ược luy n t p .ệ ậ

­   H c sinh h ng thú trong ti t h c, phát huy đọ ứ ế ọ ược kh  năng sáng t o, tả ạ ự 

h c và yêu thich môn hoc.ọ ́ ̣

­  Có s  khích l   t  k t qu  h c t p c a h c sinh khi th c hi n chuyên đ  ự ệ ừ ế ả ọ ậ ủ ọ ự ệ ề

­ Được s  đ ng viên c a BGH, nh n đự ộ ủ ậ ược đ ng viên và đóng góp ý ki nộ ế  

cu  đ ng nghi p.ả ồ ệ

    2. Khó khăn

­  Đa sô hoc sinh h c yêu hình h c đ c bi t là ph n vec t́ ̣ ọ ́ ọ ặ ệ ầ ơ. Có t  tư ư ng sở ợ 

h c ph n này.ọ ầ  

      ­ Giáo viên m t nhiêu th i gian đ  so n bài ấ ờ ể ạ

2. S  li u th ng kê   ố ệ ố  

Trong các năm tr c, khi g p bài toán liên quan đ n ướ ặ ế véc t  và v n d ng ph ngơ ậ ụ ươ   pháp véc t  đ  gi i, ơ ể ả s  l ng h c sinh bi t v n d ng đ c th  hi n qua b ng sau:ố ượ ọ ế ậ ụ ượ ể ệ ả

M c đ   ứ ộ Không 

nh n   bi tậ ế  

đ cượ

Nh n   bi tậ ế  

nh ng   khôngư  

bi t v n d ngế ậ ụ

Nh n bi t và bi tậ ế ế  

v n   d ng,   ch aậ ụ ư  

gi i   đ c   hoànả ượ  

ch nhỉ

Nh n bi t và v nậ ế ậ  

d ng , gi i đ cụ ả ượ   bài t p hoàn ch nhậ ỉ

V­ D  ki n k t qu  đ t đự ế ế ả ạ ược

        Nghiên c u các căn c  đ  đ nh hứ ứ ể ị ướng đúng hướng gi i các bài toán hình h c ả ọ

ph  thông nh  công c  vec t  nh m giúp h c sinh pháp hi n , huy đ ng đúng đã ổ ờ ụ ơ ằ ọ ệ ộ

h c, các bài t p đã bi t cách gi i vào vi c gi i các bài t p m i.ọ ậ ế ả ệ ả ậ ớ

        Đ a ra m t s  d ng bài t p và cách nh n bi t hư ộ ố ạ ậ ậ ế ướng gi i bài t p đó, các h  ả ậ ệ

th ng bài t p có liên quan.ố ậ

B. Ph n n i dung  ầ ộ  

I – Quy trình gi i bài toán b ng phả ằ ương pháp véc tơ

1)   Quy trình gi i bài toán b ng ph ả ằ ươ ng pháp véc t ơ  

 B ướ c 1: L a ch n h  véc t  g c : ự ọ ệ ơ ố

 ­ Thường là 3 véc t  cùng đi m đ u và không đ ng ph ng.ơ ể ầ ồ ẳ

 ­  u tiên ch n các véc t  đã bi t đ  dài, bi t góc gi a chúng.Ư ọ ơ ế ộ ế ữ

 B ướ c 2: Chuy n các gi  thi t, k t lu n hình h c c a bài toán sang ngôn ng  vec ể ả ế ế ậ ọ ủ ữ

t  và bi u di n các vec t  liên quan theo h  vec t  g c.ơ ể ễ ơ ệ ơ ố

2)   Các d ng hình h c chuy n đ i c  b n ạ ọ ể ổ ơ ả  

Gi  thi t hình h cả ế ọ Ngôn ng  vec t  (có th )ữ ơ ể

M là trung đi m c a đo n th ng ể ủ ạ ẳ

AB

G là tr ng tâm tam giác ABCọ

G là tr ng tâm t  di n ABCDọ ứ ệ

3)   Các d ng bài t p c  b n ạ ậ ơ ả  

Bài toán 1: Ch ng minh hai đ ng th ng song song:ứ ườ ẳ

 Đ  ch ng minh để ứ ường th ng AB // CD , ta ch ng minh :     ẳ ứ

Bài toán 2: Ch ng minh đ ng th ng song song v i m t ph ng:ứ ườ ẳ ớ ặ ẳ

 Đ  ch ng minh để ứ ường th ng AB // (MNP) , ta ch ng minh :ẳ ứ

Bài toán 3: Ch ng minh hai m t ph ng song song ta ch ng minh có hai đ ng ứ ặ ẳ ứ ườ

th ng c t nhau thu c m t ph ng này song song v i m t ph ng kia (th c hi n bài ẳ ắ ộ ặ ẳ ớ ặ ẳ ự ệ toán 2 hai l n)ầ

Bài toán 4: Ch ng minh hai đ ng th ng vuông góc:ứ ườ ẳ

 Đ  ch ng minh để ứ ường th ng ẳ ab ta ch ng minh  ứ , trong đó  l n l ầ ượ t là vec t  ch   ơ ỉ

ph ươ ng c a a và b ủ

Bài toán 5: Ch ng minh đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng:ứ ườ ẳ ớ ặ ẳ

Đ  ch ng minh  ta ch ng minh  ể ứ ứ

Bài toán 6

   :    Ch ng minh hai m t ph ng vuông gócứ ặ ẳ  ta ch ng minh có hai đứ ường 

th ng c t nhau thu c m t ph ng này vuông góc v i m t ph ng kia (th c hi n bài ẳ ắ ộ ặ ẳ ớ ặ ẳ ự ệ toán 5 hai l n) ầ

Bài toán 7: Các bài toán v  gócề

*) G i  là góc gi a hai đọ ữ ường thăng  a và b.  l n lầ ượt là hai vec t  ch  phơ ỉ ương c a aủ  

và b. Khi đó : 

*) G i  là góc gi a đọ ữ ường th ngẳ  a và m t ph ng (P). ặ ẳ

Cách1: Ta đ a bài toán v  xác đ nh góc gi a đư ề ị ữ ường th ng a và đẳ ường th ng a’ là ẳ hình chi u c a a lên (P). Sau đó th c hi n bài toán 7ế ủ ự ệ

 Cách2:  Ta đ a v  xác đ nh góc gi a đư ề ị ữ ường th ng a và đẳ ường th ng trong dó b là ẳ

đường th ng vuông góc v i (P) ẳ ớ

 Chú ý : ( trong đó  l n l ầ ượ t là véc t  ch  ph ơ ỉ ươ ng c a a và b) ủ

*): G i  là góc gi a hai m t ph ng (P) và (Q).  l n lọ ữ ặ ẳ ầ ượt là hai véc t  n m trên hai ơ ằ

đường th ng vuông góc v i (P) và (Q).  . ẳ ớ

 Khi đó :  Bài toán 8: Xác đ nh kho ng cách ( t  m t đi m tói motjomawtj ph ng, hai đ ng ị ả ừ ộ ể ẳ ườ

th ng chéo nhau) : ta đ a bài toán v  tính kho ng cách gi a hai di mẳ ư ề ả ữ ể  

 Đ  tính kho ng cách gi a hai đi m M và N ta bi n đ iể ả ữ ể ế ổ  (trong đó tr là b  ba vec t  ộ ơ

g c đã ch nố ọ  và đã bi t ,  ,  ế

 Ta tính được    

II ­ Các bài t p minh h a:ậ ọ

1 )Dành cho h c sinh trung bình khḠọ

Ví d  1ụ

 Cho t  di n . G i  là tr ng tâm ứ ệ ọ ọ

tam giác .  là đi m n m trên đo n ể ằ ạ

 CD sao cho  

 Ch ng minh :  ứ

 Gi i:  ả

Đ t : ặ

Vì  nên 

G i  là trung đi m c a , khi đó :ọ ể ủ

       . 

 ví d  này ta ch n h  véc t  g c cùng 

đi m đ u là Aể ầ

Ta đã chuy n đ i các gi  thi t , k t lu nể ổ ả ế ế ậ   hình h c sang ngôn ng  vect  nh  sau: ọ ữ ơ ư

Vì  nên     

Ví d 2ụ  ( Bài t p 4 SGK Hình H c 11 trang 9)ậ ọ

 Cho hình h p  . G i   l n lộ ọ ầ ượt là trung đi m c a  và . G i  l n lể ủ ọ ầ ượt là tr ng tâm ọ

c a các t  di n  vµ .ủ ứ ệ

Ch ng minh : .ư

Gi i:  ả

Đ t : ặ

 là tr ng tâm c a t  di n  nênọ ủ ứ ệ

 là tr ng tâm c a t  di n  nênọ ủ ứ ệ

 Nh n xét  ậ :N u không s  d ng ph ế ử ụ ươ ng pháp vec t  trong bài toán này thì vi c v   ơ ệ ẽ hình đ  xá đ nh đ ể ị ượ c tr ng tâm c a hai t  di n ph i v  nhi u đ ọ ủ ứ ệ ả ẽ ề ườ ng và đ ươ ng  nhiên vi c ch ng minh cũng v y ệ ứ ậ

 ví d  này ta ch n h  véc t  g c cùng đi m đ u là A

Ta đã chuy n đ i các gi  thi t , k t lu n hình h c sang ngôn ng  vect  nh  sau ể ổ ả ế ế ậ ọ ữ ơ ư

 là tr ng tâm t  di n  nên      ọ ứ ệ

 là tr ng tâm t  di n  nên        ọ ứ ệ

V

   í d  3   ụ  

 Cho hình h p . G i  l n lộ ọ ầ ượt là trung đi m c a . Ch ng minh: ể ủ ứ

Gi i:ả  

Đ t : ặ

 Ta có  , 

 (1)

, 

 (2) 

T  (1) và (2) ta suy ra ừ

Ví d  4ụ : Cho hình lăng tr  tam giác đ ng  có t t c  các c nh đ u b ng .  là trung ụ ứ ấ ả ạ ề ằ

đi m c a .ể ủ

 Ch ng minh ứ

Gi i:  ả

Đ t : ặ

Vì  là lăng tr  tam giác đ ng ụ ứ

nên ta có: 

, 

Ví d  5:ụ

Cho hình chóp  có . G i  l n lọ ầ ượt là tr ng tâm các tam giác và . Ch ng minh .ọ ứ

Gi i:  ả

Ta có: 

Ví d   6:ụ

Cho hình chóp  có đáy là tam giác đ u c nh b ng .  và ề ạ ằ

. G i  l n lọ ầ ượt là trung đi m c a. Tính góc gi a hai để ủ ữ ường th ng  và .ẳ

Gi iả :

Đ t : ặ

Ta có : 

 vµ 

G i  là góc c a hai đọ ủ ường th ng  và , thìẳ

2) Dành cho h c sinh khá gi iọ ỏ

Ví d 1ụ

 Cho hình chóp tam giác đ u có  đáy  là hình vuông c nh .  là đi m đ i x ng c a  ề ạ ể ố ứ ủ qua trung đi m c a .  l n lể ủ ầ ượt là trung đi m c a  vµ . Ch ng minh .ể ủ ứ

Gi i:  ả

G i . Khi đó ọ

Đ t : ặ

Ta có : 

Ví d  2:ụ   

Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông c nh . Tam giác  đ u và n m trong m t ph ngạ ề ằ ặ ẳ   vuông góc v i đáy. G i  l n lớ ọ ầ ượt là trung đi m c a các c nh . Ch ng minh: ể ủ ạ ứ

  Gi i:  ả

G i  là trung đi m c a ọ ể ủ

Đ t: ặ

Ta có: