Bài giảng Trường điện từ - Lecture 9: Trường điện từ biến thiên cung cấp các kiến thức giúp người học có thể thiết lập hệ phương trình D’Alembert cho trường điện từ biến thiên từ hệ phương trình Maxwell. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1 Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT Electromagnetics Field
Trường điện từ biến thiên
Lecture 9
EE 2003: Trường điện từ
L.O.3.1 – Thiết lập hệ phương trình D’Alembert cho trường điện từ biến thiên từ hệ phương trình Maxwell
Mô hình toán
Trường điện từ biến thiên là trường điện từ có các đại lượng đặc trưng thay đổi theo không gian và thời gian, tuân thủ theo các phương trình sau:
D rotH = J +
t
B rotE = -
t
V
divD = divB = 0
V divJ = -
t
H - H = J
1t 2t
E - E = 0
D - D =
B - B = 0
s
J - J = -
t
D = E
B = H
J = E
Trang 2EE 2015 : Signals & Systems Electromagnetics Field Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT
Định nghĩa thế vectơ & thế vô hướng
Định nghĩa thế vectơ:
divB = 0
div(rotA) = 0 B = rotA
Định nghĩa thế vô hướng:
B rotE = -
t
rot(E + ) = 0
t
E = grad
t
Tính đa trị của các hàm thế:
( ) , )
f
t
Điều kiện phụ Lorentz: divA = -
t
Phương trình d’Alembert cho thế vectơ
D rotH = J
t
E rotB = J
t
2
t
2
A grad(divA ) A = J
t
2
2
A
t
2 2
1
2
A
t
1
v
Áp dụng pt Maxwell (1):
Đặt:
Trang 3EE 2015 : Signals & Systems Electromagnetics Field Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT
Phương trình d’Alembert cho thế vô hướng
divD = v
divE =v
v
A div( grad ) =
t
divA=
t
v
v 2
t
2 2
1
v
v
t
1
v
Áp dụng pt Maxwell (3):
Đặt:
Nghiệm phương trình d’Alembert – thế chậm
(t R/v)dV 1
(t)=
V V
V
J(t R/v)dV
A (t)=
Ý nghĩa của thế chậm:
Trường điện từ biến thiên có khả năng lan truyền trong không gian dưới dạng sóng điện từ
Công cụ toán quan trọng để tính trường điện từ bức xạ bởi anten
Trang 4EE 2015 : Signals & Systems Electromagnetics Field Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT
Trường điện từ biến thiên điều hòa
Quy luật biến thiên theo thời gian của trường phụ thuộc vào quy luật biến thiên của nguồn (mật độ điện tích và mật độ dòng điện) Trong kỹ thuật ta thường gặp tín hiệu nguồn biến thiên điều hòa, mặt khác một tín hiệu bất kỳ đều có thể biểu diễn thành tổng các tín hiệu điều hòa dùng chuỗi Fourier (tín hiệu tuần hoàn) hoặc tích phân Fourier (tín hiệu không tuần hoàn) khảo sát trường điều hoàn là cơ bản và thực tế
Một vectơ trường biến thiên điều hòa sẽ có dạng:
X=X cos( t+ a +X cos( t+ a X cos( t+ a
X =X (x,y,z);X =X (x,y,z);X =X (x,y,z)
x x(x,y,z); y y(x,y,z); z z(x,y,z)
Biểu diện phức trường biến thiên điều hòa
)
X=Re{X e }a +Re{X e }a Re{X e }a
)
c
X=Re{X e a +X e a +X e a }=Re{X }
)
X e
y
X
c
X
X
Vectơ vật lý (miền thời gian)
Vectơ biên độ phức tức thời
Vectơ biên độ phức (miền phức – tần số)
Trang 5EE 2015 : Signals & Systems Electromagnetics Field Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT
Ví dụ:
2
y
E=3e cos( t x a 2e cos( t x a
y
E=3e cos( t x a 2e sin( t x a
x
2
z
2
]
z
x j x y
=[3a +j2a e e
6
]
z H
j y x
=[j2a +3a e
2
]
=[j2a +3a e e 2e a +3e a
2
x
}=2cos( t y+ a +3cos( t y a
Biểu diện phức trường biến thiên điều hòa
Hệ phương trình Maxwell dạng phức
D rotH J
t
rotH E
t
rot H E
t
C
)
rot( He Ee jEe
Tương tự, ta có hệ phương trình Maxwell dạng phức:
rot H j E
rot E jH
/ div E v
0 div H
(1)
(2)
(3)
(4)
~
rot H j E
rot E jH
/ div E v
0 div H
(1)
(2)
(3)
(4)
Hoặc
~
: độ thẩm điện phức
Trang 6EE 2015 : Signals & Systems Electromagnetics Field Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT
Vectơ Poynting trung bình – Công suất ĐT trung bình
Re{ c} Re{ c} P(t)=E× H E H
* 1
2
Re{ E } Re{ E ej t} ( E ej t E e j t )
c
* 1
2
Re{ H } Re{ H ej t} ( H ej t H e j t )
c
Với:
E H e E H e E H E H
P(t)=
2Re{ E H ej t} 2Re{ E H }
P(t)=
<P> W 2 <PEM S P dS
(MĐCSĐT trung bình ) (CS điện từ trung bình)
Mật độ CS tổn hao trung bình – CS tổn hao trung bình
( ) Re{ Jc}Re{ Ec} Re{ Ec}Re{ Ec}
d
p t JE
* 1
2
Re{ E } Re{ E ej t} ( E ej t E e j t )
c
4
( ) ( E ej t E e j t )
d
p t
( ) Re{( ) E ej t} | E |
d
p t
( ) ( ) E ej t ( E ) e j t | E |
d
p t
2 | E |
d
<p W 3
m
2 1
V E
d
(MĐCSTH trung bình ) (CS tổn hao trung bình)
Trang 7EE 2015 : Signals & Systems Electromagnetics Field Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT
Ví dụ
Trong môi trường có =0, tồn tại trường điện có vectơ cường độ trường điện:
8
x
e t z a V m
Hãy xác định vectơ cường độ trường từ gắn với trường điện trên? Tính CSĐT trung bình qua hình vuông a=2m trong măt phẳng z=1cm
Ví dụ
8
x
x
E
Áp dụng hệ pt Maxwell dạng phức ta có:
0
j j
0
1
80
j
H rot E rot E
3
( 3 ) 8
0 0
x
x y z
x
j
z
E
y
e e e a
H
8 0.25ezcos(2 10 t 3z )a
H
Trang 8EE 2015 : Signals & Systems Electromagnetics Field Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT
Ví dụ
3
10ez ej z a x
E
Áp dụng:
0.25ejez ej z a y
H
* 1
<P> E H
6
6
1.25 e zRe{ ej} az 1.25 cos( ) e zaz
<P>
2
2
3.4 z (W )
z m
e a
<P>
x
<P>
0
a
a
z
2
3.4
EM z
e dxdy
<P
2
2 10