Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình vi phân - Đậu Thế Phiệt

Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình vi phân do Đậu Thế Phiệt biên soạn cung cấp cho người học các kiến thức về bài toán Cauchy, hệ phương trình vi phân, bài toán biên tuyến tính cấp 2. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Bài giảng điện tử

Ngày 6 tháng 12 năm 2016

Ta xét bài toán cơ bản về dao động của con lắc đơn

where L is the length of the pendulum, g≈ 32.17 ft/s 2 is the gravitational constant of the earth, and θ is the angle the pendulum makes with the vertical If, in addition, we specify

the position of the pendulum when the motion begins, θ(t0) = θ 0 , and its velocity at that point, θ ′(t0) = θ ′

0, we have what is called an initial-value problem.

For small values of θ, the approximation θ ≈ sin θ can be used to simplify this problem

to the linear initial-value problem

d2 θ

dt2 +g Lθ= 0, θ(t0 ) = θ 0 , θ′(t0 ) = θ ′

0 This problem can be solved by a standard differential-equation technique For larger values

of θ, the assumption that θ = sin θ is not reasonable so approximation methods must be used A problem of this type is considered in Exercise 8 of Section 5.9.

Any textbook on ordinary differential equations details a number of methods for plicitly finding solutions to first-order initial-value problems In practice, however, few of the problems originating from the study of physical phenomena can be solved exactly.

dt2 +g

0(t0) = θ00

Bài toán này có thể giải bằng các phương pháp quen thuộc Tuy nhiên vớigiá trị θ lớn, ta không thể giả thiết θ = sin θ Để tìm nghiệm cho bài toánnày, ta cần sử dụng các phương pháp xấp xỉ nghiệm

Bài toán Cauchy

Ta xét bài toán giá trị đầu bậc nhất, bài toán Cauchy,

Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm được nghiệm đúng của một

số phương trình đơn giản, còn đối với trường hợp f (x , y ) có dạng bất kỳthì nói chung không có phương pháp giải

Ngoài ra, trong những trường hợp có thể tìm ra nghiệm đúng của bài toánCauchy (1) quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng

Vì vậy, việc tìm những phương pháp giải gần đúng bài toán Cauchy có vaitrò rất quan trọng trong thực tế

Khi đó với mỗi k = 0, 1, 2, , n − 1 theo công thức khai triển Taylor trênđoạn [tk, tk+1], ta có

y (tk+1) = y (tk) + y0(tk)(tk+1− tk) + y00(ξk)(tk+1− tk)

2

Vì y = y (t) là nghiệm của phương trình (1) và h = tk+1− tk nên ta có

Bài toán Cauchy Công thức Euler

Ý nghĩa hình học của phương pháp Euler

The graph of the function highlighting y(t i) is shown in Figure 5.2 One step in Euler’s method appears in Figure 5.3, and a series of steps appears in Figure 5.4.

Figure 5.2

t

y y(t N ) ! y(b) y" ! f (t, y),

.

Example 1 Euler’s method was used in the first illustration with h= 0.5 to approximate the solution

to the initial-value problem

y′= y − t2+ 1, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0.5.

Use Algorithm 5.1 with N= 10 to determine approximations, and compare these with the

exact values given by y(t) = (t + 1)2− 0.5e t.

Solution With N = 10 we have h = 0.2, t i = 0.2i, w0 = 0.5, and

and so on Table 5.1 shows the comparison between the approximate values at tand the

The graph of the function highlighting y(t i) is shown in Figure 5.2 One step in Euler’s method appears in Figure 5.3, and a series of steps appears in Figure 5.4.

Figure 5.2

t

y y(t N ) ! y(b) y" ! f (t, y),

.

Example 1 Euler’s method was used in the first illustration with h= 0.5 to approximate the solution

to the initial-value problem

y′= y − t2

+ 1, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0.5.

Use Algorithm 5.1 with N= 10 to determine approximations, and compare these with the

exact values given by y(t) = (t + 1)2− 0.5e t.

Solution With N = 10 we have h = 0.2, t i = 0.2i, w0 = 0.5, and

and so on Table 5.1 shows the comparison between the approximate values at tand the

Từ (t0, y0) = (a, α) thuộc đường cong y = y (t), kẻ tiếp tuyến với đườngcong (có hệ số góc là y0(a) = f (a, α)) Đường tiếp tuyến sẽ cắt t = t1 tại

Bài toán Cauchy Công thức Euler

Sai số của công thức Euler

Giả sử f là hàm liên tục và thỏa điều kiện

|f (t, y1) − f (t, y2)| ≤ L|y1− y2|với hằng số L > 0, và tồn tại M thỏa

Khi đó với y (t) là nghiệm chính xác của bài toán giá trị đầu

y0(t) = f (t, y ), a ≤ t ≤ b, y (a) = α và y0, y1, , yn là nghiệmxấp xỉ của bài toán cho bởi công thức Euler, khi đó với mỗi k = 0, 1, , n

Công thức Euler cải tiến

Trong công thức Euler, thay f (tk, yk) bởi f (tk, yk) + f (tk+1, yk+1)

Lúc này ta có công thức

y (xk+1) ≈ yk+1 = yk+ hf (tk, yk) + f (tk+1, yk + hf (tk, yk))

k = 0, 1, 2, , n − 1

Công thức Runge- Kutta bậc hai

Xét khai triển Taylor bậc hai của y (t), ta có

Công thức Runge- Kutta bậc hai

Xét khai triển Taylor bậc hai của y (t), ta có

Từ công thức khai triển Taylor



Công thức điểm giữa

y0= α

yk+1= yk + h

f

Nếu ta sử dụng

a1f (t, y ) + a2f (t + α, y + βf (t, y ))

và đồng nhất các hệ số, ta có a1= a2 = 1

thức Euler cải tiến

Công thức Euler cải tiến

Công thức Runge-Kutta có độ chính xác cao hơn công thức Euler, vì dùngkhai triển Taylor nghiệm y = y (x ) của bài toán (1) với nhiều số hạng hơn.

Sử dụng quá trình xây dựng trên đối với công thức Taylor bâc cao hơn, ta

có thể xây dựng Phương pháp Runge - Kutta với các bậc cao, và phổ biếnnhất là bậc 4



tk+ h2

2+ 1

#,



tk+ h2

2+ 1

#,

K4k = hf (tk + h, yk+ K3k) = hhyk + K3k − (xk + h)2+ 1i.Công thức tính nghiệm gần đúng là

2với 1 ≤ t ≤ 2, y (1) = 1 và h = 0.1, nghiệm chínhxác y (t) = t/(t + ln t).

2 y0 = 1 +y

yt

2với 1 ≤ t ≤ 3, y (1) = 0 và h = 0.2, nghiệm chínhxác y (t) = t tan(ln t)

chính xác y (t) = t2+1e−5t

x (t) là xk = x (tk), của y (t) là yk = y (tk)

Công thức Euler cải tiến

K4x = hf (tk−1+ h, xk−1+ K3x, yk−1+ K3y),

K4y = hg (tk−1+ h, xk−1+ K3x, yk−1+ K3y)

Đối với phương trình vi phân cấp 2,

Ví dụ

Cho phương trình vi phân cấp 2

x00− 2x0+ 2x = e2t sin t, (0 < t < 1)với điều kiện ban đầu x (0) = −0.4, x0(0) = −0.6

Dùng phương pháp Runge-Kutta bậc 4 để xấp xỉ nghiệm gần đúng củaphương trình với bước h = 0.1

So sánh kết quả thu được với nghiệm chính xác

x (t) = 0.2e2t(sin t − 2 cos t),

Đặt y (t) = x0(t) Phương trình đã cho được biến đổi thành hệ

Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phânthường đòi hỏi các điều kiện được cho tại một thời điểm ban đầu nàođó.

Đối với phương trình vi phân bậc hai, ta cần 2 giá trị y (x0) và y0(x0).Tuy nhiên, nhiều bài toán trong thực tế cho thấy điều kiện của hàmcần tìm được cho tại nhiều thời điểm khác nhau Vấn đề này dẫn tớiviệc tìm nghiệm gần đúng của 1 dạng bài toán thứ hai được gọi là bàitoán biên

Bài toán biên tuyến tính cấp 2 Đặt vấn đề

Suppose that l, q, E, S, and I represent, respectively, the length of the beam, the intensity

of the uniform load, the modulus of elasticity, the stress at the endpoints, and the central moment of inertia The differential equation approximating the physical situation is of the form

d2 w

dx2 (x)=EI S w(x)+2EI qx (x − l), where w(x) is the deflection a distance x from the left end of the beam Since no deflection

occurs at the ends of the beam, there are two boundary conditions

w(0)= 0 and w(l) = 0.

When the beam is of uniform thickness, the product EI is constant In this case the

exact solution is easily obtained When the thickness is not uniform, the moment of inertia

I is a function of x, and approximation techniques are required Problems of this type are

considered in Exercises 7 of Section 11.3 and 6 of Section 11.4.

The differential equations in Chapter 5 are of first order and have one initial condition

to satisfy Later in the chapter we saw that the techniques could be extended to systems of equations and then to higher-order equations, but all the specified conditions are on the same endpoint These are initial-value problems In this chapter we show how to approximate

the solution to boundary-value problems, differential equations with conditions imposed

at different points For first-order differential equations, only one condition is specified,

so there is no distinction between initial-value and boundary-value problems We will be considering second-order equations with two boundary values.

Physical problems that are position-dependent rather than time-dependent are often described in terms of differential equations with conditions imposed at more than one point.

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 42 / 54

Trong phần này chúng ta chỉ xét bài toán biên của phương trình viphân thường tuyến tính cấp hai với điều kiện biên được cho ở 2 điểm

có dạng

p(x )y00(x ) + q(x )y0(x ) + r (x )y (x ) = f (x ), a < x < b,

Phương pháp sai phân hữu hạn

Chọn số tự nhiên bất kỳ n > 0 Chia đều đoạn [a, b] thành n đoạn bởicác điểm chia x0= a, xk = x0+ kh, k = 1, 2, , n − 1, xn= b với

Từ các điều kiện biên y0 = α, yn= β sau khi biến đổi ta thuđược hệ phương trình

Y = [y1, y2, , yn−1]Tvà

α

f2

Ma trận A ở trên là ma trận 3 đường chéo Để giải hệ phương trình trênthì ta dùng phương pháp phân rã LU.

Khi đó phân rã Doolittle cho ta

Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn xấp xỉ nghiệm gần đúng và so

8.

2h)y2 = cos(π8)(h12 + 2h1 )y1+ (−2 − h22)y2+ (h12 − 1

2h)y3 = cos(π4)(h12 +2h1)y2+ (−2 − h22)y3+ (h12 − 1

THANK YOU FOR ATTENTION