Bài tập thảo luận chương 1 môn Giải tích 2

Tài liệu cung cấp một số bài tập chương 1 môn Giải tích 2: miền xác định của các hàm số, các đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của các hàm số, đạo hàm của các hàm số hợp, đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình, các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số...

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN

HỌC PHẦN TOÁN 3

BÀI TẬP THẢO LUẬN CHƯƠNG 1

BT 1 Tìm miền xác định của các hàm số:

1.  f ( x, y ) 1 1

2 f ( x, y ) 4x2y2  x2y2 1

f ( x, y ) arcsin

x





4 f ( x, y ) 1 2

y x





3. 

3 3

2 2

x y

f ( x, y )

x y





   4.  f ( x, y ) xarctg y

x

BT 2. Tìm các đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của các hàm số sau:

1 ( , ) ( )

x y

f x y tg x y e 7 f x y z( , , )(xy) ,z xy 0

2

x ( , ) arcsin

x

f x y

y





8 ( , , )

z

y

f x y z

x

 

  

 

3 f x y( , )xyln(xy) 9 ( , , ) , 0

x y

4. f x y( , )ln(x x2 y2) 10 f x y z ( , , )  xy z, x  0, y  0

5

f x y





11 f x y z( , , ) e xyzsin y

z



6 f x y( , )x x y, x0 12

f x y z





BT 3 Tìm đạo hàm của các hàm số hợp sau:

2 2

osu ( , ) ,

y= u

f x y e

v

  





6 ( , ) artgu, sin

os3t v

f x y

v c









2 ( , ) ln( 2 2 ), x

v=

y

u xy

f x y u v











7 f x y( , ) f( , )x y

y x



3

2 2

2

u

( , ) ln ,

y=e v

u x v

f x y x y













8 2 2

f x y  f xy x y

4 ( , ) artgx, usinv

y=vcosu y

x

f x y   



9

2 1 ( , , ) , ln

x t

f x y z xyz y t

z tgt

  



 



5 v

( , ) u ,

x u y

f x y

v xy







 



10 2 2 2

3

4

x e

f x y z x y z y t

z t

 





 



BT 4 Tìm đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau:

,

x yy xa tính  y

2 y

xe ye x e xy, tính  y

3 artgx+y

a

y a

 , tính y

ln x artg

x

y

  , tính y, y

5 x m y nz p  axyz, m,n,p  N tính z x ,zy

6 1 xy- ln(e xyexy)  0, tính y,

7 x

y=1+y , tính y

8 sinxy-e xy x y2 , tính y

9 x+z

y

z y x

e 

 tính  z x ,zy

10 sinxyz+cos(x 2 y2 z2 ) 1  tính y x ,y z

BT 5 Phương trình   2 2 2 2

x

    xác định hàm số ẩn z = z( x, y ) chứng minh rằng :  

x z z

     

BT 6. Cho  u x z

y z





  .Tính   u u x , y biết z là hàm ẩn của x, y xác định từ phương trình  

ze xe ye  

BT 7 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau:

1 y

z x 6 arctgx+y

1-xy

z 

2 ze x y 2cosx 7 u x2 y2 z2

3 arctgx

y

z  8

z

x u y

 

  

 

4 z x2 y e2 x y

5 z1 x m 1 yn

BT 8

1 Tính đạo hàm của hàm số uxy z2 3 tại điểm Mo( 1; 2; -1 ) theo hướng xác định  bởi véc tơ M M0 1

 với M1( 0; 4; -3 ) 



 và  u

l



 tại M0(1; -1; 3 ) biết l

được xác định bởi véc 

tơ M M0 1

 với M1( 0; 1; 1 ) 

3 Cho u3x22y2 z22yz. Tính đạo hàm của hàm số u theo hướng véc tơ 

0 1

M M



 tại điểm M1 biết M0   3, 2,1 ; M 1   2,1, 2. 

BT 9. Cho hàm số zx3 y3z33xyz và điểm M(1, 2, 1).  

1. Tìm độ lớn và hướng của gradu

 tại M. 

2. Tìm M sao cho gradu

 triệt tiêu. 

3. Tìm hướng l



mà tại đó  z M

l





BT 10. Tìm cực trị của các hàm số sau: 

1) z x yxe y 9) z4xx3xy2

2) z2x4 y4x2 2y2 10) zeax(x y22 )y

3) z2x4 y44x24y 11) zxyln(x2 y2)

4) z  (ax2 by e2) (x2y2) 12) 1 3 3

3

5) zax3bxyay3 13) 2 2 2

1

     14)

7) zxy 1 ax 2by2 15) z  (5 x  7 y  25) e(x2xy y 2) 

z  x  y  y x .       16)  z = x 2 (x + 1) + y 3. 

BT 11 Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau:

1) z 1 1

x y

  với điều kiện  12 12 12

x  y  a    

2) zxy   với điều kiện xy 1 

3) zx 2y   với điều kiện  2 2

5

x y    4)  zx2 y2   với điều kiện  1

2 3

x y

   

5)  u x yz   với điều kiện 1 1 1 1

x y z  

ux y z    với điều kiện 

2 2 2

x y z

a b c

a b c      7) ux 2y 2z   với điều kiện x2 y2 z2  9 

8) ux y z  5   với điều kiện xy z 0 

2

ux  y  z    với điều kiện xyz  1 

uxy z    với điều kiện x  y z a 

11)  u = x + y với điều kiện 1 1 1

BT 12 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 1) zx2 y2 trong miền tròn x2 y2  4 

2) zx y2 (4  x y) trong hình tam giác giới hạn bởi các đường thẳng x = 0,  

y = 0, x + y = 6 

(ax )

x y

ze  by  trong miền tròn  2 2

1

x y    4) z x y trong miền tròn  2 2

1

x y   

3

zx y  xy trên miền D0x2, 1  y2 

6) zx2  2xy 4x 8y trên miền D0x1, 0 y2 

7) z s inx+siny+sin(x+y)  trên miền  0 , 0

D  x  y 

     





  8) zx2 y2  2xy  trên miền Dx0,y0,xy2

4

z x y  x y  với D là miền giới hạn bởi x = 0, y = 0, x + y = 6. 

3

x y

z



   trong miền tròn x2 y2 4