Bài viết nghiên cứu hàm Gamma P-adic và các đồng dư thức từ đó, suy ra được một số đồng dư thức trong số học liên quan đến hệ số Newton. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết nội dung kiến thức.
Trang 1HÀM GAMMA P-ADIC
VÀ CÁC ĐỒNG DƯ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HỆ SỐ NEWTON
TÓM TẮT
Trong bài báo, chúng tôi chứng minh một đồng dư thức của hàm gamma p-adic dưới
đây:
2
1,( , ) 1
( -1) 1 ( ) ( ) 1
3
r p
k k p
x x
k
Γ ≡ Γ ⎢ +
⎣ ∑ ⎦⎥
p
(mod p 5r ) (1) trong đó: Γp:Z p →C là hàm gamma p-adic; là số nguyên tố, p p>5; r≥1;
p
x Z∈
Từ đó, chúng tôi suy ra được một số đồng dư thức trong số học liên quan đến hệ số
Newton
Từ khóa: hàm gamma p-adic, đồng dư thức, hệ số Newton
ABSTRACT
P-adic gamma function and congruences related to the Newton coefficients
In the paper, we prove a congruence of the p-adic gamma function follows:
2
1,( , ) 1
( -1) 1 ( ) ( ) 1
3
r p
k k p
x x
k
Γ ≡ Γ ⎢ +
Where: Γp:Z p →C p is the p-adic gamma function; p is a prime, p>5; r≥1;
p
x Z∈
Since then, we deduce some congruences in arithmetic relating to the Newton
coefficients
Keywords: p-adic gamma function, congruence, Newton coefficient
1 Giới thiệu
Đồng dư thức (mod p) được chứng minh khá đơn giản Năm 1819,
Babbage đã chứng minh một đồng dư thức mạnh hơn, với số nguyên tố thì
2 1
1 1
p p
−
⎛ ⎞
≡
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
3
p≥
Trang 2
⎞
⎟
⎠
2 1
1
1
p
p
−
⎛ ⎞
≡
⎜ − ⎟
⎝ ⎠ (mod ) Năm 1862, Wolstenholme đã chứng minh (mod )
với mọi số nguyên tố Năm 1899, J Glaisher với kết quả (mod
) và năm 1990, D.F Bailey với kết quả (mod ) cho mọi số nguyên
tố
2
1
p p
−
⎛ ⎞
≡
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
3
p
5
1
np p p
+ −
⎛ ⎞
≡
⎜ −
⎝ ⎠
3
rp r
⎛ ⎞ ⎛
≡
⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
3
p
5
p≥
Khi giải tích p-adic ra đời đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới Tương tự hàm gamma trong giải tích phức, ta có hàm gamma p-adic trong giải tích p-adic với tính chất sau:
1
1,( , ) 1
( ) ( 1)n n
p
i i p
Γ = − ∏
ta thấy được mối liên hệ giữa hàm gamma p-adic và hệ số của nhị thức Newton như sau:
( ) 1
1 ( ) ( )
p
np p
np p
Γ + + −
⎛ ⎞=
⎜ − ⎟ Γ Γ
⎝ ⎠
khi đó có thể viết lại đồng dư thức của J Glaisher như sau:
( )
1 ( ) ( )
p
np p
np p
Γ +
≡
3
p
Từ đây, tạo động lực cho chúng ta nghiên cứu những đồng dư thức của hàm gamma p-adic Trong bài báo này, chúng tôi sẽ chứng minh đồng dư thức (1) và sử dụng kết quả này để suy ra một số đồng dư thức số học liên quan đến hệ số Newton
2 Các kết quả được sử dụng trong bài báo
2.1 Hàm gamma p-adic
Trường số thực R không đóng đại số, bao đóng đại số của R là trường số phức C Làm đầy đủ Q theo giá trị tuyệt đối p ta được trường , đầy đủ nhưng không đóng đại số Kí hiệu bao đóng đại số của là
p
Q Q p
p
Q Q p Giá trị tuyệt đối trên Q p
được xác định như sau:
Với mọi a Q∈ p thì a phải là phần tử đại số trên Q p, do đó tồn tại đa thức
Irr a Q x ∈Q x có dạng ( ) 1
, , n n
n
Irr a Q x =x +a x− − + +a x a+ 0 bất khả quy trên Q p, nhận a làm nghiệm
Trang 3Ta chứng minh được n 0
p
a = a p là giá trị tuyệt đối trên Q p Trường Q p đóng đại số nhưng nó lại không đầy đủ theo p vừa xây dựng Nếu tiếp tục làm đầy đủ Q p
theo p thì ta sẽ được trường số phức p-adic Kí hiệu C p Q p
∧
= Trường số phức p-adic đóng đại số, đầy đủ và đóng vai trò tương tự như trường số phức C trong giải
tích phức
p
C
Mệnh đề 2.1
Tập hợp Z p ={a Q∈ p: a p ≤1}
p
cùng phép toán cộng và phép toán nhân trong tạo thành một vành gọi là vành các số nguyên p-adic
p
Q
Định nghĩa 2.2
Dãy trong được gọi là một dãy nội suy p-adic nếu tồn tại
duy nhất một hàm số liên tục
1, , , , , 2 3 n
a a a a C p
: p
f Z →C sao cho f n( )=a n ∀ ∈n N
Định lí 2.3
Cho p là một số nguyên tố Khi đó dãy { }a n với 1
1
( 1)n n '
n
i
a
−
=
= − ∏ i là một dãy nội suy p-adic Trong đó ∏' là tích lấy theo tất cả các i nguyên tố với p
Từ định nghĩa của dãy nội suy p-adic tồn tại duy nhất hàm Γp:Z p →C p liên tục
trên Z p thỏa
1
1
( ) ( 1)n n '
p
i
n − i
=
Γ = − ∏
Hàm Γp được xác định như trên gọi là hàm gamma p-adic
2.2 Một số đồng dư thức
Chúng ta kí hiệu ∑' thay cho
1,( , ) 1
r p
k= ∑k p=
Định lí 2.1
Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 5 Chúng ta có các đồng dư thức sau:
(i) 12
' s
k ≡
∑ 0 (mod p r ) nếu (p-1) không chia hết 2s
(ii) 2 11
' s 0
k + ≡
∑ (mod p 2r ) nếu (p-1) không chia hết 2(s + 1)
Trang 4(iii) 1 2
' '
2
r
p
k ≡ − k
∑ ∑ 1 (mod 4r )
p
' '
2
k m< km k
≡ −
∑ ∑ 1 (mod p 4r )
Chứng minh:
(i) Vì (p-1) không chia hết 2s nên tồn tại thỏa p không chia hết và Nếu k chạy qua một hệ thặng dư thu gọn theo (mod ) thì cũng chạy qua một hệ thặng dư thu gọn theo (mod ) Khi đó:
0
0s 1
k − k0
r
p k k0
r
p
1 1 1
( ) 2
1
k ∑ k =∑ k k ≡∑ k (mod r)
p
0
1 1
(1 ) ' s 0
k k
− ∑ ≡ (mod p r) Do đó 12s 0
k ≡
(ii) Ta có:
2 1
2 1
2 1
2
2 1
2 1
( )
(1 ) 1
' 1
1 ' 1 (mod p )
1 '
r
s
s
s
s r
r s
s
p
k
p p p
p
k
+
+
+
+
+
+
= = −
= − ⎜ + + + + ⎟
⎛ ⎞
≡ − ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
≡ −
∑
∑
2
2
1 (2 1) (mod p )
' (2 1) ' (mod p )
r
r
p s k
s p
+ +
= − − +
∑
Do (p – 1) không chia hết 2(s + 1), theo (i) ta có:
2 2
1
' s
k + ≡
∑ 0 (mod p r)
Suy ra 2 11 2 11
' s ' s
k + ≡ − k +
∑ ∑ (mod p 2r) Vậy ' 2 11s
k + ≡0
∑ (mod p 2r) (iii) Ta có khai triển Maclaurin
2
1
1
1 x = + +x x +
−
Trang 5Suy ra
1
1
r
p p p p
k
= + + + + +
−
Từ đó ta có :
1 1 1 1
1
' ' ' ' (mod p )
r r
p
k
= = −
≡ − − − −
Thay s = 2 vào (i), ta được 14
'
k ≡0
∑ (mod p r)
Tương tự thay s = 1 vào (ii), ta được 13
'
k ≡0
∑ (mod p 2r)
' ' p r
k ≡ − k −
k (mod )
4r
p
2 ' p r '
k ≡ − k
∑ ∑ (mod p 4r)
Do (2,p4r) 1= , suy ra '1 ' 2
2
r
p
k ≡ − k
∑ ∑ 1 (mod p 4r) (iv) Ta có:
2
2
1 1
' ' 2
k m
k k <
⎛ ⎞ = +
⎜ ⎟
⎝∑ ⎠ ∑ ∑' 1
km
Thay s = 0 vào (ii), ta được 1
'
k ≡0
∑ (mod p 2r)
Suy ra
2
1 '
k
⎛ ⎞ ≡
⎜ ⎟
⎝∑ ⎠ 0 (mod p 4r)
Do đó
2
1
2 ' '
k m< km k
≡ −
∑ ∑ 1 (mod p 4r)
Do (2,p4r) 1= , suy ra ' 1 1 ' 2
2
k m< km k
≡ −
∑ ∑ 1 (mod p 4r)
Trang 6ả chính
Định
Nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 5,
3 Kết qu
lí 3.1
, 1
p
x Z∈ r≥ thì
2
( -1) 1 ( ) ( ) 1 '
3
x x
k
Γ ≡ Γ ⎢ + ⎥
Chứn
Trước tiên ta chứng minh
5r
p
g minh:
1 ( 1) ' ( )r
p p
Γ ( )
r
r p
p n
n n p
Γ +
≡ + +
Ta có:
5r
p
( 1)
' '(1 ) ( ) ( )
1+ ' ' (mod p )
p
k m
np n p n p t n p t
k < km
≡ = +
Γ Γ
Trong đó ∏'kí hiệu thay cho
1,( , ) 1
r p
k=∏k p= , 3 1
'
k l m
t
klm
< <
= ∑ , 4 1
'
k l m h
t
klmh
< < <
= ∑ định lí 2.1, ta có
' '
k k ≡0
Mặt khác ta có :
3r
p
1 1 1 1
' ' ' '
k k = k + k m
1 ' 0
k ≡
Do đó
2r
p
2
1 ' 0
k m≠ k m ≡
Suy ra
2r
p
1 1 1 1
3 3 ' ' ' '
k k m
)
Từ định lí 2.1 ta có:
2r
p klm km
r
Hay t3≡0 (mod p2
3
' 0
k ≡
∑ 1 (mod p 2r) và ' 14 0
k ≡
Mặt khác ta có:
r
p
Trang 73 4
1 1 1 1
' ' ' '
k m
k k = k + ≠ k
m
Suy ra 31
' 0
k m∑≠ k m ≡ (mod p r)
Ta lại có:
1 1 1 1
' ' ' '
k m< km k k m≠ k m k lm
= +
Suy ra ' 21
k lm≡
∑ 0 (mod p r)
Ta có:
1 1 1
4 ' ' '
k l m
t
k < < klm k l
=∑ ∑ −∑
m
Hay t4 ≡0 (mod p r)
Từ (iii) và (iv) của định lí 2.1, ta có:
2
2
r r
k m
p p
<
≡ − ≡
∑ ∑ ∑'1 (mod p 4r)
Suy ra
1+ ' ' 1 ( 1) ' ( ) ( )
r
p n
np n p n n p
Γ +
≡ + = + +
Đặt
( ) ( )
( )
r p
r x p
p x
f x
p
Γ
=
Γ
Từ đó ta có:
( 1)
( ) ( ) ( )
r p
p n
f n
Γ + + =
Γ Γ n
Theo chứng minh trên ta có:
( 1) 1
1 ( 1) ' ( )
r
f n
n n p
+ ≡ + +
∑ (mod p 5r)
Từ đó ta suy ra được
Trang 81 1
2 1
5 1
( ) 1 ( 1) '
( )
1 ( 1) 1 1+ ' ( 1) 1 ' (mod )
3
r
n
i
f k
n n
−
=
= ≡ ⎢ + + ⎥
−
≡ + = +
∑
p
Vậy
2
( 1) 1 ( ) ( ) 1 '
3
n n
k
⎡ − ⎤
Γ ≡ Γ ⎢ + ⎥
⎣ ∑ ⎦ (mod p 5r)
Như vậy ta đã chứng minh định lí đúng với mọi số tự nhiên n
Do N trù mật trong Z p nên mọi x Z∈ p, tồn tại { }x n ⊂N x: n →x Vì hàm gamma p-adic Γp liên tục trên Z p nên
2
2
( 1) 1 ( ) ( ) 1 '
3 ( 1) 1 ( ) ( ) 1 ' khi
3
n x
x x
k
x x
k
Γ − Γ +
→ Γ⎢ − Γ ⎜ + ⎟⎥ → ∞
∑
∑
Do đó tồn tại n0, sao cho:
2 0
2
5
( 1) 1 ( ) ( ) 1 '
3 ( 1) 1 ( ) ( ) 1 '
3
n
p x
p
x x
k
x x
k
−
⎡ − ⎤
∀ > ⇒ Γ − Γ ⎢ + ⎥
= Γ − Γ ⎢ + ⎥ ≤
∑
Suy ra
2
( 1) 1 ( ) ( ) 1 '
3
x x
k
⎡ − ⎤
Γ − Γ ⎢ + ⎥
⎣ ∑ ⎦≡0 (mod p 5r)
Định lí được chứng minh
Nhận xét: Theo (ii) của định lí 2.1, ta có:
1
'
k ≡
∑ 0 (mod 2r)
p
Suy ra
2
1 1
' p
r
p k
= ∑ ∈
Khi đó định lí 3.1 được viết lại như sau:
Trang 93
( 1) ( ) ( ) 1
3
x x
p x p ⎡ − p c⎤
Γ ≡ Γ ⎢ + ⎥
r (mod p 5r)
Hệ quả 3.2
Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 5 và x y Z, ∈ p , r≥1 thì
1 ( ) ( ) ( )
r
p x y
xy x y p c
p x p y
Γ +
≡ + +
5r
p
Chứng minh:
Theo định lí 3.1, ta có:
3
( r ) ( r ) 1 ( )
p p x p p y ⎡ xy x y p c⎤
Γ Γ ⎣ + + r ⎦
( 1) ( 1) ( ) 1 ( ) 1 1 ( )
p ⎡ − p c⎤ p ⎡ − p c⎤ ⎡ xy x y p c3 ⎤
≡ Γ ⎢⎣ + ⎥⎦ Γ ⎢⎣ + ⎥ ⎣⎦ + + ⎦
( 1) ( 1) ( ) ( ) 1 1 ( )
3
x x y y
p p ⎡ − + − p c⎤ ⎡ xy x y p c⎤
≡ Γ Γ ⎢⎣ + ⎥ ⎣⎦ + + ⎦
3
( 1) ( 1) ( ) ( ) 1
3
p
x x y y xy x y
p + ⎡ − + − + + p c⎤
3
( ) ( ) 1 ( ) 1
3
p
x y x y
p + ⎡ + + − p c⎤
≡ Γ +
( r( ) (mod ) 5r)
p p x y p
≡ Γ +
Chứng minh trên đã sử dụng đẳng thức
( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )
x x − + y y − +xy x y+ = x y+ x y+ −1
Ta có thể tổng quát hệ quả 3.2 như sau
Hệ quả 3.3
Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 5 và x i∈Z i p; =1,n ; n≥2;r≥1 thì
1
1 ( )
n r
n
i
p x
x x x x x x cp
p x
=
= ≤ < ≤ ≤ < < ≤
=
⎛ ⎞
Γ ⎜ ⎟ ⎡⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤
⎝ ⎠ ≡ +⎢⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− ⎟⎥
⎝ ⎠
⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥
Γ
∑
5r
p
Khi n = 3, ta có:
Trang 10( ( )) [ ]
1 ( )( ) ( ) ( ) ( )
r p
p x y z
x y z xy yz xz xyz
p x p y p z
Γ + +
≡ + + + + + −
5r
p
4 Một số đồng dư thức liên quan hệ số nhị thức Newton
Sử dụng hệ quả 3.2, ta chứng minh được định lí sau đây
Định lí 4.1
Nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 5, n m n m, , ', '∈N và n m n> , '>m' thì
5
' '( ' ') ' '( ' ')
( ) ( ) (mod )
n m n m n m n m
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
− ⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
≡ − ⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Từ định lí 4.1, chọn thích hợp, chúng ta được một số đồng dư thức sau:
, , ', '
n m n m
9 p 12 2 p
⎛ ⎞ ⎛
≡ +
⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
⎟
⎞
⎟
⎠
3p
p
⎞
⎟
⎠
(mod p5)
24 42
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≡ +
⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (mod )
5
p
8 p 12 3 p
⎛ ⎞ ⎛
≡ +
⎜ ⎟ ⎜
5
p
2 2
12 p 18 p
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛
≡ +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜
5
p
5 Một vài kết quả mở rộng
Định lí 5.1
Nếu n m n m, , ', '∈N , p là số nguyên tố lớn hơn 5, r≥1, n m n> , '>m' thì
5
' '( ' ') ' '( ' ')
( ) ( ) (mod )
' '
r r
r
r r
n m n m n m n m
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
− ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎟− − ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
≡ − ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎟− − ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Từ định lí 5.1, chọn thích hợp, chúng ta được một số đồng dư thức sau
, , ', '
n m n m
Trang 11⎞
⎟⎟
⎠
2⎟⎟
2
⎞
⎟⎟
⎠
2
9 p 12 2 p
⎛ ⎞ ⎛
≡ +
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
10
p
2
24 42
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≡ +
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
10
p
2
8 p 12 3 p
⎛ ⎞ ⎛
≡ +
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
10
p
Theo D.F Bailey, chúng ta có định lí sau:
Định lí 5.2.[4]
Nếu N M n m N, , , ∈ , p là số nguyên tố lớn hơn 3, giả sử n, m < p thì
3
3
Np n N n
M m
Mp m
⎛ + ⎞ ⎛ ⎞⎛
≡
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜
⎜ + ⎟ ⎝ ⎠⎝
⎝ ⎠
⎞
⎟
⎠ (mod )
3
p
Trong bài báo này, chúng ta có kết qủa mở rộng sau
Định lí 5.3
Nếu N M n m N, , , ∈ , p là số nguyên tố lớn hơn 5, r≥1, giả sử n m≤ < p thì
1 '
r
r r
Np n N n
c p
M m
Mp m
⎛ + ⎞≡⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣
⎜ + ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
)
(mod p 2r )
Trong đó c'=H n N H m M H n m N M( ) − ( ) − ( − )( − với
1
1 ( ) n , (0) 0
k
H n H
k
=
=∑ =
Từ định lí 5.3., chọn N, M, n, m, r thích hợp và với p là số nguyên tố lớn hơn 5, chúng ta có một số đồng dư thức sau:
3
3 3
2 3
6 7 2
p
p p
⎛ + ⎞
≡ +
⎜ ⎟
⎜ + ⎟
6
p
3
3 3
6 3
30(2 7 )
3 1
p
p p
⎛ + ⎞
≡ +
⎜ ⎟
⎜ + ⎟
6
p
2 3 6 3
30 120
p
⎛ + ⎞ ⎛ +
≡ +
⎜ ⎟ ⎜
⎜ + ⎟ ⎜ +
⎝ ⎠ ⎝ 1
p ⎞
⎟⎟
⎠ (mod )
6
p
Trang 12TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Bailey, D.F (1990), “Two variations of Lucas’s theorem”, J Number Theory 35,
pp 208- 215
3
p
2 Dupare, H and Peremans, W (1955), “On theorem of Wolstenholme and
Leudesdodrf”, Pro Ned Akad Wet., 58, pp 459 – 465
3 Hardy, G and Wright, E (1954), An introduction to the theory of numbers (Third
Edition), Oxford, Clarendon Press
4 Koblitz N (1977), P-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zenta – Function, Springer
Veriag
5 Schikhof W H (1984), Ultrametric calculus, An introduction to p-adic analysis,
Cambridge University Press
6 Wolstenholme, J.(1862), “On certain properties of prime numbers”, Quart J Math.,
Oxford Series 5, pp 35- 39
7 Zhao, J (2006), “Bernoulli Numbers, Wolstenholme’s theorem, and variations of
Lucas’s theorem”, arxiv:math/0303332v3[math.N1]
5
p (Ngày Tòa soạn nhận được bài: 13-02-2012; ngày chấp nhận đăng: 24-4-2012)