Bài giảng Phương pháp tính: Hệ phương trình phi tuyến - Nguyễn Thị Cẩm Vân

Bài giảng Phương pháp tính: Hệ phương trình phi tuyến gồm 6 phần cung cấp cho người học các kiến thức: Phương pháp Gauss, phương pháp nhân tử LU, phương pháp Choleski, chuẩn của véctơ, chuẩn của ma trận, những phương pháp lặp. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trang 2

N ỘI DUNG BÀI HỌC

Trang 3

Trang 4

Trang 5

Trang 6

Trang 7

Trang 8

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trang 10

A−1 đôi khi còn khó khăn gấp nhiều lần

so với việc giải trực tiếp hệ phương trình (1) Do đó cần phải có phương pháp để giải hệ (1) hiệu quả.

Trang 11

1 Ta chỉ xét hệ gồm n phương trình vàn ẩn

số, trong đó A = (a i j ) ∈ M n (K )và d et A 6= 0.

Do đó hệ sẽ có nghiệm duy nhất

X = A−1B.

2 Tuy nhiên, việc tìm ma trận nghịch đảo

A−1 đôi khi còn khó khăn gấp nhiều lần

so với việc giải trực tiếp hệ phương trình (1) Do đó cần phải có phương pháp để

Trang 12

Phương pháp Gauss Hệ phương trình tương đương

S Ử DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG ĐỂ GIẢI HỆ

Trang 13

S Ử DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG ĐỂ GIẢI HỆ

Trang 14

Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1):

1 Đổi chỗ các phương trình của hệ

tương đương với hệ (1).

Trang 15

tương đương với hệ (1).

Trang 16

Trang 17

Trang 18

c i i 6= 0, i = 1, 2, , n.

Trang 19

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss

3 Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang.

4 Ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến x n sau đó x n−1 , , x1 ta được

1 nghiệm duy nhất.

Trang 20

Trang 21

Trang 22

Trang 23

Trang 25

Trang 27

Trang 29

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau

(x1, x2, x3, x4) = (2,1,5,−3)

Trang 30

(x1, x2, x3, x4) = (2,1,5,−3)

Trang 31

Trang 32

(x1, x2, x3, x4) = (2,1,5,−3)

Trang 33

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan

P HƯƠNG PHÁP G AUSS -J ORDAN

ĐỊNH NGHĨA 2.1

nhất , sao cho không cùng hàng và cột với những phần tử đã chọn trước.

Phương pháp Gauss-Jordan

1 Chọn phần tử trội để biến đổi cho tất cả các phần tử trên cùng cột của phần tử trội bằng không.

2 Qua n bước ta sẽ tìm được nghiệm.

Trang 34

P HƯƠNG PHÁP G AUSS -J ORDAN

ĐỊNH NGHĨA 2.1

nhất , sao cho không cùng hàng và cột với những phần tử đã chọn trước.

Phương pháp Gauss-Jordan

1 Chọn phần tử trội để biến đổi cho tất cả các phần tử trên cùng cột của phần tử trội bằng không.

2 Qua n bước ta sẽ tìm được nghiệm.

Trang 35

Trang 37

Chọn phần tử trội là a43= 4 Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp

Trang 38

Chọn phần tử trội là a43= 4 Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp

Trang 39

Chọn phần tử trội không được nằm trên hàng 4 và cột 3 là phần tử a24= −21 Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp

Trang 40

Chọn phần tử trội không được nằm trên hàng 4,2 và cột 3,4 là phần tử a32= 40 Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp

Trang 41

Chọn phần tử trội không được nằm trên hàng 4,2,3 và cột 3,4,2 là phần tử a11= −56.Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp

Trang 42

(x1, x2, x3, x4) = (−7,3,2,2)

Trang 43

Trang 44

(x1, x2, x3, x4) = (−7,3,2,2)

Trang 45

Phương pháp Gauss Bài tập

Trang 47

N HỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trang 49

Phương pháp nhân tử LU Nội dung phương pháp

N ỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

1 Nội dung của phương pháp nhân tử LU

là phân tích ma trận A thành tích của 2

ma trậnL vàU, trong đó L là ma trận tam giác dưới, cònU là ma trận tam giác trên.

2 Khi đó việc giải hệ (1) sẽ trở thành giải 2

hệ phương trình LY = B vàU X = Y

3 Có nhiều phương pháp phân tích A = LU ,

tuy nhiên ta thường xét trường hợp L có đường chéo chính bằng 1 và gọi là

phương pháp Doolittle.

Trang 50

Trang 51

hệ phương trình LY = B vàU X = Y

3 Có nhiều phương pháp phân tích A = LU ,

tuy nhiên ta thường xét trường hợpL có

Trang 53

Các phần tử của 2 ma trận L vàU được xác định theo công thức

Trang 54

Trang 56

Theo công thức nhân 2 ma trận L vàU ta có

1.u11+ 0.0 + 0.0 = a11 = 2 ⇒u11 = 2;

1.u12+ 0.u22 + 0.0 = a12 = 2 ⇒u12 = 2;

1.u13+ 0.u23 + 0.u33 = a13 = −3 ⇒u13 = −3

Trang 57

`31.u11+ `32.0 + 1.0 = a31⇒`31 = a31

u11 = 2

2= 1;

`31.u12+ `32 u22+ 1.0 = a32 ⇒`32 =1







Trang 59

Phương pháp nhân tử LU Bài tập

Trang 62

1.u12+ 0.u22 + 0.0 = a12 = 3 ⇒u12 = 3;

1.u13+ 0.u23 + 0.u33 = a13 = 3 ⇒u13 = 3

Trang 65

1.u11+ 0.0 + 0.0 = a11 = 2 ⇒u11 = 2;

1.u12+ 0.u22 + 0.0 = a12 = 1 ⇒u12 = 1;

1.u13+ 0.u23 + 0.u33 = a13 = 8 ⇒u13 = 8

Trang 66

4 = 66.75.

Trang 67

Phương pháp Choleski Ma trận xác định dương

Trang 68

Phương pháp Choleski Ma trận xác định dương

Trang 70

ĐỊNH LÝ 4.2

Cho ma trận vuông A là đối xứng và xác định dương Khi đó A = B.B T, với B là ma trận tam giác dưới (b i i > 0, i = 1 n) và được xác định như sau:

Trang 71

Phương pháp Choleski Phương pháp Choleski

Trang 73

Trang 76

Hệ phương trình viết lại dưới dạng ma trận







Trang 77

Hệ phương trình viết lại dưới dạng ma trận

Trang 78

VÍ DỤ 4.2

Tìm ma trận B trong phép phân tích Choleski của ma trận A =

0 −4

p 7 7

2 p 21 7







Trang 79

VÍ DỤ 4.2

Tìm ma trận B trong phép phân tích Choleski của ma trận A =

Trang 82

1 B =

Ã2.00 0

1 2.24

!

2 B =

Ã2.00 0

−1 2.24

!

3 B =

Ã2.00 0

0 2.28

!

4 B =

Ã2.00 0

−1 2.28

!

5 Các câu kia sai

Trang 83

Phương pháp Choleski Bài tập trắc nghiệm

Trang 87

Phương pháp Choleski Bài tập trắc nghiệm

Trang 88

Trang 89

ĐỊNH NGHĨA 5.1

Trong không gian tuyến tính thực Rn Chuẩn của véctơ X ∈ R n là một số thực , ký hiệu||X ||thỏa các điều kiện sau:

1 ∀X ∈ R n , ||X || Ê 0,||X || = 0 ⇔ X = 0

2 ∀X ∈ R n , ∀λ ∈ R,||λX || = |λ|.||X ||

3 ∀X , Y ∈ R n , ||X + Y || É ||X || + ||Y ||.

Trang 90

Chuẩn của véctơ, chuẩn của ma trận Chuẩn của véctơ

Trong Rn có rất nhiều chuẩn, tuy nhiên ta chỉ xét chủ yếu 2 chuẩn thường dùng sau:

Trang 91

Chuẩn của véctơ, chuẩn của ma trận Chuẩn của véctơ

Trang 92

Trang 93

C HUẨN CỦA MA TRẬN

ĐỊNH NGHĨA 5.2

véctơ được xác định theo công thức

Trang 95

Chuẩn của véctơ, chuẩn của ma trận Chuẩn của ma trận

Trang 98

Chuẩn của véctơ, chuẩn của ma trận Bài tập

Trang 100

N HỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trang 101

ĐỊNH LÝ 6.1

Để dãy các véctơ (X (m))∞m=0 hội tụ về véctơ X

khi m → +∞ thì điều kiện cần và đủ là những dãy (x k (m)) hội tụ về x k , ∀k = 1,2, ,n.(hội tụ theo tọa độ).

Trang 102

Xét hệ phương trình AX = B(det(A) 6= 0) có nghiệm x = A−1.B. Cho B một số gia∆B, khi

đó nghiệm X tương ứng sẽ có số gia∆X và

Trang 103

ĐỊNH NGHĨA 6.2

Số nhỏ nhất k(A) thỏa điều kiện

k(A) É Cond(A) = ||A||.||A−1|| được gọi là số

Số điều kiện k(A) của ma trận A thỏa

1 É k(A) É +∞

Trang 104

Những phương pháp lặp Sự không ổn định của hệ phương trình tuyến tính

Trong thực hành tính toán, ta có thể gặp những hệ phương trình tuyến tính mà những thay đổi nhỏ trên các hệ số tự do của hệ sẽ gây ra những thay đổi rất lớn về nghiệm Hệ phương trình tuyến tính như vậy được gọi là hệ phương trình không ổn định trong tính toán Nếu ngược lại, hệ được gọi là hệ phương trình ổn định trong tính toán

của ma trận đặc trưng cho tính ổn định của hệ phương trình tuyến tính Giá trịk(A)càng gần với 1

thì hệ càng ổn định Số điều kiệnk(A)càng lớn thì hệ càng mất ổn định.

Trang 105

Chú ý Người ta chứng minh được rằng, số điều kiện của ma trận đặc trưng cho tính ổn định của hệ

phương trình tuyến tính Giá trịk(A)càng gần với 1

thì hệ càng ổn định Số điều kiệnk(A)càng lớn thì hệ

Trang 106

Chú ý Người ta chứng minh được rằng, số điều kiện của ma trận đặc trưng cho tính ổn định của hệ

phương trình tuyến tính Giá trịk(A)càng gần với 1

thì hệ càng ổn định Số điều kiệnk(A)càng lớn thì hệ càng mất ổn định.

Trang 107

¶ Dễ dàng thấy được hệ có nghiệm

X =µ 11

¶ Bây giờ xét hệ A X = ee B với B =e

µ 3 3.1

¶

Nghiệm bây giờ của hệ là X =e µ −17

10

¶ Ta thấy

Trang 109

M at A x−1⇒ A−1=

Ã3 14

2 21

Trang 111

| − 4| + |5| + | − 4|}∗ max{| −11213 | + | −44819 | + | −44853 |,

| −283 | + | −11213 | + |1125 |, | −561 | + | −22423 | + | −22417 |}

= 17 ∗11231 ≈ 4.70535 ⇒Câu 3

Trang 112

Những phương pháp lặp là những phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính Để giải hệ (1) ta được nó về dạng

tương đương X = T X +C , với T là ma trận vuông cấp n vàC và 1 véctơ cột đã biết Xuất phát từ véctơ ban đầu X(0) ta xây dựng dãy

(X (m))∞m=0 theo công thức

X (m) = T X (m−1) +C , m = 1,2, (2)

Trang 113

ĐỊNH LÝ 6.2

Nếu ||T || < 1 thì dãy các véctơ (X (m))∞m=0 xác định theo công thức lặp (2) sẽ hội tụ về véctơ nghiệm X của hệ với mọi véctơ lặp ban đầu

X(0) Khi đó công thức đánh giá sai số là:

Trang 114

ĐỊNH NGHĨA 6.3

Ma trận A được gọi là ma trận đường chéo

Trang 115

Xét hệ phương trình (1) với A là ma trận đường chéo trội nghiêm ngặt Ta phân tích ma trận A theo dạng

Trang 116

Do a i i 6= 0, ∀i = 1, 2, , n nên d et D 6= 0. Như vậy

Trang 117

Ta có AX = B ⇔ (D − L −U )X = B ⇔ (D)X =

(L +U )X + B

⇔ X = D−1(L +U )X + D−1B.

Ký hiệu T j = D−1(L +U )vàC j = D−1B. Khi đó công thức lặp có dạng

X (m) = T j X (m−1) +C j, m = 1,2,

Trang 118

Dạng tường minh của công thức lặp Jacobi là

Thường thì ta chọn X(0)= C j

Trang 119

VÍ DỤ 6.2

Bằng phương pháp lặp Jacobi, tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình với sai số theo công thức hậu nghiệm nhỏ hơn 10−4,

Trang 120

Ta thấy |0.24| + | − 0.08| < |4|;

|0.09| + | − 0.15| < |3|; |0.04| + | − 0.08| < |4| nên

ma trận hệ số A của hệ là ma trận đường chéo trội nghiệm ngặt Do đó phương pháp lặp Jacobi luôn hội tụ Đưa hệ về dạng

X = T j X +C j

Trang 122



 tính X(1), X(2),

Trang 123

x(3), x(3), x(3)

Trang 125

||T j||∞= max

i =1,2,3

3P

j =1 |t i j| =max{|0| + | − 0.06| + |0.02|,| − 0.03| + |0| + |0.05|,

|−0.01|+|0.02|+|0|} = max{0.08; 0.08; 0.03} = 0.08Đánh giá sai số

Trang 126

2

Ã0.3860.174

!

3

Ã0.3880.172

!

4

Ã0.3900.170

!

Các câu kia sai.

Trang 128

Đưa hệ (1) về dạng tương đương X = T X +C

Chọn véctơ xấp xỉ ban đầu X(0) (thường thì

Trang 129

Đặt T g = (D − L)−1U ,C g = (D − L)−1B ta được công thức lặp Gauss-Seidel có dạng

X (m) = T g X (m−1) +C g, m = 1,2,

Trang 130

D ẠNG TƯỜNG MINH CỦA CÔNG THỨC LẶP

Trang 131

Phương pháp Gauss-Seidel có thể xem là 1 biến dạng của phương pháp lặp Jacobi, nhưng khác phương pháp Jacobi ở chỗ: khi tính thành phần thứ i của véctơ lặp X (m) thì

ta sử dụng ngay những thành phần

x1(m) , x2(m) , , x i −1 (m) vừa tính được

Trang 132

S Ự HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP G AUSS -S EIDEL

Điều kiện hội tụ của phương pháp Gauss-Seidel hoàn toàn giống với phương pháp Jacobi.

Công thức đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

Trang 133

VÍ DỤ 6.3

Bằng phương pháp lặp Gauss-Seidel, tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình với sai số theo công thức hậu nghiệm nhỏ hơn

Trang 134

Giải Ta thấy |0.24| + | − 0.08| < |4|;

|0.09| + | − 0.15| < |3|; |0.04| + | − 0.08| < |4| nên

ma trận hệ số A của hệ là ma trận đường chéo trội nghiệm ngặt Đưa hệ về dạng

Trang 136

x1(1)= c1 + t12 x2(0)+ t13 x3(0),

x2(1)= c2 + t21 x1(1)+ t23 x3(0),

x3(1)= c3 + t31 x1(1)+ t32 x2(1)

Trang 137

x(3), x(3), x(3)

Trang 139

Đánh giá sai số

||X(3)− X(2)||∞= max

i =1,2,3 |x i(3)− x i(2)| =max{| − 1.499.10−4|, |0.123.10−4|, |0.017.10−4|} =1.499 × 10−4

Trang 140

2

Ã0.7551.097

!

3

Ã0.7571.095

!

4

Ã0.7591.093

!

Các câu kia sai.

Trang 141

A = (5 + 6B) ÷ 15 : B = (5 + 5A) ÷ 8

CALC B=0.2 ( không nhập A ) Nhấn tiếp dấu ”=” cho tới nghiệm x(3)1 , x2(3)

Vậy x(3)=

Ã0.7551.096875

! ⇒ Câu 2

Trang 142

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE

Định dạng
Số trang	142
Dung lượng	1,19 MB