Bài giảng Phương pháp tính: Hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Hồng Lộc

Bài giảng Phương pháp tính: Hệ phương trình tuyến tính cung cấp cho người học các kiến thức: Phương pháp Gauss, phương pháp nhân tử LU, phương pháp Choleski, chuẩn của véctơ, chuẩn của ma trận, những phương pháp lặp. Mời các bạn cùng tham khảo.

(1)thường xuất hiện trong các bài toán kỹ thuật.

Ta chỉ xét hệ gồm n phương trình và n ẩn số,

khi còn khó khăn gấp nhiều lần so với việc giảitrực tiếp hệ phương trình (1) Do đó cần phải cóphương pháp để giải hệ (1) hiệu quả

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ

Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n phươngtrình và n ẩn

Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên

phương trình khác đã được nhân với một số

đương với hệ (1)

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

b2

d1

d2

cii 6= 0, i = 1, 2, , n

Phương pháp Gauss

đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc thang

bậc thang

duy nhất

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

954

945

Phương pháp Gauss-JordanĐịnh nghĩa

Phần tử trội là phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất,sao cho không cùng hàng và cột với những phần

tử đã chọn trước

Phương pháp Gauss-Jordan

phần tử trên cùng cột của phần tử trội bằngkhông

−20

−24

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan

−20

−92

−124

Chọn phần tử trội là a43 = 4 Thực hiện các phépbiến đổi sơ cấp

−20

−92

−124

Chọn phần tử trội không được nằm trên hàng 4 vàcột 3 là phần tử a24 = −21 Thực hiện các phépbiến đổi sơ cấp

40

−928

Chọn phần tử trội không được nằm trên hàng 4,2

và cột 3,4 là phần tử a32 = 40 Thực hiện cácphép biến đổi sơ cấp

392

−7288

Chọn phần tử trội không được nằm trên hàng4,2,3 và cột 3,4,2 là phần tử a11 = −56 Thựchiện các phép biến đổi sơ cấp

392

−336840560

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau

Những khái niệm cơ bản

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

ma trận tam giác dưới.

Nội dung phương pháp

Nội dung của phương pháp nhân tử LU là phântích ma trận A thành tích của 2 ma trận L và U,trong đó L là ma trận tam giác dưới, còn U là matrận tam giác trên

Khi đó việc giải hệ (1) sẽ trở thành giải 2 hệphương trình LY = B và UX = Y

Có nhiều phương pháp phân tích A = LU, tuynhiên ta thường xét trường hợp L có đường chéo

đó L và U có dạng

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Các phần tử của 2 ma trận L và U được xác địnhtheo công thức

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt



⇒ Y = L−1B =





93

−1





CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Định nghĩa

Định thức con chính cấp k của ma trận A là địnhthức có được từ ma trận con chính cấp k(ma trận

có được từ giao của k hàng đầu và k cột đầu của

2 2

3 5

2 2 3

3 5 2

Từ tính chất của tích ma trận tam giác dưới và

ma trận tam giác trên

Bài 3 Sử dụng phương pháp nhân tử LU giải hệphương trình

Định lý

Một ma trận vuông A đối xứng và xác định dương

có thể phân tích duy nhất được dưới dạng

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Các phần tử của ma trận B được xác định theocông thức

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Từ tính chất của tích ma trận tam giác dưới và

ma trận tam giác trên

 Với điều kiện nào

của α thì ma trận A đối xứng và xác định dương

Định nghĩa

véctơ X ∈ Rn là một số thực, ký hiệu ||X || thỏacác điều kiện sau:

, ||X + Y || 6 ||X || + ||Y ||

Trong Rn có rất nhiều chuẩn, tuy nhiên ta chỉ xétchủ yếu 2 chuẩn thường dùng sau:

Ví dụ

3 4

tương

x2

thỏa

Những khái niệm cơ bản

Định nghĩa

m → +∞ (hội tụ theo chuẩn)

Định lý

m → +∞ thì điều kiện cần và đủ là những dãy

tọa độ)

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Xét hệ phương trình AX = B(det(A) 6= 0) có

nghiệm X tương ứng sẽ có số gia ∆X và

Định nghĩa

điều kiện của ma trận A

3 17

−1 17

−19 17

11 17

2 17 33

17

−20 17

1 17





CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trong thực hành tính toán, ta có thể gặp những hệ phương trình tuyến tính mà những thay đổi nhỏ trên các

hệ số tự do của hệ sẽ gây ra những thay đổi rất lớn về nghiệm Hệ phương trình tuyến tính như vậy được gọi là

hệ phương trình không ổn định trong tính toán Nếu ngược lại, hệ được gọi là hệ phương trình ổn định trong tính toán

Chú ý Người ta chứng minh được rằng, số điều kiện của

ma trận đặc trưng cho tính ổn định của hệ phương trình tuyến tính Giá trị k(A) càng gần với 1 thì hệ càng ổn định Số điều kiện k(A) càng lớn thì hệ càng mất ổn định.

Ví dụ

Xét hệ phương trình AX = B với A =  1 2

1 2.01

 và

B =

 3 3.01

 Dễ dàng thấy được hệ có nghiệm

X =  1

1

 Bây giờ xét hệ A e X = e B với e B =

 3 3.1



Nghiệm bây giờ của hệ là e X =  −17

10

 Ta thấy

k∞(A) = 1207.01 >> 1 Do đó B ≈ e B nhưng X và e X khác nhau rất xa.

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Bài tập

.Tìm số điều kiệntheo chuẩn một của A

Giải A−1 =

24

1 12

−19 19



k1(A) = ||A||1||A−1||1 = 16.367 = 3.1111

2

7 −35643

Định lý

định theo công thức lặp (2) sẽ hội tụ về véctơ

Khi đó công thức đánh giá sai số như sau:

Phương pháp lặp Jacobi

Xét hệ phương trình AX = b Ta phân tích ma trận A theo dạng

Do aii 6= 0, ∀i = 1, 2, , n nên detD 6= 0 Nhưvậy

Nội dung phương pháp Jacobi

Ta có AX = B ⇔ (D − L − U)X = B ⇔(D)X = (L + U)X + B

công thức lặp có dạng

X(m) = TjX(m−1) + Cj, m = 1, 2,

Dạng tường minh của công thức lặp Jacobi là

Sử dụng phương pháp Jacobi,với vectơ lặp ban

và đánh giá sai số của nó theo công thức hậunghiệm,sử dụng chuẩn vô cùng

Bài tập

Bài 1 Bằng phương pháp lăp Jacobi, tìm nghiệm

Nội dung phương pháp Gauss-Seidel

Phân tích A = D − L − U,ta có:AX = B

Dạng tường minh của công thức lặp Gauss-Seidel

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Phương pháp Gauss-Seidel có thể xem là 1 biếndạng của phương pháp lặp Jacobi, nhưng khác

thứ i của véctơ lặp X(m) thì ta sử dụng ngaynhững thành phần x1(m), x2(m), , xi −1(m) vừa tínhđược

Định nghĩa

nghiêm ngặt nếu nó thỏa mãn điều kiện

Bài tập

thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng

Giải ||Tj||∞ = 13;

x(1) = [1013; 301 ]T;x(2) = [19592; 1952 ]T

∆x(2) = 1−||T||Tj||∞

j ||∞||x(2) − x(1)||∞ = 1−1/31/3 19558 =0.1488

Bài 2 Cho hệ phương trình

Bài 3 Cho hệ phương trình



công thức tiên nghiệm và chuẩn vô cùng

Bài 4 Cho hệ phương trình

Bài 5 Cho hệ phương trình

Trong thực hành tính tốn, ta gặp hệ phương trình tuyến tính mà thay đổi nhỏ các

hệ số tự hệ gây thay đổi lớn nghiệm Hệ phương trình tuyến tính gọi... class="page_container" data-page="75">

Bài Cho hệ phương trình< /p>Trang 76

Bài Cho hệ phương trình< /p>



cơng... class="page_container" data-page="77">

Bài Cho hệ phương trình< /p>Trang 78

Bài Cho hệ phương trình< /p>