Đơn vị đo lường của các biến và kết quả phân tích hồi quy quan hệ giữa các biến

Bài viết trình bày kỹ thuật phân tích hồi quy quan hệ giữa các biến không đề cập đến đơn vị đo lường của các biến; ảnh hưởng của đơn vị đo lường đến kết quả phân tích. Để nắm chi tiết nội dung nghiên cứu mời các bạn cùng tham khảo bài viết.

Thông tin Khoa học Thống kê số 5/2005 - Trang 19

Đơn vị đo lường của các biến

vμ kết quả phân tích hồi quy quan hệ giữa các biến

TS Đặng Quảng

Kỹ thuật phân tích hồi quy quan hệ

giữa các biến không đề cập đến đơn vị đo

lường của các biến Như vậy, phải chăng

đơn vị đo lường không có ảnh hưởng gì đến

kết quả phân tích? Bài viết này sẽ trả lời câu

hỏi đặt ra

Để cho đơn giản việc suy luận, xét

trường hợp hồi quy tuyến tính Có hai đặc

tính cần được nghiên cứu là X và Y Giả sử

hai đặc tính này có phân bố chuẩn hoặc gần

chuẩn Từ tổng thể rút ngẫu nhiên ra một

mẫu gồm n cá thể và thống kê lại giá trị hai

đặc tính X và Y cho từng cá thể Theo đơn vị

đo lường ban đầu được dùng, nhận được tập

hợp n cặp giá trị (xi0, yi0) i - số hiệu cá thể và

i=1,2,…n, còn 0 - đơn vị đo lường xuất phát

Dùng phương pháp bình phương tối thiểu,

các hệ số của đường hồi quy tuyến tính

0

yˆ = a0x0 + b0 được xác định như sau:

0 0

0 0 0 0

0

x x

y y x x

a

i

i i











 , b0 = y 0 a0x0

ở đây

n

x

0



 ;

n

y

0





Các trường hợp thay đổi đơn vị đo lường

1 Trường hợp 1: Chuyển đơn vị đo

lường của biến X từ x0 sang x với x = x0,

0 <  1 Còn đối với biến Y vẫn giữ nguyên

đơn vị đo lường xuất phát y0 Với đơn vị đo

lường mới (x, y0) các hệ số của đường hồi

quy mới yˆ  ax  bđược xác định như

sau:

0

0 0

x x

y y x x a

i

i i





















  

0 0 2

0 0 0

x x

y y x x i

i i















= 1a0



vậy a = 1a0

 , ở đây x0

n

x

x   i 



0 0 0

1

x a y x a y









   



y0 a0x0 b0

Vậy b = b0

0 0 0

1

b x a b

x a







   



a0x0b0 yˆ0

Vậy yˆ yˆ0

Tóm tắt tác động của việc thay đổi đơn

vị đo lường:

x0  x = x0 và y = y0

 yˆ0 yˆ  yˆ0

Như vậy, với trường hợp 1, số đo của biến Y được xác định ở đường hồi quy mới







 a x b

yˆ cũng giống như ở đường hồi quy xuất phát yˆ0 a0x0 b0 Điều này về mặt hình học có nghĩa rằng, đường hồi quy mới chính là kết quả tịnh tiến của đường hồi quy xuất phát dọc theo trục hoành của toạ

độ (x0, y0) với tỷ lệ tịnh tiến  Hãy xem hình

1 để minh hoạ những ý đã nói trên

<

Trang 20 - Thông tin Khoa học Thống kê số 5/2005

Hình 1

2 Trường hợp 2: Chuyển đơn vị đo

lường của biến Y từ y0 sang y với y = y0,

0 <  1 Còn đối với biến X vẫn giữ

nguyên đơn vị đo lường xuất phát x0 Với

đơn vị đo lường mới (x0, y) các hệ số của

đường hồi quy mới yˆ ax bđược xác

định như sau:

0 0

0 0

x x

y y x x

a

i

i i













  

0 0

0 0 0

x x

y y x x

i

i i











= a0,

ở đây y0

n

y

y  i 



Vậy a = a0

0 0

0 a x y

x a y

b       

( y0 a0x0)b0

Vậy b = b0

0 0 0

y       

0 0 0

(a x b y



Vậy yˆ yˆ0

Tóm tắt tác động của việc thay đổi đơn

vị đo lường:

x =x0 và y0  y = y0 và 

0

yˆ  yˆ yˆ0

Như vậy, với trường hợp 2, số đo của biến Y được xác định ở đường hồi quy mới







 a x b

yˆ bằng  lần so với ở đường hồi quy xuất phát yˆ0 a0x0 b0 Điều này về mặt hình học có nghĩa rằng, đường hồi quy mới chính là kết quả tịnh tiến của đường hồi quy xuất phát theo trục tung của toạ độ (x0,

y0) với tỷ lệ tịnh tiến  Hãy xem hình 2 minh hoạ những ý đã nói trên

Hình 2:

<

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6

x8

( <1) ( =1) ( >1)

x0

y0

0

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6

x8

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6

x8

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6

x8

( =1)

y0

( >1)

( <1)

x0

0

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6

x8

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6

x8

Thông tin Khoa học Thống kê số 5/2005 - Trang 21

3 Trường hợp 3: Đối với cả hai biến X

và Y, đơn vị đo lường xuất phát (x0, y0)

chuyển sang đơn vị đo lường mới (x, y) với

cùng tỷ lệ chuyển ; 0 <  1, tức là x0  x

= x0; y0y = y0 Với đơn vị đo lường mới

(x, y) các hệ số của đường hồi quy mới







yˆ được xác định như sau:



























x x

y y x x

a

i

i i

  

0 2

0 0 0

2

x x

y y x x i

i i















= a0,

ở đây x0

n

x

x  i 

n

y

y  i 



Vậy a = a0

0 0

y x a y

b        

( y0 a0x0)b0

Vậy b = b0

0 0

a b x a

yˆ        

( a0x0 b0)yˆ0

Vậy yˆ yˆ0

Tóm tắt tác động của việc thay đổi đơn

vị đo lường:

x0  x =x0 và y0  y = y0 và

 yˆ0 yˆ yˆ0

Như vậy, với trường hợp 3, số đo của biến Y được xác định ở đường hồi quy mới







 a x b

yˆ bằng  lần so với ở đường hồi quy xuất phát yˆ0 a0x0 b0 Điều này về mặt hình học có nghĩa rằng, đoạn hồi quy mới chính là kết quả tịnh tiến dọc theo đường hồi quy có chứa đoạn hồi quy xuất phát với

tỷ lệ tịnh tiến là  Hãy xem hình 3 để minh hoạ những ý đã nói trên

Hình 3

4 Trường hợp 4: Đối với cả hai biến X

và Y, đơn vị đo lường xuất phát (x0, y0) chuyển

sang đơn vị đo lường mới (x, y) với tỷ lệ

chuyển tương ứng ,  tức là x0 x = x0;

y0y = y0,    Với đơn vị đo lường mới

(x, y) các hệ số của đường hồi quy mới







y

ˆ được xác định như sau:



























x x

y y x x a

i

i i

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6

x8

( <1)

y0

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6 x8

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6 x8

x0

0

( =1)

( >1)

<

Trang 22 - Thông tin Khoa học Thống kê số 5/2005

  

0 2

0 0 0

x x

y y x x i

i i















=





a0, vậy a a0







0 0

y x a y













   



y0 a0x0 (y0 a0x0)b0

Vậy b = b0

0 0

a b

x a









   



a0x0 b0 ( a0x0 b0)yˆ0

Vậy yˆ yˆ0

Tóm tắt tác động của việc thay đổi đơn

vị đo lường:

x0  x = x0 và y0  y = y0 

0

yˆ  yˆ yˆ0

Như vậy, với trường hợp 4, số đo của biến Y được xác định ở đường hồi quy mới







yˆ bằng  lần so với ở đường hồi quy xuất phát yˆ0 a0x0 b0 Điều này

về mặt hình học có nghĩa rằng, đường hồi quy mới chính là kết quả tịnh tiến của

đường hồi quy xuất phát vừa dọc theo theo trục hoành vừa dọc theo theo trục tung của toạ độ (x0, y0) với tỷ lệ tịnh tiến tương ứng là

,  Hãy xem hình 4 để minh hoạ những ý

đã nói trên

Hình 4:

5 Kết luận chung: Với bốn trường hợp

đã xét, các đường hồi quy đều có cùng độ

nghiêng với đường hồi quy xuất phát Như

vậy về bản chất, đơn vị đo lường không có

ảnh hưởng gì đến kết quả phân tích hồi quy quan hệ giữa các biến

y0

x0

0

y0

x0

0

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6

x8

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6 x8

(<1, <1)

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6

x8

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6

x8

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6 x8

x5

x1

x3

x2

x4

x7

x6 x8

(>1, >1)

(<1, >1)

(=1, =1) (=1, =1)

(>1, <1)