Bài viết trình bày nghiên cứu về vấn đề sử dụng một số phần mềm toán học để hỗ trợ dạy Toán cao cấp (TCC) gắn với thực tiễn đào tạo nghề ở trường Đại học Công nghiệp (ĐHCN). Tác giả đã tiếp cận vấn đề bằng cách khai thác phần mềm Matlab và Maple trong giảng dạy Giải tích toán học cho sinh viên (SV) hai nhóm ngành điện và cơ khí ở trường ĐHCN Hà Nội.
Trang 1This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn
SỬ DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC HỖ TRỢ GIẢNG DẠY TOÁN CAO CẤP
CHO SINH VIÊN GẮN VỚI THỰC TIỄN ĐÀO TẠO NGHỀ
Ở TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
Lê Bá Phương
Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội
Tóm tắt Bài báo trình bày nghiên cứu về vấn đề sử dụng một số phần mềm toán học để hỗ
trợ dạy Toán cao cấp (TCC) gắn với thực tiễn đào tạo nghề ở trường Đại học Công nghiệp
(ĐHCN) Tác giả đã tiếp cận vấn đề bằng cách khai thác phần mềm Matlab và Maple trong
giảng dạy Giải tích toán học cho sinh viên (SV) hai nhóm ngành điện và cơ khí ở trường
ĐHCN Hà Nội Kết quả nghiên cứu thể hiện ở biện pháp và ví dụ minh họa việc sử dụng
Maple, Matlab giúp cho SV nắm vững và vận dụng vào giải quyết bài toán thực tiễn nghề
nghiệp.
Từ khóa: Sử dụng phần mềm toán học, giảng dạy Toán cao cấp, thực tiễn dạy nghề.
1 Mở đầu
Quan niệm học để làm, một trong bốn “cột trụ” của giáo dục (UNESCO, 1985) là sự khẳng
định chắc chắn của thế giới về mục tiêu tăng cường ứng dụng trong giảng dạy ở các bậc học
Về giáo dục đại học, Hội nghị quốc tế UNESCO (Paris, 5-8/7/2009) đã làm rõ hơn vai trò của giáo dục cũng như triết lí của đào tạo bậc đại học: Không những đào tạo cho SV có kiến thức vững chắc và biết vận dụng sáng tạo trong hoàn cảnh hiện thời và cả cho tương lai Trong đó, đặc biệt nhấn mạnh " Đào tạo tay nghề cao, những công dân có trách nhiệm chuyên nghiệp tùy theo nhu cầu hiện tại và tương lai của xã hội" [12]
Về giáo dục nghề nghiệp, ngày 29/11/2013, Ngân hàng Thế giới (WB) đã công bố báo cáo Phát triển Việt Nam 2014 với tựa đề “Phát triển kĩ năng: Xây dựng lực lượng lao động cho một nền kinh tế thị trường hiện đại ở Việt Nam", trong đó đưa ra kế hoạch thực hiện "phát triển kĩ năng
kĩ thuật phù hợp với công việc thông qua một hệ thống được kết nối tốt hơn giữa người sử dụng lao động với SV, các trường đại học và các trường dạy nghề" [11]
Như vậy, giáo dục toán học gắn với thực tiễn đã được các nhà giáo dục trên thế giới quan tâm nghiên cứu theo hướng hình thành và phát triển năng lực vận dụng vào thực tế; ngay từ bậc học phổ thông - đối với lứa tuổi đang trưởng thành [9], đến bậc học đại học [12] và đào tạo nghề [11]
- Ở Việt Nam, ngay từ rất sớm, trong cuốn sách "Giáo dục học môn Toán" (1981), các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình đã nhìn nhận việc dạy và học môn Toán ở các bậc học không chỉ thuần túy như một môn học, mà còn thể hiện yêu cầu và kết quả - xem như một trong những yếu tố văn hóa mà mỗi con người cần có để vận dụng trong thực tiễn cuộc sống Ngày nhận bài: 15/7/2015 Ngày nhận đăng: 10/10/2015.
Liên hệ: Lê Bá Phương, e-mail: lebaphuong70@gmail.com
Trang 2- Vấn đề dạy học Toán gắn với ứng dụng của toán học đã được đưa vào giáo trình Lí luận Dạy học Toán để đào tạo giáo viên (GV), điển hình là trong Giáo trình Phương pháp dạy học môn toán [4], tác giả Nguyễn Bá Kim (2015) đã chỉ rõ:
+ Tính trừu tượng cao độ của toán học chỉ che lấp chứ không hề làm mất tính thực tiễn của Toán học Ngược lại, tính trừu tượng cao độ làm cho Toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực rất khác nhau của đời sống
+ "Tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng và ứng dụng Toán học" là một trong bốn tư tưởng cơ bản của dạy học Toán, góp phần thực hiện lí luận liên hệ với thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà trường gắn liền với đời sống Đồng thời, tác giả cũng chỉ ra con đường và quy trình ứng dụng thực tế của Toán học, gồm ba bước:
Bước 1: Toán học hóa tình huống thực tế;
Bước 2: Dùng công cụ toán học để giải quyết bài toán trong mô hình toán học;
Bước 3: Chuyển kết quả trong mô hình toán học sang lời giải của bài toán thực tế
- Về khai thác ứng dụng phương tiện dạy học, đặc biệt là máy tính và phần mềm, đã có nhiều tác giả nghiên cứu và triển khai (Phạm Huy Điển [2], Phạm Minh Hoàng [3], Đào Thái Lai [5], Trần Vui [10], ) Trong đó, có thể thấy việc khai thác máy tính với phần mềm phù hợp có khả năng làm sáng tỏ các kiến thức toán học phức tạp bằng những minh hoạ trực quan hoàn hảo, từ đó tạo điều kiện để người học nắm vững và vận dụng công cụ này vào thực tế
- Với đào tạo đại học ngành kĩ thuật, Đỗ Văn Dũng và các tác giả trong bài viết Đa phương tiện trong dạy học tích cực môn học "Nhập môn ngành Công nghệ kĩ thuật ô tô" [1, trang 120-125]
đã áp dụng quy trình bốn bước dạy học đối với SV như sau:
1 Dẫn dắt SV vào vấn đề cần học tập;
2 Hướng dẫn và tổ chức cho SV tìm kiếm và thảo luận nhóm;
3 Hoạt động làm báo cáo;
4 Hoạt động thuyết trình;
Trong đó, ở hai bước 1 và 2, máy tính và phần mềm có thể trợ giúp khá hiệu quả đối với SV khi học và sử dụng TCC vận dụng vào thực tiễn học nghề ở trường ĐHCN
Với đặc thù đào tạo nghề ở trường ĐHCN, môn TCC không chỉ dừng ở chỗ cho SV hiểu biết Toán học mà quan trọng là tập dượt cho họ khả năng vận dụng vào giải quyết những bài toán xuất phát từ thực tiễn ngành nghề được đào tạo
Nghiên cứu vấn đề này, chúng tôi đã có những kết quả bước đầu về cơ sở lí luận và thực tiễn, từ đó đề xuất giải pháp (định hướng, quy trình, nội dung và biện pháp) dạy học TCC ở trường ĐHCN [6-8]
Trong phạm vi bài viết này, chúng tôi trình bày một kết quả nghiên cứu việc dạy học TCC gắn với thực tiễn đào tạo nghề thông qua khai thác hai phần mềm Matlab và Maple hỗ trợ giảng dạy giải tích toán học ứng dụng vào một số bài toán có nội dung nghề nghiệp (điện, cơ khí) cho
SV trường ĐHCN Hà Nội
2 Nội dung nghiên cứu
2.1 Sử dụng các phần mềm Matlab và Maple hỗ trợ giảng dạy Giải tích toán học gắn với thực tiễn đào tạo nghề cơ khí và nghề điện ở trường ĐHCN
Với những chức năng và ưu thế của các phần mềm Matlab và Maple, GV và SV trường ĐHCN có thể khai thác để hỗ trợ những hoạt động dạy và học TCC sau:
Trang 3- Minh họa trực quan các khái niệm, tính chất toán học phức tạp;
- Kiểm tra, dự đoán kết quả, từ đó xác định hướng giải bài toán;
- Xây dựng hệ thống câu hỏi, bài toán cùng loại một cách nhanh chóng, chính xác;
- Vẽ các hình trong không gian (đường, mặt, khối, vật thể, ) để biểu diễn - mô hình hóa đối tượng trong bài toán thực tế nghề nghiệp
Trong giảng dạy Giải tích toán học cho SV ngành cơ khí chế tạo, ngành điện tử, việc sử dụng máy tính cùng với những phần mềm toán học như Matlab, Maple, có khả năng trợ giúp vẽ các đường, mặt cong, khối vật thể, trong không gian một cách chính xác, trực quan Nhờ vậy, khi học khái niệm tích phân và ứng dụng, SV có thể mô hình hóa, sơ đồ hóa tình huống thực tiễn, giúp quan sát một cách trực quan từ nhiều góc độ, dễ dàng nhận ra nhiều thuộc tính, quan hệ của chúng, Khi dạy ứng dụng của phương trình vi phân, GV có thể giúp cho SV trong việc mô hình hóa bài toán thực tiễn, minh họa trực quan các đường cong, mặt cong phức tạp trong không gian
và thể hiện kết quả dưới dạng con số, hình ảnh và đồ thị
Như vậy, với quan điểm không chỉ dùng Matlab và Maple chứng minh cho việc ứng dụng toán học, chúng tôi đã sử dụng các phần mềm này trong giảng dạy Giải tích toán học để giúp cho
SV hiểu rõ, nắm vững hơn kiến thức và phương pháp toán học, đồng thời tăng cường cơ hội và khả năng vận dụng công cụ toán học vào thực tiễn nghề nghiệp của mình Từ đó góp phần tạo ra
ý thức, thói quen và khả năng vận dụng Toán học vào thực tiễn học nghề cho SV trường ĐHCN
Hà Nội
2.2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích vật thể
Khi dạy ứng dụng "tích phân hai lớp" để tính diện tích, thể tích vật thể ở những bài toán nghề nghiệp, GV sử dụng phần mềm Maple để hỗ trợ một số hoạt động sau đây, thông qua đó, SV không chỉ hiểu rõ nguồn gốc, sự cần thiết của công cụ tích phân, mà còn nắm vững bản chất toán học, ưu thế và nhất là thấy rõ những tình huống thực tế có thể sử dụng tích phân làm công cụ tính toán diện tích, thể tích
Cách thức tiến hành như sau:
+ GV đưa ra bài toán: Cho một khối chất rắn có dạng hình trụ nằm trên hình vuông R có kích thước [0, 2] × [0, 2] và dưới mặt paraboloid z = 16 − x2− 2y2, đường sinh của hình trụ song song với Oz Tính thể tích V của khối chất rắn
+ GV: Dùng Matlab để mô phỏng khối chất rắn và hướng dẫn SV thực hiện việc tính thể tích: Chia R thành 4 hình vuông và diện tích của mỗi hình vuông là ∆S = 1; qua biên của 4 hình vuông ấy dựng 4 hình hộp chữ nhật Trong mỗi hình vuông Rij ta chọn điểm lấy mẫu để tính thể tích hình hộp chữ nhật tương ứng là các điểm (xij, yij) nằm ở góc trên bên phải (hình 1) + GV: yêu cầu SV tính tổng thể tích của bốn hình hộp chữ nhật
Vn= P2
i=1
2 P j=1
f (xij, yij)∆S = f (1, 1).1 + f (1, 2).1 + f (2, 1).1 + f (2, 2).1 = 34 + GV: Bây giờ ta chia R lần lượt thành 16; 64; 256 hình vuông, tức ta tăng m và n (m là số chia đoạn [0, 2] trên Ox, n là số chia đoạn [0, 2] trên Oy) và làm tương tự như trên ta sẽ có các hình ảnh (hình 2) GV cho SV nhận xét
SV: Nếu tăng số lượng hình vuông, tức tăng số lượng hình hộp chữ nhật thì tổng thể tích của các khối hộp chữ nhật đó sẽ xấp sỉ bằng thể tích của khối chất rắn đã cho (Vn≈ V )
Trang 4Hình 1
Hình 2
+ GV: Khi tăng m và n lên thì sự sai khác giữa V và Vncàng nhỏ Do đó thể tích V của khối chất rắn đã cho được coi là giới hạn của Vnkhi m, n → ∞ Yêu cầu SV tính thể tích V :
V = lim m,n→∞Vn= lim
m,n→∞f (xij, yij)∆S = 48 + GV: Bây giờ ta xét bài toán tổng quát: Cho S là một vật thể hình trụ nằm trên hình chữ nhật R = [a, b] × [c, d] ở trong mặt phẳng Oxy và dưới mặt cong có phương trình z = f(x, y), mặt bên là mặt trụ có đường sinh song song với Oz và tựa trên biên của R (hình 3)
Hình 3
Giả thiết rằng hàm z = f (x, y) xác định, liên tục
và không âm trên miền R, tính thể tích V của vật thể S
+ GV: Yêu cầu SV tính ra nháp, sau đó GV hướng
dẫn dùng Matlab để diễn giải và chính xác hóa lời giải
cho SV
Đầu tiên, chia hình chữ nhật R thành các hình
chữ nhật nhỏ Chúng ta thực hiện điều này bằng cách
chia đoạn [a, b] thành m đoạn con [xi−1, xi] cùng độ dài
∆x = (b − a)/m và chia đoạn [c, d] thành n đoạn con
cùng độ dài ∆y = (d − c)/n Bằng cách vẽ các đường
thẳng song song với các trục tọa độ đi qua các mút của
các đoạn con, ta có dạng của các hình chữ nhật nhỏ
Rij = [xi−1, xi] × [yj−1, yj], tất cả có cùng diện tích
∆S = ∆x∆y (hình 4)
Trang 5Hình 4
Nếu trên mỗi Rij ta chọn một điểm
ngẫu nhiên
x∗
ij, y∗
ij
thì chúng ta có thể xấp
xỉ phần của S nằm trên mỗi Rijbởi một khối
hộp chữ nhật với đáy là Rij và chiều cao là
f
x∗
ij, y∗
ij
(hình 5) Thể tích hình hộp này
bằng chiều cao của nó nhân với diện tích
đáy fx∗
ij, y∗
ij
∆S Nếu ta làm như thế cho tất cả hình chữ nhật và cộng các thể tích của
các hình hộp tương ứng, ta nhận được giá trị
xấp xỉ với thể tích của S:
V ≈ Pm i=1
n P j=1
f
x∗
ij, y∗ ij
∆S (hình 6)
Tổng kép này có nghĩa là với mỗi hình chữ nhật con, chúng ta tính giá trị của f tại điểm đã chọn rồi nhân với diện tích của hình chữ nhật con, rồi cộng vào kết quả
Bằng trực giác ta thấy rằng, xấp xỉ trên trở nên tốt hơn khi m và n càng lớn và vì vậy
V = lim
m,n→∞
m
P
i=1
n P j=1
f
x∗
ij, y∗ ij
∆S Nếu tồn tại giới hạn lim
m,n→∞
m P i=1
n P j=1
f
x∗
ij, y∗ ij
∆S, thì giới hạn ấy được gọi là tích phân hai lớp của hàm z = f (x, y) trong miền R, kí hiệu làRR
R
f (x, y)dxdy Như vậy
RR R
f (x, y)dxdy = lim
m,n→∞
m P i=1
n P j=1
f
x∗
ij, y∗ ij
∆S,
và f (x, y) gọi là hàm số dưới dấu tích phân; x, y gọi là các biến số tích phân; R gọi là miền lấy tích phân
Ví dụ 2: Ứng dụng phương trình vi phân phân tích mạch điện
Khi dạy ứng dụng của phương trình vi phân để giải bài toán phân tích mạnh điện (đối với nghề điện), GV và SV sử dụng phần mềm Matlab, Maple để hỗ trợ giải và biểu diễn nghiệm của phương trình vi phân (đặc biệt là khi cần tính toán, biểu diễn phức tạp) Nhờ vậy, SV nắm vững công cụ toán học, biết cách khai thác phần mềm để hỗ trợ giải những bài toán nghề nghiệp Cách thức tiến hành như sau:
Trang 6Hình 7
+ GV đưa ra bài toán: Cho mạch điện như hình vẽ
(hình 7) Hỏi điện áp vc trên tụ điện trong mạch thay đổi
như thế nào nếu: R = 0, 5; C = 1; V (t) = sin 2πt
+ Hướng dẫn SV giải bài toán:
Theo kiến thức chuyên ngành, điện áp vc trên tụ
điện trong mạch được xác định bởi phương trình vi phân
sau: v′
c = V (t) − vc
RC Với R là điện trở, C là điện dung,
V(t) là nguồn điện áp đầu vào
Thay số, ta có v′
c = −2vc+ 2 sin 2πt Giải phương trình vi phân này (dùng Maple) ta thu được nghiệm vc = e−2tR
2e2tsin (2πt) dt
Hình 8
Hình 9
Từ nghiệm này ta thấy rằng nghiệm có sự dao
động, song không dễ để dự đoán được nghiệm dao động
như thế nào, tức không dễ để dự đoán được điện áp vc
thay đổi như thế nào nếu nguồn V (t) tuần hoàn theo chu
kì thời gian Lưu ý rằng, nguồn điện áp V (t) = sin 2πt
dao động trong khoảng từ −1 đến 1 trên mỗi một đơn
vị thời gian, đồ thị của hàm điện áp đầu vào V (t) =
sin(2πt) (hình 8)
Chú ý rằng: Về mặt ý nghĩa hình học thì mỗi
nghiệm của phương trình vi phân sẽ xác định một đường
cong, gọi là đường cong tích phân của phương trình Và
thực chất việc giải phương trình vi phân chính là tìm tất
cả các đường cong tích phân của nó Tuy nhiên, việc biểu
diễn hàm vcbằng hình ảnh không hề dễ dàng, vì vậy cần
đến sự hỗ trợ của Maple
Dùng Maple ta vẽ ngay được đồ thị của vc =
e−2tR
2e2tsin (2πt) dt (hình 9) Từ đó dễ dàng quan sát
và dự đoán sự thay đổi điện áp vc Trên đồ thị này, ta thấy
rằng nghiệm (các đường cong tích phân) có sự dao động, chúng tiến lại gần nhau và xấp xỉ với một nghiệm đơn duy nhất Điều này về mặt kĩ thuật điện có nghĩa là điện áp vctrên tụ điện sẽ dần ổn định trong khoảng thời gian đủ dài
Ví dụ 3: Ứng dụng đường cong Lissajous nghiên cứu quỹ đạo chuyển động của con lắc
Dạy ứng dụng Giải tích trong giải bài toán thực hành chế tạo cơ khí, GV và SV sử dụng Matlab vẽ những đường cong thường gặp, cho dưới dạng tham số Ở ví dụ này là đường cong Lissajous biểu diễn quỹ đạo dao động của con lắc Nhờ hiểu bản chất toán học, cùng với việc sử dụng chức năng vẽ đường cong cho dưới dạng tham số của Matlab mà SV có thể dễ dàng vẽ chúng với tất cả các trường hợp cụ thể, từ đó hình dung trực quan các quỹ đạo chuyển động của con lắc,
áp dụng hiệu quả trong thiết kế cơ khí
Cách thức tiến hành như sau:
+ GV đưa ra bài toán: Cho một con lắc di động qua lại, quỹ đạo sinh ra được gọi là “đường cong Lissajous” và phương trình tham số của quỹ đạo này là
(
x = cos nt
y = sin t , với n là hằng số. Hãy biểu diễn quỹ đạo chuyển động của con lắc khi n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Từ đó hãy nhận xét quỹ
Trang 7đạo có tính chất như thế nào khi n là một số lẻ và khi n là một số chẵn?
+ GV hướng dẫn SV dùng phần mềm Matlab để vẽ từng đường cong khi n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Quan sát các hình ảnh, ta thấy rằng khi n chẵn thì đồ thị “Lissajous” là đường cong không kín, khi n lẻ thì đồ thị “Lissajous” là đường cong kín (hình 10)
Hình 10
Trong cả 2 trường hợp thì đồ thị đều đối xứng qua trục Ox Nhưng khi lẻ thì nó có dạng hình “đồng hồ cát”, nhận cả Ox và Oy làm trục đối xứng, và có tâm đối xứng là O(0, 0) Đặc biệt, khi n = 1 thì đồ thị “Lissajous” là đường tròn đơn vị tâm (0, 0) bán kính 1
Ví dụ 4: Ứng dụng đường thân khai của đường tròn trong chế tạo con lắc đồng hồ và bánh răng khớp nối
Tương tự như trên, khi dạy ứng dụng Giải tích để giải bài toán thực tiễn nghề nghiệp, GV
và SV sử dụng Matlab vẽ đường thân khai của đường tròn biểu diễn một số tình huống trong thực hành thiết kế chế tạo con lắc đồng hồ và các bánh răng khớp nối trong cơ khí Điều đó rất có ý nghĩa khi kĩ sư cần phải lựa chọn phương án thiết kế tối ưu, thể hiện ở ý nghĩa thực tiễn sau: Đường thân khai của một đường tròn được nghiên cứu bởi Huygens khi ông tìm cách chế tạo ra những chiếc đồng hồ chính xác Huyghens phát minh ra bộ phận đáng chú ý là cái hồi - giúp điều chỉnh tốc độ của đồng hồ Ông cũng chế tạo ra các má cycloid giúp hệ thống treo quả lắc hoạt động hiệu quả hơn, đảm bảo cho chuyển động đều của quả lắc bất chấp biên độ lớn của dao động Nhờ việc phát minh ra con lắc và những định luật chuyển động của con lắc, đồng hồ đã trở thành đối tượng nghiên cứu và là điểm xuất phát của nhiều bộ phận máy móc cơ khí
Một ứng dụng nổi tiếng khác của đường thân khai là chế tạo các bánh răng thân khai, điều này giúp cho các bánh răng đạt được độ ăn khớp tốt nhất (hình 11) Người đầu tiên đề xuất ý tưởng này là nhà toán học lỗi lạc Leonhard Euler (1707 - 1783) Ngày nay, người ta đã tìm ra nhiều loại bánh răng mới, như bánh răng Novikov, (thật ra bánh răng chỉ cần thõa mãn định lí ăn khớp trong kĩ thuật thì trên lí thuyết đã có thể sử dụng) Tuy nhiên, bánh răng thân khai vẫn được sử dụng phổ biến do độ bền, hiệu suất cao và dễ chế tạo
Trang 8Hình 11
Cách thức tiến hành như sau:
+ GV đưa ra bài toán 1: Một sợi dây kim loại (có đàn hồi) quấn quanh một lõi cứng hình tròn Khi sợi dây được tháo ra, quỹ đạo điểm cuối của sợi dây tạo thành một đường gọi là đường thân khai của đường tròn giả sử lõi hình tròn có bán kính 1 chứng minh, khi đó phương trình tham
số của đường thân khai này là
(
x = cos t + t sin t
y = sin t − t cos t Trong đó là số đo (tính theo radian) của góc tạo bởi phần dương trục với bán kính đi qua điểm tiếp tuyến của sợi dây với hình tròn
Hình 12
Hình 13
a) Sử dụng chương trình đồ họa để chắc chắn rằng
các phương trình tham số trên cho ta đồ thị giống với
hình đã cho
b) Chứng tỏ rằng giá trị dy
dx tại t = π tính theo công thức phù hợp với đồ thị biểu diễn
+ GV hướng dẫn SV sử dụng Matlab để vẽ, ta có
hình 12 (đồ thị là đường màu xanh dương):
Ta có dx
dt = t cos t,
dy
dt = t sin t
⇒ dy
dx =
dy/dt
dx/dt
= tan t Với t = π thì dy
dx = tan π = 0 Tức là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm y(x) tại t = π bằng 0 Dựa
vào hình vẽ (hình 13), ta thấy tiếp tuyến này nằm ngang
(đường thẳng trên cùng màu tím)
+ GV đưa ra bài toán 2: Hình 14 biểu thị một hình
lò xo Hãy viết phương trình tham số cho đường lò xo
trên Sau đó dùng Matlab để vẽ đồ thị và kiểm tra lại
xem có đúng với hình ảnh đã cho hay không Từ đó tìm các điểm (x; y) của đồ thị mà tại đó tiếp tuyến có phương thẳng đứng hoặc nằm ngang, hoặc tại những điểm mà đồ thị cắt chính nó
- Hướng dẫn SV sử dụng kiến thức chuyên ngành và Giải tích toán học, ta có phương trình tham số cần tìm là
x(t) = t + 1
2sin 2πt y(t) = 3 + 2 cos 2πt
Trang 9Hình 14 Hình 15
- Sau đó dùng Matlab vẽ đường có phương trình tham số trên ta được đồ thị này (hình 15) giống với đường lò xo đã cho (hình 14)
- Bằng công cụ Giải tích cùng với quan sát hình vẽ, ta thấy:
+ Tại những điểm mà đồ thị có phương thẳng đứng thì dx
dt = 0 ⇔ 1 + π cos 2πt = 0
⇒ t = 1
2π arccos
−1 π
+ k, k ∈ Z Từ đó các điểm mà đồ thị có phương thẳng đứng là (x; y) =
1 2πarccos(−π1) + k + 1
2πsin arc cos(−π1); 3 − 2π
, k ∈ Z + Tại những điểm đồ thị có phương nằm ngang thì dy
dt = 0 ⇔ −4π sin 2πt = 0 ⇒ t = k2
Từ đó các điểm mà đồ thị có phương nằm ngang là (x; y) =
k
2; 3 + 2(−1)k
, k ∈ Z + Dựa vào đồ thị, ta thấy các điểm mà đồ thị cắt chính nó có hoành độ x = 1
2 + k , k ∈ Z,
từ đó thay vào phương trình của x ta được 1
2 + k = t +
1
2sin 2πt.
Hình 16
+ Với mỗi giá trị k, dùng khảo sát hàm số, ta
chứng tỏ được rằng phương trình trên có 3 nghiệm phân
biệt Hình bên dưới minh họa cho trường hợp k = 0
+ Phương trình trên có nghiệm t = 1
2 + k ứng với điểm thấp nhất của đồ thị nên ta loại điểm này (chú ý
rằng theo đồ thị, điểm đồ thị đi qua hai lần phải là điểm
nằm giữa) Do vậy, ta chỉ cần tìm một nghiệm phương
trình khác với (1
2+ k).
+ Quan sát thấy các điểm đồ thị qua hai lần có thể
thu được bằng cách tịnh tiến một điểm bất kì trong các
điểm đó qua phải hoặc trái một đơn vị (hình 16) Như
vậy ta chỉ cần tìm nghiệm ứng với trường hợp k = 0 rồi
tịnh tiến các điểm đó Dùng máy tính ta tính được một nghiệm khác là t ≈ 0.132 Từ đó suy ra tập điểm cần tìm là (x; y) =
1
2+ l; 4.353
, l ∈ Z
Ví dụ 5: Ứng dụng đường cong Cycloid trong thực hành thiết kế chế tạo cơ khí
Trong nhiều chuyển động cơ học có quỹ đạo tròn, đường cong Cycloid xuất hiện khá nhiều
Trang 10Chẳng hạn, chuyển động của một điểm trên vành bánh xe khi xe đang chạy, hay chuyển động của quả tạ khi một vận động viên ném tạ xích khi tạ đang bay (vẫn quy ước nếu đường ném của anh ta
là đường thẳng), chuyển động của một chấm nhỏ trên trái bóng tròn khi nó đang lăn (lưu ý ở đây chỉ tính khi nó lăn chứ không trượt), chuyển động của một chấm nhỏ trên cuộn len khi nó đang lăn (không trượt) Khi đó, về mặt toán học, đường cong được vạch ra bởi điểm P nằm trên một đường tròn, hay còn gọi là đường biên của một hình tròn khi hình tròn ấy lăn trên một đường thẳng, được gọi là một đường cong Cycloid (hình 17)
Hình 17
Cách thức tiến hành như sau:
+ GV đưa ra bài toán: Giả sử hình tròn này có bán kính r và lăn trên trục x Đặt một vị trí của P làm điểm gốc, hãy tìm phương trình tham số cho đường cong Cycloid này
Hình 18
+ GV: Chọn θ là tham số để chỉ góc quay của
đường tròn (với θ = 0 khi P đang ở vị trí điểm gốc)
Đặt tọa độ của P là P (x, y) Để có được phương trình
tham số cho đường Cycloid này ta quy về việc biểu diễn
x và y theo θ (hình 18)
- Giả sử đường tròn này đã quay một góc có giá
trị θ radian Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng, nên
khoảng cách mà nó đã lăn được từ vị trí điểm gốc là:
|OT | = arcP T = rθ Do đó, tâm của đường tròn là
C (rθ, r)
- Mặt khác, ta có: x = |OT | − |P Q| = rθ −
r sin θ = r(θ − sin θ)
y = |T C| − |QC| = r − r cos θ = r(1 − cos θ)
Do đó, phương trình tham số của đường Cycloid là
(
x = r(q − sin q)
y = r(1 − cos q) với q ∈ R Mỗi cung của đường Cycloid bắt nguồn từ việc quay một vòng tròn và được mô tả bởi góc quay θ với 0 ≤ θ ≤ 2π Mặc dù những phương trình tham số ở trên thu được từ việc xem xét trường hợp0 ≤ θ ≤ π/2 , nhưng chúng vẫn còn đúng với các giá trị góc quay θ khác (hình 19)
Hình 19
+ GV: Như vậy, khi viết được phương trình tham số của đường Cycloid, ta có thể ứng dụng vào thực tiễn như thế nào?