Bài giảng Toán 2 - Chương 4: Hạng của một ma trận & ma trận nghịch đảo cung cấp cho người học các kiến thức: Các phép biến đổi sơ cấp trên một ma trận, định nghĩa ma trận bậc thang, định nghĩa hạng của một ma trận, ma trận nghịch đảo.
Trang 1CHƯƠNG 4:
HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN
& MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Trang 2Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A Mmxn(K)
là phép biến đổi có một trong các dạng sau:
Trang 31 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN (tt)
Ký hiệu: A → B để chỉ ma trận B nhận đƣợc từ ma trận
A sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên A
Ví dụ:
12 10
8
9 8
7
3 2
1
6 5
4
9 8
7
3 2
1
9 8
7
6 5
4
3 2
1
3 3
3
h
A
Trang 4Cho ma trận A Mmxn(K)
Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu như:
a/ Các hàng khác không (có ít nhất một phần tử nằm trên hàng nào đó khác không) nằm trên các hàng
bằng không.
b/ Với hai hàng khác không, phần tử khác không
đầu tiên ở hàng dưới luôn nằm bên phải cột chứa
phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên.
Trang 52 ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt)
Ví dụ:
1 2
0 0
0
4 1
3 0
0
3 4
0 1
2 A
0 0
0 0
0
3 0
0 0
0
6 4
1 0
0
5 4
3 2
Trang 65 2
1 1
0
4 1
0 2
1
6 3
1 0
0
6 3
1 0
0
5 2
1 1
0
4 1
0 2
1
1 5
2 1
0
6 3
1 0
0
5 2
1 1
0
4 1
0 2
1
1 5
2 1
0
5 2
1 1
0
6 3
1 0
0
11 2
2 5
3
5 2
1 1
0
2 1
1 4
2
3 4
4
2 4 4 3
2
1 4 4
1 2
2
3 2
h h
h
h h h h
h
h h
h
h h
h
A
Trang 73 ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN
a/ Định nghĩa:
Cho ma trận A Mmxn(K) Ta nói ma trận A có hạng
bằng p (ký hiệu là r(A) = p) nếu nhƣ A chứa một ma
trận con cấp p có định thức khác không, còn mọi định thức con cấp p+1 đều bằng không
Nói một cách khác, hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của nó
* Ta quy ƣớc ma trận 0 có hạng bằng 0
Trang 93 ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt)
b/ Hạng của ma trận có các tính chất sau (tt):
Nếu A → B (Ma trận B nhận đƣợc từ A qua một số
hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp)
Khi đó: r(A) = r(B)
Nếu A Mn(K) thì:
+ r(A) = n detA ≠ 0+ r(A) < n detA = 0
Trang 10c/ Định lý:
Cho A Mmxn(K) là một ma trận bậc thang có p hàng khác không
Khi đó: r(A) = p
Nhận xét:
Từ định lý này ta thấy, để tìm hạng của một ma trận, thì ta biến đổi sơ cấp trên ma trận đã cho để đƣa nó về dạng bậc thang Khi đó ta dễ dàng suy ra hạng của ma trận
Trang 113 ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt)
Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận
0 0
0
0 0
0
0 0
0
2 1
0
5 4
1
10 5
0
10 5
0
22 11
0
2 1
0
5 4
1
10 5
0
10 5
0
22 11
0
4 2
0
5 4
1
0 3
2
10 5
0
7 1
3
4 2
0
5 4
1
2 5
5
2 4
4
2 3
3 2
2
1 5
5
1 3
3
5 5 11
2 1
2 3
h h
h
h h
h
h h
h h
h
h h
h
h h
h
A
r(A) = 2
Trang 12Ví dụ 2: Tìm hạng của ma trận sau theo tham số a
a 6
5 4
6 5
4 3
5 4
3 2
4 3
2 1
A
3 2
1 0
4 3
2 1
7 0
0 0
0 0
0 0
3 2
1 0
4 3
2 1
16 6
3 0
6 4
2 0
3 2
1 0
4 3
2 1
4
3
2 4 4
2 3
3 1
4 4
1 3 3
1 2 2
3
2 4
3 2
a a
A
h
h
h h h
h h h h
h h
h h h
h h
h
Biện luận:
a = 7 thì r(A) = 2
Trang 13n 1
n
n 2 22
21
n 1 12
11
A
A
A A
A
A A
A
A A
Ở đây: Aij = (–1)i+jdet(Cij) là phần bù đại số của phần tử aij
Cij là ma trận có cấp (n–1) nhận đƣợc từ ma trận A bằng cách bỏ hàng thứ i và cột thứ j
Trang 14* Ma trận phụ hợp PA có tính chất sau:
A.PA = PA.A = (detA).In
1 2
0
1 1
1
0 1
0
1
1 (-1)
A
;
1 1
2
1
1 (-1)
1 1
1
1 1
1 2
1 1
2 1
P P
Cuối cùng ta tính đƣợc ma trận
hợp PA
Trang 154 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)
b/ Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Cho ma trận A Mn(K)
* A đƣợc gọi là ma trận không suy biến nếu det(A ) ≠ 0
* A đƣợc gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại B Є Mn(K) sao cho: A.B = B.A = In
Lúc này, B đƣợc gọi là ma trận nghịch đảo của A và
đƣợc ký hiệu là B = A–1
Do vậy ta có: A.A–1 = A–1.A = In
Trang 161 A
Trang 174 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)
4 3
2
1 A
1 3
2 4
1 2
2 4
2
1
Trang 18Ví dụ 2: Cho Tìm A–1
Nhận xét: detA = 1 ≠ 0 nên tồn tại A–1
0 1
2
4 2
3
3 2
8
2 3
4 5
6 3
7 8
A
P
Trang 194 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)
Vậy
4 5
7
5 6
8
2 3
4
detA
1
A -1 P A
e/ Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng
Ta còn có một thuật toán khác để tìm A–1 chỉ qua các
phép biến đổi sơ cấp trên hàng nhƣ sau:
) A
| I ( )
I
| A
PB ĐBĐ
trận A có cấp cao
Trang 20Ví dụ 3: Cho
0 1
2
4 2
3
3 2
1
Ta viết
0 1
3
0 0
1 5
4 0
3 2
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
0 1
2
4 2
3
3 2
1
1 3
3
1 2
2
2
3
h h
h
h h
h
Trang 214 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)
Ví dụ 3 (tt):
4 5
7
1 1
1
2 2
3
1 0
0
1 1
0
1 0
1
1 0
2
1 1
1
0 0
1
6 5
0
1 1
0
3 2
1
2 3
3
2 1
1
3 2
2
5
2
h h
h
h h
h
h h
h
Trang 22Ví dụ 3 (tt):
4 5
7
5 6
8
2 3
4
4 5
7
5 6
8
2 3
4
1 0
0
0 1
0
0 0
1
1
3 2
2
3 1
1
A
h h
h
h h
h
Trang 23BÀI TẬP CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN
& MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Bài 1: Tìm hạng của ma trận
0 3
2
10 5
0
7 1
3
4 2
0
5 4
1
/ A
a
2 7
3 2
1
1 1
8 1
3
1 6
2 2
1
1 0
5 1
2
1 5
1 2
2
1 2
4 0
1
/ A
b
18 6
7 6
5
10 2
5 4
3
7 5
3 2
2
4 2
1 1
1
/ A
c
Trang 24Bài 2: Cho ma trận
1 m
2 1
1
1 m
5 m
2 2
Tìm điều kiện của m để r(A) = 3
Bài 3: Cho ma trận
0 1
a 0
0
0 0
1 0
1
1 1
0 1
0
0 0
1 1
0
0 0
0 1
1
A
Trang 252 0
1 1
4 1
3 2
1 1
1 1
1 0
3
3 2
2 1
1
4 1
3
2 4
2
1 2
1
m m A
Trang 26Bài 6: Cho ma trận
Tìm A–1
Bài 7: Giải phương trình ma trận
0 1
2
4 2
3
3 2
1
A
8 7
10
7 2
10
0 3
1
0 1
2
4 2
3
3 2
1
X A
Bài 8: Cho A M (K), detA = 4 Hãy tính detA–1,
Trang 27BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)
Bài 9: Tìm A–1 bằng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
1 0
0
1 1
0
1 1
1 / A
a
1 1
1
1 1
1
1 1
1 / A
b
Trang 28Hướng dẫn: Do detA ≠ 0 không phụ thuộc vào a
Bài 4: Để ma trận A khả nghịch điều kiện là
Hướng dẫn: A khả nghịch detA ≠ 0
7
13 m
13
Trang 29ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)
Bài 5: Không tồn tại m để ma trận A khả nghịch
4 1
3
2 4
2
1 2
1
B
1 0
3
3 2
2 1
1
m
m C
Trang 30Bài 6:
4 5
7
5 6
7
5 6
8
2 3
4
1
Trang 31ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)
Bài 7:
Hướng dẫn: Ta có A.X = B
3 3
3
2 1
2
5 4
6 X
4 5
7
5 6
8
2 3
4
A -1
3 3
3
2 1
2
5 4
6 B
A
Trang 32Bài 8:
Hướng dẫn: Ta có: A.A-1 = In
4 detA
4
1 A
det
1 detA -1
Trang 33ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt)
Bài 9: Tìm A-1 bằng phép biến đổi sơ cấp theo hàng
Hướng dẫn:
1 0
0
1 1
0
0 1
1 / A 1
a
0 2
1 2
1
2
1 0
2 1
2
1 2
1 0
/ A 1b