Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình phi tuyến - Nguyễn Thị Cẩm Vân

Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình phi tuyến do Nguyễn Thị Cẩm Vân biên soạn giới thiệu tới người đọc các vấn đề về phương trình phi tuyến, khoảng cách ly nghiệm, phương pháp chia đôi, phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Trang 2

N ỘI DUNG BÀI HỌC

Trang 3

Trang 4

Trang 5

Trang 6

Trang 9

Đặt vấn đề

Những vấn đề khó khăn khi giải pt (1)

f (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a1x + a0= 0, (a n 6= 0),

vớin = 1,2 ta có công thức tính nghiệm một cách

công thức tìm nghiệm.

dụ:cos x − 5x = 0thì không có công thức tìm nghiệm.

Những hệ số của phương trình (1) ta chỉ biết một cách gần đúng.

Trang 10

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trang 11

vớin = 1,2ta có công thức tính nghiệm một cách

Trang 12

Trang 13

Trang 14

Trang 15

Khi đó việc xác định chính xác nghiệm củaphương trình (1) không có ý nghĩa Do đóviệc tìm những phương pháp giải gần đúngphương trình (1) cũng như đánh giá mức độchính xác của nghiệm gần đúng tìm được

có một vai trò quan trọng

Trang 16

Khoảng cách ly nghiệm Định nghĩa

cho f (x) = 0. Giả sử thêm rằng phương trình

mỗi nghiệm thực của phương trình (1) tồntại một miền lân cận không chứa nhữngnghiệm thực khác của phương trình (1)

Trang 17

cho f (x) = 0.

Giả sử thêm rằng phương trình

Trang 18

K HOẢNG CÁCH LY NGHIỆM

cho f (x) = 0. Giả sử thêm rằng phương trình

Trang 19

ĐỊNH NGHĨA 2.1

mà trên đó tồn tại duy nhất 1 nghiệm của

gần đúng của phương trình bằng một phương pháp nào đó với sai số cho trước.

Trang 20

ĐỊNH NGHĨA 2.1

Trang 21

ĐỊNH NGHĨA 2.1

Trang 22

ĐỊNH NGHĨA 2.1

Trang 23

Khoảng cách ly nghiệm Định lý

ĐỊNH LÝ 2.1

f (a) f (b) < 0, f 0(x) tồn tại và giữ dấu không

(1).

Trang 24

K HOẢNG CÁCH LY NGHIỆM

ĐỊNH LÝ 2.1

f (a) f (b) < 0, f 0(x) tồn tại và giữ dấu không

(1).

Trang 26

Khoảng cách ly nghiệm Phương pháp tìm những khoảng cách ly nghiệm

Trang 27

Trang 28

Trang 30

Bấm máy.

X3− 6 ∗ X + 2

Trang 31

Trang 33

là [−1,0] và [4, 5].

Trang 35

Trang 36

Trang 38

Trang 39

Phương trình có 1 nghiệm x = 0 và 1 nghiệm

Trang 40

Khoảng cách ly nghiệm Sai số tổng quát

S AI SỐ TỔNG QUÁT

ĐỊNH LÝ 2.2

Trang 41

S AI SỐ TỔNG QUÁT

ĐỊNH LÝ 2.2

Trang 42

Khoảng cách ly nghiệm Sai số tổng quát

Trang 44

Khoảng cách ly nghiệm Bài tập

Trang 45

Trang 46

Trang 48

BÀI TẬP 5.2

Tìm những khoảng cách ly nghiệm thực của phương trình sau

f (x) = 1 + x − e −2x = 0Giải Ta có

Trang 49

Trang 51

B ÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

BÀI TẬP 5.3

Trang 52

Công thức đánh giá sai số tổng quát

Trang 53

Công thức đánh giá sai số tổng quát

Trang 54

Phương pháp chia đôi Nội dung phương pháp

phương trình (1) Nội dung của phươngpháp chia đôi như sau:

Giả sử phương trình (1) có nghiệm chính

và f (a) f (b) < 0. Đặt a0= a, b0= b,

d0= b0− a0= b − a và x0 là điểm giữa củađoạn [a, b].

Trang 55

và f (a) f (b) < 0. Đặt a0= a, b0= b,

Trang 56

N ỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI

và f (a) f (b) < 0. Đặt a0= a, b0= b,

Trang 57

Trang 59

S Ự HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP

Trang 60

S Ự HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP

Trang 61

Vì dãy (a n) là dãykhông giảmvà bị chặn

Trang 62

Phương pháp chia đôi Công thức đánh giá sai số

C ÔNG THỨC ĐÁNH GIÁ SAI SỐ

Trang 63

C ÔNG THỨC ĐÁNH GIÁ SAI SỐ

Trang 64

Phương pháp chia đôi Ưu, nhược điểm của phương pháp

Ưu điểm Đơn giản, dễ lập trình trên

máy tính, vì mỗi lần áp dụng phươngpháp chia đôi chỉ phải tính 1 giá trị củahàm số tại điểm giữa của khoảng

Nhược điểm Tốc độ hội tụ chậm, độ

chính xác không cao

Trang 65

Trang 66

Ư U , NHƯỢC ĐIỂM CỦA PHƯƠNG PHÁP

Trang 67

VÍ DỤ 3.1

và đánh giá sai số của nó.

Trang 68

Trang 69

Trang 71

BÀI TẬP 5.1

Sử dụng phương pháp chia đôi tìm nghiệm

sai số tổng quát, tính sai số của nó và so sánh với sai số tính theo công thức đánh giá sai số của phương pháp chia đôi.

Trang 72

Phương pháp chia đôi Bài tập

Trang 74

-Phương pháp chia đôi Bài tập

Trang 76

BÀI TẬP 5.2

Trang 77

BÀI TẬP 5.2

Trang 78

BÀI TẬP 5.2

Trang 79

BÀI TẬP 5.2

Trang 80

BÀI TẬP 5.2

Trang 81

Trang 83

BÀI TẬP 5.3

Trang 84

BÀI TẬP 5.3

Trang 85

BÀI TẬP 5.3

Trang 86

BÀI TẬP 5.3

Trang 87

BÀI TẬP 5.3

Trang 88

Trang 90

B ÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Cho phương trình

f (x) = 2x3− 6x2+ 6x − 13 = 0 trong khoảng

Trang 92

Phương pháp lặp đơn Nội dung phương pháp

pháp lặp đơn là đưa phương trình này vềphương trình tương đương

Có nhiều cách làm như vậy

Trang 93

N ỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

pháp lặp đơn là đưa phương trình này vềphương trình tương đương

Có nhiều cách làm như vậy

Trang 94

Chọn x0∈ [a, b]làm nghiệm gần đúng ban

x1= g (x0 ).Tiếp tục thay x = x1 vào vế phải

Trang 95

Trang 96

Trang 97

x1= g (x0 ).

Trang 98

Nhiệm vụ của chúng

Trang 99

Ví dụ, đối với pt x3− x − 1 = 0 có thể viết

Trang 100

Phương pháp lặp đơn Sự hội tụ của phương pháp

ĐỊNH NGHĨA 4.1

Hàm g (x) được gọi là hàm co trong đoạn

[a, b] nếu tồn tại một số q ∈ [0,1), gọi là hệ số

∀x1, x2∈ [a, b] ⇒ |g (x1) − g (x2)| É q|x1− x2 |.

Trang 101

H ÀM CO

ĐỊNH NGHĨA 4.1

Hàm g (x) được gọi là hàm co trong đoạn

[a, b] nếu tồn tại một số q ∈ [0,1), gọi là hệ số

∀x1, x2∈ [a, b] ⇒ |g (x1) − g (x2)| É q|x1− x2 |.

Trang 103

Nếu g (x) là hàm liên tục trên [a, b], khả vi

|g0(x)| É q,∀x ∈ (a,b),

thì g (x) là hàm co trên [a, b] với hệ số co là q.

Trang 104

Nếu g (x) là hàm liên tục trên [a, b], khả vi

|g0(x)| É q,∀x ∈ (a,b),

thì g (x) là hàm co trên [a, b] với hệ số co là q.

Trang 106

ĐỊNH LÝ 4.3

x n = g (x n−1) sẽ hội tụ về nghiệm duy nhất x

của phương trình (2) và ta có công thức đánh giá sai số

Trang 107

ĐỊNH LÝ 4.3

x n = g (x n−1) sẽ hội tụ về nghiệm duy nhất x

của phương trình (2) và ta có công thức đánh giá sai số

Trang 108

Chú ý Từ công thức đánh giá sai số, ta thấy

sự hội tụ của phương pháp lặp càng nhanh

Trang 109

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình

f (x) = 5x3− 20x + 3 = 0 bằng phương pháp

lặp đơn với độ chính xác theo công thức hậu

Trang 110

Trang 111

Trang 112

VÍ DỤ 4.3

Trang 113

VÍ DỤ 4.3

Trang 114

Theo nguyên lý ánh xạ co quá trình lặp hội

Trang 115

Trang 116

Trang 117

Trang 118

x n = 5x

3

n−1+ 3 20

Theo công thức đánh giá sai số ta có

Trang 119

x n = 5x

3

n−1+ 3 20

Trang 120

Như vậy, ta có thể dùng g3(x) với

x n = 5x

3

n−1+ 3 20

Trang 121

Chọn x0= 0.75 ∈ [0, 1].Tính x n , n = 1,2, theo

3

n−1+ 3 20

Bấm máy. 5X

3

+ 3 20

Trang 122

Chọn x0= 0.75 ∈ [0, 1].Tính x n , n = 1,2, theo

3

n−1+ 3 20

Bấm máy. 5X

3

+ 3 20

Trang 124

Phương pháp lặp đơn Bài tập

BÀI TẬP 3.1

Mỗi một hàm sau đây đều có cùng chung

4x3+ 4x − 1

Trang 125

BÀI TẬP 3.1

4x3+ 4x − 1

Trang 126

BÀI TẬP 3.1

4x3+ 4x − 1

Trang 127

BÀI TẬP 3.1

4x3+ 4x − 1

Trang 128

BÀI TẬP 3.1

4x3+ 4x − 1

Trang 129

Hãy thực hiện bốn lần lặp cho mỗi hàm

g k (x), k = 1,2,3,4 xác định ở trên với cùng giá

nhau Hàm nào cho chúng ta dãy lặp hội tụ

về nghiệm tốt hơn?

Trang 131

BÀI TẬP 3.2

Sử dụng phương pháp lặp, tìm nghiệm gần đúng với sai số theo công thức hậu nghiệm

Trang 132

BÀI TẬP 3.2

Trang 133

Theo công thức đánh giá sai số hậu nghiệm

= 0.0017

Chọn x0= 3.5 ∈ [3, 4]. Tính x n , n = 1,2, theo

x n−12

Trang 134

Trang 135

= 0.0017

Chọn x0= 3.5 ∈ [3, 4]. Tính x n , n = 1,2, theo

x2

Trang 137

BÀI TẬP 3.3

x = x2−e3x+2 trong đoạn [0, 1], chọn x0= 0.5

Trang 138

BÀI TẬP 3.3

x = x2−e3x+2 trong đoạn [0, 1], chọn x0= 0.5Giải x = x

Trang 139

Trang 140

Trang 141

Trang 143

BÀI TẬP 3.4

lặp cần thiết để tìm nghiệm gần đúng với độ

Trang 144

BÀI TẬP 3.4

lặp cần thiết để tìm nghiệm gần đúng với độ

Trang 145

Với x0= 2.5 ⇒ x1 = 2.8Theo công thức đánhgiá sai số tiên nghiệm ta có

⇒ n Ê

ln

h

10−4.(1−0.64) 0.3

i

ln 0.64 ≈20.23 ⇒ n = 21

Trang 146

Với x0= 2.5 ⇒ x1 = 2.8Theo công thức đánhgiá sai số tiên nghiệm ta có

⇒ n Ê

ln

h

10−4.(1−0.64) 0.3

i

ln 0.64 ≈20.23 ⇒ n = 21

Trang 147

BÀI TẬP 3.5

Trang 149

BÀI TẬP 3.6

sai số tuyệt đối nhỏ nhất của nghiệm gần

Trang 152

Phương pháp Newton Nội dung phương pháp Newton

của tiếp tuyến với trục hoành là giá trị xấp

Để xây dựng công

Trang 153

N ỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP N EWTON

của tiếp tuyến với trục hoành là giá trị xấp

Trang 154

Phương pháp Newton Nội dung phương pháp Newton

Trường hợp 1. f0(x) f00(x) > 0.Ta xét 2 trường hợp con

1. f (a) < 0, f (b) > 0, f0(x) > 0, f00(x) > 0,∀x ∈ (a,b)

2. f (a) > 0, f (b) < 0, f0(x) < 0, f00(x) < 0,∀x ∈ (a,b)

Nếu ta áp dụng phương pháp tiếp tuyến xuất phát từ

x0= a thì ta sẽ nhận đượcx1 nằm ngoài(a, b).

Định dạng
Số trang	203
Dung lượng	3,69 MB