Bài giảng Lý thuyết tín hiệu: Tín hiệu ngẫu nhiên - Võ Thị Thu Sương

Bài giảng Lý thuyết tín hiệu: Tín hiệu ngẫu nhiên cuing cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, random signals, power spectral density, parameters and their physical meaning, signal transmission through linear systems,... Mời các bạn cùng tham khảo.

TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN

 Tín hiệu không đóan được trước khi nó xuất hiện

 Không thể mô tả bởi biểu thức tóan học

 Được mô tả bằng lý thuyết xác xuất

 Được gọi là “quá trình ngẫu nhiên”

 Quá trình ngẫu nhiên gồm một số hữu hạn các biến ngẫu nhiên

 Ví dụ:

1.5 Random Signals

 1.5.1 Biến ngẫu nhiên X(A)

 Biến ngẫu nhiên là một đại lượng thực mà trị của nó phụ thuộc vào biến cố ngẫu nhiên (để biến cố NN có thể được

mô tả một cách định lượng)

Ví du độ lệch của viên đạn so với mục tiêu là một đại lượng phụ thuộc vào kết qủa của lần bắn.

Sự phụ thuộc này được được biểu diễn bởi quy luật xác suất gọi chung là phân bố

 Sự phân bố của biến NN được mô tả bởi hàm mật độ xác suất P X (x)

2

- n o n - n e g a t i v e : ( ) 0

2

X

x

p x d x













 Discrete pdf

 has the same properties (change integration to summation)

 Two important random variables and their pdf

(

U n i f o r m r a n d o m v a r i a b le

1

c o n t i n u o u s ( ) , f o r

1

d i s c r e t e : ( ) , f o r { , , }

G a u s s i a n ( n o r m a l) r a n d o m

1

1 ( )

2

X

x m

X

X

b a

M

 













2 2

) 2

X X



 Các thông số

 Example:

 Data bits are modeled as uniform random variable with two values

 Symbols are modeled as uniform random variable with M values

 Noise is modeled as Gaussian random variable with zero mean and non-zero variance

( v a r i a n c e = m e a n s q

1

2

u a r e v a lu e - m e a n v a lu e s q u a r e )





 



1.5 Random Signals

 1.5.2 Random process: X(A,t)

 Là một hàm hai biến A, t time-domain signal waveform with

some random event

 Usually written as X(t) by embedding A

 Stationary random process

 Average parameters do not depend on time

 We consider stationary random process (signal) only

 Can usually be described conveniently only by average parameters



event time

S t a t i o n a r y

a u t o c o r r e la t i o n ( s t a t i o n a r y c a s e ) :

1

X

 Example (Note: expectation/integration is conducted with

random variable, not t)

2 0

F i n d t h e m e a n a n d a u t o c o r r e la t i o n o f t h e r a n d o m p r o c e s s

( ) 5 c o s ( 2 ) , w h e r e [ 0 , 2 ) i s u n i f o r m r a n d o m

:

1 { ( ) } ( ) ( ) 5 c o s ( 2 ) 0

2 ( ) { ( ) ( ) }

S o lu t

i o n

c

X







2 0

= ( ) ( ) ( )

1 = 5 c o s ( 2 ) 5 c o s ( 2 2 )

2

2 5 = c o s ( 2 )

2

c

f







 







 1.5.2.3 Autocorrelation

 Defined by matching of a signal

with a delayed version of itself

 Measure how closely a signal

matches a shifted copy of itself

 Is a function of delay , not time t



Note for figure:

Random process cos(2πf c t+θ) does not look like noise.

 1.5.4 Power Spectral Density (PSD)

 PSD is FT{autocorrelation}

 The only way for frequency-domain

description of random signal (since

FT{x(t)} does not exist)

I F T

F T

2 5

E x a m p le : F o r ( ) c o s ( 2 ) , t h e P S D i s

2

2 5 ( ) { ( ) } [ ( ) ( ) ]

4



PSD of random process

5cos(2πf c t+θ)

 1.5.3 Parameters and their physical meaning

 Mean & variance of random variable

 Mean, autocorrelation, PSD of random process

-2

2

2

1 : d c le v e l o f t h e s i g n a l

2 { ( ) } , ( 0 ) , ( ) : a v e r a g e s i g n a l p o w e r

3 : a v e r a g

4 F o r s i g n a ls w i t h o u t d c z e r o - m e a n

e p o w e r o f A C c o m p o n e n t

s i g n a ls

X

X

m

E

f

m













2

( t ) } e q u a ls a v e r a g e s i g n a l p o w e r

X

 1.5.5 Noise in communication

systems

 AWGN: additive white Gaussian

noise

 Additive: Noise is added (not multiplied) to the signal

 White: has constant PSD (equal power for all frequency)

 Gaussian: in every time-instant (sampling instant), the noise is Gaussian random variable

 Noise is usually assumed

zero-mean AWGN

x(t)

n(t) y(t)

2 2

0

0

2

S i g n a l m o d e l: ( ) ( ) ( )

P S D : ( ) w a t t s / H z

2

A u t o c o r r e la t i o n :

z e r o - m e a n A W G N ( ) p r o p e r t i e s

2

1

p d f : ( )

:

i )

i i )

i i i )

2

n

n

n

y t x t n t

N

N R

t

p

n

 









 AWGN is a useful abstract noise model, although it is not practical due to infinite power

 In sampled process (discrete process), since δ(0)=1, we still have

 Discrete zero-mean AWGN: power & variance are both N 0 /2

AWGN PSD &

Auto-correlation

2

N

1.6 Signal transmission through

linear systems

 1.6.1 Deterministic signals

x(t) h(t) y(t)

) (

) ( )

(

* ) ( )

(

f H f X f

Y

d t

h x

t h t

x t

y







 1.6.2 Random signals

 No Y ( f ), X ( f ) exist! But can use PSD.

2



 





 1.6.3 Distortionless transmission & ideal filter

 Distortionless transmission

 Time-domain: only constant magnitude change & a delay

 Frequency domain: constant magnitude response and linear phase response

 Ideal filter: distortionless in passband

) (

) ( )

( f H f e j f

0

p a s s b a n d ( )

0 s t o p b a n d ( ) 2

K

H f





the output PSD is

0

( ) / 2

n

0

2 0

0 / 2 , f o r u u



Review: Analog Communications

 Amplitude modulation

 4 main types, share similar modulator/demodulator

x(t)

t

fc



2 cos

B.P.F

y(t)

modulator

AM: amplitude modulation

DSB: double-sideband modulation

SSB: single-sideband modulation

VSB: vestigial sideband modulation

y(t)

t

fc



2 cos

L.P

x(t)

demodulator

 Frequency modulation

(FM,PM)

 1.7.1 DSB (Page 45-47,

Page 1022)

D S B s i g n a l :

( ) ( ) c o s ( 2 )

D S B s p e c t r u m :

1 ( ) [ ( ) ( ) ]

2 ( ) , ( ) : m e s s a g e s i g n a l a n d s p e c t r u m

D S B s i g n a l b a n d w i t h = 2 * m e s s a g e b a n d w i d t h

x t x t f t

X f X f f X f f

x t X f











( )

W D S B  2 W x t

 DSB demodulation

 DSB is a main digital passband modulation technique

y(t)

t

fc



2 cos

L.P

x(t)

demodulator

l o w p a s s

l o w p a s s

l o w p a s s

( ) ( ) : r e c e i v e d s i g n a l

D e m o d u l a t i o n o u t p u t i s :

ˆ

( ) ( ) c o s ( 2 )

= ( ) c o s ( 2 ) c o s ( 2 )

1 = ( ) [1 c o s ( 4 ) ]

2

( ) =

2

c

c

c

x t











Tín hiệu dừng

 (t) là tín hiệu dừng chặt nếu:

 f  ( t 1 ),  ( t 2 ),  ( t n )   E  f   ( t 1   ),  ( t 2   ),  ( t n   )  

E

 (t) là tín hiệu dừng rộng nếu: E     t   const











T

T T

dt t

t

2 1 lim