Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 4 - Lê Vũ Hà

Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 4: Biến đổi Z và áp dụng cho hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc cung cấp cho người học các kiến thức: Biến đổi trong xử lý tín hiệu; biến đổi Z, các tính chất của biến đổi Z, biến đổi Z ngược, biến đổi Z một phía,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chương IV:

BIẾN ĐỔI Z VÀ ÁP DỤNG CHO HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN RỜI RẠC

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

2008

Nội dung

 Biến đổi trong xử lý tín hiệu

 Biến đổi Z

 Các tính chất của biến đổi Z

 Biến đổi Z ngược

 Biến đổi Z một phía

 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z

 Xét tính ổn định của hệ thống

Biến đổi trong xử lý tín hiệu

 Phương pháp phổ biến trong xử lý tín hiệu: biến đổi tín hiệu từ không gian tự nhiên của

nó (miền thời gian) sang không gian (miền) khác.

 Ví dụ: biến đổi tín hiệu từ miền thời gian

sang miền tần số

x(n) = sin 2f0n  m(f) = 1 nếu f = f0, 0 nếu f  f0

x(n) = asin 2f1n + bsin 2f2n  m(f) = a nếu f =

f1, b nếu f = f2, 0 còn lại

Lựa chọn biến đổi

 Tín hiệu sau khi được biến đổi sẽ hội tụ

trong một vài vùng của miền biến đổi 

thuận tiện cho việc khảo sát các đặc trưng.

 Phải tồn tại biến đổi ngược  có thể thực hiện việc chỉnh sửa tín hiệu trong miền biến đổi và thu lại được tín hiệu đã chỉnh sửa

trong không gian tự nhiên (miền thời gian) của tín hiệu.

Định nghĩa biến đổi Z

 Biến đổi Z hai phía:

 z là một biến phức  biến đổi Z thực hiện

việc biến đổi tín hiệu từ miền thời gian rời rạc vào một không gian phức (miền Z).

 Biến đổi Z tồn tại nếu chuỗi biến đổi hội tụ.

Ví dụ: biến đổi Z của (n) và của (nn0)

x z

Định nghĩa biến đổi Z

 Biến đổi Z một phía:

 Biến đổi Z một phía và hai phía của tín hiệu nhân quả là như nhau.

x z

X

Ý nghĩa của biến đổi Z

 Với tín hiệu rời rạc, biến đổi Z đơn thuần

là một cách biểu diễn khác của tín hiệu.

 Vai trò của biến đổi Z đối với hệ thống rời rạc tương đương với vai trò của biến đổi Laplace đối với hệ thống liên tục.

Miền hội tụ của biến đổi Z

 Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Z là tập hợp tất cả các giá trị của z mà chuỗi biến đổi  x(n)zn hội tụ.

Miền hội tụ của biến đổi Z

 Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy  tiêu chuẩn hội tụ của biến đổi Z:

n n

x

n

n x

x x

n x

R

n x

R

R z

R

1 1

| ) (

| lim 1

| ) (

| lim

Miền hội tụ của biến đổi Z

 Miền hội tụ của biến đổi Z là miền nằm

giữa 2 đường tròn bán kính Rx và Rx+

trong mặt phẳng z.

 Miền hội tụ của biến đổi Z của một số loại tín hiệu:

Tín hiệu có độ dài hữu hạn

Tín hiệu nhân quả có độ dài vô hạn

Tín hiệu phản nhân quả có độ dài vô hạn

Miền hội tụ của biến đổi Z

 Miền hội tụ của biến đổi Z một phía: là

miền nằm ngoài đường tròn bán kính Rxtrong mặt phẳng z.

Các tính chất của biến đổi Z

 Tuyến tính:

 Trễ:

 Co giãn trong miền z:

) ( )

( )]

( )

( [ ax1 n  bx2 n  aX1 z  bX 2 z

Z

) ( )]

(

n n

n

R a

z R

a ROC

z a

X n

x a

) (

)]

(

Z

Các tính chất của biến đổi Z

ROC

z X n

) (

n

Z

Các tính chất của biến đổi Z

 Biến đổi Z của tích chập:

 Biến đổi Z của tương quan:

 Định lý giá trị đầu:

) ( )

( )]

( )

( [ x1 n  x2 n  X1 z X 2 z

Z

) (

) ( )]

(

2 1



 X z X z n

rx x

Z

) ( lim

) 0

x

z 



Biến đổi Z ngược

 Định lý Cauchy

C là một chu tuyến (đường khép kín) có chiều

dương (ngược chiều quay của kim đồng hồ) bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng Z

z

n



Biến đổi Z ngược

 Biến đổi ngược của biến đổi Z (chứng minh được bằng cách sử dụng định lý Cauchy):

z

X j

n

2

1 )

(



Các phương pháp tính biến đổi Z

 Phương pháp tính tích phân theo C (sử

dụng định lý phần dư của Cauchy):

Nếu {z pk } là tất cả các trị cực của X(z)z n1 nằm

bên trong chu tuyến C:

Tính phần dư tại trị cực: nếu z pk là cực đơn

n

k p

z z

X n

k p k

k

n p

z z

n

z z X

z z

z z

X ( )  |  ]  (  ) ( )  | 

Các phương pháp tính biến đổi Z

Tính phần dư tại trị cực bội: z pk là một trị cực

bội bậc s k

k p k

k k

k

k p

z z s

n s

p s

k

z z n

dz

z z

X z

z d

s

z z X

1

) (

) (

)!

1 (

1

]

| )

( Res[

Các phương pháp tính biến đổi Z

 Phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa:

Nếu X(z) khai triển được thành một chuỗi lũy thừa của z1 như sau:

thì ta có x(n) = n

Cách khai triển: dùng phép chia đa thức

Chú ý: ROC của X(z) quyết định dạng của

chuỗi lũy thừa

Các phương pháp tính biến đổi Z

 Phương pháp khai triển phân thức tối

Các phương pháp tính biến đổi Z

Nếu tất cả các trị cực của X(z) đều là cực

đơn: X(z) khai triển được thành tổng của các

phân thức ở dạng tối giản

A z

X ( )

k p

p

k z z X z

Các phương pháp tính biến đổi Z

Trường hợp tổng quát (cực bội): đặt s k là bậc

bội của trị cực z pk , X(z) sẽ được khai triển

A z

X

) (

k p k

k k

k

s

z z

s s

s p

s s

k

k

dz

z X

z z

d s

Các phương pháp tính biến đổi Z

Biến đổi Z ngược của các phân thức tối giản:

) (

|)

|

| (|

) 1 (

1

|)

|

| (|

) 1 (

|)

|

| (|

) (

1

1 1

1

a z

n u

a

a z

n u a

a z

a z

n u

a

a z

n u

a a

z z

n

n -

n

n -

Z

Z

Các phương pháp tính biến đổi Z

) 1

(

!

) 1 ) (

1 (

|)

|

| (|

)

(

!

) 1 ) (

1 (

)

1

a z

n u

a m

m n

n n

a z

n u

a m

m n

n n

a z

z

m n

m n

m

-Z

Chú ý: thường dễ dàng tính biến đổi ngược hơn

nếu khai triển X(z)/z thay vì khai triển X(z).

Biến đổi Z một phía

z m x

z X

z k

n

x

1

1 1

) (

) ( )]

( [

) (

) ( )]

( [

k

m

m k

z m x

z X

z k

n x

Z

) ( )

1 (

lim )

Biến đổi Z một phía

 Ứng dụng để giải phương trình sai phân tuyến tính bất biến:

Biến đổi Z được dùng để giải phương trình sai phân tuyến tính bất biến

Phương trình sai phân tuyến tính bất biến có điều kiện đầu khác không  phải sử dụng biến đổi Z một phía

Biểu diễn hệ thống rời rạc trong

( )

( n x n h n

) (

)

( )

(

z X

z

Y z

Biểu diễn hệ thống rời rạc trong

miền Z

 Mối quan hệ giữa hàm chuyển và phương trình sai phân tuyến tính bất biến của hệ thống:

Hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc được

biểu diễn bằng phương trình:

k

k y n k b x n r

a

0 0

) (

) (

Biểu diễn hệ thống rời rạc trong

M

r

r M r

M N N

k

k k

M

r

r r

z a

z

b z

z a

z

b z

Biểu diễn hệ thống rời rạc trong

z

z z

a

b z

z

z z a

b z

1

1 1

1 0

0

0

) (

) (

) 1

(

) 1

( )

(

Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z

Các trị cực của H(z) là nghiệm của phương

kz a

Biểu diễn hệ thống rời rạc trong

( 1

)

( )

(

2 1

1

z H

z H

z

H z

H





) ( )

( 1

)

( )

(

2 1

1

z H

z H

z

H z

H





Với hệ thống nhân quả: R h < 1  tất cả các

trị cực của H(z) phải nằm bên trong đường

tròn đơn vị

Xét tính ổn định của hệ thống

 Tiêu chuẩn ổn định Jury:

Giả thiết hệ thống có phương trình đặc trưng

(a0 > 0):

Thiết lập bảng Jury từ các hệ số {a k}

0 )

k z a z

D

Hàng cuối cùng của bảng là hàng đầu tiên có

3 phần tử

i N N

i i

N

i N

a a

a a

Xét tính ổn định của hệ thống

 Điều kiện Jury: Hệ thống ổn định khi và chỉ

khi cả 3 điều kiện sau được thỏa mãn