Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Bài 5 - Đỗ Tú Anh

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 5: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier phần tiếp theo cung cấp cho người học các kiến thức: Phép biến đổi Fourier liên tục, phép biến đổi Fourier rời rạc. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trang 2

Chương 3: Chuỗi Fourier và phép

biến đổi Fourier

3.1 Giới thiệu chung

3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier

3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục

3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc

2 EE3000 -Tín hiệu và hệ thống

Trang 3

Tổ chức

Trang 4

3.1 Giới thiệu chung

3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier

3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục

3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn3.3.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc

Trang 5

Chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn

Một tín hiệu liên tục tuần hoàn có thể được biểu diễn bằng chuỗi

Fourier của nó

Các hệ số chuỗi Fourier tạo thành phổ, hay mô tả miền tần số, của

tín hiệu liên tục

EE3000 -Tín hiệu và hệ thống

Trang 7

Từ chuỗi Fourier đến phép biến đổi F

Tín hiệu tuần hoàn Å Æ Chuỗi Fourier

Tín hiệu không tuần hoàn Å Æ Biến đổi Fourier

Trang 8

jk k

ω π

Trang 9

Ví dụ 1: Xung chữ nhật đơn

9

Xét xung chữ nhật không tuần hoàn đặt tại không

Biến đổi Fourier là

Trang 10

Định nghĩa phép biến đổi Fourier

Tín hiệu x(t) và biến đổi Fourier X(jω) của nó có quan hệ với nhau

thông qua phương trình tổng hợp và phương trình phân tích

Biến đổi FourierBiến đổi Fourier ngược

Ký hiệu cặp biến đổi Fourier

Tương tự, các điều kiện hội tụ Dirichlet cũng tồn tại đối với biến

đổi Fourier, giống như ở chuỗi Fourier (T = −∞ ∞( , ))

Trang 11

3.1 Giới thiệu chung3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục

11

Trang 12

Điều kiện hội tụ - Biến đổi F

Điều kiện 1. x(t) khả tích tuyệt đối

Điều kiện 2. Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t)

có hữu hạn các cực đại và cực tiểu

Điều kiện 3. Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có

hữu hạn các điểm không liên tục, với các giátrị không liên tục là hữu hạn

Trang 13

Ví dụ 2: Hàm mũ tắt dần

Xét tín hiệu (không tuần hoàn)

Do đó biến đổi Fourier là

Trang 14

Ví dụ 3: Tín hiệu xung đơn vị

Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị được tính toán như sau

Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị là hằng số với mọi ω

Nguyên lý bất định Heisenberg vẫn được thỏa mãn

Trang 15

Miền thời gian và miền tần số

Phân tích Fourier (Chuỗi hoặc Biến đổi) là phương pháp xác định

“bản chất” tần số của một tín hiệu cho trước, có nghĩa là, chuyển

từ miền thời gian sang miền tần số

Luôn có thể chuyển ngược lại từ miền tần số sang miền thời

gian, hoặc bằng cách lấy tổng các thành phần của chuỗi Fourier

hoặc bằng biến đổi Fourier ngược

Cho trước tín hiệu x(t) trong miền thời gian, các hệ số chuỗi Fourier của nó (ak) hoặc biến đổi Fourier của nó (X(jω)) đgl phổ tần số

Nếu ak hoặc X(jω) là số phức, phổ tần số được quan sát thông

qua các đồ thị biên độ (|ak| hoặc |X(jω)|) và đồ thị pha

Trang 16

16

Trang 17

PBĐ Fourier cho tín hiệu tuần hoàn

Với mọi t, x(t+T) = x(t)

Tín hiệu tuần hoàn được biểu

diễn bằng chuỗi Fourier

a k tương ứng với thành phần của x(t) có tần số bằng một số nguyên lần tần số cơ bản 1/T

Tín hiệu tuần hoàn vi phạm điều kiện Dirichlet 1 để cho pbđ Fourier tồn tại

Tuy nhiên, hạn chế này sẽ được giải quyết nếu có mặt các hàm xung

trong pbđ Fourier

Trang 18

PBĐ Fourier cho tín hiệu tuần hoàn

Xét một pbđ Fourier là một xung đơn diện tích 2π đặt tại tần số

Tín hiệu x(t) tương ứng là

là tín hiệu sin phức tuần hoàn với chu kỳ 2π/ω0

Tổng quát hơn, xét dãy xung

Tín hiệu x(t) tương ứng là

Phép biến đổi Fourier của một tín hiệu tuần hoàn là một dãy các

xung đặt tại các tần số hài với độ lớn 2πak

Trang 19

Ví dụ 1: Dãy xung chữ nhật

Xét tín hiệu tuần hoàn x(t) sau:

Chúng ta đã biết các hệ số chuỗi Fourier của x(t) là

Trang 20

Ví dụ 1: Dãy xung chữ nhật

Do đó phép biến đổi Fourier của x(t) là

0 1 1

0 1 0

sin( )4

k k

k T T

ω π

Trang 21

Ví dụ 2: Dãy xung đều

Dãy xung đều rất hữu ích trong việc phân tích các hệ thống (các bộtrích mẫu, tổng hợp tiếng nói, …):

x(t)

1

0 2

Trang 23

Một số hàm đặc biệt

sin sinc( )x x

x

= là hàm đóng vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu, còn đgl hàm lọc hay hàm nội suy

sinc(x) là hàm chẵn của biến x

sinc(x) =0 khi sin x =0 ngoại trừ tại x =0, tức là khi x = ± ±π, 2 , 3 ,π ± π …

Sử dụng quy tắc L’Hopital, ta có sinc(0) =1

sinc(x) là dao động theo hàm sin với chu kỳ 2π, có biên độ giảm dầntheo hàm 1/x

Trang 24

Bảng biến đổi Fourier

Trang 25

Bảng biến đổi Fourier

Trang 26

Matlab

Để tìm biến đổi Fourier cho tín hiệu liên tục, chúng ta gõ như sau

Cũng chú ý rằng, để tìm biến đổi Fourier ngược, dùng hàm ifourier()

Trang 27

27

Trang 29

Một tín hiệu bị dịch trong miền thời gian:

– Không thay đổi biên độ của ảnh Fourier

– Dịch pha của ảnh Fourier đi bởi –ωt0 (dịch pha tuyến tính)

Trang 30

Tính chất dịch tần số

Trang 31

|a|>1: nén trục thời gian, giãn trục tần số

|a|>1: giãn trục thời gian, nén trục tần số

Mở rộng trong miền thời gian tỷ lệ nghịch với mở rộng trong miền

tần số (còn gọi là băng thông)

x(t) rộng hơn ↔ phổ hẹp hơn

x(t) hẹp hơn ↔ phổ rộng hơn

Trang 32

Ví du: Co giãn thời gian/tần số

Trang 33

Đạo hàm và tích phân

Đạo hàm hai vế của phương trình tổng hợp

Do đó

Quan trọng: Đạo hàm trong miền thời gian được thay thế bằng phép

nhân trong miền tần số

Tương tự với tích phân

Giá trị trung bình hay thành phần một chiều (DC)EE3000 -Tín hiệu và hệ thống

Trang 34

Ví dụ: Tín hiệu bước nhảy

Tìm ảnh Fourier của x(t) = u(t)

Trang 37

Ví dụ: Đáp ứng hệ LTI

Xét hệ LTI với đáp ứng xung

có tín hiệu vào

1 ( BĐ Fourier ) Chuyển những tín hiệu này sang miền tần số

3 ( BĐ Fourier ngược ) Do đó đáp ứng trong miền thời gian là

2 ( Nhân ) Đáp ứng trong miền tần số là

để chuyển sang miền thời gian, biểu diễn thành tổng các phân thức đơn giản

Trang 38

Một hệ quả của tính chất đối ngẫu

Trang 40

Ví dụ: Hàm mũ tắt dần

Tín hiệu (không tuần hoàn)

có biến đổi Fourier là

ω

ω ω

⎛ ⎞

− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

=+

=

+

Trang 41

Quan hệ Parseval

Sử dụng biến đổi Fourier để tính năng lượng của tín hiệu

2( )

Trang 42

42Các tính chất của BĐ Fourier: Tóm tắt

Trang 43

Ứng dụng 1: Điều chế biên độ

Điều chế: “Nhúng” một tín hiệu mang thông tin vào một tín hiệu khác,

ví dụ: điều biên (AM), điều tần (FM)

Trang 44

Phổ tần số của x(t) được dịch đi và có tâm đặt tại ωc và -ωc

Điều biên được sử dụng để chở một tín hiệu x(t) từ vị trí này đến vị trí khác khi x(t) khôg thích hợp để truyền trên kênh có sẵn nhưng tín hiệu điều chế y(t) có thể truyền đi được.

Trang 45

Giải điều chế: Tách tín hiệu mang thông tin từ tín hiệu điều chế

Nhân y(t) với tín hiệu mang

Ảnh Fourier của z(t)

Trang 46

Ứng dụng 2: Lấy mẫu

Là thao tác quan trọng trong việc biến đổi một tín hiệu liên tục

thành tín hiệu gián đoạn

Nhân x(t) với dãy xung đều

chu kỳlấy mẫu

Trang 47

Trang 48

Trang 49

trùng phổ

Trang 50

Y(jω) chứa đựng các phiên bản của X(jω) đặt tại các tần số là số

nguyên lần của tần số lấy mẫu ωs

Nếu ωs > 2ωb Không có hiện tượng trùng phổ

Tín hiệu x(t) có thể được khôi phục từ y(t)

Định lý lấy mẫu Shannon

Nếu ωs ≤ 2ωb Phải xử lý tín hiệu x(t) để có băng thông phù

hợp trước khi lấy mẫu tín hiệu

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	2,92 MB