Bài giảng Cơ sở tự động nâng cao: Chương 2 - PGS. TS. Huỳnh Thái Hoàng

Bài giảng Cơ sở tự động nâng cao - Chương 2: Điều khiển phi tuyế cung cấp cho người học các kiến thức: Giới thiệu, phương pháp hàm mô tả, lý thuyết ổn định Lyapunov, tuyến tính hóa hồi tiếp, điều khiển trượt, ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Môn h c

LÝ THUY T I U KHI N NÂNG CAO

Gi ng viên: PGS TS Hu nh Thái Hoàng

Khoa i n – i n T

i h c Bách Khoa TP HCM Email: hthoang@hcmut.edu.vn Homepage: http://www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

Ch ng 2

I U KHI N PHI TUY N

 A li d N li C t l E Sl ti d W Li

Tài li u tham kh o

 Applied Nonlinear Control, E.Slotine and W.Li

 Nonlinear Control System, Isidori

 Nonlinear Systems, Khalil

Khái ni m

 H phi tuy n là HT trong đó quan h vào ra không th mô

Khái ni m v h phi tuy n

 H phi tuy n là HT trong đó quan h vào–ra không th mô

t b ng ph ng trình vi phân/sai phân tuy n tính

 Ph n l n các đ i t ng th c t mang tính phi tuy n g g p y

Tính ch t c a h phi tuy n

 H phi tuy n không th a mãn nguyên lý x p ch ng

 Tính n đ nh c a h phi tuy n không ch ph thu c p y g p vào c u trúc, thông s c a h th ng mà còn ph

thu c vào tín hi u vào

 N u tín hi u vào h phi tuy n là tín hi u hình sin thì tín hi u ra ngoài thành ph n t n s c b n (b ng t n

s tín hi u vào) còn có các thành ph n hài b c cao

(là b i s c a t n s tín hi u vào).

 H phi tuy n có th x y ra hi n t ng dao đ ng t kích

Các khâu phi tuy n c b n

Khâu relay 3 v trí

y y

Khâu relay 2 v trí

Y m

y y

)

neáu

D u

D u

0

|

| (

) sgn(

Các khâu phi tuyến cơ bản

Kh â kh á h đ i ù i à h á

Kh â kh á h đ i ù i à h á

Kh â kh á h đ i b õ h ø Khâu khuếch đại có miền chết

y y

Khâu khuếch đại bao hòa

u

K u

Y m

Y m

D u

0

)

nếu

D u

D u

u D

u

K y

|

|(

|

|(

))sgn(

(

)/(K Y D

)

nếu

D u

Ku

D u

|

|(

)sgn(

)/(K  Y m D

Các khâu phi tuy n c b n

Khâu relay 3 v trí có tr

y y

)

neáu

D Y

D u

)(

|

|(

)

sgn(



Y m sgn(u) (neu| u | D)

Các khâu phi tuy n c b n

Khâu khu ch đ i bão hòa có tr Khâu khu ch đ i bão hòa có tr

y Y

Mô t toán h c h phi tuy n dùng PTVP

 Q an h ào ra c a h phi t n liên t c có th bi

 Quan h vào ra c a h phi tuy n liên t c có th bi u

t du dt

t u

d t

y dt

t dy dt

t y

d g dt

t y

Mô tả hệ phi tuyến dùng PTVP

Mô tả hệ phi tuyến dùng PTVP –– Thí dụ 1 Thí dụ 1

ti át di ä û

a: tiết diện van xả

A: tiết diện ngang của bồn

g: gia tốc trọng trường

( )

u (t)

q in

k: hệ số tỉ lệ với công suất bơm

C D: hệ số xả

y (t) q out

 Phương trình cân bằng: A y  ( t )  qin( t )  qout ( t )

) ( )

( t ku t

) ( 2

) ( t aC gy t

qout  D

trong đó:

D out

 y  ( t )  1  ku ( t )  aC 2 gy ( t )  (hệ phi tuyến bậc 1)

 ( )  ku ( t ) aC 2 gy ( t )  (hệ phi tuyen bậc 1)

A t

Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân

Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân –– Thí dụ 2 Thí dụ 2

J: moment quán tính của cánh tay máy

M: khối lượng của cánh tay máy

m : khối lượng vật nặng; l: chiều dài cánh tay máy

á

m

l

l C : khoảng cách từ trọng tâm tay máy đến trục quay

B : hệ số ma sát nhớt; g: gia tốc trọng trường

u (t): moment tác động lên truc quay của cánh tay máy

m

u (t): moment tac động len trục quay cua canh tay may

(t): góc quay (vị trí) của cánh tay máy

 Theo định luật Newton

)(cos

)(

)()

()(J  ml2)(t)  B(t)  (ml  Ml C)g cos  u(t)

(J  ml  t  B t  ml  Ml C g  u t

 (t)   B 2 (t)  (ml  Ml2C ) g cos  1 2 u(t)

)(

cos)

(

)

()(

)

ml J

g ml

J ml



Mô tả hệ phi tuyến dùng PTVP

Mô tả hệ phi tuyến dùng PTVP –– Thí dụ 3 Thí dụ 3

 : góc bánh lái

 : hướng chuyển động của tàu

động cua tau

3

2 1 2

1

t t

k t

t t

Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng PTTT

trong đó: u (t) là tín hiệu vào,

y (t) là tín hiệu ra,

Mô tả hệ phi tuyến dùng PTTT

Mô tả hệ phi tuyến dùng PTTT–– Thí dụ 1 Thí dụ 1

) ( )

(

)) ( ), ( ( )

(

t u t

h t

y

t u t t

x

x f x

)

(

) (

) (

2 )

,

A

k A

t gx

aC

x f

trong đó:

) ( ))

( ), ( ( t u t x1 t

Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái

Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái –– Thí dụ 2 Thí dụ 2

1 cos

) (

) (

)

( ) (

)

ml J

g ml

J

Ml ml

t ml

(

) ( )

(

2

1

t t

x

t t

(

))(),(()

(

h

t u t

1 )

( ) (

) (

cos )

(

) (

) ,

(

2 2

2 1

ml J

t

x ml J

B t

x ml

J

g Ml ml

x f

) ( ))

( ), ( ( t u t x1 t

Khô ó h há à ó th á d hi

Các ph ng pháp kh o sát h phi tuy n

Các ph ng pháp kh o sát h phi tuy n

 Không có ph ng pháp nào có th áp d ng hi u qu cho m i h phi tuy n

 M t s ph ng pháp th ng dùng đ phân tích và thi t k h phi tuy n:

Ph ng pháp tuy n tính hóa ( đã h c môn C

Ph ng pháp tuy n tính hóa ( đã h c môn C

s t đ ng)

Ph ng pháp hàm mô t

Ph ng pháp hàm mô t

Ph ng pháp Lyapunov

 i u khi n h i ti p tuy n tính hóa

 i u khi n h i ti p tuy n tính hóa

 i u khi n tr t

Ph ng pháp hàm mô t

Thí dụ hệ thống điều khiển có khâu bão hòa

 Xét hệ thống điều khiển như sau:

 Xet hệ thong đieu khien như sau:

2)

(





s s

s G

10 u=f(e)

e

2

210

Khâu khuếch đại bão hòa:

10

Thí dụ hệ thống điều khiển có khâu bão hòa

 Làm thế nào dư báo sư xuất hiện của dao động tư kích

 Lam the nao dự bao sự xuat hiện cua dao động tự kích này?

Phương pháp hàm mô tả

 Phương pháp hàm mô tả mở rộng gần đúng hàm truyền

 Phương phap ham mo ta mơ rộng gan đung ham truyen đạt của hệ tuyến tính sang hệ phi tuyến.

 PP hàm mô tả là phương pháp khảo sát trong miền tần p g p p g

số có thể áp dụng cho các hệ phi tuyến bậc cao (n>2) do

dễ thực hiện và tương đối giống tiêu chuẩn Nyquist

 Aùp dụng để khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến có thể biến đổi về dạng gồm có khâu phi tuyến nối tiếp với khâu tuyến tính theo sơ đồ khối như sau:

Đáp ứng của hệ phi tuyến khi tín hiệu vào hình sin

) sin(

)

e   u(t)  u1(t)  u2(t) 

) sin(

) (t  Y1 t 1

y

) sin(

)

hoa:

Phan tích Fourier ta thay u (t) chưa thanh phan tan so cơ ban

 và các thành phần hài bậc cao 2  , 3 

[)

[2

)

Đáp ứng của hệ phi tuyến khi tín hiệu vào hình sin

Các hệ số Fourier xác định theo các công thức sau:

t k t

á í h à đ ù b è tuyến tính gần đúng bằng: y ( t )  Y1sin(  t  1)

Khái niệm hàm mô tả

) sin(

)

 Do khi t/hiệu vào của khâu phi tuyến là tín hiệu hình sin:

 Xét khâu phi tuyến : e(t)  M sin(t) N(M) u (t)

 Do khi t/hiệu vao cua khau phi tuyen la tín hiệu hình sin:

t/hiệu ra u(t) xấp xỉ thành phần tần số cơ

bản (do ta bỏ qua các thành phần hài bậc cao):e(t)  M sin(t)

) cos(

) sin(

) ( )

ban (do ta bo qua cac thanh phan hai bậc cao):

nên ta có thể coi khâu phi tuyến như là một khâu khuếch đại có hệ số khuếch đại là:

jB

A M

Định nghĩa hàm mô tả

 H ø â t û (h ø i l ø h ä á kh á h đ i hứ ) l ø tỉ

 Hàm mô tả (hay còn gọi là hệ số khuếch đại phức) là tỉ số giữa thành phần sóng hài cơ bản của tín hiệu ra của khâu phi tuyến và tín hiệu vào hình sin

khau phi tuyen va tín hiệu vao hình sin.

M

jB

A M

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu relay 2 vị trí

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

) sin(

2

0

t d

A M

N ( ) 1  1 4 m

M M

j M



)

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu relay 3 vị trí

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

) ( 2

cos(

2 )

( ) sin(

2

t

m m

V t

V t

d t

M

D M

D M

V M

jB

A M



Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu khuếch đai bão hòa

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu khuếch đai bão hòa (tt)

) ( ) ( sin

) (

) ( ) (

jB

A M

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu khuếch đai có vùng chết

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu khuếch đai có vùng chết (tt)

()sin(

)(2

t d t D

t M

)

cos(

2

)2sin(

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu relay 2 vị trí có trể Khau relay 2 vị trí co tre

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu relay 2 vị trí có trể (tt)

4)

)(

Khảo sát chế độ dao động đều hòa trong hệ phi tuyến

 Xét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau:

 Xet hệ phi tuyen co sơ đo như sau:

()(

1 N(M )G( j)  0  G ( j)   1 (*)

1 N M G j

)(

)

(

M N

 Nếu (M*, *) là nghiệm của phương trình (*) thì trong hệ phi

 Neu (M ,  ) la nghiệm cua phương trình ( ) thì trong hệ phituyến có dao động với tần số * , biên độ M*.

Khảo sát chế độ dao động đều hòa trong hệ phi tuyến (tt)

 Về mặt hình hoc nghiệm (M*  * ) là nghiệm của

 Ve mặt hình học, nghiệm (M ,  ) la nghiệm cua phương trình (*) chính là giao điểm của đường cong Nyquist yq G (j (j )  ) của khâu tuyến tính và đường đặc tính y g ë

 1/N(M) của khâu phi tuyến.

 Dao động trong hệ phi ä g g ä p

tuyến là ổn định nếu

đi theo chiều tăng của

đặc tính  1/N(M) của

khâu phi tuyến ,

chuyển từ vùng không

chuyen tư vung khong

ổn định sang vùng ổn

định của khâu tuyến

định cua khau tuyen

tính G (j  )

Trình tự khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến

B c 1: Xác định hàm mô tả của khâu phi tuyến (nếu khâu phituyến không phải là các khâu cơ bản)

B c 2: Điều kiện tồn tại dao động trong hệ: đường cong Nyquist

G (j) và đường đặc tính 1/N(M) phải cắt nhau

)(

1)

(

M N

Nếu N (M) là hàm thực thì:

 Tần số dao động chính là tần số cắt pha  của khâu tuyếntính G (j) G ( j )  

 Biên độ dao động là nghiệm của phương trình:

)(

1

j G

tính G (j) G ( j )  

)

()

(  G j

M N

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến Thí dụ 1 Thí dụ 1

 Xét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau:

 Xet hệ phi tuyen co sơ đo như sau:

r(t)=0

Hàm truyền của khâu tuyến tính là

)12

)(

12

0(

10)

)(

12

.0( s  s 

Hãy xác định biên độ và tần số

dao động tư kích trong hệ (nếu có)

dao động tự kích trong hệ (neu co)

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến Thí dụ 1 Thí dụ 1

Lời giải

 Hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí là:

M

V M



4)

M



 Do đường cong Nyquist

G (j) và đường đặc tính

1/N(M)( ) luôn luôn cắt nhau

(xem hình vẽ) nên trong hệ

phi tuyến luôn luôn có dao

động

động

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến Thí dụ 1 Thí dụ 1

 Tần số dao động là tần số cắt pha của G (j) :

)(

1 2

0 (

10 arg

)

(

j j

2 0

).(

2 0 ( 1

) 2

( ) 2

).(

2 0 (

      1 58 ( rad / sec)

 Biên độ dao động là nghiệm của phương trình:

82

1 )

58 1 2 ( 1 )

58 1 2 0 ( 1 58 1

10 )

( )

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến Thí dụ 2 Thí dụ 2

 Xét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau:

 Xet hệ phi tuyen co sơ đo như sau:

Hàm truyền của khâu tuyến tính lày y

)12

)(

12

.0(

10)

Khâu phi tuyến là khâu relay 3 vị trí

1 Hãy tìm điều kiện để trong hệ

e

D

D

1 Hay tìm đieu kiện đe trong hệ

phi tuyến có dao động

2 Hãy xác định biên độ và tần số V m

D

dao động khi V m =6, D=0.1

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến Thí dụ 2 Thí dụ 2

(

M

D M

V M

M M



 Điều kiện để trong hệ

 Đieu kiện đe trong hệ

thống có dao động là đường

cong Nyquist G (j) và

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến Thí dụ 2 Thí dụ 2

 Tần số cắt pha của G (j) (xem cách tính ở thí dụ 1)

sec)/

rad(581

1)

58.12(1)

58.12.0(158.1

10)

()

55 0 )

D M

D D

V M

D M

V M

21

4)

(

2

2

2 2

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến Thí dụ 2 Thí dụ 2

 Do đó điều kiện (*) được thỏa mãn khi:

55.0

D

V m

864

( )

V m



 Khi V 6 D 0 1 i ûi hươ t ì h t â t đươ M 13 90

 Khi V m =6, D=0.1, giải phương trình tren ta được: M 13.90

 V ä d đ ä t h ä l ø (t) 13 90 i (1 58t)

 Vậy dao động trong hệ là: y(t) 13.90sin(1.58t)

Thí dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HT

Thí dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HT K ON K ON OFF OFF

 Xét hệ thống điều khiển nhiệt độ ON-OFF như sau:

 Xet hệ thong đieu khien nhiệt độ ON OFF như sau:

(

300)

G

s

Thuật toán điều khiển ON-OFF như sau:

 Nếu e(t)>100C thì u(t) = 1 (cấp 100% công suất)

 Nếu e(t)< 100C thì u(t) = 0 (ngưng cấp nguồn)

 Nếu 100C < e(t)< 100C thì tín hiệu đk không đổi

Hãy khảo sát đáp ứng của hệ thống

Thí dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HT

Thí dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HT K ON K ON OFF (tt) OFF (tt)

 Giải: Sơ đồ điều khiển:

 Giai: Sơ đo đieu khien:

r (t)=150

+

Thuật toán điều khiển ON-OFF có thể mô

tả bằng khâu relay 2 vị trí có trể như sau: 1

Thí dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HT

Thí dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HT K ON K ON OFF (tt) OFF (tt)

 Hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí có trể:

 Ham mo ta cua khau relay 2 vị trí co tre:

4)

Thí dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HT

Thí dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HT K ON K ON OFF OFF

 Đáp ứng của hệ thống ở trang thái xác lập là dao động quanh

 Đap ưng cua hệ thong ơ trạng thai xac lập la dao động quanhgiá trị đặt

 Ta có:



j m

e

V M

N( )  4 

 Ta co:

)sin(cos

4)

M

)()

sin(cos

)

M N

110

300)

(

3

 e

s G

s

110

300)

j



1

Thí dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HT

Thí dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HT K ON K ON OFF OFF

 Biên độ và tần số dao động là nghiệm của phương trình:

1)

1)

(

M N

j

)(

)

(

M N

1arg

)(

arg

)(

M N

j G

V M

D

4300

)10(t

2 1

)(

)10(

Thí dụ: Khảo sát chế độ dao động trong hệ thống điều khiển ON

Thí dụ: Khảo sát chế độ dao động trong hệ thống điều khiển ON OFF OFF

 Giải phương trình, ta được:   0.5(rad / s)

 Thay vao (1), suy ra: M  37.45

 Vậy ở trạng thái xác lập đáp ứng của hệ thống là dao động với

àthành phần cơ bản là:

) 5

0 sin(

45 37 )

(

y

Thí dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HTĐK có khâu bão hòa

 Xét hệ thống điều khiển như sau:

.0)(

11

.0(

13)

s G

10

u=f(e)

Khi không có khâu bão hòa, hãy thiết kế bộ

điều khiển PI sao cho hệ thống kín có cặp

Khảo sát đáp ứng của hệ thống nếu điện áp

điều khiển ở ngõ ra khâu PI bị bão hòa ở

10

đieu khien ơ ngo ra khau PI bị bao hoa ơ

mức 10V

Thí dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HTĐK có khâu bão hòa

 Thiết kế bộ điều khiển PI:

 Thiet ke bộ đieu khien PI:

101

.0)(

11

.0(

s

K

K P I

013000

)113

(1000

s   

 Phương trình đặc trưng phải có nghiệm s*, suy ra:

0 13000

) 24 32

)(

1 13

( 1000 )

24 32

( 110 )

24 32



0 13000

312000 416000

0

I

P

K K

Phương pháp Lyapunov

Phương pháp Lyapunov

Giới thiệu

 Phương pháp Lyapunov cung cấp điều kiện đủ để đánh giá tính ổn định của hệ phi tuyến

Giơi thiệu

gia tính on định cua hệ phi tuyen.

 Có thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao bất kỳ

 Có thể dùng phương pháp Lyapunov để thiết kế các bộ điều khiển phi tuyến.

 Hiện nay phương pháp Lyapunov là phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất để phân tích và thiết kế hệ phi

á tuyến.

Điểm cân bằng của hệ phi tuyến

 Xét hệ phi tuyến mô tả bởi phương trình trang thái sau:

),(x u

f

x 

 Xet hệ phi tuyen mo ta bơi phương trình trạng thai sau:

 Một điểm trạng thái xe được gọi là điểm cân bằng nếu như hệ đang ở trạng thái xe và không có tác động nào từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tai đó

ben ngoai thì hệ se nam nguyen tại đo.

 Dễ thấy điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình:

e

x x

x f

 Hệ phi tuyến có thể có nhiều điểm cân bằng hoặc không

 Hệ phi tuyen co the co nhieu điem can bang hoặc khong có điểm cân bằng nào Điều này hoàn toàn khác so với hệ tuyến tính , hệ tuyến tính luôn luôn có 1 điểm cân ä y , ä y bằng là x = 0

Điểm cân bằng của hệ phi tuyến

Điểm cân bằng của hệ phi tuyến –– Thí d Thí d

 Xét hệ con lắc mô tả bởi PTVP:

u l



)(sin

)()

(

2

t u mgl

t B t

(

)()

(

2

1

t t

 PTTT mô tả hệ con lắc là: x  ( t )  f ( x ( t ) u ( t ))

 PTTT mo ta hệ con lac la: x ( t )  f ( x ( t ), u ( t ))

1)

()

(i

)

()

,(

2

B g

t

x u

x f

trong đó:



 sin ( )  ( )  ( )

),

(

2 2

t

x l

g

f

g

Điểm cân bằng của hệ phi tuyến

Điểm cân bằng của hệ phi tuyến –– Thí d Thí d

x f

0

2 2 1

2

e e

e

x ml

B x

l g

 Kết luận: Hệ con lắc có

1)

()

(sin

)

()

,(

2

t u t

x

B t

x g

t

x u

x f

vo so điem can bang:

t

x l