Bài viết trình bày phương pháp ma trận chuyển cải tiến phân tích nội lực, chuyển vị thanh cong hình Elip, chịu tải trọng tĩnh tổng quát, gối tựa đàn hồi bố trí tại vị trí bất kì. Kết quả nghiên cứu được lập trình bằng phần mềm Matlab, kiểm chứng bằng phần mềm SAP 2000.
Trang 1KHOA H“C & C«NG NGHª
Sử dụng phương pháp ma trận chuyển cải tiến
để phân tích thanh cong elip có gối tựa đàn hồi
chịu tải trọng tĩnh tổng quát
Using modified transfer method to analyse ellips curve frame with springs supports
under general static load
Lê Dũng Bảo Trung
Tóm tắt
Bài báo trình bày phương pháp
ma trận chuyển cải tiến phân tích
nội lực, chuyển vị thanh cong hình
Elip, chịu tải trọng tĩnh tổng quát,
gối tựa đàn hồi bố trí tại vị trí bất
kì Kết quả nghiên cứu được lập
trình bằng phần mềm Matlab,
kiểm chứng bằng phần mềm
SAP 2000.
Từ khóa: Phần tử cong hình Elip, Phương
pháp ma trận chuyển cải tiến, Tải trọng
tĩnh tổng quát, Gối tựa đàn hồi tuyến
tính
Abstract
This paper presents Modified Transfer
Method in analysis internal force and
displacement of Ellips curve frame with
general static load and linear spring
supports Results are programed in
Matlab and verified with SAP 2000
programe.
Keywords: Ellips curve element,
Modified Transfer Method, Static general
load, Spring support
ThS Lê Dũng Bảo Trung
Khoa Xây dựng
Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội
Email: Trungldb@gmail.com
1 Giới thiệu
Thanh cong hình Elip thường sử dụng trong các công trình cổ điển hoặc hiện đại như nhà nhịp lớn, nhà cao tầng; đường dẫn; dầm đáy bể chứa Khi làm việc thanh luôn chịu tải trọng bất kì tác dụng theo 3 phương (tải trọng tổng quát) Để có tiết diện nhỏ, đảm bảo các điều kiện ổn định tổng thể, bất biến hình thanh cần có hệ giằng, cột chống; khi làm đường dẫn thanh thường đặt trên các gối tựa đàn hồi, do đó bài báo trình bày phương pháp ma trận chuyển cải tiến tính toán thanh cong phẳng hình Elip chịu tải trọng tĩnh tổng quát, gối tựa đàn hồi, vật liệu làm việc đàn hồi Kết quả nghiên cứu ứng dụng tính toán kết cấu vòm, dầm nhà, dầm cầu vượt, dầm trên nền đàn hồi
2 Ma trận độ cứng phần tử thanh cong hình Elip
Xét đoạn thanh cong thứ m có hai đầu mút là 1 và 2 Quy ước ứng lực và chuyển vị nút
là dương khi cùng chiều với hệ tọa độ (HTĐ) Kí hiệu {P}, {M}, {U}, {Ω} là các véc tơ ứng lực, mômen, chuyển vị thẳng và xoay tại nút Véc tơ ứng lực và chuyển vị nút tổng quát có dạng { } {P1 = P M1 1}T, { }U1 ={U 1 1}T, { } {P2 = P M 2 2}T, { }U2 ={U 2 2}TBiểu thức cơ bản của phương pháp (PP) ma trận chuyển giữa hai đầu 1 và 2 của phần tử thanh m [1] như sau:
[ ] [ ]
ds O
∫
A
U T
P
s2
11 12
Trong đó [A12U], [A12P], [A1] và [A2], kích thước 6x6, là các ma trận đặc trưng của m Biểu thức (1) là hệ phương trình đại số tuyến tính có ẩn số là các chuyển vị nằm ở cả hai
vế của phương trình, cải tiến biểu thức (1) đưa ẩn số về cùng một vế, ta có:
[ ]
11
21 22 12 11 22 12
T - T T T T T
11 12
c m
21 22
K K
k
K K
Biểu thức (2) có dạng biểu thức của PP phần tử hữu hạn Vận dụng đặc điểm sơ đồ tính thanh có dạng tuyến, không phân nhánh, xây dựng được [kc]m, và giải bài toán tương tự PP phần tử hữu hạn, [3, 4] Phương trình tham số trục thanh Elip có dạng:
Với a và b tương ứng là độ dài các bán trục trên Ox và Oy, tham số góc φ=(00÷3600) Tọa độ điểm chạy S(xφ, yφ) tương ứng góc φ, xác định như trên Hình 1
Quy ước HTĐ riêng, dấu chuyển vị, ứng lực của đoạn phân tố thanh cong ds, như Hình 2, trục z và z’ vuông góc với Oxy Gọi η là góc biến đổi tọa độ giữa trục x’-x, dựa vào phương trình tiếp tuyến của Elip tại điểm chạy S(xφ, yφ) và công thức chuyển đổi lượng giác giữa các cung liên kết, xác định được mối liên hệ giữa η và φ (rad):
ϕ
ϕ
2 2
sin
a
a x
Do vậy ta có:
( ) ( )
'
dx
d
ϕ
Trang 21 1
2 2
1 1
2 2
1 1
3
z '
1
C ds a sin b cos d ;
EI
1 1
x ' y '
2 2
1 1
z '
2 2
1 1
z '
2 2
1 1
z '
2 2
1 1
3
z '
b
EI
1 1
3
z '
a
EI
Kí hiệu tích phân cơ sở của các số hạng trong ma trận [B]như sau:
2
1
11
ϕ
ϕ
1
12
ϕ ϕ
2
13
ϕ
ϕ
14
ϕ ϕ
Trang 3KHOA H“C & C«NG NGHª
2
1
2
17 2 2sin 2 2
ϕ
ϕ
ϕ
1
3
18 2 2sin 2 2
ϕ ϕ
ϕ
1
2
19 2 2cos 2 2
ϕ ϕ
ϕ
∫
2
1
3
20 2 2cos 2 2
ϕ
ϕ
ϕ
∫
2
1
ϕ
ϕ
1
2
ϕ ϕ
1
2
ϕ ϕ
∫
2
1
ϕ
ϕ
1
25
ϕ ϕ
Hàm cần lấy tích phân Tm, m=(11÷25), đều là hàm siêu việt hoặc không thể xác định trực tiếp nguyên hàm nên sử dụng phương pháp tích phân số Simson [2] ta được biểu thức (4) và tính được MTĐC [kc]m của phần tử m tương ứng góc φ1 và
φ2, [1, 3]
Gối tựa đàn hồi có hệ số độ cứng theo phương chuyển vị thẳng kux, kuy, kuz, và xoay là kωx, kωy, kωz đưa vào sơ đồ tính bằng cách cộng độ cứng vào vị trí nút:
Với [K]dh là ma trận độ cứng gối tựa đàn hồi, có các số hạng trên đường chéo là các hệ số đàn hồi, các số hạng còn lại bằng không, [K]c là ma trận độ cứng tổng thể, [K]cdh là ma trận độ cứng của toàn hệ kể đến hệ số đàn hồi của các nút trong HTĐ chung
2
1
ö
ö
2 2
2 2
2 2
x' y' y'
3 x'
2
24 2 y'
18 x'
Bt (4):
a b a b- a +a
EI
a - b
GI
=
∫ B ds
2 x' 23 2
y' 2 20 x'
2 2 x' y'
22 2 2 3
x' y' y' x' y'
2 18 x'
3 2 y' x'
23 2
y' y'
2 20 x'
b GI T
-EI ab
GI
a b a b
-GI EI
b
EI
a b
GI
a +ab
EI GI
T
ab a ab
-EI ab
GI
21 19 17 x' x' y'
Trang 4P U
Bảng 3: Chuyển vị nút trong HTĐ chung
Bảng 4: Ứng lực nút trong HTĐ chung
Đầu 1
Đầu 2
Bảng 5: Ứng lực nút trong HTĐ riêng
Đầu 1
Trang 5KHOA H“C & C«NG NGHª
3
Lập chương trình phân tích và tính toán kiểm chứng
3.1 Chương trình phân tích
Chương trình PEA - V2 (Analysis Planar Ellips Arc - Version
2) lập trình bằng Matlab 2010a có khả năng phân tích tuyến tính
thanh cong hình Elip phẳng với số phần tử bất kì, chịu tải trọng
tĩnh tổng quát, có các liên kết đàn hồi tuyến tính bố trí tại vị trí
bất kì
3.2 Ví dụ phân tích bằng PCE-V2 và kiểm chứng bằng SAP
2000
Sử dụng chương trình PEA - V2 tính chuyển vị, ứng lực nút
cho thanh cong phẳng hình Ellip sơ đồ tính như Hình 3 Bán
trục thanh a=12 m, b=8 m Vật liệu thép có E=2,1e+08 kN/m2;
G=0,808e+08 kN/m2 Tiết diện thép hình chữ I tổ hợp kích thước
1000x350x20x10 mm có Ix’ =2,251e-06 m4; Iy’ =4,33e-03 m4, Iz’
=1,782e-04 m4; F=0.0246 m2 Liên kết đàn hồi kux=kuy=105 kN/m,
kuz=5x104 kN/m Kí hiệu CD là dạng liên kết ngăn cản chuyển vị,
TD là dạng liên kết cho phép chuyển vị, DH là liên kết đàn hồi trong Bảng 2 Tải trọng trên thanh cho trong Bảng 1 So sánh kết quả tính toán
Dùng PEA – V2 để phân tích chia và kí hiệu phần tử như Hình 4, hệ có 9 phần tử cong, 10 nút Dùng SAP 2000 để phân tích hệ chia thành 108 phần tử thẳng (Hình 5) Kết quả phân tích, so sánh giữa PEA-V2 và SAP 2000 trong Bảng 3, Bảng 4, Bảng 5
So sánh thấy kết quả phân tích tương đương nên PEA – V2 đảm bảo tính chính xác
4 Kết luận và kiến nghị
Bài báo trình bày phương pháp ma trận chuyển cải tiến phân tích tuyến tính thanh cong hình Elip có gối tựa đàn hồi Đây
là công cụ hữu ích giúp tính toán, kiểm chứng, nghiên cứu dạng kết cấu này, cũng như là cơ sở cho các phân tích nâng cao./
Tài liệu tham khảo
1 Nguyễn Trâm, Lý thuyết tính toán tổng thể không gian kết cấu
nhịp cầu, Luận án Tiến sĩ Khoa học, Maxcơva, Liên Xô, 1982.
2 Đặng Quốc Lương, Phương pháp tính trong kỹ thuật, NXB Khoa
học và Kỹ thuật, Hà nội, 2001.
3 Lê Dũng Bảo Trung, Nguyễn Hồng Sơn, Phương pháp mới phân
tích thanh cong phẳng liên tục chịu tải trọng không gian, Tuyển tập công trình hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học và Vật rắn biến dạng lần thứ XII, Đại học Duy Tân, TP Đà Nẵng,
1458-1465, 2015
4 Phạm Văn Đạt, Tính toán kết cấu hệ thanh theo phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản Xây Dựng, Hà nội, 2017.
Hình 3 Sơ đồ tính thanh Hình 4 Kí hiệu phần tử thanh
Hình 5 Sơ đồ tính Elip có gối tựa đàn hồi
trong SAP 2000