Bài viết giới thiệu cách giải bài toán dầm có điều kiện biên bất kỳ bằng phương pháp sai phân hữu hạn với việc sử dụng các hàm xấp xỉ trong phần mềm lập trình MathCad. Sử dụng hàm xấp xỉ của phần mềm Mathcad cho phép giảm đáng kể số lượng lưới sai phân mà vẫn đạt được kết quả chính xác tương đối theo yêu cầu.
Trang 1bằng phương pháp sai phân hữu hạn
Apply approximate functions of MathCad software for determining internal forces and
displacement of beams using finite difference method
Hoàng Thị Linh Quyên
Tóm tắt
Bài báo giới thiệu cách giải bài toán dầm có
điều kiện biên bất kỳ bằng phương pháp sai
phân hữu hạn với việc sử dụng các hàm xấp xỉ
trong phần mềm lập trình MathCad Sử dụng
hàm xấp xỉ của phần mềm Mathcad cho phép
giảm đáng kể số lượng lưới sai phân mà vẫn
đạt được kết quả chính xác tương đối theo
yêu cầu.
Từ khóa: phương pháp sai phân hữu hạn, dầm,
hàm xấp xỉ trong MathCad
Abstract
This paper presents an approach to solve
problem of beams with any constraints using
finite difference method with the applying
of approximate functions in the MathCad
programming software Using the approximate
functions of MathCad software gives a significant
reduction of mesh number in the achieving of
relative accuracy results.
Key words: finite difference method, beam,
approximate functions in MathCad
ThS Hoàng Thị Linh Quyên
Bộ môn Sức bền vật liệu – Cơ học kết cấu,
Khoa Xây dựng
Email: hoanglinhquyen@gmail.com
Điện thoại: 084.974688919
Ngày nhận bài: 29/5/2017
Ngày sửa bài: 10/6/2017
Ngày duyệt đăng: 05/10/2018
1 Đặt vấn đề
Dầm là cấu kiện chịu lực cơ bản và rộng rãi trong kết cấu công trình Trong
lí thuyết tính toán, nội lực và chuyển vị dầm được xác định trên cơ sở phương pháp giải tích và cho lời giải chính xác, nhưng chỉ áp dụng được trong các trường hợp đơn giản Đối với bài toán dầm với điều kiện biên và chịu lực phức tạp việc
áp dụng phương pháp giải tích gặp phải các khó khăn về mặt toán học Cùng với
sự phát triển của công nghệ thông tin và các công cụ lập trình các bài toán phức tạp đã có thể giải quyết được bằng cách áp dụng các phương pháp số Một trong những phương pháp số phổ biến hiện và được phát triển hiện nay là phương pháp sai phân hữu hạn
Phương pháp sai phân hữu hạn là phương pháp số gần đúng để giải các phương trình vi phân hoặc các phương trình đạo hàm riêng trên cơ sở thay thế các đạo hàm trong các phương trình vi phân và các điều kiện biên bằng hiệu của các giá trị hàm tương ứng giữa một khoảng chia hữu hạn Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn đưa việc giải hệ các phương trình vi phân về việc giải hệ phương trình đại số Tuy nhiên, sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn chỉ cho phép xác định giá trị hàm tại các điểm nút, giá trị nội lực và chuyển vị tải các điểm còn lại được xác định bằng cách nội suy Để đơn giản hóa trong việc xây dựng lời giải người ta giả thiết rằng các giá trị các đại lượng cần tìm giữa các khoảng chia thay đổi theo quy luật tuyến tính, điều đó dẫn tới sai số lớn khi tính toán nội lực
và chuyển vị của dầm vì các đại lượng cần tìm trong bài toán dầm có mối liên hệ
vi phân bậc 2, bậc 3, bậc 4 Vì vậy để kết quả bài toán giải theo phương pháp sai phân hữu hạn được chính xác thường phải chia lưới sai phân rất nhỏ, dẫn tới khối lượng tính toán lớn Đây chính là điểm yếu của phương pháp sai phân hữu hạn Ngày nay, với sự phát triển của công nghệ thông tin, các phần mềm ứng dụng
có các hàm tính nội suy bậc cao cho phép giải bài toán với độ chính xác cao mà không cần phải chia quá nhỏ lưới sai phân trong phương pháp sai phân hữu hạn Nội dung bài báo này sẽ trình bày cụ thể việc sử dụng các hàm nội suy trong phần mềm lập trình MathCad bằng phương pháp sai phân hữu hạn để tính toán nội lực
và chuyển vị cho dầm bất kỳ
2 Phương pháp sai phân hữu hạn trong tính toán nội lực và chuyển vị của dầm
2.1 Phương pháp sai phân hữu hạn cho hàm một biến
Xét hàm một biến y(x) liên tục trong miền xác định của nó Gọi ∆x là bước sai phân Ta có giá trị của hàm tại điểm chia thứ n là yn Trên hình 1 thể hiện đồ thị biểu diễn hàm tính theo phương pháp sai phân hữu hạn
Đạo hàm trong các phương trình được biểu thị bằng các sai phân của hàm như sau
• Đạo hàm cấp 1:
n n 1 n 1 n
dy
∆ ∆ (1)
• Đạo hàm cấp 2:
( )
2
2 2
n
d y
≈
∆
(2)
Trang 2KHOA H“C & C«NG NGHª
Hình 3 Đồ thị minh họa hàm nội suy tuyến tính Hình 4 Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng các
véctơ hệ số cspline
Hình 5 Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng các Hình 6 Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng các
( )
∆
≈
∆
4 4
n 4 4
n
y
d y
( )
=
∆
4
x
(3)
2.2 Hệ phương trình sai phân tính nội lực và chuyển vị của dầm
Xét dầm chịu tải trọng như hình 2, theo lý thuyết tính toán của sức bền vật liệu ta có mối liên hệ vi phân giữa các đại lượng độ võng, mômen uốn, lực cắt và tải trọng phân bố như sau:
2 2
d M q
2 2
x
d y M
dx = EI
(5)
4 4
x
d y q
dx = EI
(6)
Trong đó M: mômen uốn có chiều dương nếu căng thớ dưới ;
Hình 1 Đồ thị biểu diễn hàm theo phương pháp sai
phân hữu hạn
Hình 2 Sơ đồ tải trọng và chuyển vị của dầm
Trang 3q: cường độ tải trọng phân bố, chiều dương hướng từ
dưới lên trên ;
y(x): chuyển vị của dầm;
EIx: độ cứng chống uốn
Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn ta có các
phương trình đại số xác định mô men uốn và chuyển vị của
dầm như sau:
− − + + = ∆ 2
∆
x
M
EI (8)
∆
x
q
EI (9)
3 Hàm xấp xỉ nội suy trong MathCad khi tính toán nội
lực và chuyển vị của dầm
MathCad là một phần mềm lập trình toán học tương đối
phổ biến hiện nay và được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh
vực liên quan tới phương pháp tính Đây là phần mềm toán
học đơn giản và giúp giải quyết hiệu quả các bài toán có khối
hữu hạn
3.1 Các hàm xấp xỉ nội suy
3.1.1 Hàm nội suy tuyến tính Hàm nội suy tuyến tính là hàm nội suy đơn giản nhất, là tập hợp của các quan hệ cần tìm A{X} biểu diễn theo đường gấp khúc Hàm nội suy A{X} gồm các đoạn thẳng nối các điểm chia như thể hiện trên hình 1
Để thiết lập hàm nội suy tuyến tính người ta dùng hàm linterp(x, y, t) – là hàm xấp xỉ các véctơ x và y theo quan hệ tuyến tính trên từng đoạn, trong đó :
x – véctơ biến số, các phần tử được xếp theo thứ tự tăng dần;
y – véctơ giá trị tương ứng;
t – giá trị biến số mà tại điểm đó cần thực hiện phép nội suy
3.1.2 Hàm nội suy lập phương Trong thực tế thì nếu cần phải nối các điểm với nhau thì thường ít nối bằng các đường thẳng gấp khúc mà người ta hay nối bằng đường cong mịn để tăng độ chính xác Để làm được điều đó thì người ta thường dùng đường nội suy spline bậc 3, tức là các đoạn được nối với nhau bằng đường cong bậc 3 Sử dụng hàm interp(s, x, y, t) – hàm xấp xỉ các véctơ x
và y bằng spline lập phương như thể hiện trên hình 3 , trong
đó ngoài các véc tơ x,y,t giống hàm nội suy tuyến tính thì còn
bổ sung thêm các véc tơ sau:
s – véctơ đạo hàm bậc 2, được suy ra từ các hàm cspline, pspline hoặc lspline;
Hình 7 Dầm 2 đầu ngàm
Hình 8 Đồ thị so sánh kết quả tính nội lực và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn và hàm nội suy
Trang 4KHOA H“C & C«NG NGHª
lspline(x, y) – véctơ giá trị các hệ số spline tuyến tính;
pspline(x, y) – véctơ giá trị hệ số spline bình phương;
cspline(x, y) – véctơ giá trị hệ số spline lập phương;
x, y – véc tơ dữ liệu đầu vào
3.2 Sử dụng các hàm xấp xỉ nội suy trong bài toán dầm
Khi sử dụng các hàm xấp xỉ trong phần mềm ứng dụng
MathCad cho phép giải bài toán tính nội lực và chuyển vị của
dầm có điều kiện biên bất kì chịu tải trọng Để minh họa việc
triển khai các thao tác lập trình trong MathCad ta xét bài toán
dầm liên kết 2 đầu ngàm chịu uốn dưới tác dụng của tải trọng
phân bố đều q như thể hiện trên hình 7
Nghiệm giải tích của bài toán này có thể viết dưới dạng sau:
2
(z)
⋅
; 2
(z)
; 2
2 (z)
;
Hình 9 Đồ thị so sánh kết quả tính nội lực và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn và hàm nội suy lập phương với véc tơ hệ số pspline lập phương
Bảng 1 So sánh giá trị nội lực và chuyển vị lớn nhất
của dầm theo phương pháp giải tích và phương pháp
sai phân hữu hạn
Đại lượng Tính theo phương
pháp giải tích
Tính theo phương pháp SPHH với bước sai phân Δ=0.06m
Sai số (%) Δ
max
2
( )
y
max 2
l
ϕ = ϕ 0.024 rad 0.023 5.6
max 2
l
V = V 7.604x103 m 7.026x103 7.6
Bảng 2 Sai số của các hàm độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt khi tính theo phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng hàm nội suy khác nhau và phương pháp giải tích
Đại lượng
Sai số các hàm mômen, lực cắt, góc xoay và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn
có sử dụng hàm nội suy có véc tơ khác nhau và
phương pháp giải tích Véc tơ hệ số
cspline Véc tơ hệ số pspline Véc tơ hệ số lspline
M
Q
ϕ
V
Trang 52
Q = − + qz
Từ công thức (10) thấy rằng chuyển vị của thanh là 1
đường cong bậc 4, góc xoay của tiết diện được biểu thị bằng
đường cong bậc 3, mômen uốn là đường cong bậc 2, lực cắt
là đường bậc nhất Điều này có nghĩa là khi giải bài toán này
bằng phương pháp sai phân hữu hạn hàm xấp xỉ lực cắt giữa
các điểm chia trong từng đoạn được chọn là hàm bậc nhất,
hàm xấp xỉ mômen được chọn là hàm bậc 2, tương tự hàm
góc xoay tiết diện là bậc 3, và để xấp xỉ hàm chuyển vị giữa
các điểm chia cần phải dùng hàm bậc 4 Như vậy, giả thiết
về sự phân bố bậc nhất của các hàm chuyển vị, góc xoay,
mô men uốn và lực cắt giữa các điểm chia trong từng đoạn
của phương pháp sai phân hữu hạn dẫn đến sai số tương
đối lớn Vì vậy, ta dùng các hàm nội suy như đã nêu trên để
áp dụng vào bài toán
4 Ví dụ tính toán
Trong phạm vi bài báo, tác giả thực hiện ví dụ dầm liên
kết 2 đầu ngàm có chiều dài l=6m như hình 7, được làm
từ thép với môđun đàn hồi E=2.15x108 KPa và có mặt cắt
ngang hình chữ nhật có kích thước là bxh=0.22x0.45 m, chịu
tải trọng q=15kN/m phân bố đều Dưới đây là kết quả tính
toán nội lực và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu
hạn có sử dụng hàm nội suy khác nhau:
Các giá trị lớn nhất của độ võng, góc xoay, mômen uốn và
lực cắt theo công thức giải tích (10) như thể hiện trong bảng
1 Sai số giữa các hàm độ võng, góc xoay, mô men uốn và
lực cắt tương ứng tính theo công thức giải tích (10) và tính
theo phương pháp sai phân hữu hạn trong khoảng l=6m với
bước sai phân thể hiện trong bảng 1
các đồ thị như hình 8, hình 9, hình 10
Bảng 2 thể hiện các sai số của các hàm độ võng, góc xoay, mômen uốn và lực cắt tương ứng tính theo phương pháp giải tích xác định bằng công thức (10) và tính theo phương pháp sai phân hữu hạn hạn trong khoảng l=6m với bước sai phân Δx=0.5m có sử dụng hàm xấp xỉ nội suy lập phương với các véc tơ hệ số khác nhau
5 Kết luận
Sử dụng hàm xấp xỉ nội suy trong tính toán nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn cho phép giảm đáng kể khối lượng tính toán
Việc lựa chọn và sử dụng véctơ hệ số ảnh hưởng rõ rệt tới độ chính xác của kết quả tính toán./
T¿i lièu tham khÀo
1 Võ Như Cầu (2005), Tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn Nhà xuất bản Xây dựng.
2 Nguyễn Mạnh Yên, Phương pháp số trong cơ học kết cấu, NXB khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2000.
3 Nguyễn Tiến Cường (dịch sách của giáo sư, phó tiến sĩ KHKT T.Karaminxki), Phương pháp số trong cơ học kết cấu, NXB Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội, 1985.
4 Макаров Е.Г., Инженерные расчеты в MathCad: Учеб Курс СПБ, 2005.
5 Бакушев С.В., Расчёт конструкций методом конечных разностей с использованием аппроксимирующих функций MathCad 2015.