048 đề thi vào 10 chuyên toán bình thuận 2019 2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN Môn thi:Toán hệ số 2 – chuyên toán Bài 1.. Đường thẳng qua E song song với CD cắt AB tại F.. 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN

Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN

Môn thi:Toán (hệ số 2 – chuyên toán)

Bài 1 (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:  

185 (1)

65 (2)

x xy y x y

x xy y x y







Bài 2 (2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng số  4 4

M  n n  chia hết cho mọi số chính phương khác

1với mọi số n nguyên dương

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phương trình : x2 n x2   n 1 0(ẩn số )x có các

nghiệm là số nguyên

Bài 3 (2,0 điểm) Cho các số dương , ,x y z thỏa 1

2

xyz

Chứng minh:

xy yz xz

Bài 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại  0

90

A A nội tiếp đường tròn (O) Gọi D

là một điểm trên cung AB không chứa C( D khác , ) A B Hai dây cung AD và BC kéo

dài tại E Đường thẳng qua E song song với CD cắt AB tại F Vẽ tiếp tuyến FG với

đường tròn  O (G là tiếp điểm)

a) Chứng minh : FGFE

b) Từ trung điểm I của BC vẽ IJ  AC J AC.Gọi H là trung điểm của IJ

Chứng minh AH BJ

Bài 5 (1,0 điểm) Trong một buổi tổ chức lễ tuyên dương các học sinh có thành tích học

tập xuất sắc của một huyện, ngoại trừ bạn An, hai người bất kỳ đều bắt tay nhau An chỉ bắt tay với những người mình quen Biết rằng một cặp (hai người) chỉ bắt tay không quá một lần và có tổng cộng 420 bắt tay Hỏi bạn An có bao nhiêu người quen trong buổi lễ tuyên dương đó

ĐÁP ÁN Bài 1

Cộng các phương trình vế theo vế ta có:

 

2 2 2 2

3

Thay vào (1) ta có:

25xy x  y 185 25xy 5 185 xy12

Như vậy hệ đã cho :

2 2

2

12 25

144 12

12

y

x x

xy

x

x













Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình     x y;  3;4 ;  3; 4 ; 4;3 ;    4; 3

Bài 2

a) Ta có:

4 4

2

Vì n *nên  2 

1

n  n là số chính phương khác 1

Do đó, từ  * suy ra  4 4

M  n n  chia hết cho một số chính phương khác 1với

mọi số n nguyên dương (đpcm)

b) Xét phương trình: x2 n x2   n 1 0(ẩn số )x (1)

Để phương trinh (1) có nghiệm thì 4  

Gọi x x1; 2là hai nghiệm cuẩ phương trình (1)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta được:

2

1 2

1 2 1

x x n

x x n



2

1 2 1 2

2

1

Với n ,n 0;1 thì

2

1 2

1 2

4

1 3

x x n

x x n



  



Do đó x11;x2  1 x11x2   1 0 2n n  1 0

2 n 0

   (do n   1 0, n ) n 2

Mà n ,n 0;1  n 2.Khi đó phương trình (1) trở thành:

3( )







Vậy với n ,đê phương trình đã cho có các nghiệm lầ số nguyên thì n2

Bài 3

Ta có:

2

1

y z

a b c a b c abc

x  y  z    

Theo bất đẳng thức Cô si ta có:

Cộng các vế lại với nhau ta có:

2

2

a b c

b c a c a b

a b c a b c a b c

xy yz zx

b c a c a b abc ab bc ca

xy yz xz dfcm

x y z y x z z x y

 

Bài 4

a) Ta có FG/ /CDFEBDCB(cặp góc so le trong)

Và DCBDAB(cùng chắn cung AD) vậy nên

2

FEB FAE FBE FEA g g FE FA FB

FA FE

Do FG là tiếp tuyến tại G của đường tròn (O) FGBFAG(cùng chắn cung GB)

FGB FAG g g FG FA FB

FB FG

Do đó 2 2

FG FE FGFB

b) Ta gọi Q là trung điểm CJ thì IQ là đường trung bình BJCIQ/ /BJ

Ta sẽ chứng minh AH IQ

Q

I G F

E

C O

A

B D

Do HQ/ /IC (HQ là đường trung bình tam giác JIC và AI) BCAI IC(do tam

giác ABC cân tại A có AI là đường trung tuyến )HQ/ /IA

Kết hợp với IH  AQ khi đó H là trực tâm AIQ AH IQAH BJ

Bài 5

Giả sử ngoài bạn An còn có n bạn và An quen m bạn, điều kiện mn m n; ,  *

Số cái bắt tay là  1

2

n n

m





Theo bài ra ta có phương trình:

2

n n



Mặt khác 2m2 ,n kết hợp với  1 ta suy ra   2

n n  n n  n  n

Và 2m2, kết hợp với  1 ta suy ra n2  n 838  0 n 29, từ đó suy ra n29

Thay n29vào (1) ta có 2m29.28 840  m 14

Vậy An quen 14 người