Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng

Mục đích của luận án là thiết lập các kết quả nghiên cứu mới dựa vào việc khảo sát hai vấn đề cơ bản nêu trên, góp phần làm rõ vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ VĂN HIỂN

MỘT SỐ KẾT QUẢ

VỀ TÍNH DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC

TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 9 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2019

Người hướng dẫn khoa học:

1 TS Nguyễn Huy Chiêu

2 PGS TS Đinh Huy Hoàng

Có thể tìm hiểu luận án tại:

1 Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh

2 Thư viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nhằm bổ sung công cụ để khảo sát các bài toán tối ưu và bài toán liên quan, đầunhững năm 1960, R T Rockafellar và J.-J Moreau đề xuất và nghiên cứu khái niệmdưới vi phân cho hàm lồi Giữa thập niên 1970, F H Clarke và B S Mordukhovichđộc lập đưa ra các khái niệm dưới vi phân cho hàm có thể không lồi Đạo hàm và đốiđạo hàm của ánh xạ đa trị xuất hiện vào đầu thập niên 1980 Bên cạnh đó, nhiềukhái niệm vi phân suy rộng khác cũng đã được giới thiệu và nghiên cứu Năm 1998,

R T Rockafellar và R J.-B Wets xuất bản cuốn sách chuyên khảo “VariationalAnalysis” trên cơ sở tổng hợp, hệ thống hóa và bổ sung những kết quả cơ bản theohướng nghiên cứu này, đánh dấu sự ra đời của Giải tích biến phân

Đến nay, giải tích biến phân bậc nhất đã khá hoàn thiện, trong khi đó giải tíchbiến phân bậc hai đang được nghiên cứu mạnh và phát triển nhanh Lĩnh vực nàythu hút được sự chú ý của nhiều nhà toán học trong thời gian gần đây

Vi phân suy rộng đóng vai trò trung tâm trong giải tích biến phân và ứng dụng.Đối với bất kỳ cấu trúc vi phân suy rộng nào, luôn có hai vấn đề cơ bản được đặt ramột cách tự nhiên: thứ nhất là cấu trúc đó phản ánh được tính chất nào của hàm

số, ánh xạ hay tập hợp; thứ hai là làm thế nào để tính toán hoặc ước lượng cấu trúc

đó theo dữ liệu ban đầu của bài toán Thực tế là để giải quyết thấu đáo mỗi vấn đềnày người ta đều cần đến thông tin về tính chính quy nào đó của hàm số, ánh xạhay tập hợp có liên quan Chính vì vậy, các tính chất chính quy là những đối tượngnghiên cứu quan trọng trong giải tích biến phân

Tính dưới chính quy mêtric là một trong những tính chất chính quy đáng chú ýtrong giải tích biến phân bậc nhất Gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu vềtính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân bậc hai Tuy vậy, vai trò củatính chất này trong giải tích biến phân bậc hai vẫn là một vấn đề thú vị cần đượckhảo sát thêm

Với các lý do như thế, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án của mình là “Một sốkết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứngdụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là thiết lập các kết quả nghiên cứu mới dựa vào việc khảosát hai vấn đề cơ bản nêu trên, góp phần làm rõ vai trò của tính dưới chính quymêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các tính chính quy trong giải tích biếnphân, đạo hàm đồ thị dưới gradient, tính ổn định xiên (tilt stability) và tính chấttĩnh lặng cô lập (isolated calmness)

4 Phạm vi nghiên cứu

- Đối với vấn đề thứ nhất, luận án tập trung nghiên cứu khả năng của đạo hàm

đồ thị dưới gradient trong việc nhận biết tính ổn định xiên cho các bài toán tối ưukhông ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề Đồng thời, luận án cũng quantâm đến các bài toán quy hoạch phi tuyến ràng buộc bất đẳng thức thỏa mãn điềukiện dưới chính quy mêtric với hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc khả vi liên tụchai lần

- Đối với vấn đề thứ hai, luận án tập trung vào việc tính đạo hàm đồ thị dướigradient cho một lớp ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện dưới chính quy mêtric

và sử dụng kết quả tính toán này để khảo sát tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạnghiệm cho một lớp phương trình suy rộng

5 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân và các kĩthuật của giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích đa trị, giải tích biến phân, lý thuyếttối ưu

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án góp phần làm phong phú thêm về quy tắc tính toán trong giải tích biếnphân; đồng thời, luận án cũng đề xuất cách tiếp cận mới nghiên cứu tính ổn địnhxiên, cải thiện được một số kết quả về tính ổn định xiên trong quy hoạch phi tuyến;qua đó làm rõ hơn vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân

và ứng dụng Luận án là tài liệu tham khảo tốt cho những ai quan tâm nghiên cứulĩnh vực giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu và ứng dụng

7 Tổng quan và cấu trúc của luận án

7.1 Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án

Các tính chất chính quy đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến phân vàứng dụng Một mặt, những tính chất này được dùng để thiết lập điều kiện cực trị

và nghiên cứu vấn đề ổn định cho các bài toán tối ưu và bài toán liên quan Mặtkhác, chúng được sử dụng để phát triển hệ thống quy tắc tính toán trong giải tíchbiến phân Ngoài ra, tính chất chính quy cũng được dùng để khảo sát sự hội tụ củacác thuật toán trong tối ưu số

Trong giải tích biến phân, các nhà toán học đã đề xuất và nghiên cứu nhiều kháiniệm chính quy khác nhau cho cả tập hợp, hàm giá trị thực mở rộng và ánh xạ đatrị Một trong những tính chất chính quy rất quan trọng trong các nghiên cứu điềukiện tối ưu và quy tắc tính toán của các cấu trúc vi phân suy rộng là tính dưới chính

quy mêtric Năm 1979, A D Ioffe sử dụng tính chất này để định nghĩa khái niệmđiểm chính quy và thiết lập điều kiện cần tối ưu bậc nhất cho một lớp bài toán tối

ưu Thuật ngữ “dưới chính quy mêtric” được đề xuất năm 2004 bởi A L Dontchev

và R T Rockafellar Tính dưới chính quy mêtric của ánh xạ đa trị tương đươngvới tính chất tĩnh lặng (calmness) của ánh xạ ngược Năm 2008, A D Ioffe và J

V Outrata đã thiết lập được hệ thống quy tắc tính toán cho các cấu trúc vi phânsuy rộng bậc nhất dạng đối ngẫu với điều kiện dưới chính quy mêtric Gần đây, cácnhà nghiên cứu cũng đã thiết lập được nhiều quy tắc tính toán cho các cấu trúc viphân suy rộng bậc hai với giả thiết dưới chính quy mêtric

Đạo hàm đồ thị (graphical derivative) của ánh xạ đa trị tại điểm thuộc đồ thị

là ánh xạ đa trị có đồ thị là nón tiếp tuyến của đồ thị ánh xạ đa trị đã cho tại điểmđược xem xét Khái niệm này được J -P Aubin đề xuất năm 1981 với tên gọi làđạo hàm contingent Thuật ngữ đạo hàm đồ thị đã được sử dụng trong cuốn sáchchuyên khảo “Variational Analysis” xuất bản năm 1998 của R T Rockafellar và R

J -B Wets và hiện nay nó là thuật ngữ thông dụng để chỉ khái niệm trên Đạo hàm

đồ thị là công cụ mạnh trong giải tích biến phân Nó đã được dùng để nghiên cứutính ổn định của các hệ ràng buộc, hệ biến phân và tổng quát hơn là các phươngtrình suy rộng Đạo hàm đồ thị còn có thể sử dụng để đặc trưng một số tính chấttốt của ánh xạ đa trị như tính chính quy mêtric, tính chất Aubin, tính chất tĩnhlặng cô lập và tính dưới chính quy mêtric mạnh Mặc dù là chìa khóa để giải quyếtnhiều vấn đề quan trọng trong giải tích biến phân, tính toán đạo hàm đồ thị nóichung là bài toán khó Nó đã được nhiều người nghiên cứu trong thời gian dài vànhiều kết quả thú vị theo hướng này đã được thiết lập

Xét tập Γ cho bởi công thức Γ := x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ

, trong đó q : Rn → Rm,

q(x) = (q1(x), q2(x), , qm(x)), là ánh xạ khả vi liên tục hai lần và Θ ⊂ Rm là tậpđóng khác rỗng Đặt Mq(x) := q(x) − Θ với x ∈ Rn Nếu Θ = Rm− thì Γ là miềnràng buộc của quy hoạch phi tuyến và, trong trường hợp này, chuẩn hóa ràng buộcMangasarian-Fromovitz (MFCQ) đúng tại x ∈ Γ¯ khi và chỉ khi ánh xạ Mq chínhquy mêtric quanh (¯x, 0) Hơn nữa, nếu thêm giả thiết qi : Rn → R, i = 1, 2, , m,

là các hàm lồi, thì điều kiện Slater đúng khi và chỉ khi Mq chính quy mêtric Nếu Θ

là nón lồi đóng thì Γ chính là miền ràng buộc của quy hoạch nón và khi đó chuẩnhóa ràng buộc Robinson (RCQ) là tương đương với tính chính quy mêtric của Mq

Điều kiện Slater, MFCQ và RCQ đều là các chuẩn hóa ràng buộc rất quan trọngtrong lý thuyết tối ưu và ứng dụng Những điều kiện này về bản chất chính là tínhchính quy mêtric của ánh xạ đa trị Mq Do đó, có thể gọi chung các điều kiện này làchuẩn hóa ràng buộc chính quy mêtric Năm 2015, với Γ là miền ràng buộc của quyhoạch phi tuyến, H Gfrerer và B S Mordukhovich đã giới thiệu khái niệm chuẩnhóa ràng buộc dưới chính quy mêtric (MSCQ), đó là điều kiện Mq là dưới chính quymêtric Sau đó, khái niệm này đã được mở rộng cho Θ là tập đóng bất kỳ

Trong luận án này, chúng tôi quan tâm vấn đề tính đạo hàm đồ thị DNΓ củaánh xạ nón pháp tuyến NΓ : Rn ⇒ Rn, x 7→ NΓ(x), với Θ là tập lồi đa diện Kếtquả đầu tiên về tính đạo hàm DNΓ được thiết lập vào năm 1996 bởi A L Dontchev

và R T Rockafellar, ở đó các tác giả này đã mô tả được chính xác đồ thị của DNΓ,

với giả thiết Γ là tập lồi đa diện, theo dữ liệu đầu vào của bài toán Kết quả nàysau đó đã được dùng để tính dưới vi phân bậc hai qua giới hạn của hàm chỉ của

Γ Dựa vào một số quy tắc tính toán có sẵn của giải tích biến phân, năm 2013,

R Henrion cùng các cộng sự đã giới thiệu công thức tính đạo hàm DNΓ với giảthiết Mq(x) := q(x) − Θ chính quy mêtric quanh điểm được xem xét Năm 2014, H.Gfrerer và J V Outrata đã chứng minh được công thức tính đạo hàm đồ thị của

R Henrion cùng các cộng sự vẫn đúng nếu Θ :=Rm− và điều kiện chính quy mêtricđược thay bởi điều kiện yếu hơn là tính dưới chính quy mêtric đúng tại điểm đượcxem xét và một tính chính quy mêtric đều đúng quanh điểm này Một đóng góp rấtquan trọng của H Gfrerer và J V Outrata là việc đề xuất được lược đồ chứng minhtrực tiếp công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp, mở đường giải quyếtmột cách thỏa đáng bài toán tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến Sửdụng lược đồ này cho trường hợp Θ := {0Rm1} ×Rm−m1

− với chuẩn hóa ràng buộcdưới chính quy mêtric, năm 2015, H Gfrerer và B S Mordukhovich đã chứng tỏrằng kết quả tương tự vẫn đúng nếu thay điều kiện chính quy mêtric đều bởi điềukiện yếu hơn, đó là tính chất điểm cực biên bị chặn (BEPP) được thỏa mãn

Kết quả tính toán đạo hàm đồ thị của A L Dontchev và R T Rockafellar vàcác kết quả thiết lập về sau nói chung là độc lập với nhau Tuy nhiên, về bản chất,chúng đều có giả thiết là thỏa mãn chuẩn hóa dưới chính quy mêtric và một tínhchất nào đó thêm vào Điều này dẫn tới câu hỏi tự nhiên như sau: Liệu chúng ta cóthể hợp nhất các kết quả tính toán đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến bằngcách bỏ tính chất thêm vào được không? Nói cách khác, các công thức tính đạo hàm

đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến đã đề cập ở trên có còn đúng không nếu chỉ giảthiết Mq dưới chính quy mêtric?

Trong Chương 2, với giả thiết Mq dưới chính quy mêtric tại điểm được xem xét

và Θ là tập lồi đa diện, bỏ tính chất thêm vào, chúng tôi chứng minh được côngthức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến như trên vẫn đúng và như vậytrả lời được một cách khẳng định cho câu hỏi nêu trên Để thiết lập công thức này,chúng tôi đã sử dụng lược đồ chứng minh của H Gfrerer và J V Outrata kết hợpvới một ý tưởng của A D Ioffe và J V Outrata Nhờ công thức tính đạo hàm đồthị của ánh xạ nón pháp tuyến, chúng tôi thu được công thức tính đạo hàm đồ thịcủa ánh xạ nghiệm và đặc trưng được tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệmcho một lớp phương trình suy rộng Kết quả của chúng tôi hợp nhất được nhiều kếtquả liên quan theo hướng nghiên cứu này

Ổn định xiên (tilt stability) là một tính chất của cực tiểu địa phương đảmbảo điểm này sẽ dịch chuyển kiểu Lipschitz khi hàm mục tiêu của bài toán tối ưuchịu nhiễu tuyến tính nhỏ Khái niệm ổn định xiên được R A Poliquin và R T.Rockafellar giới thiệu cho bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu là hàmgiá trị thực mở rộng Tính ổn định xiên về cơ bản tương đương với điều kiện tăngtrưởng bậc hai đều cũng như tính chính quy mêtric mạnh của ánh xạ dưới vi phân.Đặc trưng đầu tiên của tính ổn định xiên bằng cách dùng vi phân suy rộng bậchai được R A Poliquin và R T Rockafellar thiết lập vào năm 1998 Khi đó, các tácgiả này đã chứng minh được rằng đối với bài toán tối ưu không ràng buộc mà hàmmục tiêu chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân, một điểm dừng là cực tiểu địaphương ổn định xiên nếu và chỉ nếu dưới vi phân qua giới hạn bậc hai của hàm mụctiêu là xác định dương tại điểm được xem xét Hơn nữa, sử dụng kết quả này cùngvới công thức của A L Dontchev và R T Rockafellar về tính dưới vi phân qua giớihạn bậc hai của hàm chỉ của tập lồi đa diện, R A Poliquin và R T Rockafellar đã

thu được đặc trưng bậc hai cho tính ổn định xiên của bài toán quy hoạch phi tuyếnvới ràng buộc tuyến tính.

Năm 2012, nhờ thiết lập các công thức tính dưới vi phân bậc hai mới, B S.Mordukhovich và R T Rockafellar đã thu được đặc trưng bậc hai của cực tiểu địaphương ổn định xiên cho một số lớp bài toán tối ưu có ràng buộc Đặc biệt, các tácgiả này đã cho thấy rằng một điểm dừng của quy hoạch phi tuyến thỏa mãn chuẩnhóa ràng buộc độc lập tuyến tính (LICQ) là cực tiểu địa phương ổn định xiên nếu

và chỉ nếu điều kiện đủ bậc hai mạnh (SSOSC) đúng Cũng trong năm 2012, vớiquy hoạch phi tuyến thỏa mãn cả MFCQ và CRCQ, B S Mordukhovich và J V.Outrata đã chứng minh SSOSC là điều kiện đủ để một điểm dừng là cực tiểu địaphương ổn định xiên Năm 2015, B S Mordukhovich và T T A Nghia đã cho thấySSOSC không phải là điều kiện cần cho tính ổn định xiên và sau đó đã giới thiệuđiều kiện đủ bậc hai đều (USOSC) để đặc trưng tính ổn định xiên khi cả MFCQ vàCRCQ đúng Gần đây, H Gfrerer và B S Mordukhovich đã thu được một số điềukiện đủ bậc hai cho cực tiểu ổn định xiên của bài toán quy hoạch phi tuyến thỏamãn MSCQ và BEPP Hơn nữa, khi thêm điều kiện không suy thoái hoặc 2-chínhquy vào thì họ đã thu được đặc trưng bậc hai cho cực tiểu địa phương ổn định xiên.Thay vì sử dụng các dưới vi phân bậc hai, chúng tôi sử dụng đạo hàm đồ thị củaánh xạ dưới gradient để đặc trưng tính ổn định xiên Đây là cách tiếp cận nghiêncứu ổn định xiên chưa từng được sử dụng bởi các tác giả khác Lợi thế của cáchtiếp cận này là hiện nay đã có sẵn các công thức tính đạo hàm đồ thị dưới gradienttrong nhiều trường hợp với giả thiết khá nhẹ Hơn nữa, một số kết quả về tính ổnđịnh xiên đã được thiết lập dựa trên tính toán đạo hàm đồ thị dưới gradient như làmột bước trung gian Các quan sát này dẫn đến các câu hỏi tự nhiên như sau:Liệu chúng ta có thể sử dụng đạo hàm đồ thị dưới gradient để đặc trưng tính ổnđịnh xiên của cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mụctiêu chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân được không? Nếu có thì đặc trưng này

có thể giúp chúng ta cải thiện các kết quả đã thiết lập về tính ổn định xiên cho bàitoán quy hoạch phi tuyến được không? Giả thiết chính quy gần kề có bỏ được không?Chương 3 của luận án sẽ trả lời các câu hỏi trên một cách đầy đủ, cụ thể: Chúngtôi thiết lập được đặc trưng tính ổn định xiên của cực tiểu địa phương của bài toántối ưu không ràng buộc thông qua đạo hàm đồ thị dưới gradient; áp dụng kết quảnày vào quy hoạch phi tuyến thỏa mãn MSCQ, chúng tôi thu được các điều kiệncần, đủ cho cực tiểu địa phương ổn định xiên

7.2 Cấu trúc luận án

Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương

Chương 1 được dành để trình bày các kiến thức chuẩn bị, làm cơ sở cho việc giớithiệu các kết quả chính của luận án trong hai chương sau

Chương 2 tập trung nghiên cứu công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nónpháp tuyến cho trường hợp Θ là tập lồi đa diện với Mq là dưới chính quy mêtric vàcác áp dụng của công thức này Mục 2.1 được dành để thiết lập công thức tính toánđạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến Mục 2.2 cung cấp các kết quả về tínhđạo hàm đồ thị và đặc trưng tính tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm cho một lớpphương trình suy rộng chứa tham số

Chương 3 được dành để trình bày các kết quả về tính ổn định xiên của cực tiểuđịa phương của bài toán tối ưu Mục 3.1 nghiên cứu đặc trưng tính ổn định xiêncủa bài toán tối ưu không ràng buộc thông qua đạo hàm đồ thị dưới gradient Dựavào kết quả thu được ở mục 3.1, mục 2.1 và một số kết quả của các tác giả khác,mục 3.2 thiết lập các điều kiện cần, đủ để một điểm dừng của bài toán quy hoạchphi tuyến thỏa mãn MSCQ là cực tiểu địa phương ổn định xiên.

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong luận án này, nếu không giải thích gì thêm, các không gian được sử dụng

là không gian Ơclit Rn với tích vô hướng h·, ·i và chuẩn Ơclit k · k thông thường

Mục này nhắc một số khái niệm trong giải tích biến phân được sử dụng trongcác chương tiếp theo, các định nghĩa này chủ yếu được trích từ các cuốn chuyênkhảo Variational Analysis and Applications của B S Mordukhovich và VariationalAnalysis của R T Rockafellar và R J -B Wets

1.1.1 Định nghĩa Ánh xạF biến mỗix ∈ Rnthành một và chỉ một tậpF (x) ⊂ Rm

được gọi là ánh xạ đa trị từ Rn vào Rm và được kí hiệu bởi F : Rn ⇒ Rm

Nếu với mọi x ∈ Rn tập F (x) chỉ có đúng một phần tử thì ta nói F là ánh xạđơn trị từ Rn vào Rm Khi đó người ta sử dụng kí hiệu thông thường F : Rn → Rm.Miền hữu hiệu, ảnh và đồ thị của ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được định nghĩatương ứng bởi

1.1.2 Định nghĩa Cho Ω là tập con khác rỗng của Rn

(i) Nón tiếp tuyến (Bouligand-Severi)/contingent của Ω tại x ∈ Ω¯ kí hiệu là

TΩ(¯ và được định nghĩa bởi

TΩ(¯x) := v ∈ Rn|tồn tại tk ↓ 0, vk → v với x + t¯ kvk ∈ Ω với mọi k ∈ N .(ii) Nón pháp tuyến chính quy (Fréchet) của Ω tại x ∈ Ω¯ kí hiệu là bNΩ(¯ và

được cho bởi

ở đây x → ¯Ω x theo nghĩa x → ¯x với x ∈ Ω

(iii) Nón pháp tuyến qua giới hạn/cơ sở (Mordukhovich) của Ω tại x ∈ Ω¯ kíhiệu là NΩ(¯ và được định nghĩa bởi

NΩ(¯x) = v ∈ Rn|tồn tạixk → ¯xvà vk ∈ NbΩ(xk) với vk → v

Nếu x 6∈ Ω¯ thì ta quy ước NΩ(¯x) =NbΩ(¯x) := ∅

1.1.4 Định nghĩa Cho F : Rn ⇒ Rm là ánh xạ đa trị với domF 6= ∅

(i) Với x ∈ domF,¯ đạo hàm đồ thị của F tại x¯ đối với y ∈ F (¯¯ x) là ánh xạ đa trị

DF (¯x|¯y) : Rn ⇒ Rm được định nghĩa bởi

DF (¯x|¯y)(v) := w ∈ Rm| (v, w) ∈ TgphF(¯x, ¯y) với mọi v ∈ Rn,

D∗F (¯x, ¯y)(y∗) := x∗ ∈ Rn| (x∗, −y∗) ∈ NbgphF(¯x, ¯y) với mọi y∗ ∈ Rm

Trong trường hợp F (¯x) = {¯y}, ta viết DF (¯x) và bD∗F (¯x) thay cho DF (¯x|¯y) vàb

D∗F (¯x, ¯y), tương ứng

Chú ý rằng, nếuF : Rn → Rm là ánh xạ đơn trị khả vi tạix,¯ thìDF (¯x) = ∇F (¯x)

và bD∗F (¯x) = ∇F (¯x)∗

1.1.6 Định nghĩa Giả sửϕ :Rn → R := R∪{±∞}, ¯x ∈ Rnvớiy := ϕ(¯¯ x)hữu hạn

(i) Dưới vi phân chính quy của ϕ tại x¯ được định nghĩa bởi

b

∂ϕ(¯x) := x∗ ∈ Rn| (x∗, −1) ∈ Nbepiϕ(¯x, ¯y) ,

ở đây epiϕ := (x, α) ∈ Rn ×R| α ≥ ϕ(x) là trên đồ thị của ϕ

(ii) Dưới vi phân qua giới hạn của ϕ tại x¯ được định nghĩa bởi

∂ϕ(¯x) := x∗ ∈ Rn| (x∗, −1) ∈ Nepiϕ(¯x, ¯y)

Nếu |ϕ(¯x)| = ∞ thì người ta quy ước ∂ϕ(¯x) =∂ϕ(¯b x) := ∅

Chú ý rằng b∂ϕ(¯x) ⊂ ∂ϕ(¯x) và nếu ϕ là hàm lồi thì cả b∂ϕ(¯x) và ∂ϕ(¯x) trùng vớidưới vi phân theo nghĩa giải tích lồi:

b

∂ϕ(¯x) = ∂ϕ(¯x) = x∗ ∈ Rn| hx∗, x − ¯xi ≤ ϕ(x) − ϕ(¯x) với mọi x ∈ Rn

1.1.8 Định nghĩa Cho hàm giá trị thực suy rộng f : Rn →R.

(i) Miền hữu hiệu của f được định nghĩa bởi domf := x ∈ Rn | f (x) < ∞

(ii) Hàm f được gọi là chính thường nếu domf 6= ∅ và f (x) > −∞, ∀x ∈ Rn.(iii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu lim inf

u→x f (u) ≥ f (x).(iv) Hàm f được gọi là chính quy gần kề tại x ∈¯ domf đối với v ∈ ∂f (¯¯ x) nếutồn tại r, ε > 0 sao cho với mọi x, u ∈Bε(¯ với |f (u) − f (¯x)| < ε, ta có

f (x) ≥ f (u) + hv, x − ui − r

2kx − uk2 (1.1)với mọi v ∈ ∂f (x) ∩Bε(¯v)

(v) Hàm f được gọi là liên tục dưới vi phân tại x¯ đối với v ∈ ∂f (¯¯ x) nếu với mọidãy xi → ¯x và vi → ¯v, với vi ∈ ∂f (xi), ta có f (xi) → f (¯x)

Trước hết, chúng tôi nhắc lại một tính chất quan trọng của ánh xạ đa trị đượcbiết đến với tên gọi tính chính quy mêtric như sau

1.2.1 Định nghĩa Ánh xạ đa trịF : Rn ⇒ Rm được gọi là chính quy mêtric quanh

(¯x, ¯y) ∈ gph F với môđun κ > 0 nếu tồn tại lân cận U của x¯ và V của y¯sao cho

dF−1 (y)(x) ≤ κdF (x)(y) với mọi (x, y) ∈ U × V ; (1.2)Tính chất chính quy kiểu mêtric được quan tâm nhiều trong luận án là tính dướichính quy mêtric, tính chất này được A D Ioffe đưa ra và có định nghĩa như sau

1.2.5 Định nghĩa Ánh xạ đa trị F :Rn ⇒ Rm được gọi là dưới chính quy mêtrictại (¯x, ¯y) ∈ gphF nếu tồn tại κ, r > 0 sao cho

dF−1 (¯ (x) ≤ κdF (x)(¯y) với mọix ∈ Br(¯x) (1.3)

Kí hiệu: subreg F (¯x|¯y) := inf κ ∈ R+| ∃ r > 0 sao cho (1.3) đúng

Sử dụng tính chất dưới chính quy mêtric, H Gfrerer và B S Mordukhovich đãgiới thiệu chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric cho bài toán quy hoạch phituyến và trên cơ sở đó chúng tôi đã giới thiệu cho trường hợp tổng quát sau

x ∈ Γ nếu ánh xạ Mq(x) := q(x) − Θ dưới chính quy mêtric tại (¯x, 0)

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số điều kiện chuẩn hóa đã biết trong quy hoạchphi tuyến

1.2.9 Định nghĩa Xét Γ là miền ràng buộc của bài toán quy hoạch phi tuyến

Γ := x ∈ Rn | q(x) ∈Rm−

,

ở đây q(x) := q1(x), , qm(x)) với qi : Rn → R là các ánh xạ khả vi liên tục hai

lần, với mọi i = 1, 2 , m

(i) Chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (MFCQ) đúng tại x ∈ Γ¯ nếutồn tại véctơ d ∈ Rn sao cho

h∇qi(¯x), di < 0 với mọi i ∈ I(¯x),

ở đây I(¯x) := i ∈ {1, , m} | qi(¯x) = 0 là tập chỉ số hoạt tại x ∈ Γ¯

(ii) Chuẩn hóa ràng buộc hạng hằng (CRCQ) đúng tại x ∈ Γ¯ nếu tồn tại lân cận

U của x¯ sao cho hệ gradient {∇qi(x)| i ∈ J } có hạng bằng nhau trên U với bất kìtập chỉ số J ⊂ I(¯x)

(iii) Chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính (LICQ) thỏa mãn tại x ∈ Γ¯ nếu hệ

{∇qi(¯ , i ∈ I(¯x)} độc lập tuyến tính

(iv) Miền ràng buộc Γ được gọi là có tính chất điểm cực biên bị chặn (BEPP)tại x ∈ Γ¯ nếu tồn tại số thực κ > 0 và r > 0 sao cho

E(x, x∗) ⊂ κkx∗kB với mọi x ∈ Γ ∩Br(¯ và x∗ ∈ Rn,

ở đây E(x, x∗) là kí hiệu tập tất cả các điểm cực biên của Λ(x, x∗), với Λ(x, x∗) làtập nhân tử được định nghĩa bởi

Λ(x, x∗) := λ ∈Rm+| ∇q(x)Tλ = x∗, λi = 0 với i /∈ I(x)

CHƯƠNG 2

ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ NÓN PHÁP TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN

DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC

Chương này trình bày công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyếnvới điều kiện dưới chính quy mêtric cùng với các ứng dụng của nó

Trong mục này ta giả sử

là nón tới hạn của Γ tại x¯

Để đi đến kết quả chính trong mục này, trước hết ta cần kết quả sau, bổ đề nàycung cấp một công thức hữu ích để tính nón pháp tuyến qua giới hạn của nón tớihạn theo các dữ kiện ban đầu

2.1.1 Bổ đề Giả sử MSCQ đúng tại x¯ và y := q(¯¯ x) Khi đó, với mỗi v ∈ K và