Toán cao cấp- Lý thuyết hàm 1 biến

A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN I. Cơ sở lý thuyết 1. Một số kết quả trong toán cao cấp a.Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x), xác định trên (a,b) Đạo hàm của f tại xo là: b.Đạo hàm và độ dốc của đường cong:

Mục lục

Mục lục 3

1 HÀM MỘT BIẾN 5 1.1 Hàm số 5

1.1.1 Các định nghĩa 5

1.1.2 Các hàm số sơ cấp cơ bản 5

1.2 Giới hạn và liên tục 6

1.2.1 Giới hạn 6

1.2.2 Liên tục 7

1.2.3 Vô cùng bé 7

1.3 Đạo hàm và vi phân 7

1.3.1 Đạo hàm 7

1.3.2 Vi phân 8

1.3.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao 9

1.4 Ứng dụng đạo hàm 9

1.4.1 Ứng dụng hình học 9

1.4.2 Công thức Taylor 9

1.4.3 Qui tắc L’Hospitale 10

1.4.4 Đơn điệu và cực trị 10

1.4.5 Tiệm cận 10

Bài tập chương 1 11

Đáp số bài tập chương 1 13

2 HÀM HAI BIẾN 15 2.1 Hàm hai biến 15

2.2 Đạo hàm và vi phân 15

2.3 Cực trị hàm hai biến 16

2.3.1 Cực trị không điều kiện 16

2.3.2 Cực trị có điều kiện 16

2.3.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong miền đóng 16

Bài tập chương 2 17

MỤC LỤC 4

Đáp số bài tập chương 2 17

3 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 19 3.1 Tích phân bất định 19

3.1.1 Định nghĩa và cách tính 19

3.1.2 Tích phân hàm hữu tỉ 20

3.1.3 Tích phân hàm vô tỉ 20

3.1.4 Tích phân hàm lượng giác 21

3.2 Tích phân xác định 21

3.3 Tích phân suy rộng 22

3.3.1 Tích phân suy rộng loại một 22

3.3.2 Tích phân suy rộng loại hai 22

3.4 Ứng dụng của tích phân 23

3.4.1 Diện tích hình phẳng 23

3.4.2 Thể tích vật thể tròn xoay 23

Bài tập chương 3 23

Đáp số bài tập chương 3 25

∀x1, x2 ∈ A, x16x2 ⇒ f (x1) 6 f (x2) (f (x1) > f (x2))Định nghĩa 1.3 Hàm f(x) được gọi là hàm chẵn (lẻ) nếu

∀x ∈ X, f (−x) = f (x) (f (−x) = −f (x))Định nghĩa 1.4 Hàm f(x) được gọi là hàm tuần hoàn nếu ∃τ > 0, ∀x ∈ X, f(x + τ) = f(x) Giátrị T > 0 nhỏ nhất trong tất cả các giá trị của τ được gọi là chu kỳ của hàm số

Định nghĩa 1.5 Cho hai hàm f(x) và g(x) Hàm f(g(x)) hoặc g(f(x)) được gọi là các hàm hợp củahai hàm f và g Nói chung f(g(x)) 6= g(f(x))

Định nghĩa 1.6 Hàm g(x) là hàm ngược của hàm f(x) trong miền X nếu

1.2 Giới hạn và liên tục 6

5 Hàm lượng giác: y = cos x, y = sin x, y = tan x, y = cot x

6 Hàm lượng giác ngược: y = arccos x, y = arcsin x, y = arctan x

Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia

và hàm hợp Trong các hàm sơ cấp, ta thường dùng các hàm hyperbolic xác định như sau:

1 Hàm sin hyperbolic: y = sinh x = ex− e−x

• cosh2x − sinh2x = 1

• sinh 2x = 2 sinh x cosh x

• cosh 2x = cosh2x − sinh2x = 2 cosh2x − 1 = 1 + 2 sinh2x

Ngoài ra ta còn có một hàm đặc biệt là hàm trị tuyệt đối: y = |x| =

Định nghĩa 1.9 Hàm f(x) liên tục tại x = a nếu f(x) xác định tại a và lim

x→af (x) = f (a) Ngượclại, hàm được gọi là gián đoạn tại a

Mệnh đề 1.6 Hàm sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó

1.2.3 Vô cùng bé

Định nghĩa 1.10 Đại lượng α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) trong quá trình x → a nếu lim

x→aα(x) =0

Định nghĩa 1.11 Hai VCB α(x) và β(x) là tương đương với nhau trong quá trình x → a nếulim

f (x)g(x) = A.

1.3 Đạo hàm và vi phân 8Các qui tắc tính đạo hàm:

7 (sinh x)0= cosh x, (cosh x)0 = sinh x

Nếu đường cong cho dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t), α 6 t 6 β thì ta có công thức tính đạohàm: y0

Định nghĩa 1.13 Hàm f(x) khả vi tại a nếu ∆f(a) = f(a + ∆x) − f(a) = A∆x + o(∆x) Đại lượng

df (a) = A∆x được gọi là vi phân của hàm f tại a

Mệnh đề 1.8 Hàm f(x) khả vi tại a khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại a và df(a) = f0(a)∆x.Với kí hiệu dx = ∆x ta thường viết biểu thức vi phân dưới dạng df(a) = f0(a)dx hoặc df

f (x) = f (0) +f0(0)

1! x +

f00(0)2! x

2+ · · · +f

(n)(0)n! x

n+ o(xn)Sau đây là khai triển MacLaurin của một số hàm thường dùng:

g0(x)

1.4.4 Đơn điệu và cực trị

Mệnh đề 1.9 Nếu hàm f(x) khả vi trong (a, b) và f0(x) > 0 (f0(x) < 0) với mọi x ∈ (a, b) thì hàm

f (x) đơn điệu tăng (giảm) trong (a, b)

Định nghĩa 1.15 Nếu tồn tại lân cận của điểm a sao cho với mọi x 6= a của lân cận này ta có

f (x) < f (a) (f (x) > f (a)) thì điểm a được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của hàm f Các điểm cựcđại hay cực tiểu của hàm số được gọi là điểm cực trị

Mệnh đề 1.10 Nếu hàm f(x) đạt cực trị tại x = a thì f0(a) = 0 hoặc f0(a) không tồn tại Nhữngđiểm như thế được gọi là điểm dừng của hàm số

Mệnh đề 1.11 Nếu hàm f(x) khả vi trong lân cận (a − δ, a + δ) của điểm a và trong các khoảng(a − δ, a) và (a, a + δ) đạo hàm đổi dấu, thì a là điểm cực trị Nếu f0(x) > 0 trong (a − δ, a) và

f0(x) < 0 trong (a, a + δ), thì hàm đạt cực đại tại a Nếu f0(x) < 0 trong (a − δ, a) và f0(x) > 0 trong(a, a + δ), thì hàm đạt cực tiểu tại a

Mệnh đề 1.12 Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp hai tại lân cận của điểm dừng x = a Nếu

f00(a) < 0 thì a là điểm cực đại Nếu f00(a) > 0 thì a là điểm cực tiểu

1.4.5 Tiệm cận

• Nếu x → a mà f (x) → ∞ thì đường thẳng x = a là tiệm cận đứng

• Nếu x → ∞ mà f (x) → b thì đường thẳng y = b là tiệm cận ngang

• Nếu x → ∞ mà f (x) → ∞ và tồn tại các giới hạn lim

x→∞

f (x)

x = a, limx→∞[f (x) − ax] = b thì đườngthẳng y = ax + b là tiệm cận xiên

= x2+ 1

x2,(c) f 1

ex−1, (e) f(x) = sin x − cos x, (f) f(x) = ln1 + x

1 − x

4 Khảo sát tính tuần hoàn của các hàm sau và tìm chu kì nếu có:

(a) f(x) = 5 cos 7x, (b) f(x) = x sin x, (c) f(x) = cos23x,

(d) f(x) = tanx

2 + 2 tan

x

3, (e) f(x) = sin x2, (f) f(x) = sin4x + cos4x

5 Tìm hàm ngược của các hàm sau trong các tập đã cho:

(a) f(x) = 2x + 3 trong (−∞, +∞),

(b) f(x) = x2 trong (−∞, 0] và [0, +∞),

(c) f(x) = 1 − x

1 + x, x 6= −1,(d) f(x) =√1 − x2 trong [−1, 0] và [0, 1],

(e) f(x) = sinh x trong (−∞, +∞)

x→4

√

1 + 2x − 3√

x − 2(i) lim

x→+∞(

q

x +px + √x −√x)(q) lim

x→0(cos x + sin x)1/x (x) lim

2

10 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

(a) y = (x2+ 1)(x2+ 4)(x2+ 9) (b) y = 2 +

√x

2 −√x (c) y = cos x

1 + sin x(d) y = px + √x (e) y =r x(x − 1)

12 Tìm đạo hàm bậc hai của các hàm sau:

(a) y = cos2x (b) y = arctan x (c) y = √3

x→0

ex− e−x−2x

x − sin x(e) lim

x (f) y = x ln



e + 1x

6 Chia tử và mẫu cho xk với k = min (m, n)

2) = 1/2(b) Hàm tăng trong (−∞, −1) và (0, 1); hàm giảm trong (−1, 0) và (1, ∞); ymax= y(±1) = 1(c) Trên (0, 1) và (1, e) hàm giảm; trên (e, ∞) hàm tăng; ymin = y(e) = e

(d) Trên (0, 2) hàm giảm; trên (2, ∞) hàm tăng; ymin = y(2) = 2(1 − ln 2)

17 (a) M = 3, m = −24 (b) M = 8, m = 0 (c) M = 3/5, m = −1 (d) M = 1, m = 3/5

(e) M = 2, m =√3

2

18 (a) x = 2, y = 1 (b) y = x − 1/3 (c) x = 0, y = 1, y = −1 (d) y = 3x + π/2, y = 3x − π/2(e) y = 0 (f) x = −1/e, y = x + 1/e

Chương 2

HÀM HAI BIẾN

2.1 Hàm hai biến

Định nghĩa 2.1 Hàm hai biến thường được kí hiệu z = f(x, y) Miền xác định là tập các điểm

M (x, y) trong mặt phẳng xOy sao cho biểu thức f (x, y) có nghĩa Đồ thị của hàm hai biến là mặtcong trong không gian Oxyz

Ví dụ, miền xác định của hàm z = pR2− x2− y2 là tập hợp các điểm nằm trong và trên đườngtròn tâm O bán kính R

Định nghĩa 2.2 Số A là giới hạn của hàm f(x, y) khi (x, y) tiến về (x0, y0) và viếtlim

(x,y)→(x 0 ,y 0 )f (x, y) = A nếu với mọi  > 0 tồn tại số δ > sao cho từ điều kiện 0 <p(x − x0)2+ (y − y0)2 < δ ta suy ra |f (x, y) − A| < 

Định nghĩa 2.3 Hàm f(x, y) được gọi là liên tục tại điểm (x0, y0) nếu lim

2.3 Cực trị hàm hai biến 16

2.3 Cực trị hàm hai biến

2.3.1 Cực trị không điều kiện

Định nghĩa 2.6 Hàm f(x, y) có cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0, y0) nếu tồn tại một lân cận của

M0 sao cho với mọi điểm M(x, y) 6= M0 ta có f(x, y) < f(x0, y0)(f (x, y) > f (x0, y0)) Cực đại haycực tiểu của hàm số gọi là cực trị của hàm

Mệnh đề 2.1 (Điều kiện cần) Nếu hàm f(x, y) khả vi và đạt cực trị tại M0(x0, y0) thì ∂f

∂x(x0, y0) = 0

và ∂f

∂y(x0, y0) = 0.

Những điểm thỏa điều kiện này được gọi là điểm dừng của hàm số

Mệnh đề 2.2 (Điều kiện đủ) Giả sử M0(x0, y0) là điểm dừng của hàm f (x, y) Hàm f có các đạohàm riêng đến cấp hai liên tục tại M0 Đặt

1 Nếu ∆ > 0 thì hàm f(x, y) đạt cực trị tại M0 Cụ thể:

(a) Hàm đạt cực đại nếu A < 0

(b) Hàm đạt cực tiểu nếu A > 0

2 Nếu ∆ < 0 thì hàm f(x, y) không có cực trị tại M0

3 Nếu ∆ = 0 thì chưa kết luận được Cần khảo sát thêm

2.3.2 Cực trị có điều kiện

Xét hàm z = f(x, y) với hai biến x, y thỏa điều kiện ϕ(x, y) = 0 Ta lập hàm Lagrange: L(x, y, λ) =

f (x, y) − λϕ(x, y) Tọa độ điểm dừng thỏa mãn hệ ba phương trình: ∂L∂x = 0, ∂L

∂y = 0, ϕ(x, y) = 0.Giả sử M0(x0, y0) là điểm dừng tương ứng với λ0 Lập định thức:

∆ = −

0 ϕ0x(M0) ϕ0y(M0)

ϕ0x(M0) L00xx(M0, λ0) L00xy(M0, λ0)

ϕ0y(M0) L00xy(M0, λ0) L00yy(M0, λ0)

Khi đó, nếu ∆ < 0 thì hàm đạt cực đại và nếu ∆ > 0 hàm đạt cực tiểu

2.3.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong miền đóng

Hàm khả vi sẽ đạt GTLN và GTNN tại các điểm dừng bên trong miền hoặc trên biên Do đó bàitoán dừng lại ở bước tìm các điểm dừng, sau đó tính giá trị của hàm tại các điểm này, so sánh để tìmGTLN và GTNN (Chú ý đến các điểm đặc biệt trên biên như điểm gãy, )

(d) z = x arctan (x + y) tại điểm (0, 1) (e) z = p6x2+ y2 tại điểm (2, 1)

3 Tìm cực trị của các hàm hai biến sau:

(a) z = x2+ xy + y2− 3x − 6y + 5; (b) z = xy +50

x +

20

y ;(c) z = x2+ y2− 2 ln x − 18 ln y; (d) z = x3+ 3xy2− 15x − 12y;

(e) z = 2x3− xy2+ 5x2+ y2; (f) z = (2x2+ y2) e−(x2+y 2 )

(g) z = x2+ y2+ xy − 4 ln x − 10 ln y; (h) z = xy ln (x2+ y2);

4 Tìm cực trị có điều kiện của các hàm hai biến sau:

(a) z = x2+ y2− xy + x + y − 4 với điều kiện x + y + 3 = 0;

2 với điều kiện x2+ y2 = 1;

5 Tìm GTLN và GTNN của các hàm hai biến sau trong miền đã cho:

xy = 3x

2y2(x2+ y2)5/2,

yy = −1(x2+ y)2

xy = y

2− x2(x2+ y2)2, z00

yy = −2xy(x2+ y2)2

xy = 0, z00

yy = −2y(1 + x2)2

x3dx2− 2 1x2 + 1

y2

dxdy +2x

y3dy2(c) dz = 5dx − 3dy; d2z = 6dx2+ 2dxdy − 2dy2

(d) dz = π

4dx; d

2z = dx2+ dxdy(e) dz =12

3 (a) zmin = −4 với x = 0, y = 3 (b) zmin = 30 với x = 5, y = 2 (c) zmin = 10 − 18 ln 3 với

x = 1, y = 3 (d) zmin = −28 với x = 2, y = 1, zmax = 28 với x = −2, y = −1, tại các điểmdừng (1, 2), (−1, −2) hàm không có cực trị (e) zmin = 0 với x = 0, y = 0, tại các điểm dừng(−5/3, 0), (1, 4), (1, −4) hàm không có cực trị (f) zmin = 0 với x = 0, y = 0, zmax = 2e−1

với x = ±1, y = 0, tại các điểm dừng (0, ±1) hàm không có cực trị (g) zmin = 7 − 10 ln 2 với

x = 1, y = 2 (h) zmin = −1/2e với x = y = ±1/√2e, zmax = 1/2e với x = −y = ±1/√2e, tạicác điểm dừng (0, ±1), (±1, 0) hàm không có cực trị

4 (a) zmin = −19/4 với x = y = −3/2 (b) zmin = 2 với x = y = 1 (c) zmin = −1 − 2√2 với

x = −1/√2, y = 1/√

2, zmax= 1 − 2√2 với x = 1/√

2, y = −1/√2

5 (a) GTLN=-2, GTNN=-5 (b) GTLN=1, GTNN=0 (c) GTLN=125, GTNN=-75

f (x)dx = F (x) + C, a < x < bvới C là hằng số tùy ý

Sau đây là bảng các tích phân bất định cơ bản:

3 R cos xdx = sin x + C; R sin xdx = − cos x + C

4 R cosh xdx = sinh x + C; R sinh xdx = cosh x + C

5 R dx

cos2x = tan x + C;

R dxsin2x = − cot x + C

a + x

a − x

+ C, (a 6= 0)

3.1 Tích phân bất định 20

10 R √ dx

x2± a2 = ln

x +

p

x2± a2

+ C, (a > 0)

Hai phương pháp cơ bản để tính tích phân:

1 Phương pháp đổi biến: Nếu x = α(t) là hàm khả vi, đơn điệu thì ta có công thức:

âm, nên sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta có thể khai triển hàm hữu tỉ thực sự thành tổng củanhững hàm hữu tỉ đơn giản Từ đó, tích phân hàm hữu tỉ được đưa về bốn dạng chính sau đây:

Zdx

ax + b,

Zdx(ax + b)k,

3.1.3 Tích phân hàm vô tỉ

Nguyên tắc chung là thực hiện các phép đổi biến thích hợp để đưa về tích phân hàm hữu tỉ Sau đây

là một số dạng thường gặp:

† R R (xr 1, xr 2, ) với r1, r2, là các số hữu tỉ Khi đó sử dụng phép đổi biến x = tN với N là bội

số chung nhỏ nhất của các mẫu số của r1, r2,

† R R x,r ax + b

cx + d

! Để hữu tỉ hoá tích phân ta thực hiện phép đổi biến t =r ax + b

cx + d.Trong các trường hợp trên, R( ) là một hàm hữu tỉ theo các biến

† Phép đổi biến Euler:

1 √ax2+ bx + c = ±√ax + t nếu a > 0

2 √ax2+ bx + c = ±√ax + z nếu a > 0

3 pa(x − x1)(x − x2) = t(x − x1)

3.2 Tích phân xác định 21

3.1.4 Tích phân hàm lượng giác

Nguyên tắc chung cũng là hữu tỉ hóa tích phân đã cho Ở đây phép đổi biến tổng quát là:

Tuy nhiên trong một số trường hợp, ta có thể sử dụng các phép đổi biến: t = cos x, t = sin x hay

t = tan x, hoặc các công thức lượng giác cơ bản như tích thành tổng, v.v

Ta cũng có hai phương pháp cơ bản để tính tích phân xác định:

1 Phương pháp đổi biến: Giả sử hàm f(x) liên tục trên [a, b],hàm ϕ(t) cùng với đạo hàm của nó liêntục trong [α, β] với a = ϕ(α), b = ϕ(β) và hàm hợp f(ϕ(t)) xác định và liên tục trong [α, β] Khi đó

3.3 Tích phân suy rộng 22

3.3 Tích phân suy rộng

3.3.1 Tích phân suy rộng loại một

Nếu hàm f(x) khả tích trên bất kỳ đoạn [a, b] với mọi b > a thì theo định nghĩa:

Nếu giới hạn trong (3.1) tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ Ngược lại ta nói chúng phân

kỳ Tích phân suy rộng cơ bản:

x→+∞

f (x)g(x) = k, (0 < k < +∞)thì cả hai tích phân +∞R

a

f (x)dx và +∞R

a

g(x)dx có cùng tính chất hội tụ

3.3.2 Tích phân suy rộng loại hai

Nếu hàm f(x) không bị chặn trong lân cận của điểm b và với mọi  > 0 hàm khả tích trên đoạn[a, b − ] thì theo định nghĩa:

Nếu giới hạn trong (3.2) tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ Ngược lại ta nói chúng phân

kỳ Tương tự ta cũng có các tích phân suy rộng loại hai:

 hội tụ nếu α < 1phân kỳ nếu α > 1

2 − xdx (h)R cos

5x√sin xdx (i) R sin x cos3x

1 + cos2x dx(j) R sin2x

(j) R arcsin xdx (k) R x arctan xdx (l) R x2arccos xdx (m) R ln(x +√

1 + x2)dx(n) R x ln1 + x

1 − xdx (o) R arctan

√xdx

4 Tính tích phân các hàm hữu tỉ sau:

x2− 3x + 2

2

dx

(a sin x + b cos x)2 (e) R dx

sin4x + cos4x (f) R sin2x − cos2x

1 + xdx(u) 2πR

0

dx(2 + cos x)(3 + cos x) (v) π/2R

0

dx(2 − x)√1 − x (f) +∞R

2

R

0

xdx(x2− 1)4/5dx(i)R4

dxpx(x + 1)(x + 2) (f) +∞R

1

sin1x

2 + x√

xdx (g)

+∞R1

0

ln(1 +√3

x2)

ex−1 dx

2ax (i) x = a cos

3t, y = a sin3t(j) x = 2(t − sin t), y = 2(1 − cos t), y = 0 (0 6 t 6 2π) (k) r = a(1 + cos ϕ) (l) r = a sin 2ϕ

11 Tính thể tích vật thể do:

(a) xoay quanh trục Ox hình giới hạn bởi 2y = x2, 2x + 2y − 3 = 0

(b) xoay quanh trục Ox hình giới hạn bởi y = e−2x−1, y = e−x+1, x = 0

(c) xoay quanh trục Oy hình giới hạn bởi y = x2

2 − x (h) 23 −47sin2x + 2

11sin

4x

√sin3x(i) −1

4 cos 2x +

x

2 sin 2x(h) x cosh x−sinh x (i) x arctan x−12ln(1+x2) (j) x arcsin x+√

1 − x2 (k) −x2+x

2+ 1

2 arctan x(l) −2 + x2

x

4 (a) ln |x − 2| + ln |x + 5| (b) 1

2ln

(x + 2)4

(x + 1)(x + 3)3

(c) x + 1

6ln |x| − 9

2ln |x − 2| + 28

3 ln |x − 3|(d) x +1

x − 1

x + 2

(g) − 5x − 6

x2− 3x + 2+ 4 ln

x − 1

x − 2

x − 2− arctan (x − 2) (k) ln

x

1 + x

−√2

3arctan

1 + 2x

√3

5 (a) 2√x − 2 ln(1 +√x) (b) 3

4ln

x√3

x(1 +√6

x +

p

x2− 1 (e) −3

abarctan

 a tan xb

(f) 1

7 (h) 2 −π2(i) 1

2(1 − ln 2) (j) π (k) 4π (l) 2 −2e (m) 1 (n) 2π

3 −

√3

2 (o) 1

2ln 3 − π

2√

3 (p) −6667 (q) −π3(r) 29

270) (s)

4

3π −√3 (t) 2π

1

√

3− 1

2√2

(u) 1

(g) 0 (h) 5

(i) 3

với x = ? ?1, y = 0, điểm dừng (0, ? ?1) hàm khơng có cực trị (g) zmin = − 10 ln với

x = 1, y = (h) zmin = ? ?1/ 2e với x = y = ? ?1/ √2e,... −28 với x = 2, y = 1, zmax = 28 với x = −2, y = ? ?1, điểmdừng (1, 2), (? ?1, −2) hàm cực trị (e) zmin = với x = 0, y = 0, điểm dừng(−5/3, 0), (1, 4), (1, −4) hàm khơng... = ? ?1 − 2√2 với

x = ? ?1/ √2, y = 1/ √

2, zmax= − 2√2 với x = 1/ √

2, y = ? ?1/ √2

5 (a) GTLN=-2, GTNN=-5 (b) GTLN =1,