Ứng dụng kết quả của bài hình trong sgk vào giải bài tập

Phần II: Giải quyết vấn đề:Trong phần này tôi xin nêu một ví dụ điển hình về ứng dụng kết quả của bài toán trong sách giáo khoa hình học lớp 9: Bài 1: Bài 23-sgk-trang 76-hình học lớp 9-

Phần II: Giải quyết vấn đề:

Trong phần này tôi xin nêu một ví dụ điển hình về ứng dụng kết quả của bài toán trong sách giáo khoa hình học lớp 9:

Bài 1: (Bài 23-sgk-trang 76-hình học lớp 9-tập II)

Cho đờng tròn (O) và một điểm M bên ngoài đờng tròn đó Qua M kẻ hai cát tuyến MAB và MCD với đờng tròn

Chứng minh rằng: MA.MB = MC.MD

D

B A

KL: MA.MB = MC.MD

Chứng minh:

Xét ∆MAD và ∆MCB có:

∠M là góc chung; ∠MBC = ∠MDA ( cùng chắn cung AC)

MB

MD MC

MA

=

⇒

=

Bài 2:( Bài 33-sgk-trang 80-hình học lớp 9-tập II)

Cho đờng tròn (O) và một điểm M bên ngoài đờng tròn đó Qua M kẻ tiếp tuyến

MT và cát tuyến MAB

Chứng minh rằng MT2 = MA.MB

O

B A

T

MAB là cát tuyến

KL: MT2 = MA.MB

Chứng minh:

Xét ∆ MTA và ∆ MBT có

∠M chung;

∠MTA = ∠TBM ( góc nội tiếp và góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AT)

MT

MA MB

MT

.

2 =

⇒

=

Đây là hai bài toán khá đơn giản song kết luận của bài toán khá quan trọng giúp chúng ta giải quyết đợc mộp lớp bài toán có liên quan đến kết luận của hai bài toán này Sau đây là các bài toán mà trong quá trình giải sử dụng kết quả của hai bài toán trên

Bài 3:

Cho đờng tròn (O) và một điểm M cố định bên ngoài đờng tròn đó Qua M kẻ cát tuyến MAB với đờng tròn

Chứng minh rằng tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến

Chứng minh:

Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT với đờng tròn (O)

Theo kết quả của bài toán 2 Ta có:

MT

MA MB

MT

.

2 =

⇒

=

⇒

Do M cố định nên đoạn thẳng MT không đổi

⇒ MA MB không phụ thuộc vào vị trí của cát

tuyến MAB

O

B A

T M

Nhận xét: Đây là bài toán không đơn giản đối với học sinh trung bình và khá nếu học

sinh cha biết đến hai bài toán trên Bài toán 3 chẳng qua là cách phát biểu khác với bài toán 1 và bài toán 2

Bài 4: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B Kẻ tiếp tuyến chung MN của

hai đờng tròn ( M ∈ (O); N∈ (O'); đờng thẳng AB cắt MN tại I

Chứng minh rằng: I là trung điểm của MN

Chứng minh:

Sử dụng kết luận của bài toán 2 Ta có:

Xét (O) ⇒ IM2 = IA IB

Xét (O') ⇒ IN2 = IA IB

⇒ IM2 = IN2 ⇒ IM = IN ⇒ I là trung điểm

của đoạn MN

I

O' O

M

N

B A

Nhận xét: Bài toán 4 đợc tạo ra từ bài toán 2 song mức độ khó hơn nếu học sinh không

có t duy linh hoạt sáng tạo thì rất khó tìm ra ngay lời giải của bài toán 4 Tuy nhiên nếu biết khai thác kết luận của bài toán 2 thì lời giải thật đơn giản

Bài 5:

Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn Gọi BD là dây của đờng tròn song song với AC, E là giao điểm của AD với đờng tròn, I

là giao điểm của BE và AC Chứng minh rằng I là trung điểm của AC

Hớng dẫn HS dựa vào bài toán 2 tìm cách chứng

minh

Ta cần chứng minh: IC = IA

Theo bài toán 2 ta có: IC2 = IE IB

Vậy ta chỉ cần chứng minh: IA2 = IE IB

Để có IA2 = IE IB ta chứng minh ∆IAE ~ ∆IBA

I

E

D

C

O

B A

Chứng minh:

Theo kết quả của bài toán 2 ta có: IC2 = IE IB (1)

Có : AC // BD ⇒∠BDA = ∠IAE ( so le)

Mà ∠BDA = ∠ABI ( Góc nội tiếp và góc tạo bởi 1tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE) ⇒∠IAE = ∠IBA

Xét ∆ IAE và ∆ IBA có ∠I chung; ∠IAE = ∠IBA

⇒ ∆ IAE ~ ∆ IBA ⇒

IA

IE IB

IA

= ⇒ IA2 = IE IB (2)

Từ (1) và (2) ⇒ IC2 = IA2 ⇒ IC = IA ⇒ I là trung điểm của AC

Nhận xét: Trong bài toán này nhờ có kết quả của bài toán 2 nên con đờng tìm dến lời

giải dễ dàng mạch lạc hơn

Bài 6:

Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 2cm Tính bán kính của đờng tròn đi qua A

và B biết rằng đoạn tiếp tuyến kẻ từ D đến đờng tròn đó bằng 4cm

Chứng minh:

Gọi F là giao điểm của DA với đờng tròn (O)

Có ∠FAB = 900 ⇒ FB là đờng kính.

áp dụng bài toán 2 ta có:

DE2 = DA DF = DA( DA + AF )

⇒ 16 = 2.( 2 + AF ) => AF = 6 (cm)

∆ABF có ∠A = 900 Ta có:

BF2 = AB2 + AF2 = 22 + 62 = 40 ⇒ BF = 2 10

Vậy bán kính đờng tròn là 10cm

O F

E

B A

Bài 7:

Qua điểm A nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ cát tuyến ABC với đờng tròn Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K Qua K kẻ đờng vuông góc với AO, cắt

AO tại H và cắt đờng tròn (O) tại E và F ( E nằm giữa K và F ) Gọi M là giao điểm của

OK và BC Chứng minh rằng tứ giác EMOF nội tiếp đờng tròn

Hớng dẫn học sinh tìm lời giải

Để tứ giác EMOF nội tiếp ta cần chứng minh

∠F1 = ∠M1 muốn vậy ta chỉ ra ∆KME ~ ∆KFO

cần có thêm KE KF = KM KO

theo bài toán 2 thì KE KF = KC2 nên ta chỉ cần

chứng tỏ

KM KO = KC2

Chứng minh:

1

1 H

M

K

O F

B A

Từ kết luận của bài toán 2 ta có : KC2 = KE KF (1)

∆KCO có ∠C = 900, CM ⊥ OK ⇒ KC2 = KM KO (2)

Từ (1)(2) ⇒ KE KF = KM KO ⇒

KF

KM KO

KE

=

∆KEM và ∆KOF có ∠K là góc chung; KO KE =KM KF ⇒∆KEM ~ ∆KOF

⇒ ∠M1 = ∠F1 mà ∠M1 + ∠ EMO = 1800 ⇒ ∠F1 + ∠EMO = 1800

⇒ Tứ giác EMOF nội tiếp đợc đờng tròn

Bài 8:

Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao AD, trực tâm H Gọi AM, AN là các tiếp tuyến với đờng tròn (O) đờng kính BC ( M, N là các tiếp điểm ) Chứng minh rằng a/ AMDN là tứ giác nội tiếp

d/ M,H,N thẳng hàng

Hớng dẫn tìm cách chứng minh M,H,N thẳng

Ta cần chứng tỏ ∠AHN + ∠AHM = 1800

trong khi biết ∠AND + ∠AMD = 1800

Ta cần chứng tỏ: ∠AHN =∠AND;

∠AHM = ∠AMD

Để chứng tỏ: ∠AHN =∠AND; ta cần chứng minh

∆AHN ~ ∆AND cần có thêm AN2 = AH.AD

Theo bài toán 2 ta có: AN2 = AE AC

Ta cần chỉ ra AH AD = AE.AC điều này có đợc từ

bài toán 1 do DHEC là tứ giác nội tiếp

N H

M

O

E

B

A

Chứng minh:

a/ Dễ chứng minh đợc các điểm A,M,D,N thuộc đờng tròn đờng kính AO.

b/ Có AN là tiếp tuyến; AEC là cát tuyến của đờng tròn (O) nên theo bài toán 2

ta có : AN2 = AE AC (1)

Dễ thấy tứ giác DHEC nội tiếp (∠E + ∠D =1800) nên AHD và AEC là hai cát tuyến theo bài toán 1 ta có: AH.AD = AE.AC (2)

Từ (1) và (2) ta có: AN2 = AH AD hay AH AN =AN AD

Xét ∆AHN và ∆AND có : ∠A là góc chung ; AH AN = AN AD ⇒ ∆AHN ~ ∆AND (c.g.c)

⇒ ∠AHN =∠AND (3)

Tơng tự ta có: ∆AHM ~ ∆ AMD ⇒ ∠AHM = ∠AMD (4)

Từ (3) (4) ⇒ ∠AHN +∠AHM = ∠AMD + ∠AND

Mà AMDH là tứ giác nội tiếp ⇒ ∠AMD + ∠AND = 1800

⇒ ∠AHN +∠AHM = 1800 ⇒ M, H, N thẳng hàng.

Bài 9:

Cho tam giác ABC, đờng trung tuyến AM, đờng phân giác AD Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F

Chứng minh rằng BE = CF

Chứng minh:

áp dụng kết quả bài toán 1 ta có:

BE.BA = BD.BM ⇒ BE = BM BA BD (1)

CF.CA = CM.CD ⇒ CF = CM CA CD (2)

Mặt khác AD là tia phân giác của ∠A

⇒

CA

CD BA

BD CA

BA

CD

BD

=

⇒

Từ (1)(2)(3)(4) ⇒ BE = CF

F E

B

A

Bài 10:

Cho đờng nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB, điểm C thuộc bán kính OA Đ-ờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đĐ-ờng tròn tại D ĐĐ-ờng tròn tâm I tiếp xúc với nửa đ-ờng tròn và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD Gọi E là tiếp điểm trên AC của đđ-ờng tròn (I) Chứng minh BD = BE

Chứng minh:

Gọi K là tiếp điểm của (O) và (I) ; kẻ IH ⊥ CD mà

CD ⊥ AB ⇒IH // AB ⇒ ∠KIH = ∠KOB mặt

khác ∆KIH cân tại I; ∆KOB cân tại O

⇒ ∠IKH = ∠OKB ⇒K,H,B thẳng hàng

Do BE là tiếp tuyến, BHK là cát tuyến của (I) theo

bài toán 2 ta có: BE2 = BH.BK (1)

∆ ADB có ∠D = 900 ; DC ⊥ AB

⇒ BD2 = BC.BA (2)

Có: AKHC là tứ giác nội tiếp ( ∠ AKH + ∠ HCA = 180 0 )

Theo bài toán 1 ta có: BH.BK = BC.BA (3)

Từ (1)(2)(3) ⇒ BE2 = BD2 ⇒ BE = BD

Bài 11:

Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B Dây BC của đờng tròn (O) tiếp xúc với đờng tròn (O') tại B Gọi I là trung điểm của BC Đờng thẳng AI cắt các đờng tròn (O);(O') theo thứ tự tại D và E

Chứng minh rằng BDCE là hình bình hành

Chứng minh:

Có IB là tiếp tuyến; IAE là cát tuyến của (O')

theo bài toán 2 ta có:IB2 = IA.IE

∆ AIC ~ ∆ DIB ⇒ IB.IC = IA.ID mà IB = IC

⇒ IA IE = IA ID ⇒ IE = ID

Tứ giác BDCE có IB = IC; IE = ID ⇒ tứ giác

BDCE là hình bình hành

O' O

I

E

D

C

B A

* Kết quả thực nghiệm

E

I

O

D

A

Sau một số năm giảng dạy học sinh lớp 9 tôi thấy nêu làm tốt theo kinh nghiệm sáng kiến này thì chất lợng học sinh tăng rõ rệt, góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện trí thông minh, kỹ năng và t duy học tập linh hoạt sáng tạo của học sinh qua từng bài toán có những đặc thù chung;

Kết quả kiểm tra đối chứng của 40 em học sinh lớp 9

Có 20 em đựoc áp dụng sáng kiến

20 em không áp dụng sáng kiến

Điểm

1 Kết quả trớc khi áp dụng đề tài

2 Kết quả sau khi áp dụng đề tài

Phần III: kết luận

1 Điều kiện áp dụng :

Dùng cho học sinh đại trà và bồi dỡng học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi kì thi thi vào trung học phổ thông

2 T liệu tham khảo :

+ SGK hình học 9 của Phan Đức Chính

+ Toán phát triển hình học 9 của Vũ Hữu Bình

3 Bài học kinh nghiệm:

Qua quá trình áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ,tôi thấy để có thể đạt đợc kết quả cao giáo viên cần lu ý một số vấn đề sau;

+ Dành nhiều thời gian để nghiên cứu tài liệu ,sách tham khảo ,phân loại bài tập sắp xếp thành từng chùm bài tập nhỏ có quan hệ với nhau nhằm củng cố kiến thức; kĩ năng, t duy nào đó có mục đích cho học sinh Làm đợc nh thế góp phần quan trọng trong việc tiếp thu kiến thức của học sinh, tạo tiên đề cho học sinh biết cách đọc tài liệu có thói quen tích cực chủ động sáng tạo và biết cách tự học

+ Lợng bài tập phù hợp với năng lực ,đối tợng học sinh

+ Phải kiên trì giảng dạy kỹ cho học sinh các dạng bài tập theo sáng kiến kinh nghiệm

+ Giáo viện soạn kỹ trớc khi lên lớp và đa ra phơng án giải quyết tốt nhất Đặc biệt nên khai thác vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau để củng cố và rèn luyện năng lực t duy sáng tạo cho học sinh

4 Những điểm còn hạn chế:

Do điều kiện về thời gian các bài tập đa ra số lợng bài tập cha đợc phong phú

5 Đề xuất ,nghiên cứu và kiến nghị ;

Để SKKN ngày càng đạt hiệu quả cao tôi thấy cần phải tiếp tục nghiên cứu nhằm + Tìm ra đợc nhiều dạng bài ,nhiều phơng pháp giải quyết đối từng dạng bài + áp dụng tối đa các phơng pháp đổi mới dạy học theo hớng phát triển t duy sáng tạo cho học sinh

+ Nhà trờng cũng nh các cấp các ngành có chức năng cần tạo điệu kiện giúp đỡ về thời gian ,tài liệu cho các đồng chí giáo viên dạy bồi dỡng để kết quả đạt tốt hơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn !

Phần I: Đặt vấn đề I/ Lí do chọn đề tài:

T duy là một hình thức nhận thức lí tính của con ngời Về mặt tâm lí thì t duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ bên trong

có tính quy luật của sự vật hiện tợng trong hiện thực khách quan mà trớc đó con ngời cha biết

T duy không tự nhiên mà có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn t duy phát triển cần đợc rèn luyện thờng xuyên, thông qua các hoạt động học tập nói chung trong môn toán nói riêng, đặc biệt là môn hình học nó giúp học sinh phát triển t duy rất tốt Học sinh THCS là lứa tuổi đang phát triển t duy mạnh mẽ do đó giáo viên cần quan tâm, coi trọng việc phát triển t duy cho học sinh thông qua học tập

Mỗi dạng bài tập hình có những phơng pháp giải khác nhau, tuy nhiên khi làm bài tập hình, nếu học sinh có đợc cái nhìn ở các góc cạnh khác nhau đồng thời biết liên

hệ kết quả của bài toán đã làm cho các bài toán tơng tự thì sẽ hiểu sâu sắc bài tập hơn,

sẽ tìm đợc cách giải nhanh chóng hơn Đặc biệt học sinh thấy đợc mối liên hệ lô gíc giữa các đơn vị kiến thức, qua đó thấy đợc cái hay điều thú vị của hình học, tạo lên tâm

lí hứng thú khi học tập Khi làm đợc nh vậy ý thức tự học của học sinh sẽ cao hơn, những bài tập khó sẽ trở nên dễ hơn, quan trọng nhất là học sinh có đợc tự tin khi giải bài tập Mà trong định hớng đổi mới phơng pháp học tập bậc THCS thì tự học là một yêu cầu quan trọng đối với học sinh, tự học giúp học sinh phát huy đợc tính sáng tạo Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp học sinh tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm vui khi học bộ môn toán Đề làm đợc nh vậy phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập từ dễ đến khó phù hợp vời nhận thức của từng đối tợng học sinh, cho học sinh thấy những bài toán khó đều bắt đầu từ các bài toán cơ bản Học sinh cảm thấy thông qua các bài toán cơ bản cũng rễ ràng tìm đợc lời giải cho bài toán khó

Chính vì vậy tôi chọn đề tài " Phát triển t duy cho học sinh thông qua sử dụng sáng tạo kết quả của bài toán trong sánh giáo khoa cho các bài khác" giúp học sinh biết khai thác kết quả của bài toán cơ bản áp dụng vào giải bài tập linh hoạt Thay đổi t duy học tập cho phù hợp với lứa tuổi, bằng cách nêu nên cách dạy một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa, thay đổi, phát triển bài toán đó, sử dụng kết quả bài toán đó trong các

bài tập khác nhau Giúp học sinh gặp bài toán lạ có khả năng tự tìm đợc lời giải phát huy tính sáng tạo của học sinh đáp ứng nhu cầu của nhịp sống hiện đại

II/ Mục đích nghiên cứu.

Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn hình học và đặc biệt nó giúp học sinh phát triển t duy óc sáng tạo, làm cho việc tìm lời giải bài toán mới trở lên đơn giản hơn thuận lợi và dễ hiểu hơn Nếu việc phát hiện những bài toán cơ bản có nhiều ứng dụng trong giải các bài toán khác và tập hợp thành các chuyên đề nhỏ để dạy học sinh một cách thờng xuyên thì sẽ mang lại hiệu quả rất lớn trong dạy và học; từng bớc trang bị cho học sinh tri thức về phơng pháp học tập biết qui lạ về quen giúp các em thấy đợc tính lô gíc của bài học; từ đó tạo tâm lí hứng thú trong học tập mà điều đó là tiền đề cho việc tự học

III/ Kết quả cần đạt đ ợc

Các bài tập dù khó đến đâu thì cũng bắt nguồn từ những kiến thức cơ bản và từ những bài toán đơn giản trong sgk và sách bài tập nên cần cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản và cách làm, kết quả của từng bài tập đó Trên cơ sở nắm vững kiến thức cơ bản các bài toán đơn giản mà giao viên đa ra hệ thống bài tập phù hợp với từng đối tợng học sinh để giúp học sinh củng cố khắc sâu kiến thức Giúp học sinh giải các bài tập khó một cách đơn giản dễ hiểu dễ tiếp thu từ đó tạo cho học sinh tự tin vào khả năng của minh khắc phục tâm lí ngại học môn hình

IV/ Ph ơng pháp nghiên cứu.

Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần quan tâm đến các bài toán cơ bản từ đó su tầm nghiên cứu tài liệu tham khảo để thấy hết vai trò tác dụng của các bài toán cơ bản từ sau su tầm tập hợp, sáng tạo ra các bài toán có liên quan sắp xếp thành các chuyên để nhỏ để phụ vụ việc dạy và học