Summary of the doctoral thesis: Inverse dynamics and motion control of delta parallel robot

The objective of this thesis is to apply Lagrange equations with multipliers to study dynamics and control of Delta parallel robots. Particularly, mechanical model, mathematical model, and control algorithms for Delta parallel robots are developed as a scientific basis for the research and development of parallel Delta robots.

MINISTRY OF EDUCATION 

AND TRAINING 

  VIETNAM ACADEMY OF SCIENCE  AND TECHNOLOGY 

GRADUATE UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

…… ….***…………

NGUYEN DINH DUNG

INVERSE DYNAMICS AND MOTION CONTROL

OF DELTA PARALLEL ROBOT

      Major: Engineering Mechanics 

Code: 9 52 01 01

SUMMARY OF THE DOCTORAL THESIS

Hanoi – 2018

The  thesis  has  been  completed  at  Graduate  University  of  Science  and Technology, Vietnam Academy of Science and Technology 

INTRODUCTION The rationale for the thesis

Parallel robots are robots with closed kinematics structure in which the links  are  connected  by  joints.  Although  the  parallel  robot  has  a  complex dynamic  structure,  and  is  difficult  to  design  and  control,  but  it  has  some outstanding  advantages  over  the  serial  robot:  high  load  bearing  capacity, high rigidity due to configuration. They can perform complex operations and operate  with  high  accuracy.  Therefore,  study  on  the  problem  of  dynamics and control of the parallel robot in order to take advantage of it is a scientific and practical matter. 

2 The objective of the thesis

The  objective  of  this  thesis  is  to  apply  Lagrange  equations  with multipliers  to  study  dynamics  and  control  of  Delta  parallel  robots. Particularly, mechanical model, mathematical model, and control algorithms for Delta parallel robots are developed as a scientific basis for the research and development of parallel Delta robots. 

3 The object and the main content of the thesis

Research objects: Dynamics and control of two Delta parallel robots are 3RUS robots and 3PUS robots. 

The  main  content  of  the  thesis  includes:  Study  of  mathematical  and mechanical  modeling  problems,  study  of  dynamics  and  control  algorithms for Delta parallel robot. The thesis does not study the problem of design and manufacture of Delta parallel robots. 

4 The outline of the thesis

The  outline  of  the  thesis  contains  Introduction,  Four  main  chapters, Conclusions and findings of the thesis. 

Chapter  1:  Overview  of  the  study  of  dynamics  and  control  of  Delta parallel  robot  in  and  outside  the  country  is  first  presented.  Since  then,  the 

Chapter  2:  Presents  the  construction  of  mechanical  models  and application  of  Lagrangian  equations  with  multipliers  to  formulate mathematical  models  for  two  Delta  Parallel  Robots.  Each  robot  offers  two mechanical models for study and comparison. 

Chapter 3: Presents some improvements in numerical methods to solve the  inverse  kinematics  and  inverse  dynamics  of  parallel  robots.  Inverse kinematic  problem    is  solved  by  applying  the  improved  Newton-Raphson method.  Inverse  dynamics  problem  is  solved  by  reducing  Lagrange multipliers to calculate moments or driving forces in active joints. 

Chapter  4:  Presents  tracking  control  of  parallel  robot  manipulators  based  on  the  mathematical  model  of  parallel  robots,  which  is  a  system  of differential  –  algebraic    equations. The trajectory  of  serial  robots  described 

by differential equations is often well studied. While the Delta parallel robot trajectory  is  based  on  the  mathematical  model,  the  differential  –  algebraic equations  system  is  rarely  studied.  Control  law  such  as  PD  control,  PID control, sliding mode control, sliding mode control using neural network are studied in this chapter. 

CHAPTER 1 OVERVIEW OF DYNAMICS AND CONTROL

PARALLEL ROBOT 1.1 Parallel robot

Parallel  robots  usually  consist  of  a  manipulator  connected  to  a  fixed frame,  driven  in  multiple  parallel  branches  also  called  legs. The  number  of legs is equal to the number of degrees of freedom. Each leg is controlled by the  actuator  on  a  fixed  frame  or  on  the  leg.  Therefore,  parallel  robots  are sometimes referred to as platformed robots. 

1.2 Comparison between Serial and Parallel Manipulators

Parallel  robot  has  high  rigidity  and  load  bearing  capacity  due  to  load sharing of each actuator operating in parallel. The accuracy of the position of the parallel robot is high because there are no cumulative joint errors as the serial  robot.  While  kinematic  chains  create  kinematic  constraints  and workspace  limitations,  typical  designs  have  low  inertia  characteristics.  The fields  of  parallel  robot  application  include:  CNC  machine,  high  precision machine,  automation  machine  in  semiconductor  and  high  speed  and  high acceleration  electronics  assembly  industry.  A  comparison  between  parallel and serial robots is given in the following table: 

Table 1.1: Comparison between Serial and Parallel Manipulators

STT Features Serial robot Parallel robot

complexity 

1.3 Research on dynamics and control of parallel robots outside of the country

1.3.1 Inverse dynamics of parallel robots

On  the  mechanical  side,  parallel  robots  are  closed-loop  multibody system.  Dynamic  computation  is  essential  to  designing  and  improving  the control quality of parallel robots. The literature on the theory and calculation method of robot dynamics is quite substantial [47, 73, 85-88, 96, 103]. The methods  of  establishing  the  dynamic  equations  of  closed-loop  multibody 

system  are  well  documented  in  [88,  103].  The  kinematics  and  dynamics problems  are  then  more  specifically  mentioned  in  the  literature  on  parallel robots [67, 96]. 

In  the  above  studies  on  Delta  parallel  robots,  the  methods  used  to establish equation of motion are Lagrange equations with multipliers, virtual work principle, Newton-Euler equation, subsystem   When establishing the equation, the bar between the actuating link and the manipulator is modeled with a uniform bar or with a zero-mass bar and two masses at the ends of the bar. Up to now, there have been no comparative work on these two types of models. 

1.3.2 Tracking control of parallel robots

The  documentation  on  robot  control  is  very  rich.  There  are  various approaches  to  controlling  robots  given  by  Spong  and  Vidyasagar  [90], Sciavicco and Siciliano [87]. However, these works are less focused on the specific problems of parallel robots. 

Recently, the works on improving the control quality of Delta robot was also  published  quite  a  lot.  These  works  develop  control  law  based  on  the equations of motion, which are obtained by simplifying the dynamics model 

of each parallelogram by a zero-mass bar with two mass points at both ends. Model  linearization  methods  are  used  to  establish  simple  control  laws. Hemici  et al.  [80-82] designed PID, H controllers based on linear  models 

comparative  studies  of  controllers  and  recommendations  on  how  to  choose 

an appropriate ones. 

1.4 Studies in Vietnam

The  research  in  Vietnam  mainly  focuses  on  solving  the  kinematics problem,  establishing  the  equation  of  motion  and  presenting  the  method  of solving the equations of motion. Control problems are little researched. 

1.5 The research problem of the thesis

From  the  review  and  evaluation  of  the  work  that  scientists  have  been working on in Delta parallel robot, this thesis will investigate the following issues: 

Development of the solution for the inverse dynamics problem with the aim of improving numerical accuracy. 

Study and comparison of different dynamic models for a parallel robot, the  complexity  of  the  models  and  their  effect  on  the  computational  torque moment. On that basis, it is advisable for the user to use a suitable model. Design of direct control law based on differential – algebraic  equations. Research  comparing  the  quality  of  the  controllers  using  different mechanical models. 

Conclusions of chapter 1

Based on the results obtained from domestic and foreign researches, the thesis  has  identified  the  need  for  in-depth  research  in  order  to  improve  the quality of control for parallel robots, mechanical and mathematical modeling and numerical algorithms for solving dynamic and control problems for two parallel robots, 3RUS and 3PUS. 

CHAPTER 2 BUILDING THE MECHANICAL MODEL AND MATHEMATICAL MODEL FOR DELTA PARALLEL ROBOT

In  this  thesis,  the  new  matrix  form  of  the  Lagrange  equations  with multipliers  [51]  is  used  to  establish  the  equation  of  motion  of  two  parallel 

robots, the 3RUS robot and the 3PUS robot. With the MAPLE or MATLAB software,  we  obtain  the  analytic  form  of  differential  –  algebraic  equations describing the movement of parallel robots. 

2.1 Dynamic model of Delta parallel robot

2.1.1 Dynamic model of Delta parallel robot 3RUS

From realistic models of robots from Figure 2.1, it can be seen that the parallelogram  will  make  the  kinematic  and  dynamic  computation  on  the robot quite complex. For simplicity we build two models of robot dynamics based on real model as follows: 

Figure 2.1: Delta parallel robot 3RUS

Model  1:  The  parallelogram  mechanisms  is  modeled  by  a  bar  with  a uniformly distributed mass over the length  of the bar. The mass and length 

of the bars correspond to the mass and length of the parallelogram. 

Model  2:  The  parallelogram  mechanisms  is  modeled  by  a  weightless bar with a concentric mass at both ends, the mass of each bar end equals half the mass of the parallelogram. 

2.1.2 Dynamic model of 3PUS Delta parallel robot

Spatial  3PUS  Delta  robot  is  a  variant  of  the  3RUS  robot    when replacing  rotary  actuation  joints  linear  actuation  joints  as  shown  in  Figure 2.4.  The  3PUS  robot  is  also  equipped  with  two  dynamic  models  similar  to the 3RUS. 

Figure 2.4: Delta parallel robot 3PUS

2.2 Establish equations of motion of the Delta parallel robot

Applying  the  new  matrix  form  of  the  Lagrange  equation  with multipliers [4, 51], the equation of motion of two 3RUS and 3PUS robots is the differential - algebraic equations of the following general form: 

  M s s C s s s ,  g s ΦT s s λτ  (2.20) 

2.3 Compare the equations of motion of robot models

From the equation of motion of model 1 and model 2 of each robot we have the comparison table as follows: 

From  Table  2.1  we  find  that  the  equation  of  motion  of  model  2  is simpler  and  easier  to  establish  than  model  1,  but  the  inertia  effect  is  not clear. 

2.3 Conclusions of chapter 2

The establishment of analytical equation of the equation of motion of Delta parallel robot is a very complex problem. Using the symbolic programming technique, this thesis has achieved some new results as follows: 

Using the new matrix form of equations Lagrange with multipliers [51], the differential - algebraic equations describing the motion of the two kinds Delta  parallel  robot  (robot  3RUS  and  robot  3PUS)  has  established analytically. 

In  addition  to  establishing  equations  of  motion  in  view  of  rigid  body, the thesis also provides a simple equation for  motion equation by replacing the  parallelogram  mechanisms  by  two  mass  points.  These  mechanical models  are  the  basis  for  computational  dynamics  and  control  of  parallel robots 3RUS and 3PUS. 

CHAPTER 3 NUMERICAL SIMULATION OF INVERSE

KINEMATICS AND INVERSE DYNAMICS FOR DELTA

PARALLEL ROBOT

Based on the explicit analytical form of the differential - algebraic equations description of the motion of the Delta parallel robot set up in Chapter 2, this chapter  applies  and  develops  numerical  algorithms  to  solve  the  inverse kinematic and inverse dynamic problem for parallel robots 3RUS and 3PUS. 

3.1 Calculation of inverse kinematic parallel robot by improved Newton-Raphson method

The constrained equations of  robot are rewritten in vector form as follows: 

where:  f  r,  q  n,  x  m

 Contents of the inverse dynamics problem: Given the motion law of the manipulator,  it  is  necessary  to  find  the  law  of  motion  of  the  driving  joints. Here, we will present an improved Newton-Raphson method [4] to solve the inverse kinematic problem: 

Step 1: Correct the increment of the vector of generalized coordinates at time  t0  =  0.  First,  we  can  determine  the  approximate  vector q0 by  drawing method  (or  experiment).  Then  apply  Newton  -  Raphson  methods  to  find  a better solution of q0 from nonlinear equations (3.1). 

1 ( ) 2

In  the  robot  kinematics  computation  [87],  the  infinitesimals  of  order n≥2 are often neglected in the initial approximation of Newton-Raphson. In this  thesis,  we take  into  account the second  order  infinitesimals, neglecting 

the  infinitesimals  of  order  3  and  taking  the  formula  (3.14)  as  the approximation of the original Newton-Raphson loop. 

After  each  step  of  calculating  the  coordinates  of  the  joints  using  the improved  Newton-Raphson  method,  the  generalized  velocity  and acceleration of the joints are calculated by the following formulas: 

3.2.2 Solving the inverse dynamics problem by eliminating the Lagrange multipliers [4]

Through  the  inverse  kinematic  with  the  given  trajectory  of  the  mobile platform center, we have found the vector s       t ,  s  t ,   s t . From this, mass 

matrices,  centrifugal  inertia  and  Coriolis  matrices,  matrices Φs,  as  well  as 

the vector g(s) have been completely determined. Thus, Equation (3.20) is a 

linear  algebraic  equation  with  unknown  driving  torque  vector  τa

 and 

Lagrange  multipliers λ  with  equal  numbers  of  equations  and  numbers. 

Thus,  we  can  directly  solve  this  system  of  equations  and  then  separate  the resulting momen. 

In  this  thesis,  we  will  not  directly  solve  equation  (3.20)  but  try  to eliminate Lagrange  multipliers λ, transforming the system of differential - algebraic  equations  (3.20),  (3.21)  into  the  system  of  equations  of  only unknowns of only joint moments τa as follows: 

3.3 Numerical simulation of inverse kinematics and inverse dynamics of Delta parllel robot

3.3.1 Numerical simulation of 3RUS inverse kinematics of robot

To evaluate the correctness of algorithms and calculations of the thesis, 

we  computed  the  inverse  dynamics  problem  of  3RUS    robot    with  the DELTA-IMECH  program  developed  based  on  MATLAB  software.  For comparison, the robot parameter data and manipulation motion are given in [61] of Y. Li and Q. Xu. 

Using  the  DELTA-IMECH  program  we  obtain  the  results  of  the numerical  simulation  of  inverse  kinematics  and  have  the  following comparison table: 

Comment:  Figure  3.11  shows  that  the  results  of  the  inverse  kinematics  of 

t[s]

Comment: When  motion  of  the  manipulator  is  fast,  the  results  of  the  two 

2.  The  numerical  simulation  results  show  that  when  the  movement  of  the manipulator  is  not  fast,  a  simple  robot  model  can  be  used  to  compute  the dynamics  of  two  types  of  research  robots.  However,  when  using  simple models  the  inertial  effects  of  spatial  rigid  bodies  are  not  reflected  in  the equation. That is the limitation that should be considered.  

CHAPTER 4 TRAJECTORY TRACKING CONTROL OF THE DELTA PARALLEL ROBOT BASED ON MECHANICAL MODELS

The use of inverse dynamic methods to control position of  serial robot  has been discussed extensively in  engineering [1, 87]. In  this chapter, based on the differential - algebraic equations written  explicitly in  Chapter 2 and the numerical  method  for  solving  the  inverse  dynamics  problem  in  Chapter  3, the  PD,  PID,  Sliding  mode  control,  Sliding  mode  control  using  neural network controller is built for 3RUS and 3PUS Delta parallel robots. 

4.1 Overview of the tracking control of the manipulator

         The task of the trajectory tracking control problem of the manipulator: 

To guarantee that the end-effector moves along the desired trajectory in the