Bài tiểu luận: Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM

Với kết cấu nội dung gồm 2 phần, bài tiểu luận Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM giới thiệu đến các bạn những nội dung về các kiến thức chung nhất về mô hình toán học và cách xây dựng đường cong Bezier, đường cong B-spline, mảnh mặt cong Bezier và mảnh mặt cong B-spline,... Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn chuyên ngành Công nghệ thông tin.

L I NÓI Đ UỜ Ầ

Hi n nay vi c gia công c  các b  m t s n ph m trong công nghi p r tệ ệ ơ ề ặ ả ẩ ệ ấ  

đa d ng và ph c t p, vì v y đ  thi t k  và mô t  nó thu n l i ngạ ứ ạ ậ ể ế ế ả ậ ợ ười ta sử 

d ng các ph n m m máy tính tr  giúp. Trong đó các ph n m m CAD/CAMụ ầ ề ợ ầ ề   đóng vai trò quan tr ng trong vi c tr  giúp xây d ng các b  m t b ng máyọ ệ ợ ự ề ặ ằ   tính

Môn h c: "Phọ ương pháp xây d ng b  m t cho CAD/CAM" cung c pự ề ặ ấ   cho các h c viên các phọ ương pháp xây d ng b  m t thự ề ặ ường g p trong s nặ ả  

xu t công nghi p, trên c  s  đó giúp cho h c viên hi u thêm quá trình xâyấ ệ ơ ở ọ ể  

d ng các đự ường cong và các m t ph c t p trong h  th ng CAD/CAM/CNCặ ứ ạ ệ ố

Trong quá trình tìm hi u và h c t p môn hoc, tác gi  đã ti n hành làmể ọ ậ ả ế   tiê  lu n đ  có th c riêng cho b n thân v  môn h c và th c hành l p trình sủ ậ ể ứ ả ề ọ ự ậ ơ 

b  cho các biên d ng độ ạ ường và m t c  b n, bặ ơ ả ước đ u bi t đầ ế ược nguyên lý  chung cho quá trình xây d ng các b  m t này.ự ề ặ

Ti u lu n môn h c sau để ậ ọ ược trình bày làm 2 ph n:ầ

­ Ph n 1. C  s  lý thuy tầ ơ ở ế : bao g m các ki n th c chung nh t v  mô  ồ ế ứ ấ ề hình toán h c và cách xây d ng đ ọ ự ườ ng cong Bezier, đ ườ ng cong B­spline, 

m nh m t cong Bezier và m nh m t cong B­spline ả ặ ả ặ

­ Ph n 2. Bài t pầ ậ : s  d ng ph n m m Matlab đ  xây d ng đ ử ụ ầ ề ể ự ườ ng  cong Bezier, đ ườ ng cong B­spline, m nh m t cong Bezier và m nh m t cong  ả ặ ả ặ B­spline 

Trong quá trình th c hi n ti u lu n, tác gi  chân thành c m  n  s  giúp ự ệ ể ậ ả ả ơ ự

đ  t n tình c a ỡ ậ ủ TS. Bùi Quý L c ự , B  môn Máy ­ Ma sát, Khoa C  khí, Đ i ộ ơ ạ

h c Bách khoa Hà n i và  các ý ki n đóng góp c a các b n trong l p.Trong ọ ộ ế ủ ạ ớ qua trình làm tác gi  không th  tránh đả ể ược nh ng thi u sót, rât mong đữ ế ượ ực s   đóng góp c a th y cô và các b n đ  có th  hoàn thi n t t h n.ủ ầ ạ ể ể ệ ố ơ

Hà n iộ , ngày 19 tháng 8 năm 2009

      H c viênọ

Vũ Quang Lương

Ph n 1. C  S  LÍ THUY Tầ Ơ Ở Ế

Đ  t o thành các kh i v t th  trong không gian 3D, trong kĩ thu tể ạ ố ậ ể ậ  

người ta s  d ng các đử ụ ường cong ph ng. Trong toán h c, các đo n cong đẳ ọ ạ ượ  c

bi u di n b ng m t hàm  n, hàm tể ễ ằ ộ ẩ ường minh ho c m t hàm tham s  Hàmặ ộ ố  

đ  mô t  để ả ường cong được g i là mô hình toán h c c a đọ ọ ủ ường cong. Có  nhi u hàm đ  mô t  các đề ể ả ường cong nh ng ngư ười ta s  d ng r ng rãi hàm đaử ụ ộ  

th c vì hàm này d  làm vi c và linh ho t trong vi c mô t  nhi u lo i đứ ễ ệ ạ ệ ả ề ạ ườ  ng cong k  thu t.ỹ ậ

Đ  xây d ng đo n cong trên c  s  đi m đã bi t, ngể ự ạ ơ ở ể ế ười ta ph i d a vàoả ự  

m t hàm nào đó và g i nó là hàm c  s  S  d ng hàm đa th c chu n làm hàmộ ọ ơ ở ử ụ ứ ẩ  

c  s  có  u vi t là d  dàng đ nh nghĩa và đánh giá. Kh o sát hàm b c ba:ơ ở ư ệ ễ ị ả ậ

r(u)  = (x(u), y(u), z(u))

= a + bu + cu2 + du3

Th  hi n dể ệ ướ ại d ng ma tr n:ậ

d c b

a u u u u

Hay r(u) = UA v i 0ớ u 1

Trong đó U là véc t  c  s  và A là véc t  h  s ơ ơ ở ơ ệ ố

1.1. Mô hình toán h c đọ ường cong Berier

Chúng ta trình bày cách xây d ng đự ường cong Bezier trên c  s  đơ ở ườ  ng cong Ferguson v i các đi u ki n mút Vớ ề ệ 0, V1, V2, V3 trong đó:

V0 ­ đi m b t đ u đo n để ắ ầ ạ ường cong, tương  ng v i đi m Pứ ớ ể 0.

V1 ­ đi m n m trên véc t  ti p tuy n đi m đ u để ằ ơ ế ế ể ầ ường cong và b ng Vằ 0  + t0/3 ch  ra trên hình 1. ỉ

V2 ­ đi m n m trên véc t  ti p tuy n đi m cu i để ằ ơ ế ế ể ố ường cong và b ng Vằ 3 

­ t1/3;

V3 ­ Đi m cu i c a đo n cong  ng v i đ nh Pể ố ủ ạ ứ ớ ỉ 1.

Đi m cu i c a để ố ủ ường cong Bezier v i đi u ki n mút đớ ề ệ ược vi t nhế ư  sau:

V0 = P0; V1 = V0 + t0/3; V2 = V3 ­ t1/3; V3 = P1

t

r(u)

1

t0

0

1

V

2 V

0

3 V

1 V

V2

Hình 1. Ví d  đ ụ ườ ng cong Bezier b c 3 ậ

Đ  có th  dùng phể ể ương pháp xây d ng đự ường cong b c ba Fergusonậ   vào xây d ng đự ường cong Bezier khi bi t các đi u ki n mút c a nó, chúng taế ề ệ ủ  

ph i tìm môtis quan h  gi a đi u ki n mút c a đả ệ ữ ề ệ ủ ường cong b c 3 Fergusonậ   P0, P1, t0, t1, và đi u ki n mút c a đề ệ ủ ường cong Bezier V0, V1, V2, V3 có nghĩa là 

ta ph i có:ả

V0 = P0  V3 = P1 Xác đ nh tị 0 theo V1 ta nh n đậ ược:

V1 = V0 + t0/3 3V1 = 3V0 ­ t0 t0 = 3(V1­V0) Xác đ nh tị 1 theo V2 ta có: 

V2 = V3 ­ t1/3

3V3 = 3V2 ­ t1 t1 = 3(V2­V3)

K t qu  bi n đ i ta nh n đế ả ế ổ ậ ược h  phệ ương trình tuy n tính:ế

V0 = P0  V3 = P1 t0 = 3(V1­V0) t1 = 3(V2­V3)

Th  hi n dể ệ ướ ại d ng ma tr n:ậ

R L V V V V

t t P

P S

3 2 1 0

1 0 1 0

3 3 0 0

0 0 3 3

1 0 0 0

0 0 0 1

(4)

Thay (4) vào (2) ta nh n đậ ược đường cong Bezier b c ba.ậ

r(u) = U C S

V i 0ớ u 1

Đ t M = C Lặ

1 1 2 2

1 2 3 3

0 1 0 0

0 0 0 1

L C M

3 3 0 0

0 0 3 3

1 0 0 0

0 0 0 1

=

1 3 3 1

0 3 6 3

0 0 3 3

0 0 0 1

Và R = 

3 2 1 0

V V V V

Phương trình (5) được g i là phọ ương trình đường cong Bezier

Phương trình trên cũng có th  bi u di n dể ể ễ ướ ại d ng hàm đa th c:ứ

r(u) = (U M) R

= B0,3(u)V0 +  B1,3(u)V1 + B2,3(u)V2 + B3,3(u)V3

=  3

0 1,3

) (

V u B

trong đó:

B0,3(u) = (1­u)3

B1,3(u) = 3u(1­u)2

B2,3(u) = 3u2(1­u)

B3,3(u) = u3

Bi,3(u) được g i là đa th c Bezier b c 3ọ ứ ậ

Đa th c Bezier tứ ương đương v i s  h ng trong khai tri n nh  phânớ ố ạ ể ị   (u+v)n, v i v = 1 ­ u.ớ

D ng chung c a đa th c Bezier b c n đạ ủ ứ ậ ược vi t nh  sau:ế ư

  u)

­ (1 u

! )!

(

!  

(u)

n

n

Đa th c trên đứ ược g i là hàm c  s  Bezier dùng đ  đ nh nghĩa đọ ơ ở ể ị ườ  ng cong Bezier b c n v i n+1 đi m đi u khi n.ậ ớ ể ề ể

n

i i n i

V u B u

r

) ( )

Chúng ta có th  ti n hành các phép nh  là tăng b c, gi m b c hàmể ế ư ậ ả ậ   Bezier

Ví d : đụ ường cong Berier b c baậ

Chương trình trên Matlab

hold  off ;

% Vi tri vecto

%P = [p1x p1y;

X = [0 0 0 0 1 1 1 1+eps];      

tmin=0;

tmax=1;

n = 3;

Bs = zeros(51,2);

    t = tmin + (tmax­tmin)*(i­1)/50;

        Bs(i,:) = Bs(i,:) + P(j,:)*bsplinebasis(j,4,t,X);             end

end

grid  on

Ta s  có đẽ ược biên d ng đạ ường cong Berier b c ba nh  sau:ậ ư

1.2. Mô hình toán h c đọ ường cong B­spline đ ng nh tồ ấ

Đ  hi u để ể ược đ c tr ng hình h c c a m t đặ ư ọ ủ ộ ường cong B­spline b c 3ậ  

c n ph i bi t c u trúc hình h c c a đầ ả ế ấ ọ ủ ường cong này.Gi  s , b n đ nh đi uả ử ố ỉ ề   khi n c a để ủ ường cong b c ba này đậ ược ký hi u Vệ 0, V1, V2, V3.Ta đ nh nghĩaị  

nh  sau:ư

2

1

0

0

V

V

M  Là đi m gi a c a Vể ữ ủ 0 và V1

2

2

1

1

V

V

M  Là đi m gi a c a Vể ữ ủ 1 và V2

3

2 1 0

0

M

V

P  Là đi m n m   m t ph n ba c a đo n th ng Vể ằ ở ộ ầ ủ ạ ẳ 1 và M0

3

2 2 1

1

M

V

P  Là đi m n m   m t ph n ba c a đo n th ng Vể ằ ở ộ ầ ủ ạ ẳ 2 và M1

Ta xây d ng đo n cong r(u) tho  mãn đi u ki n sau:ự ạ ả ề ệ

­ Đo n cong b t đ u t  đi m Pạ ắ ầ ừ ể 0 và đi m cu i là Pể ố 1

­ Vect  ti p tuy n tơ ế ế 0   đi m Pở ể 0 là b ng ( Mằ 0­V0)

­ Vect  ti p tuy n tơ ế ế 1   đi m Pở ể 1 là b ng ( Mằ 1­V1)

Đi m mút Pể 0 và P1 c a đo n cong bi u di n theo các đ nh đi u khi n nh  sau:ủ ạ ể ễ ỉ ề ể ư

­ Đi m đ u Pể ầ 0 c a đo n cong B­spline r(u) đủ ạ ược dánh giá nh  sauư

o  

6

4

3 2

2 3

0 1 0

V V V v V V M V P

  Hay   ( 0 ) 4 1 (60 2)

0

V V V r

Đánh giá r(u) t i đi m cu i Pạ ể ố 1  ng v i u = 1ứ ớ

6

4

3 2

2 3

0 1 1

V V V V V V M V P

Bi u di n t i Pể ễ ạ 1:   ( 1 ) 4 2 (61 3)

1

V V V r

Ta có t0 r.(u), do đó ta xác đ nh ti p tuy n tị ế ế 0: 

2 2

0 2 0 2 0 0 0 0

V V V V V V M

P

Hay  .( 0 ) 2 2 0

0

V V r

Tương t  ta có: ự

2 2

1 3 1 3 1 1 1

1

V V V V V V M

P

Hay  .( 1 ) 32 1

1

V V r

T  các phử ương trình (1­a), (1­b), (2­a), (2­b) ta có h  phệ ương trình tuy n tínhế

) 0 4

( 6

1

2 4 0

P

) 4 0

( 6

1

3 2 1

P

) 0 3 0 3 ( 6

1

2 0

t

) 3 0 3 0 ( 6

1

3 1

t

Chuy n sang d ng ma tr n ta để ạ ậ ược:

KR V

V V V

t t

P S

3 2 1 0

1 0 1 0

3 0 3 0

0 3 0 3

1 4 1 0

0 1 4 1 6 1 P

Thay k t qu  tìm đế ả ược vào đường cong Ferguson ta tìm được cách bi uể  

di n đễ ường cong B­spline đ ng nh t b c 3ồ ấ ậ

r(u)  =U C S

= U (C K) R

U = [1 u u2 u3 ]

C – ma tr n h  s  Ferguson ậ ệ ố

1 3 3 1

0 3 6 3

0 3 0 3

0 1 4 1 6

1

N

R = [V0 V1 V2 V3 ]T  Trong đó N­ h  s  đệ ố ường cong B­spline b c baậ

Đường cong B­spline đ ng nh t b c ba vi t dồ ấ ậ ế ướ ại d ng bi u th c đ i s  nhể ứ ạ ố ư  sau:

3

3 2 3 2 1

3 2 0

3 2

3 3 3 1 6

3 6 4 6

3

3

1 u u u V u u V u u u V u V

r u

Đ t:ặ

6

3 3 1 )

3

,

0

u u u u

S

6

3 6 4 )

3

,

1

u u u

S

6

3 3 3 1 )

3

,

2

u u u u

S

6 )

( 3

3

,

3

u u

S

Đường cong B­spline vi t dế ướ ại d ng bi u th c đ i s :ể ứ ạ ố

i

i i n

V u S u

r( ) 3 ( ).

T p phậ ương trình đ i s  Sạ ố i,3(u) v i i = 0,B­spline đ ng nh t b c ba hayớ ồ ấ ậ   còn g i là hàm h n h p B­spline. ọ ỗ ợ

­ Ví d : đụ ường cong B­spline b c 3ậ

%function bspline(P,n)

hold  off ;

% Vi tri vecto

P = [0 20 0;

     10 40 150 ;

     30 ­70 20];

%P = [p1x p1y p1z;

X = [0 0 0 1 1 1+eps];      

tmin=0;

tmax=1;

n = 2;

Bs = zeros(51,3);

    t = tmin + (tmax­tmin)*(i­1)/50;

        Bs(i,:) = Bs(i,:) + P(j,:)*bsplinebasis(j,n+1,t,X);             end

end

%axis([500 0 0 500]);

grid  on

Ta s  có m t đẽ ộ ường B­spline b c ba nh  sau:ậ ư

1.3. M nh m t Berierả ặ

Bây gi  chúng ta xây d ng m nh m t Bezier t  các đờ ự ả ặ ừ ường cong Bezier 

tương t  nh  phự ư ương pháp hình thành m nh m t Ferguson đã nêu trên. Giả ặ ả  thi t r ng chúng ta có m ng 4x4 đ nh đi u khi n ế ằ ả ỉ ề ể Vj,   được b  trí nh  trênố ư   hình 4

V 03 V 13

V 23

V 33

V 32

V 22

V 12

V 02

V 01

V 00 V 10

V 11

V 21

V 31

V 30

V 20

v =0

u =0

Hình 4. M nh m t Bezier b c 3 ả ặ ậ

Các đ nh đi u khi n liên k t v i nhau b ng đa th c Bernstein, m nh ỉ ề ể ế ớ ằ ứ ả

m t Bezier b c 3 đặ ậ ược xác đ nh nh  sau:ị ư

3 0

3 0

3 3

B v)

r(u,

i j j ij

V v B u

3 0

3 0

3

! )!

3 (

! 3 )

1 (

! )!

3 (

! 3 v)

r(u,

i j

j j

i

j j u

u i

= U M B MT VT Trong đó:  U = 1 u u2 u3

và V = 1 v v2 v3

M = 

1 3 3 1

0 3 6 3

0 0 3 3

0 0 0 1

33 32 31 30

23 22 21 20

13 12 11 10

03 02 01 00

V V V V

V V V V

V V V V

V V V V B

M được g i là ma tr n h  s  Bezierọ ậ ệ ố

B là ma tr n h  s  đi u khi n Bezier.ậ ệ ố ề ể

Phương trình m nh m t Bezier t ng quát b c n và m đi u khi n nh  ả ặ ổ ậ ề ể ư sau:

i

n

n

j v V B u

m

B v)

Trong đó:

i m i

m

i i m

m u

! )!

(

! )

(

j n j

n

j j n

n v

! )!

(

! )

(

Trong CAD/CAM người ta thường s  d ng m nh m t Bezier b c ử ụ ả ặ ậ m=n=5 ho c m=n=7. Khi b c m=n=5 s  đ nh đi u khi n c n thi t là 36.ặ ậ ố ỉ ề ể ầ ế

Chúng ta  có th  ti n hành tăng ho c gi m b c c a phể ế ặ ả ậ ủ ương trình m nh ả

m t tam giác Bezier.ặ

Ví d  b  m t Berierb c 2ụ ề ặ ậ

pr = 20;

 P = zeros(3,3,3); 

 P(1,1,:) = [0 3 ­1]; 

 P(1,2,:) = [0 7 5];

 P(1,3,:) = [0 6 1];

 P(2,1,:) = [2 3 1];

 P(2,2,:) = [3 10 ­2];

 P(2,3,:) = [1 7 0];

 P(3,1,:) = [2 3 1];

 P(3,2,:) = [4 5 0];

 P(3,3,:) = [5 7 3];

n = 2;

m = 2;

% Knot vectors

X = [0 0 0.5 1+eps 1+eps];

Y = [0 0 0.5 1+eps 1+eps];

Q = zeros(pr+1,pr+1);

R = zeros(pr+1,pr+1);

S = zeros(pr+1,pr+1);

    u = (g­1)/pr;

        v = (h­1)/pr;

      Q(g,h)=Q(g,h)+ 

P(i,j,1)*bsplinebasis(i,m,u,X)*bsplinebasis(j,n,v,Y);

      R(g,h)=R(g,h)+ 

P(i,j,2)*bsplinebasis(i,m,u,X)*bsplinebasis(j,n,v,Y);

      S(g,h)=S(g,h)+ 

P(i,j,3)*bsplinebasis(i,m,u,X)*bsplinebasis(j,n,v,Y);

         end

     end

end

hold  off ;

hold  on ;

1.4. M nh m t B­spline đ ng nh tả ặ ồ ấ

 M t B­spline đ ng nh t b c ba c a hai bi n u và v đặ ồ ấ ậ ủ ế ược bi u di n b iể ễ ở  

phương trình sau:

3

0

3

0

3

3 ( ) ( ) )

,

(

V u N u N v

u

= U N B NT VT Trong đó: U = [ 1 u u2 u3 ]

V = [ 1 v v2 v3 ]

33 32 31 30

23 22 21 20

13 12 11 10

03 02 01 00

V V V V

V V V V

V V V V

V V V V B

1 3 3 1

0 3 6 3

0 3 0 3

0 1 4 1 6

1

N

6

3 3 1 )

3 , 0

u u u u

N

6

3 6 4 )

3 , 1

u u u

N

6

3 3 3 1 )

3 , 2

u u u u

N

6 ) ( 3

3 , 3

u u N

M t B­spline đ ng nh t đặ ồ ấ ược th  hi n dể ệ ưới hình sau:

Măt cong B­spline đ ng nh t b c hai đồ ấ ậ ược em nh  là tích tensor c aư ủ  

đường cong B­spline đ ng nh t b c hai r(u) = U Nồ ấ ậ 2  R. M t đ ng nh t B­ặ ồ ấ spline có th  có b c c a hai bi n u và v khác nhau. Ví d  m t B­spline cóể ậ ủ ế ụ ặ  

bi n u ho c bi n v b c hai, phế ặ ế ậ ương trình được bi u di n nh  sau:ể ễ ư

r(u)= U N B N2T VT V i 0 ≤ u ≤ 1 ớ

Trong đó:

U = [ 1 u u2 u3 ]

V03 V13

V23

V33

V32

V22

V12

V02

V01

V00 V10

V11

V21 V31

V30

V20

32 31 30

22 21 20

12 11 10

02 01 00

V V V

V V V

V V V

V V V B

1 3 3 1

0 3 6 3

0 3 0 3

0 1 4 1 6

1

N

1 2 1

0 2 2

0 1 1

2

N

Ví d  m nh m t B­spline :ụ ả ặ

pr = 20;

% cac diem

P = zeros(4,3,3)

 P(1,2,:) = [2 1 2]; 

 P(1,3,:) = [1 3 4];

 P(1,4,:) = [1 7 3];

 P(2,1,:) = [2 1 1];

 P(2,2,:) = [2 ­5 3];

 P(2,3,:) = [2 ­4 1];

 P(2,4,:) = [1 10 6];

 P(3,1,:) = [2 2 1];

 P(3,2,:) = [3 2 0];

 P(3,3,:) = [5 9 2];

 P(3,4,:) = [2 3 ­1];

 P(4,1,:) = [1 2 1];

 P(4,2,:) = [4 3 2];

 P(4,3,:) = [3 5 5];

 P(4,4,:) = [4 6 8];

n = 3;

m = 3;

% Knot vectors

X = [0 0 0 0.5 1+eps 1+eps 1+eps];

Y = [0 0 0 0.5 1+eps 1+eps 1+eps];

Q = zeros(pr+1,pr+1);

R = zeros(pr+1,pr+1);

S = zeros(pr+1,pr+1);

    u = (g­1)/pr;

        v = (h­1)/pr;

         for  i = 1:(n+1)

      Q(g,h)=Q(g,h)+ P(i,j,1)*bsplinebasis(i,n­

1,u,X)*bsplinebasis(j,m­1,v,Y);

      R(g,h)=R(g,h)+ P(i,j,2)*bsplinebasis(i,n­

1,u,X)*bsplinebasis(j,m­1,v,Y);

      S(g,h)=S(g,h)+ P(i,j,3)*bsplinebasis(i,n­

1,u,X)*bsplinebasis(j,m­1,v,Y);

     end

end

hold  off ;

hold  on ;