Tài liệu cung cấp Để giải các phương pháp giải bài toán mũ – Logarit chứa tham số bằng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt ẩn phụ sau đó dùng phương pháp hàm số hoặc phương pháp đại số lớp 10 để tìm điều kiện của tham số.
Trang 1GIẢI CÁC BÀI TOÁN MŨ – LOGARIT CHỨA THAM SỐ BẰNG PHƯƠNG
PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ (mức độ 8+)
Để giải các bài toán dạng này, ta thường đặt ẩn phụ sau đó dùng phương pháp hàm
số hoặc phương pháp đại số lớp 10 để tìm điều kiện của tham số
I Lý thuyết
1 Đại số lớp 10
a Định lý Vi-et thuận
Cho phương trình ax2 bxc0, a#0, có hai nghiệm
a
c x x
a
b x
x x
x
2 1
2 1 2
1
;
b So sánh số cho trước với nghiệm của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x;m)ax2 bxc0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
- Để x1x2 a.f()0
- Để
2
0 ) (
0
2 1
S
f a x
x
- Để
2
0 ) (
0
2 1
S
f a x
x
c So sánh số , cho trước với nghiệm của tam thức bậc hai (giả sử )
Cho tam thức bậc hai f(x;m)ax2 bxc0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
- Để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng
2 1
2 1
;
x x
x x
kiện là: f().f()0
- Để phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng ; x1x2 thì điều kiện
là:
2
0 )
(
0 )
(
0
S
f
a
f
a
Trang 2- Để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
0 ) (
0 ) ( 2
f a
f a đk x
x
2 Phương pháp hàm số (lớp 12)
a Áp dụng với giải phương trình
- Với hàm f luôn đơn điệu trên miền xác định của nó thì phương trình
v u v f u
f( ) ( )
b Áp dụng đối với giải bất phương trình
- Với hàm f luôn đơn điều trên miền xác định của nó và có f(u) f(v)(*)
+ Nếu f luôn đồng biến thì (*) uv
+ Nếu f luôn nghịch biến thì (*) uv
3 Nguyên tắc giải
Để giải một bài toán mũ- logarit chứa tham số m bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta thường thực hiện theo các bước sau:
- B1: Biến đổi bài toán để dễ dàng cho việc đặt ẩn phụ, tìm điều kiện x (nếu có)
- B2: Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện chặn (điều kiện biên) cho ẩn phụ mới dựa vào điều kiện ban đầu của x và yêu cầu của đề bài
- B3: Áp dụng phương pháp giải bằng đại số lớp 10 hoặc phương pháp hàm số để tìm tham số m
* Đối với phương pháp hàm số, cần thực hiện theo các nguyên tắc sau
Cô lập tham số m (chỉ áp dụng được khi tham số m đồng bậc nhau, thường ở dạng bậc nhất) + f(x;m)0mg(x), khảo sát sự biến thiên của hàm g(x), dựa vào bảng biến thiên, tìm m để phương trình có số nghiệm theo yêu cầu
) (
) ( 0
)
; (
x g m
x h m m
x
f Để bất phương trình luôn đúng với x a;b thì m phải
thỏa mãn:
) ( min
) ( max
x g m
x h m
) (
) ( 0
)
; (
x g m
x h m m
x
f Để bất phương trình có nghiệm với x a;b thì m phải
thỏa mãn:
) ( max
) ( min
x g m
x h m
II Bài tập áp dụng
Bài 1: (Đề thi HK1 – lớp 12 trường THPT Chuyên Tiền Giang năm học 2019-2020)
Tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
0 5 15 )
2 ( 45
)
1
3
( m x m x x nghiệm đúng với x0 là:
3
1
3
1
;
2 C ;2 D ;2
Trang 3LỜI GIẢI THAM KHẢO
Ta biến đổi như sau: (3 1).45x (2 ).15x 5x 0(3 1).9x (2 ).3x 10
m m
m m
Đặt t3x,x0t1 Bài toán trở thành: Tìm tham số m để bất phương trình
(*) 0 1 ) 2 ( ) 1 3
( m t2 m t đúng với t1
Ta sẽ cô lập tham số m để sử dụng phương pháp hàm số:
1 2 )
3 ( (*)m t2 t t2 t , do t > 1 nên 3t2 t 0, chia 2 vế cho 3t2 t
t t
t t
m
2
2 3
1 2 Xét hàm
t t
t t
t f
2
2 3
1 2 )
( , tìm max, min của f(t),t 1
) 3
(
1 6 7
) 3
(
) 1 )(
1 6 ( ) 3
)(
2 2 ( )
(
'
2 2
2 2
2
2 2
t t
t
t t t
t
t t t
t t
t
luôn đồng biến Để bất phương trình (*) luôn đúng thì: mmin f(t) f(1)2
;2
m Chọn đáp án C
Bài 2: (Thi thử THPTQG trường THPT Ngô Sĩ Liên năm 2019-2020 – Bắc Giang)
Số giá trị m nguyên thuộc khoảng 2019;2020 để phương trình :
x x m m
x
x 3 3 ) (3 3 ).3 9 3
(
log3 có đúng hai nghiệm là:
A 2018 B 4036 C 2019 D 2020
LỜI GIẢI THAM KHẢO
x
x m x
9 3 )
3 3 ( 3
3 3 1 9
1 3 log 3
3 1 3 3 9 ) 3 3 1 9 (
x x
x m x x m
x 1 3 3 ) 9 3 3 1 3.3 log 3.3 9
(
0
; log )
(t t 3t t
f Xét tính biến thiên của hàm số: 0
3 ln
1 1 ) ( '
t t
luôn đồng biến Áp dụng nguyên tắc hàm số: f(9x 13m.3x) f(3.3x)
(*) 3 3 3 3 1
9x m x x
, đặt u3x,u0 Phương trình (*): u2 13m u3u
) 1 ( 0 1 )
3 3 (
2
u m u , bài toán đưa về tìm tham số m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm
Cách 1: Dùng phương pháp hàm số
2
u
u u
u u
m
Xét hàm số ( ) 1 3
u u t
đạo hàm '( ) 1 1 0 1
2
u u
Trang 4u 0 1 g’(u) - 0 +
g(u)
-1
Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 3m 13m 1m0
Vậy số giá trị nguyên của m thuộc khoảng 2019;2020 là m = -1;-2; ,-2018 Vậy
có 2018 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn đáp án A
Cách 2: Dùng phương pháp đại số 10
Từ phương trình (1), buộ điều kiến để phương trình có 2 nghiệm dương là
0 0 0
S P
0 1
0
5 log
1
2 3 3
2 3 3
0 3 3
0 1
0 4 ) 3 3
m m m
m S
m
m
m
Từ đây ta tìm
được giá trị nguyên của m thuộc khoảng 2019;2020
Bài 3: (Đề khảo sát THPT chuyên Lê Hồng Phong -2019 – Nam Định)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:
1 2
3 )
1 (x4 x4(xm)2 x2 mxm2
3
1
; 3
1
4
1
; 4
1
3
1
; 3
1
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Ta biến đổi như sau: (x41).3x4 (xm)21.3(xm)2(*) Xét hàm đặc trưng:
t t
t
f( ) 1.3 với t0 Khi đó ta có f'(t)3t t1.3t.ln30hàm đồng biến
Vậy từ (*) ta có:
) 2 )(
(
) 1 ( )
( )
(
2
2 2
4 2
4
m x x
m x x m
x x
m x f x
phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (1) và (2) đồng thời phải có 2 nghiệm
phân biệt và không trùng nhau Khi đó ta có
0
# 0
#
4
1 4
1
#
0 4 1
0 4 1
2 2
2 1
m x
m x
x x x
m m
Trang 5
4
1
; 4
1
m \{0} Vậy chọn đáp án B
Bài 4: (Đề sát hạch lần 1 trường THPT Thuận Thành số 2- Bắc Ninh)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 8x 3.22x1 9.2x 2m60
có ít nhất hai nghiệm phân biệt
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Ta biến đổi: 23x 6.22x 9.2x 2m60, đặt t3x.đk:t0 Theo cách đặt ta
được: t3 6t2 9t 2m60t3 6t2 9t62m(*) Sau khi đặt, ta có điều kiện
mới là: Tìm m để phươn trình có ít nhất 2 nghiệm dương phân biệt Ta xét hàm số:
3
; 1 0
9 12 3
) ( '
; 6 9 6 )
(t t3 t2 t f t t2 t t t
t 0 1 3
)
(
' t
f + 0 - 0
)
(t
f
10
6 6
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có ít nhất 2 nghiệm dương phân biệt là:
5 , 4 , 3 5
3 10 2
6 m m m Vậy chọn đáp án A
Bài 5: (Đề thi thử THPTQG trường THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang)
Cho hàm số f x x x x
1 3 3 log ) ( Tổng bình phương các giá trị của tham số m để
1 2
x
A
2
5
2
7
LỜI GIẢI THAM KHẢO
1 2
1 2
2 2
m x f x
x
1
x m
t f x
x
t t
1 1
Ta lại có 3 ln33 ln30
10 ln
1 )
( '
2
1
x x
x f
x
Trang 6
1 2 2 2 2
1 2 2 2 2 1
2 2 2 2
2
2
2 2
2
m x x
x
m x x
x m
x x
x t x
x
) 2 ( 1 2
) 1 ( 0 2 1 4 2
2
m x
m x
x
Để phương trình (*) có đúng 3 nghiệm thì tổng số
nghiệm của phương trình (1),(2) có 3 nghiệm Khi đó ta có các trường hợp sau:
TH1: Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt và phương trình 2 có nghiệm kép khác
2
1 0
1 2
0 2 3 0
0
2
1 2
1
tm m
m
m
TH2: Phương trình (1) có nghiệm kép và phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt khác
2
3 0
1 2
0 2 3 0
0
2
1 2
1
tm m
m
m
TH3: Cả 2 phương trình đều có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm trùng nhau
) ( 1 1
1 0
) 1 ( 2
2
3 2
1
1 )
1 4 (
0
0
2 2
2
2
1
tm m
m x
x
m x
x x
Vậy có 3 giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm Tổng bình phương của chúng là:
2
7 1 2
5 1 2
3 2
1 2 2 2
Bài 6: (Đề KSCL lần 2 trường THPT Quế Võ – Bắc Ninh năm 2019)
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m sao cho phương trình
2 5
1 2
1 3
3
2
2
m x x
x x
m x x
có nghiệm?
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Điều kiện: 3x2 3xm10(1), ta biến đổi phương trình như sau:
2 2 4
2 log ) 1 2
( log 1 3
3 ) 1 3
3 (
log2 x2 xm x2 xm 2 x2 x 2 x2 x
2 2 4
) 2 2 4
( log 1 3
3 ) 1 3
3 (
Xét hàm đặc trưng: f(t)log2tt;t 0 Xét tính biến thiên của hàm số:
2 ln
1 )
(
'
t t
Ta có: f(3x2 3xm1) f(4x2 2x2)3x2 3xm14x2 2x2
(*) 0 1
5
2
x x m Để phương trình có nghiệm thì 254(1m)0
Trang 721
m Vậy các giá trị nguyên âm của m5;4;3;2;1 thế vào (*) tìm
nghiệm x rồi thế nghiệm x và m tương ứng vào (1), đều thỏa mãn điều kiện Vậy có 5 giá
trị nguyên âm của m thỏa mãn điều kiện bài toán Chọn đáp án B
Bài 7: (Kiểm tra định kỳ trường THPT Nguyễn Khuyến – TPHCM năm học 2018-2019)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4x 2x 43m.(2x 1)có hai
nghiệm phân biệt
A 1mlog34 B log43m1 C 1mlog34 D log43m1
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Đặt t2x,t0, ta có phương trình mới:
1
4 3
)(*) 1 (
3 4
2 2
t
t t t
t
Cách 1: Dùng phương pháp hàm số
) ( 3
1 0
) 1 (
3 2 )
( '
; 1
4 )
(
2
2 2
l t
t t
t t
t f t
t t t
Lập bảng biến thiên, ta được:
t 0 1
)
(
' t
f - 0 +
)
(t
f
4
3
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có 2 nghiệm thì 33m41mlog34
Vậy chọn đáp án C
Cách 2: Dùng phương pháp đại số 10
Từ phương trình (*), ta biến đổi: 2 (13m) 43m 0
t
hai nghiệm dương phân biệt là
0
4 log
0 15 3
2 3
0 1 3
0 3 4
0 ) 3 4 ( 4 ) 3 1 (
0 0
0
3
2 2
m
m S
P
m m
m m
m m
4 log 1
0
4 log
1 3
3
3
m
m
m
m
Vậy chọn đáp án C
Trang 8Bài 8: (Kiểm tra định kỳ trường THPT Nguyễn Khuyến – TPHCM năm học 2018-2019)
Cho phương trình 5x mlog5(xm)với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của
20;20
m để phương trình đã cho có nghiệm
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Điều kiện xm, từ phương trình đã cho, ta biến đổi như sau:
)(*) (
log 5
log 5
) (
log
5x x 5 xm xm x 5 x xm 5 xm Xét hàm đặc
trưng f(t)t log5t;t0, ta có 0
5 ln
1 1 ) ( '
t t
f hàm số nghịch biến Từ (*) ta có:
x m
m x m
x f
f(5x) ( )5x 5x Xét tính biến thiên của hàm số
e
x e x
g x x
5 ln
1 5
0 1 5 ln 5 ) ( '
; 5
)
x log5(log5e)
)
(
' x
f - 0 +
)
(x
f
log5elog5(log5e)
Dựa vào bảng biến thiên, đế phương trình có nghiệm thì mlog5elog5(log5e)
19 .;
2
; 1 917
, 0 ) (log log
của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán Chọn đáp án D
Bài 9: (Đề thi HK1 trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ - năm học 2019-2020)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số để phương trình 9x2 4.3x2 8m có nghiệm
thuộc đoạn 2;1
A 4;6245 B 4; C 5; D 5;6245
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Đặt t3x2, xét hàm số g(x)3x2;g'(x)2x.3x2.ln30x0 Lập bảng biến thiên:
x -1 0 2
)
(
' x
g - 0 +
)
(x
g
3 34
1
Dựa vào bảng biến thiên, ta có được miền xác định của t là t 1;81 Bài toán trở thành: Tìm tham
số m để phương trình t2 4t8m có nghiệm t 1;81 Xét hàm f(t)t2 4t8 có tính biến
thiên f'(t)2t 40t 2 Lập bảng biến thiên được:
Trang 9t 1 2 81
)
(
' t
f - 0 +
)
(t
f
5 6245
4
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thì điều kiện của tham số m là:
4 m Vậy chọn đáp án A
Bài 10: (Đề thi HK1 trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ - năm học 2019-2020)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4x (m1).2x13m80
có hai nghiệm trái dấu?
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Đặt t 2x, giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn
2
1 1 2 2
x Theo cách đặt, ta được phương trình: t22(m1)t3m80(*),
giả sử phương trình (*) có 2 nghiệm t1,t2thì 0t11t2 Đặt f(t)t22(m1)t3m80
Sử dụng phương pháp đại số 10, điều kiện m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn là:
8
; 7
; 6
; 5
; 4
; 3 3
8
9
0 ) 0 (
0 ) 1 (
m m
m
f
a
f
a
Vậy có 5 giá trị nguyên của m Chọn đáp án B
Bài 11: Tìm m để x 0;2 đều thỏa mãn bất phương trình :
5 ) 2
( log 4 2
log2 x2 x m 4 x2 xm
A m2;0 B m 0;2 C m 2;4 D m 4;6
LỜI GIẢI THAM KHẢO
0 ) 4 2 (
log
0
2 4
2
x x
m m
x x
x x
m x x
Đặt g(x)x2 2x1;g'(x)2x20x1 Lập bảng biến thiên với x 0;2
x 0 1 2
)
(
' x
g + 0 -
)
(x
g
2
1 1
Dựa vào bbt, (1) m2
Ta biến đổi phương trình ban đầu: log4(x2 2xm)4 log4(x2 2xm) 5
Trang 10Đặt t log4(x2 2xm);t0, ta được: t2 4t5t2 4t500t 1
(*) 4 2 4
2 1
) 2
( log4 x2 xm x2 xm mx2 x
Xét hàm f(x)x2 2x4; f'(x)2x20x1 Lập bảng biến thiên với x 0;2
x 0 1 2
)
(
' x
f + 0 -
)
(x
f
5
4 4
Dựa vào bbt, (*) m4 Kết hợp điều kiện, ta được: 2m4 Chọn đáp án C
Bài 12: (Đề kiểm tra trường THPT Nguyễn Tất Thành- ĐHSPHN – năm học 2019-2020)
Cho phương trình 9x (m1).3x m0 Điều kiện của m để phương trình có đúng 3 nghiệm
thực phân biệt là:
A m > 0 và m#1 B m > 0 C m ≥ 1 D m > 1
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Đặt t3x,t1 , ta được phương trình: t2 (m1).t m0(t 1).(t m)0
m
x m
t
t
x
x
3
0 1
3 1
Để phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt thì phương 3x m
phải có 2 nghiệm thực phân biệt, khi đó điều kiện là m > 0 và m # 1 Vậy chọn đáp án A
Bài 13: (Đề KSCL lần 1 trường THPT Lê Văn Thịnh - Bắc Ninh)
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 7mx2 2x 72mxmcó 2 nghiệm x1, x2thỏa mãn
2
2
1
2
2
2
2
2
1
x
x
x
x
A
2
1
2
1
2
1
;1 2
1
m
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Từ đề bài, ta biến đổi: mx2 2x2mxmmx2 2(m1)xm0(*), từ điều
1
2 2 1 2
1
2 2
1 2
1
2 2 2 2
2 1
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
Tìm tham số m để phương trình (*) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện (1) Điều kiện
cần
2
1 0
2