Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm học 2015-2016 biên soạn bởi Phòng Giáo dục và Đào tạo Thành phố Thanh Hóa có kèm theo đáp án và hướng dẫn chấm bài thi. Để nắm chi tiết nội dung mời các bạn cùng tham khảo đề thi.
Trang 1THANH HÓA
Đ THI H C SINH GI I NĂM H C 2015 2016Ề Ọ Ỏ Ọ
MÔN: TOÁN L P 9Ớ
Th i gian làm bài: 150 phútờ Bài 1: (4,0 đi m) ể
Cho P =
2 3
2 2
x x x
x x x
2 3
2 2
x x x
x x x
1. Rút g n P. V i giá tr nào c a x thì P > 1ọ ớ ị ủ
2. Tìm x nguyên bi t P đ t giá tr nguyên l n nh tế ạ ị ớ ấ
Bài 2: (4,0 đi m)ể
1. Gi i phả ương trình
x x
x x
2 3 3
1 3
5
= 4
2. Tìm s nguyên x, y th a mãnố ỏ x2 + xy + y2 = x2y2
Bài 3: (4,0 đi m)ể
1. Cho a = x +
x
1
b = y + 1y
c = xy + xy1
Tính giá tr bi u th c: A = aị ể ứ 2 + b2 + c2 – abc
2. Ch ng minh r ng v i m i x > 1 ta luôn có.ứ ằ ớ ọ 3(x2 12
x ) < 2(x3 13
x ) Bài 4: (4,0 đi m)ể Cho t giác ABCD có AD = BC; AB < CD. G i I, Q, H, P l n lứ ọ ầ ượt là trung đi m c a AB, AC, CD, BDể ủ
1. Ch ng minh IPHQ là hình thoi và PQ t o v i AD, BC hai góc b ng nhau.ứ ạ ớ ằ
2. V phía ngoài t giác ABCD, d ng hai tam giác b ng nhau ADE và BCF. Ch ngề ứ ự ằ ứ minh r ng trung đi m các đo n th ng AB, CD, EF cùng thu c m t đằ ể ạ ẳ ộ ộ ường th ng.ẳ
Bài 5: (2,0 đi m)ể Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường cao AH dài 36cm. Tính đ dài BD, DC.ộ
Bài 6: (2,0 đi m) ể V i a, b là các s th c th a mãn đ ng th c (1 + a)(1 + b) = ớ ố ự ỏ ẳ ứ
4
9
Hãy tìm GTNN c a P =ủ 1 a4 + 1 b4
Trang 2ĐÁP ÁN Đ THI H C SINH GI I MÔN TOÁN L P 9Ề Ọ Ỏ Ớ
1
1
Đi u ki n x > 0; xề ệ 1; 4
) 1 )(
2 (
) 1 )(
1 )(
2 (
x x
x x
x
) 1 )(
2 (
) 1 )(
1 )(
2 (
x x
x x
x
=
P > 1 > 1 1 > 0
> 0
> 0 Theo đ/k x > 0 x + 3 > 0
x – 1 > 0 x > 1
K t h p đi u ki n x > 0; xế ợ ề ệ 1; 4 Suy ra x > 1; x 4 thì P > 1
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
2 P =
= 2 + V i x > 0; xớ 1; 4
P nguyên x – 1 là c c a 4ướ ủ
P đ t giá tr nguyên l n nh t ạ ị ớ ấ x – 1 = 1 x = 2
V y P đ t giá tr l n nh t b ng 6 khi x =ậ ạ ị ớ ấ ằ 2
0,5 0,5 0,5
2
1
Đi u ki n x – 3 + ề ệ 0
Phương trình tương đương 4 4x + 12 = 0 (*) Xét x <
Thì (*) 3x + 5 + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0 2x = 28
x = 14 (Th a mãn đk)ỏ Xét
≤ x < 1 Thì (*) 3x + 5 + x – 1 – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
0,25
0,5
0,25
0,25
Trang 3(Th a mãn đk)ỏ Xét 1 ≤ x <
Thì (*) 3x + 5 – (x 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
x =
(lo i)ạ Xét x ≥
Thì (*) 3x – 5 – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
x =
(Lo i)ạ
V y phậ ương trình có nghi m xệ
0,25
0,25
0,25
2
Ta có x2 + xy + y2 = x2y2
(x + y)2 = xy(xy + 1)
+ N u x + y = 0 ế xy(xy + 1) = 0
V i xy = 0. K t h p v i x + y = 0 ớ ế ợ ớ x = y = 0
V i xy = 1. K t h p v i x + y = 0 ớ ế ợ ớ
ho c ặ + N u x + yế 0 (x + y)2 là s chính phố ương
xy(xy + 1) là hai s nguyên liên ti p khác 0 nên chúng nguyênố ế
t cùng nhau. Do đó không th cùng là s chính phố ể ố ương
V y nghi m nguyên c a phậ ệ ủ ương trình là (x; y) = (0; 0); (1; 1);
(1; 1)
0,5
0,5
0,5
0,5
3
1
a2 = x2 +
+ 2
b2 = y2 +
+ 2
c2 = x2y2 +
+ 2
ab = (x +
)(y + ) = xy + + + = c + + abc = (c +
+ ).c
= c2 + c(
+ )
= c2 + (xy +
)(
+ )
= c2 + x2 + y2 +
+
= a2 – 2 + b2 – 2 + c2
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 42
3(x2
) < 2(x
3 ) 3(x
)(x + ) < 2(x )(x
2 + + 1) 3(x +
) < 2(x
2 + + 1) (1) ( Vì x > 1 nên x
> 0)
Đ t x + ặ
= t thì x
2 + = t
2 – 2
Ta có (1) 2t2 – 3t – 2 > 0
(t – 2)(2t + 1) > 0 (2)
Vì x > 1 nên (x – 1)2 > 0 x2 + 1 > 2x x +
> 2 hay t > 2 (2) đúng. Suy ra đi u ph i ch ng minh ề ả ứ
0,5
1,0
0,5
4
1
IP = HQ; IP//HQ (Tính ch t đấ ường trung bình) và AD = BC (GT)
IPHQ là h.b.h
Có IP = IQ =
AD = BC nên IPHQ là hình thoi
G i Pọ ; Q là giao đi m c a PQ v i AD và BCể ủ ớ
Nh n th y ∆ HPQ cân đ nh H ậ ấ ỉ
HPQ = HQP (Góc đáy tam giác cân) (1)ở
Mà PH // BC BQ P = HPQ (So le trong) (2)
QH // AD AP P = HQP (So le trong) (3)
T (1); (2); (3) Suy ra APừ P = BQ P ( đpcm)
0,5 0,5
0,5
0,5
Trang 5
G i K, M, N l n lọ ầ ượt là trung đi m c a EF, DF, CE ể ủ
T gi thi t ∆ ADE = ∆ BCF và d a vào tính ch t c a đừ ả ế ự ấ ủ ườ ng trung bình trong tam giác ta có ∆ HMP = ∆ HNQ (c.c.c)
Suy ra MHP = NHQ MHQ = NHP MHN và PHQ có cùng tia phân giác
M t khác d có IPHQ và KMHN là các hình thoi.ặ ễ
Suy ra HK và HI l n lầ ượt là phân giác c a MHN và PHQ. Suyủ
ra H, I, K th ng hàngẳ
0,5
0,5 0,5
0,5
Đ t BD = x, DC = y. Gi s x < y. Pitago trong tam giác vuôngặ ả ử AHD ta tính được HD = 27cm. V tia phân giác c a góc ngoàiẽ ủ
t iạ A, c t BC E. Ta có AE ắ ở AD nên AD2 = DE.DH. Suy ra
DE =
= = 75cm Theo tính ch t đấ ường phân giác trong và ngoài c a tam giácủ
=
=
(1)
M t khác x + y = 40 (2)ặ
Thay y = 40 – x vào (1) và rút g n đọ ược
x2 – 115x + 1500 = 0 (x – 15)(x – 100) = 0
Do x < 40 nên x = 15, t đó y = 25. ừ
V y DB = 15cm, DC = 25cmậ
0,5
0,5
Trang 60,5
6
Áp d ng Bunhiacopski cho hai dãy aụ 2; 1 và 1; 4 ta có
(12 + 42)(a4 + 1) ≥ (a2 + 4)2
≥ (1)
D u “=” x y ra ấ ả a =
Áp d ng Bunhiacopski cho bụ 2; 1 và 1; 4 ta có 17(b4 + 1) ≥ (b2 + 4)2
≥
(2)
D u “=” x y ra ấ ả b =
T (1) và (2) ừ P ≥
( )
M t khác theo gi thi t (1 + a)(1 + b) = ặ ả ế
a + b + ab =
Áp d ng Côsi ta có: ụ
a a2 +
b b2 +
ab
C ng t ng v ba b t đ ng th c ta độ ừ ế ấ ẳ ứ ược
+ ≥ a + b + ab =
a2 + b2 ≥ (
): = Thay vào ( )
P ≥
=
V y giá tr nh nh t c a P b ng ậ ị ỏ ấ ủ ằ
khi a = b =
0,5
0,5
0,5
0,5
L u ý: H c sinh làm cách khác đúng cho đi m tư ọ ể ương đương
Bài hình không có hình v ho c hình v sai không cho đi mẽ ặ ẽ ể