Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 9 năm học 2015-2016

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 9 năm học 2015-2016 cung cấp cho giáo viên và học sinh các bài tập Toán nâng cao lớp 9, là tài liệu tham khảo trong quá trình phân loại, đánh giá năng lực của học sinh. Để nắm chi tiết nội dung các bài tập mời các bạn cùng tham khảo đề thi.

TRƯƠNG THCS THANH VĂN ̀

ĐÊ THI CHON HOC SINH GIOI L P 9̀ ̣ ̣ ̉ Ớ

Năm h c 2015 – 2016 ọ

Môn thi: Toan.́

Th i gian: 150 phút.(không k  th i gian giao đ ) ờ ể ờ ề

Bài 1: (6 đi m)ể

a. Cho 

1) Rút g n Mọ

2) Tìm giá tr  nguyên c a x đ  bi u th c M nh n giá tr  là s  nguyên ị ủ ể ể ứ ậ ị ố

b.  Tính giá tr  c a bi u th c P ị ủ ể ứ

  v i ớ

Bài 2: (4 đi m)ể

a ­ Gi i phả ương trình: 

b ­ Tìm t t c  các s  nguyên n sao cho  là m t s  chính phấ ả ố ộ ố ương 

Bài 3: (4 đi m)ể

a) Cho đường th ng:  (m là tham s ) (1)ẳ ố

Ch ng minh r ng đứ ằ ường th ng (1) luôn đi qua m t đi m c  đ nh v i m i giáẳ ộ ể ố ị ớ ọ  

tr  c a mị ủ

b) Ch ng minh r ng: n u a, b ,c là ba s  th a mãn ứ ằ ế ố ỏ  a + b +c = 2013 và  = 

 thì 

m t trong ba s  ph i có m t s  b ng 2013ộ ố ả ộ ố ằ

Bài 4: (5 đi m)ể

Cho đường tròn (O;). AB và CD là hai đường kính c  đ nh c a (O) vuông gócố ị ủ  

v i nhau. Mớ  là m t đi m thu c cung nh  AC c a (O). K và H l n lộ ể ộ ỏ ủ ầ ượt là hình  chi u c a M trên  CD và AB.ế ủ

) 6 5

2 3

2 2

3 (

: ) 1 1

(

x x

x x

x x

x x

x M

2006 5

3x2013 x2011

P

3 2 8 18 3 2 2 3 2 2 6

x

4 3

3

1

2014

2

n

1 ) 1 ( ) 2 (m x m y

c b a

1 1 1 2013 1

R

b) Ch ng minh: ứ

c) Tìm v  trí đi m H đ  giá tr  c a: P = MA. MB. MC. MD l n nh t.ị ể ể ị ủ ớ ấ

Bài 5: (1 đi m)ể

Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ

(Trong đó a, b, c là đ  dài 3 c nh c a 1 tam giác)ộ ạ ủ  

­ Hêt ­́ PHONG GD &ĐT THANH OAI ̀

TRƯƠNG THCS THANH VĂN ̀

ĐAP AN  THI CHON HOC SINH GIOI L P 9́ ́ ̣ ̣ ̉ Ớ Bài 1:

a) (4,5đ)

ĐKXĐ:   (*)  

1) Rút g n M: V i    ọ ớ

8V y  (v i ) (*)ậ ớ  (2,5đ)

2)   (0,75đ)

Bi u th c M có giá tr  nguyên khi và ch  khi: ể ứ ị ỉ

(3) Vì  

Ư

Nên

X y ra các trả ường h p sau:       ợ (0,5đ)

sin MBA+ sin MAB+ sin MCD+ sin MDC

OK =AH R AH−

c b a

c b

c a

b a

c b

a

9

; 4

;

0 x x x

9

; 4

;

0 x x x

1

2

x

x

M0 ;x 4 ;x 9

x

1

3 1 1

3 1

1 1

3 1 1

2

x x

x

x x

x x

x M

) 3 ( 1 1

3

;

1

x

3

; 1 1

x

. 

V y x = 0 thì M nh n giá tr  nguyên.ậ ậ ị  

b) 

V i x = 1.Ta có       ớ

V y v i x = 1 thì P = 2014ậ ớ

Bài 2:        

a_(2,5đ)     

       (1)

   Ta có:        (2)

Thay (2) vào (1) ta có:

   (1)       (3)  ( 0,5đ)

4 2

3

x

3 2 8 18 3 2 2 3 2 2 6

x

2 4 2 4 ) 2 4 ( 2 8

1 3 )

1 3 ( 4 3 2 2 4 3 2

3 3 2 4 2 6 3 2 2 2 6 1 3 3 2 2 6

x

3 3 2 4 3 1 3 2 6 3 ) 1 3 ( 2

x

1 3 1 3 3 1 3 3 ) 1 3

x

2014 2006

5 3 2006 1

5 1

3 2013 2011

P

1 +x − 4x = − 1 3x

4x + − 1 3x = − 3x + 4x + − + = + −x x 1 1 x x 3x − 4x+ 1

1 +x − + 1 x = −x 3x − 4x+ 1

   Đ t  , v i ặ ớ y ≥ 1. Suy ra 

 Thay vào (3): 

  * V i  ớ y  = 1 thì  x = 0 th a mãn phỏ ương trình

* V i  ớ y  ≠ 1 và y  ≥ 1, ta có:       (4)     (1đ)

   Vì  và y > 1 thay vào v  trái c a (4) ế ủ

      l nớ  h n.      (0,25đ)        ơ

   Do đó (4) vô nghi m      ệ

V y phậ ương trình (1) có nghi m duy nh t ệ ấ x = 0      (0,25đ)

b_  (1,5đ)  Gi  s        (1)  (0,5đ)ả ử

Suy ra (k + n) và (k – n) = 2k là s  ch n nên (k + n) và (k – n) cùng tính ch nố ẵ ẵ  

l  ẻ

Do 2014 là s  ch n nên (k + n) và (k – n) đ u là s  ch n     ố ẵ ề ố ẵ (0,5đ)

Khi đó t  (1) suy ra ta l i có   (đi u này vô lí)ừ ạ ề

V y không có s  nguyên n nào đ   là s  chính phậ ố ể ố ương    (0,5đ)

Bài 3: 

2

1

y x2 = y2−x1

(y− 1) y2 + +(y 1 3) ( x2 − 4x+ 1) = 0

1 0

1 3 4 1 0

− =

y

2

3 4 1 3

) )(

( 2014 2014

) (

2014

2 2

2 2 2

n k n k n

k

N k k n

4 ) )(

(k n k n 

4 2014

2014

2

n

a)  (2đ) Đi u ki n c n và đ  đ  đề ệ ầ ủ ể ường th ng  ẳ  đi qua đi m c  đ nh  ể ố ị  v i m iớ ọ  

m là :     (0,5đ)

 v i m i mớ ọ

 v i m i mớ ọ

                   (0,5đ)

V y các đậ ường th ng (1) luôn đi qua đi m c  đ nh N(­1; 1)  ẳ ể ố ị (0,25đ) b) Đi u ki n a,ề ệ  b, c 0

T   Suy ra ( bc +ac +ab ) ( a+b+c ) – abc = 0 ừ (0,25đ)

( a+b ) ( b+c ) ( c+a ) = 0 a+b =0 ho c b+c=0 ho c c+a=0    (0,5đ)ặ ặ  

       N u a+b =0 mà a+b+c =2013 nên c=2013ế

       N u b+ c =0 mà a+b+c =2013nên a=2013 ế

           N u a+c=0 mà a+b+c =2013nên  b=2013       (0,5đ)ế

V y 1 trong các s  a, c ,ậ ố  b b ng 2013       (0,25đ)ằ

Bài 4:

1 ) 1 ( ) 2 (m N x(x0m;y0) y

1 ) 1 ( ) 2 (m x0 m y0

0 1

2 0 0 0

mx

0 ) 1 2

( ) (x0 y0 m x0 y0

1

1 0

1 2

0

0

0 0

0

0 0

y

x y

x

y x

c b a c b a

1 1

1 1

H K

D

C

A O

B

M

         (0,5đ)

a) Vì M thu c (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông t i M nên:ộ ạ

b) Ch ng minh: ứ

Th t v y: KOHM là hình ch  nh t nên: OK = MHậ ậ ữ ậ

Mà MH2 = HA.HB (H  th c lệ ứ ượng trong tam giác vuông MAB có MH đườ  ng cao)  (1đ)

và  BH = AB – AH = 2R – AH      

Suy ra:OK2=MH2=AH(2R­AH)      (1đ)

c) P  = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH  (Vì MK = OH)  (0,25đ)

Mà OH.MH(Pitago)          (0,25đ)

  V y . đ ng th c x y ra MH = OH    ậ ẳ ứ ẩ (0,25đ)

OH=     (0,25đ) Bài 5:

Đ t x = b + c – a, y = a + c – b, z=a + b – c thì `ặ

sin 2 ﾷMBA+ sin 2 ﾷMAB+ sin 2MCDﾷ + sin 2MDCﾷ (sin MBA c+ os MBA) (sin + MCD c+ os MCD)

OK =AH R AH−

OH +MH =OM = R

2

4 2 2

R

2 2

R

0 ,

, z y x

2 2

2

y x c

z x b

y z a

z c b a

y b c a

x a c b

2 2 9 9 8 8

2

P

V y       ậ  

(0,25đ)

D u đ ng th c x y ra khi      ấ ẳ ứ ả (0,25đ)

V y giá tr  nh  nh t c a bi u th c P là 26 khi và ch  khi     (0,25đ)ậ ị ỏ ấ ủ ể ứ ỉ

Duyêt cua BGH      Xac nhân cua tộ ̉ ́ ̣ ̉ ̉        Ngươi ra đê ̀ ̀

       Ngô Thi Liêṇ

z

y y z z

x x z y

x x y

8 2 9

8 2 2

9 2

2 2

2 2

2 2

8 9

8 2

9 4

y z

x z

x y

y z

x y

z x

3 4 2 3 2

y z

x y

z x

3 4 2 3 2