Đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán lớp 9. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi để nắm chi tiết nội dung.
Trang 1TRƯỜNG THCS HƯƠNG
S NƠ
Đ THI CH N H C SINH GI I L P 9 (l n 2)Ề Ọ Ọ Ỏ Ớ ầ
Năm h c: 20192020ọ
Môn: Toán
Th i gian làm bài: 150 phút ờ
Bài 1 (4 đi m) ể Cho bi u th c: P = ể ứ 1 . 2 3 10
a) Rút g n bi u th c P.ọ ể ứ
b) Tính giá tr c a P v i x = ị ủ ớ 3 7 + 50 + 3 7 − 50
Bài 2 (3 đi m) ể
a) Tìm các s t nhiên n đ bi u th c P = nố ự ể ể ứ 3 – 6n2 + 9n – 2 có giá tr là m tị ộ
s nguyên tố ố
b) Ch ng minh r ng: nứ ằ 4 + 6n3 + 11n2 + 6n M 24 v i n là s nguyên.ớ ố
Bài 3 (3 đi m) ể
a) Gi i phả ương trình nghi m nguyên: xệ 2y + xy 2x2 – 3x + 4 = 0
b) Cho các s dố ương a, b, c th a mãn ỏ a b c+ + =2019.
Tìm GTNN c a: ủ M a2 b2 c2
b c c a a b
+ + +
Bài 4 (4 đi m) ể Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
a) x− + 2 10 − =x x2 − 12x+ 40
b) 2x 1 x 2 3 x
2
−
Bài 5 (6 đi m) ể
Cho hình vuông ABCD có AC c t BD t i O. M là m t đi m b t k trênắ ạ ộ ể ấ ỳ
c nh BC ( M khác B và C). Tia AM c t đạ ắ ường th ng CD t i N. Trên c nh ABẳ ạ ạ
l y đi m E sao cho BE = CM.ấ ể
a) Ch ng minh r ng: ứ ằ ∆OEM vuông cân
b) Ch ng minh: ME // BN.ứ
c) T C k CH ừ ẻ ⊥ BN ( H BN). Ch ng minh ba đi m O, M, H th ngứ ể ẳ hàng
Trang 2HƯỚNG D N CH M Đ THI HSG TOÁN 9 L N 2Ẫ Ấ Ề Ầ
Bài 1 (4 đi m) ể Cho bi u th c: P = ể ứ 1 2 3 10
a) Rút g n bi u th c P.ọ ể ứ
b) Tính giá tr c a P v i x = ị ủ ớ 3 7 + 50 + 3 7 − 50
a
P = ( ) ( ( )( )( ) )
1
P =
2
2
.
−
x
b
(2 đi m)ể
Ta có x3 = ( )3
3 7 + 50 + 3 7 − 50 = 14 – 3x 0,5
x3 + 3x – 14 = 0 (x – 2)(x2 + 2x + 7) = 0 x = 2 0,5
V i x = 2 thì P = ớ 2(2 22 3) 4 2 57
Bài 2 (3 đi m) ể
a) Tìm các s t nhiên n đ bi u th c P = nố ự ể ể ứ 3 – 6n2 + 9n – 2 có giá tr là m t ị ộ
s nguyên tố ố
b) Ch ng minh r ng: nứ ằ 4 + 6n3 + 11n2 + 6n M 24 v i n là s nguyên.ớ ố
a
(1,5 đi m)ể
Ta có: P = n3 – 6n2 + 9n – 2 = (n – 2)(n2 – 4n + 1) 0,25
Đ P là s nguyên t thì n – 2 = 1 ho c nể ố ố ặ 2 – 4n + 1 = 1 0,25 +) n – 2 = 1 n = 3
+) n2 – 4n + 1 = 1 n = 0 ho c n = 4ặ
0,5
Th l i ta th y n = 4 thì P là s nguyên tử ạ ấ ố ố 0,25
V y n = 4 thì P là s nguyên tậ ố ố 0,25
b
(1,5 đi m)ể
Ta có: A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 0,5
Do n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là tích c a 5 s nguyên liên ti pủ ố ế
Trong 5 s nguyên liên ti p luôn có hai s ch n liên ti p ố ế ố ẵ ế
A M 8 (2)
0,25
T (1), (2), (3) ừ A M 3.8 = 24 0,25
Bài 3 (3 đi m) ể
a) Gi i phả ương trình nghi m nguyên: xệ 2y + xy 2x2 – 3x + 4 = 0
b) Cho các s dố ương a, b, c th a mãn ỏ a b c+ + =2019.
Tìm GTNN c a: ủ M a2 b2 c2
b c c a a b
+ + +
a Ta có: x2y + xy 2x2 – 3x + 4 = 0 0,25
Trang 3(1,5 đi m)ể xy(x + 1) – 2x(x + 1) – (x + 1) = 5
Do x, y là s nguyên nên ta có b ngố ả
0,5
V y PT có nghi m (x, y) = (2; 1), (6; 1)ậ ệ 0,5
b
(1,5 đi m)ể
Vì a, b, c d2 ương nên theo bđt Cosi ta có:2
Tương t ự 2 ; 2
0,5
C ng v các b t đ ng th c trên ta có ộ ế ấ ẳ ứ
2
a b c
M + + + a b c+ +
a b c
M + + = .
D u b ng x y ra khi ấ ằ ả 2019
3
a b c= = =
0,5
Bài 4 (4 đi m) ể Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
a) x− + 2 10 − =x x2 − 12x+ 40 b) 2x 1− − x 2+ =3 x−2
a
(2 đi m)ể
Ta có: x2 – 12x + 40 = (x – 6)2 + 4 4
D u “=” x y ra khi x = 6 (1)ấ ẩ 0,5 Theo Bunhiacopxki ta có:
D u “=” x y ra khi x = 6 (2)ấ ẩ
0,5
T (1), (2) ừ PT có nghi m x = 6.ệ 0,5
b
(2 đi m)ể
ĐKXĐ: x 1
Bài 5 (6 đi m) ể
Cho hình vuông ABCD có AC c t BD t i O. M là m t đi m b t k trênắ ạ ộ ể ấ ỳ
c nh BC ( M khác B và C). Tia AM c t đạ ắ ường th ng CD t i N. Trên c nh ABẳ ạ ạ
l y đi m E sao cho BE = CM.ấ ể
a) Ch ng minh r ng: ứ ằ ∆OEM vuông cân
b) Ch ng minh: ME // BN.ứ
c) T C k CH ừ ẻ ⊥ BN ( H BN). Ch ng minh ba đi m O, M, H th ng hàng.ứ ể ẳ
Trang 4(2,5 đi m)ể
H M
O
C D
N
0,5 Xét ∆OMC = ∆OEB (cgc)
OM = OE (1) và EOB MOC ﾷ = ﾷ
1
Mà MOB MOC 90 ﾷ + ﾷ = 0 MOB EOB 90 ﾷ + ﾷ = 0 (2) 0,5
b
(2 đi m)ể
Ta có: ∆OMC : ∆OEB (gg)
CM MN
BM = MA (3)
0,5
T (3), (4) ừ BE MN
ME // BN (đ nh lý Ta lét đ o)ị ả 0,5 c
(1,5 đi m)ể
G i H’ là giao đi m c a OM v i BNọ ể ủ ớ
Do EM // BN OME MH ' B 45 ﾷ = ﾷ = 0 (5)
0,25 MCO MHB (g g)
MO MC
OMB CMH ' (c g c)
∆ : ∆ − − MH 'C MBO 45 ﾷ = ﾷ = 0 (6) 0,25
T (5), (6) ừ CH ' B 90 ﾷ = 0 H’ trùng v i Hớ 0,25