Cùng tham khảo Đề thi giao lưu HSG môn Toán 7 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Lê Lợi dưới đây, giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì thi sắp tới được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2018-2019 TRƯỜNG THCS LÊ LỢI
(Đề gồm 01 trang)
ĐỀ THI MÔN: Toán - Lớp 7
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1 (4.0 điểm):
a/ Tính: A = 113 0,5 3 2 8 119 :123
b/ Thực hiện phép tính:
2 3 4 9 5 7 25 49 A
125.7 5 14
2 3 8 3
Câu 2 (4.0 điểm):
a/ Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: 1 1 1
7
x y b/ Tìm các số a,b,c sao cho: 2a = 3b, 5b = 7c và 3a + 5c - 7b = 30
Câu 3 (4.0 điểm):
a/ Tìm số nguyên a để 2a + 9+5a +17- 3a
a + 3 a + 3 a + 3 là số nguyên
b/ Cho P(x) = x99 - 100x98 + 100x97 – 100x96 + + 100x -1 Tính P(99) = ?
Câu 4 (6.0 điểm): Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối của tia
CA lấy điểm D sao cho CD = AB Gọi P, Q là trung điểm của AD, BC, và I là
giao điểm các đường vuông góc với AD và BC tại P và Q
a/ Chứng minh ∆AIB = ∆DIC
b/ Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC
c/ Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AD
2
1
Câu 5 (2.0 điểm): Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2, thì tổng
2 2
4 9 16
n S
n
Không thể là một số nguyên
-Hết -
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2018-2019 TRƯỜNG THCS LÊ LỢI
( Gồm 03 trang)
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN 7
C©u1
4® a) 2,0 đ
+ Biến đổi: A = 113 0,5 3 2 8 119 :123
A =
24
47 : ) 60
79 15
8 ( 3 4
1 15
28
=
47
24 60
79 32 5
=
47
24 60
47 5
7
=7 2
55 = 1
1,0
0,5
0,5
b
(2®)
12 4
5
2 3 2 3 5.7 5.2.7
5.7 5 7
2 3 3 1
5.7 5 7
5
6
5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 2
( 4đ)
a
(2đ)
Vì x,y nguyên dương nên ta có
1 1 1
7
x y
xy -7x- 7y =0 x(y – 7) - 7(y-7) = 49 ( y- 7 ).( x-7) =49 Nên y – 7 ; x - 7 Ư(49)
Mà Ư(49) 1; 7; 49
Nên
0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,25
0,5đ
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3y-7 -49 -7 -1 49 7 1
Vì x > 0 nên (x,y) ( 8 ; 56 ; ( 14 ; 14 ); ( 56 ; 8 ) 0,5
b
(2đ)
Từ 2a = 3b =>
14 21
b a
(1)
5b = 7c =>
10 14
c b
(2)
Từ (1) ,(2) =>
50
5 98
7 63
3 10 14 21
c b a c b a
Âp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có A= 42 ; b= 28 ; c = 20
0,5đ 0,5đ
0,25đ 0,5đ 0,25đ
Câu 3
(4đ)
a
(2đ)
Ta có:
3
3 3
17 5 3
9 2
a
a a
a a
a
=
3
14 12 4 3
26 4
a
a a
a
=
3
14 4 3
) 3 ( 4
a a
a
là số nguyên
Khi đó a+3 là ước của 14
Mà Ư(14) = 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 7 ; 7 ; 14 ; 14
Lập bảng tìm a
Vì aZ=> a 17 ; 10 ; 5 ; 4 ; 2 ; 1 ; 4 ; 11
0,5đ
0,5đ
0,5đ 0,5đ
b
(2đ)
Vì x= 99 nên x – 99 = 0
Ta có:
P(x) = x99 – 100x98 + 100x97 – 100x96 + + 100x -1
= x99- 99x98 – x98 + 99x97 +x97 – 99x96 – x96 + - 99x +x -1
= x98( x- 99) – x97( x- 99) + x96 ( x – 99) + - x( x -99) + ( x-1)
= x98.0 – x97.0 + x96.0 - - x.0 + x – 1
=> P(99) = 99 -1 = 98
0,5đ 1đ
0,5đ
Trang 4Câu 4
(6 đ)
I
P A
C
D
B
E
0,5
a
2đ
Ta có QI là đường trung trực của BC IB = IC
IP là đường trung trực của AD IA = ID Lại có AB = CD (gt)
Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c)
0,5 0,5 0,5 0,5
b
2đ
CM: PAI = PDI(c.g.c) DAI = D
Mà ∆AIB = ∆DIC (câu a) BAI = D
Do đó DAI = BAI
Vậy AI là tia phân giác của góc BAC
0,5 0,5 0,5 0.5
c Ta có ∆AIE = ∆AIP (cạnh huyền- góc nhọn)
=> AE = AP
Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD)
2
1
AE
0,5 0,5 0,5 0,5
Câu 5
(2đ)
Từ
2 2
n S
n
Ta có
n S
n
( Dãy này có n-1 số hạng)
1 (12 12 12 12
S n
n
Suy ra S < n – 1 (*) Lại có 12 12 12 12
2 3 4 n
Từ đó suy ra S n 1 (1 1) n 2 1 n 2
(*)
Từ (*) và (**) ta có n – 2<S<n-1
Do n là số tự nhiên n 2nên n-2 và n-1 là 2 số tự nhiên liên tiếp
=> S không thể là một số nguyên
0,25 đ
0,25đ
0, 25 đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ
Q