Đề thi được biên soạn bởi trường THCS Nhĩa Đồng cung cấp cho giáo viên và học sinh một số bài tập nâng cao môn Toán lớp 9. Để nắm chi tiết nội dung các bài tập mời các bạn cùng tham khảo đề thi.
Trang 1PHềNG GD&ĐT TÂN KỲ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THCS NGHĨA ĐỒNG NĂM HỌC: 2019 - 2020
Mụn thi: TOÁN 9
Thời gian: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1: ( 5,0 điểm ): Cho biểu thức: A =
a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A biết: và
Cõu 2: ( 4,0 điểm )
a Giải phương trỡnh:
b Cho là hai số dương thỏa món:
Chứng minh:
Cõu 3: ( 4,0 điểm ): a) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức
b) Chứng minh B = a5 - 5a3 + 4a chia hết cho 120
c) Cho Chứng minh giỏ trị biểu thức sau khụng phụ thuộc
4: (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn
BE theo
b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
Cõu 5: ( 2,0 điểm ): Cho ∆ ABC cõn tại A, gọi I là giao điểm của cỏc đường phõn giỏc.
Biết IA = 2 cm, IB = 3cm Tớnh độ dài AB
Hết./.
Họ và tờn thớ sinh: SBD:
Trang 2HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIOI MÔN TOÁN 9
Nội dung cần đạt
Điểm
1
a
+ §KX§: a>0; b>0 vµ
+ Ta cã
Vậy:
1 0,5
0,5 0,5 0,5
5,0
b
Suy ra
1 1
2
a
Điều kiện:
Vậy nghiệm của pt là:
0,5 0,5 0,5 0,5
2,0
b
Với là hai số dương ta có:
(Theo Bunhiacopski)
Hay
0,5
0,5 0,25
1,25
3 a Với điều kiện ta có:
M =
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,
Ta có:
0,25
0,25
1,25
Trang 3(vỡ x dương)
Và:
(vỡ y dương)
Suy ra: M =
Vậy giỏ trị lớn nhất của M là x = 2, y = 8
0,25
0,25 0,25
b
B = a5 - 5a3 + 4a = a(a4 - 5a2 +4) = a(a4 - a2 - 4a2+4)
B = a[a2(a2 - 1) - 4(a2 - 1)] = a(a2 - 1)(a2 - 4)
B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2)
Mà 120 = 3.5.8 Mặt khỏc (3,5,8) = 1 Nờn B chia hết cho 120
0,5 0,5 0,25 1,25
c
Giỏ trị biểu thức bằng 2 khụng phụ thuộc giỏ trị của x
0,5 0,5 0,25
1,5
+ Hai tam giác ADC và BEC có: chung.
(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo
giả thiết)
Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A.
Suy ra:
0,5
0,5
0,5 0,5
2,0
b
giác AHD vuông vân tại H)
0,5 0,5
1,5
Trang 4nên (do )
Do đó (c.g.c), suy ra:
0,5
c
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc
BAC
Suy ra: ,
mà
Do đó:
0,5 0,5 0,5
1,5
6
Kẻ AM AB ( M thuộc tia CI)
Chứng minh được ∆ AMI cõn tại A
MI = AI = 2
Kẻ AH MI HM = HI Đặt HM =
HI = x ( x > 0 )
Xột ∆ AMB vuụng t i A ta cú AMạ 2
=MH.MB
(2 )2 = x.(2x + 3) 2x2 + 3x – 30 = 0 ( 2x – 5)(x + 4) = 0
x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vỡ x > 0) Vậy MB = 8cm
Ta cú AC2 = AB2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 )2 = 64 – 20 = 44
AC = = 2 cm AB = 2 cm
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
2,0