SKKN: Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9, phần phương trình bậc cao

Sáng kiến có vai trò rất quan trọng không thể thiếu trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 9, tuy nhiên khi bồi dưỡng cũng cần tùy thuộc vào đối tượng học sinh mà chọn những bài tập sao cho phù hợp. Các dạng bài tập về giải phương trình bậc cao rất đa dạng và phong phú, các em thường gặp trong bậc THCS, nhất là trong các kỳ thi học sinh giỏi, việc rèn luyện các em nắm chắc kiến thức và có kỹ năng giải thành thạo các dạng phương trình bậc cao, sẽ tạo tiền đề để các em lĩnh hội kiến thức ở bậc THCS một cách chủ động và dễ dàng.

PH N TH  NH TẦ Ứ Ấ

Đ T V N ĐẶ Ấ Ề

    Trong các môn h c   ph  thông, môn toán gi  m t v  trí quan tr ng. Quaọ ở ổ ữ ộ ị ọ  

vi c  h c toán h c sinh đệ ọ ọ ược rèn  luy n  v  m i m t nh : trí thông minh,ệ ề ọ ặ ư  

phương pháp tính toán h p lý, nhanh g n, t o cho b  óc làm vi c ngăn n p,ợ ọ ạ ộ ệ ắ  

có k  ho ch. T  cu c s ng hàng ngày c a con ngế ạ ừ ộ ố ủ ười nh  : cân đo, đongư  

đ m,…cho đ n các ngành công nghi p phát tri n đ u r t c n đ n toán h c.ế ế ệ ể ề ấ ầ ế ọ        “ Giáo d c là qu c sách hàng đ u, nhi m v  c a ngành giáo d c làụ ố ầ ệ ụ ủ ụ  nâng cao dân trí, đào t o nhân l c, b i dạ ự ồ ưỡng nhân tài”. Vi c b i dệ ồ ưỡ  ng

h c sinh gi i là m t trong nh ng công tác mũi nh n c a ngành Giáo d c vàọ ỏ ộ ữ ọ ủ ụ  Đào t o nói chung, c a t ng c  s  nói riêng nên vi c phát tri n b i dạ ủ ừ ơ ở ệ ể ồ ưỡ  ng

h c sinh gi i nuôi dọ ỏ ưỡng nhân tài là m t vi c làm thộ ệ ường xuyên, liên t c.ụ  Môn toán là m t  trong nh ng b  môn thộ ữ ộ ường xuyên t  ch c thi h c sinhổ ứ ọ  

gi i nên đòi h i t ng c  s  ph i xây d ng đỏ ỏ ừ ơ ở ả ự ược đ i ngũ h c sinh gi i choộ ọ ỏ  

đ n v  mình.  V i tâm huy t ngh  nghi p tôi luôn c  g ng ph n đ u đ  đàoơ ị ớ ế ề ệ ố ắ ấ ấ ể  

t o và b i dạ ồ ưỡng ngày càng nhi u h c sinh gi i các c p b ng cách đi sâuề ọ ỏ ấ ằ  nghiên c u và giúp các em n m ch c, sâu t ng ph n t ng n i dung trongứ ắ ắ ừ ầ ừ ộ  

chương trình toán l p 9. ớ Phương trình b c cao là m t đ  tài h p d n, thú vậ ộ ề ấ ẫ ị 

c a toán h c, vì v y phủ ọ ậ ương trình b c cao đã đậ ượ ấc r t nhi u nhà toán h cề ọ  nghiên c u. Tuy nhiên, v i ngứ ớ ườ ọi h c thì gi i  phả ương trình b c cao là m tậ ộ  

v n đ  khó. Sau nhi u năm gi ng d y môn Toán   b c trung h c c  s  tôiấ ề ề ả ạ ở ậ ọ ơ ở  

nh n th y m ng gi i phậ ấ ả ả ương trình b c cao đậ ược đ a ra   sách giáo khoaư ở  

l p 8, 9 là r t khiêm t n, n i dung s  lớ ấ ố ộ ơ ược, mang tính ch t gi i thi u kháiấ ớ ệ  quát, qu  th i gian giành cho nó là quá ít  i,  ỹ ờ ỏ trong chương trình h c l iọ ạ  không có m t bài h c c  th  nàoộ ọ ụ ể  Bên c nh đó là các n i dung bài t p  ngạ ộ ậ ứ  

d ng thì r t phong phú, đa d ng và ph c t p. Các phụ ấ ạ ứ ạ ương trình b c cao làậ  

m t n i dung thộ ộ ường g p trong các k  thi   B c THCS  và đ c bi t trongặ ỳ ở ậ ặ ệ  các k  thi tuy n sinh vào THPT. Chính vì v y tôi quy t đ nh ch n ch  đ :ỳ ể ậ ế ị ọ ủ ề  ''phương trình b c cao '' làm sáng ki n cho riêng mình, đ  giúp các em tìmậ ế ể  

hi u để ược nhi u h n v  phề ơ ề ương pháp gi i, cách gi i đ i v i các d ngả ả ố ớ ạ  

phương trình b c cao.ậ  

PH N TH  HAIẦ Ứ

N I DUNG C A SÁNG KI NỘ Ủ Ế

I. C  S  KHOA H C Đ  XU T RA SÁNG KI NƠ Ở Ọ Ề Ấ Ế

     Trong chương trình toán h c trung h c c  s  và trong các đ  thi chúng taọ ọ ơ ở ề  

v n thẫ ường g p các bài toán v  gi i phặ ề ả ương trình b c 3,4,5 ho c phân tíchậ ặ  các phương trình đó thành nhân t , song v i h c sinh v n còn lúng túng vìử ớ ọ ẫ  không bi t b t đ u t  đâu, khi g p khó khăn không bi t làm th  nào đ  tìmế ắ ầ ừ ặ ế ế ể  

ra l i gi i. Riêng v i các em h c sinh khi g p d ng toán này không ch uờ ả ớ ọ ặ ạ ị  nghiên c u kh o sát kĩ t ng d ng phứ ả ừ ạ ương trình theo nhi u cách ho c sề ặ ử 

d ng thi u linh ho t. ụ ế ạ

Xu t phát t  v n đ    trên và   qua vi c gi ng d y môn toán   trấ ừ ấ ề ệ ả ạ ở ườ  ngTHCS , qua đ c tài li u tham kh o và đ c bi t qua vi c b i dọ ệ ả ặ ệ ệ ồ ưỡng cho đ iộ  tuy n h c sinh gi i   kh i 9. Tôi nh n th y r ng gi i m t phể ọ ỏ ở ố ậ ấ ằ ả ộ ương trình 

b c 3,4,5  là tậ ương đ i khó đ i v i h c sinh THCS  và đ c bi t h n n aố ố ớ ọ ặ ệ ơ ữ  các phương pháp gi i phả ương trình đó không h  có trong chề ương trình toán THCS do đó đã gây khó khăn không nh  đ i v i h c sinh trong khi g p ph iỏ ố ớ ọ ặ ả  

d ng toán này. H c sinh không có m t phạ ọ ộ ương pháp c  th  nào mà ch  bi tụ ế ỉ ế  

mò m m m t cách vô hẫ ộ ướng

 Khi được ti p xúc v i các d ng phế ớ ạ ương trình b c cao không nh ng rènậ ữ  luy n cho HS các năng l c v  ho t đ ng trí tu  đ  có c  s  ti p thu dệ ự ề ạ ộ ệ ể ơ ở ế ễ dàng các môn h c khác   trọ ở ường THCS .M  r ng kh  năng áp d ng ki nở ộ ả ụ ế  

th c vào th c t , còn góp ph n rèn luy n cho HS   nh ng đ c tính c nứ ự ế ầ ệ ữ ứ ẩ  

th n ,sáng t o…ậ ạ

D a vào hi u bi t, v n ki n th c và thu th p qua tài liêu, sách báo tôi xinự ể ế ố ế ứ ậ  

đ a ra m t s  phư ộ ố ương pháp mà tôi cho là phù h p v i h c sinh THCS đợ ớ ọ ể 

tương  ng c a hai bi u th c này b ng nhau.ứ ủ ể ứ ằ

Bi n x đế ược g i là  n.Giá tr  tìm đọ ẩ ị ượ ủ ẩc c a  n g i là nghi m.ọ ệ

Vi c tìm nghi m g i là gi i phệ ệ ọ ả ương trình. M i bi u th c g i là m tỗ ể ứ ọ ộ  

v  c a phế ủ ương

1.2. T p xác đ nh c a ph ậ ị ủ ươ ng trình :

Là t p h p các giá tr  c a  n làm cho m i bi u th c trong ph ng trình có nghĩa.ậ ợ ị ủ ẩ ọ ể ứ ươ

1.3. Đ nh nghĩa hai ph ị ươ ng trình t ươ ng đ ươ ng :

Hai ph ng trình đ c g i là t ng đ ng n u chúng có cùng t p h p nghi m.ươ ượ ọ ươ ươ ế ậ ợ ệ

1.4. Các phép bi n đ i t ế ổ ươ ng đ ươ ng :

Khi gi i phả ương trình ta ph i bi n đ i phả ế ổ ương trình đã cho thành 

nh ng phữ ương trình tương đương v i nó ( nh ng đ n gi i h n). Phép bi nớ ư ơ ả ơ ế  

đ i nh  th  đổ ư ế ược g i là phép bi n đ i tọ ế ổ ương đương

2. Các đ nh lý bi n đ i tị ế ổ ương đương c a phủ ương trình :

a) Đ nh lý 1 : ị N u c ng cùng m t đa th c c a  n vào hai v  c a m tế ộ ộ ứ ủ ẩ ế ủ ộ  

phương trình thì được m t phộ ương trình m i tớ ương đương v i phớ ươ  ngtrình đã cho.      Ví d  :    2x = 7 <=> 2x + 5x = 7 +5x.ụ

Chú ý :  N u c ng cùng m t bi u th c ch a  n   m u vào hai v  c aế ộ ộ ể ứ ứ ẩ ở ẫ ế ủ  

m t phộ ương trình thì  phương trình m i có th  không tớ ể ương đương 

v i phớ ương trình đã cho

Ví d  : x ­2 ụ (1) Không tương đương v i phớ ương trình 

2

1 2

1 2

x x

x

Vì x = 2 là nghi m c a (1) nh ng không là nghi m c a (2)ệ ủ ư ệ ủ

* H  qu  1 ệ ả : N u chuy n m t h ng t  t  v  này sang v  kia c a m tế ể ộ ạ ử ừ ế ế ủ ộ  

phương trình được m t phộ ương trình m i tớ ương đương v i phớ ương trình đã cho

Ví d  : 8x ­7 = 2x + 3 <=> 8x­ 2x = 7 + 3ụ

* H  qu  2 ệ ả   :N u xoá hai h ng t  gi ng nhau   hai v  c a m tế ạ ử ố ở ế ủ ộ  

phương trình thì được m t phộ ương trình m i tớ ương đương v i phớ ươ  ngtrình đã cho

Ví d  :ụ ­9 ­ 7x = 5 ( x +3) ­7x <=> ­9 = 5 x ( x + 3)

* Chú ý : N u nhân hai v  c a m t phế ế ủ ộ ương trình v i m t đa th c c aớ ộ ứ ủ  

n thì đ c ph ng trình m i có th  không t ng đ ng v i ph ng trình

đã cho

         b) Đ nh lý 2: ị N u nhân m t s  khác 0 vào hai v  c a m t phế ộ ố ế ủ ộ ương trình thì được phương trình m i tớ ương đương v i phớ ương trình đã cho

Phương trình có d ng ax + b = 0, v i a, b là nh ng h ng s ; a ạ ớ ữ ằ ố 0 

được g i là phọ ương trình b c nh t m t  n s , b g i là h ng t  t  do.ậ ấ ộ ẩ ố ọ ạ ử ự

Phương trình b c hai m t  n s  là phậ ộ ẩ ố ương trình có d ng ạ

ax2 + bx + c = 0; trong đó x là  n s ;  a, b, c là các h  s  đã cho; a ẩ ố ệ ố  0

*Cách gi iả :

*Ta dùng các phép bi n đ i tế ổ ương đương ,bi n đ i phế ổ ươ  ngtrình đã cho v  các d ng phề ạ ương trình đã bi t cách gi i (phế ả ương trình 

b c nh t ,phậ ấ ương trình d ng tích ) đ  tìm nghi m c a phạ ể ệ ủ ương trình 

*Khi nghiên c u v  nghi m s  c a phứ ề ệ ố ủ ương trình b c haiậ

 a x2 +b x +c=o    (a 0)C n đ c bi t quan tâm t i  bi t s  ầ ặ ệ ớ ệ ố  

c a phủ ương trình:  =b2­ 4ac,  Vì bi u th c ể ứ = b2­ 4ac  quy t đ nhế ị  

nghi m s  c a phệ ố ủ ương trình b c hai .Ta th y có các kh  năng sauậ ấ ả  

x y ra :ả

a ,  <0  phương trình b c hai vô nghi m ậ ệ

b ,   =0     phương trình b c hai có hai nghi m   kép (hai nghi mậ ệ ệ  trùng nhau):  x1=x2= a b

 + N u a+b+c =0 thì phế ương trình (1) có các  nghi m là    xệ 1 1 x; 2

s  bài toán  bi n lu n v  s  nghi m c a phố ệ ậ ề ố ệ ủ ương trình b c hai  ậ

Ví dụ : Gi i các phả ương trình sau       

      ­Kh  m u ta đử ẫ ược phương trình   x 2 ­3x +6   =x+3

      ­ Chuy n v  : ể ế  x 2 ­3x +6­x­3=0x2 ­4x +3 =0(2) a+b+c= 1+(­4) +3 =0        Nên x1=1 ;  x2=c

a =3    là hai nghi m c a phệ ủ ương trình trung gian 

  Đ  k t lu n nghi m c a (1)  ta c n ph i ki m tra xem các nghi m c a (2)ể ế ậ ệ ủ ầ ả ể ệ ủ  

có thu c TXĐ c a (1) hay không ?ộ ủ

         đây  ta nh n th y  xở ậ ấ 1=1 tho  mãn đi u ki n ả ề ệ

       x 2=3 không tho  mãn đi u ki n ả ề ệ

      ­Do đó ta m i k t lu n nghi mc a (1) là x=1ớ ế ậ ệ ủ

*Nh n  xétậ  :  

­Nh ng phữ ương trình được trình bày   trên là d ng phở ạ ương trình g p nhi uặ ề

­Khi gi i các phả ương trình này ta c n chú ý nh ng v n đ  sau : ầ ữ ấ ề

       + Tìm   TXĐ c a phủ ương trình 

       + Sau khi gi i đả ược k t qu  c n so sánh k t qu  và k t lu n nghi mế ả ầ ế ả ế ậ ệ  ( lo i b  nh ng nghi m c a phạ ỏ ữ ệ ủ ương trình trung gian không n m trong mi nằ ề  xác đ nh )ị

* Bài luy n t p:Gi i các phệ ậ ả ương trình :

  a ,3(x2+x) ­2(x2+x ) ­1= 0   ,      b, 5x2 ­ 7x = 0

      c

5

3 3

5 5

3 3

5

x x

x x

         d,x2x1 (x x21)(x x 84)

3 2

2 3

2

3

x x

x x

x x

 *Ví dụ      : gi i ph ng trình      2xả ươ 3 +7x2 +7x + 2=0 

  Gi i ả       Phân tích v  trái thành nhân t  ta cóế ử

  VT     =  (2x3 + 2) + (7x2 +7 )= 2(x3 +1) + 7x (x+1)

= 2(x+1)(x2 –x +1) +7x(x+1)= (x+1)[2(x2­x +1) +7x ]       = (x+1) (2x2+5x +2)

      V y phậ ương trình đã cho     (x+1) (2x2+5x +2) =0

           x +1 =0       (2)          x1 =­1

                 (2x2+5x +2) =0  (3)       x 2=­2 ;   x3 = ­

2 1

V y phậ ương trình đã cho có ba nghi m là xệ 1 =­1   ;   x 2=­2 ;   x3 = ­

2 1

 *Nh n xétậ  : 

Khi gi i m t phả ộ ương trình b c ba ta không nghiên c u cách gi i t ng quátậ ứ ả ổ  

mà ch  y u dùng phép  phân tích đa th c thành nhân t  đ  đ a phủ ế ứ ử ể ư ương trình 

v  d ng  phề ạ ương trình tích

­ Chú ý : tính ch t c a phấ ủ ương trình b c ba :  a xậ 3 +bx2 +cx =d =0  ( a  0 )      +N u a+b+c +d =0 thì phế ương trình có m t nghi m x=1ộ ệ

       +N u a­b+c­d =0  thì phế ương trình có m t nghi m x= ­1ộ ệ

Khi đã nh n bi t đậ ế ược m t nghi mc a phộ ệ ủ ương trình ta d  dàng phân tíchễ  

v  trái thành nhân t  ế ử

­ Phương trình :  a x3 +bx2 +cx =d =0  ( a  0 ) v i các h  s  nguyên . N u cóớ ệ ố ế  nghi m nguyên  thì nghi m nguyên đó ph i là ệ ệ ả ướ ủc c a h ng t  t  do (đ/l sạ ử ự ự 

t n t i nghi m nguyên c a phồ ạ ệ ủ ương trình nghi m nguyên )ệ

­ N u phế ương trình  :  a x3 +bx2 +cx =d =0  ( a  0 ) có 3 nghi m xệ 1 ; x2 ; x3  Thì 3 nghi m đó s  tho  mãn các đi u ki n sau:ệ ẽ ả ề ệ

* Bài luy n t p:Gi i các phệ ậ ả ương trình :

M t phộ ương trình b c 4 mà qua phép đ t  n ph  ta có th  quy v  PT b cậ ặ ẩ ụ ể ề ậ  hai

2.3.1. Ph ươ ng trình tam th c  b c 4   (Ph ứ ậ ươ ng trình trùng ph ươ ng   )

       Phương trình trùng phương có d ng t ng quát  :  a xạ ổ 4 +bx 2 +c=0  (1)       Trong đó  x là  n ; a , b ,c là các h  s  ; ( a ẩ ệ ố 0 )   *Cách gi iả   :

 Khi gi i phả ương trình này ta dùng phương pháp đ i bi n ổ ế

      x 2

 =t   (t  0)   (2)Khi đó phương trình (1) d a đư ược v  d ng phề ạ ương trình b c hai trung gian ậ

      a t2  +b t +c =0     (3)

Gi i phả ương trình (3) r i thay giá tr  c a t tìm đồ ị ủ ược  ( v i t ớ 0)   vào (2)  ta 

được phương trình b c ha v i bi n x  gi i phậ ớ ế ả ương trình này ta tìm đượ  cnghi m c a phệ ủ ương trình trùng phương ban đ u ầ

 *Ví dụ : Gi i ph ng trình sau: 4x ả ươ 4 ­ 109x2+ 225 =0   (1)

 V y phậ ương trình (1) có 4 nghi m là :      xệ 1=3/2   ; x2= ­3/2 ;  x3 =5 ; x4=­5   

* Nh n xétậ  : 

 ­ Khi nghiên c u s  nghi m c a phứ ố ệ ủ ương trình trùng phương (1) ta th y :ấ ­  Phương trình vô nghi m khi :ệ

+ Ho c phặ ương trình b c hai trung gian  vô nghi m .ậ ệ

+Ho c phặ ương trình b c hai trung gian có cùng hai nghi m âm .ậ ệ

­  Phương trình  trùng phương có hai nghi m khi :    ệ

+ Ho c phặ ương trình b c hai trung gian có hai nghi m kép dậ ệ ương .+ Ho c phặ ương trình b c hai trung gian có 2 nghi m trong đó có m tậ ệ ộ  nghi m âm và m t nghi m dệ ộ ệ ương 

­  Phương trình trùng phương có 3 nghi m khi phệ ương trình b c hai có 2ậ  nghi m trong đó có m t nghi m dệ ộ ệ ương và m t nghi m b ng 0. ộ ệ ằ

­  Phương trình trùng phương có 4 nghi m khi phệ ương trình hai trung gian 

có hai nghi m dệ ương phân bi t .ệ

* Bài luy n t p:Gi i các phệ ậ ả ương trình :

đ u và s  h ng cu i thì b ng nhau ầ ố ạ ố ằ

* Ví dụ : Gi i ph ng trình sau ả ươ

             10 x4­27x3­ 110x2 ­27x +10=0    (1)  

 Ta nh n th y x=0 không ph I là nghi m c a (1)ậ ấ ả ệ ủ

   Do đó chia c  hai v  (10 cho xả ế 2 ta được    10x2 ­27x – 110 ­27x 10x2  = 

0 

Nhóm các s  h ng cách đ u hai s  h ng đ u và cu i thành t ng nhóm ta ố ạ ề ố ạ ầ ố ừ

; 2 1

* Nh n xétậ  : 

­ V  phề ương pháp gi i g m 4 bả ồ ước 

        +Nh n xét x=0 không ph i là nghi m c a (1) ta chia c  hai vậ ả ệ ủ ả ế (1) cho x2r i nhóm các s  h ng cách đ u hai s  h ng đ u và cu i thànhồ ố ạ ề ố ạ ầ ố  

t ng nhóm ta đừ ược phương trình (2) 

       +Đ t  n ph  :      (x+ặ ẩ ụ 1)

x  =t     (3)  =>  x2+ x12 =t2 ­2   thay vào (2)        +Gi i phả ương trình đó ta được t  

       +Thay các giá tr  c a t vào (3) đ  tìm  x  và tr  l i nghi m (1)ị ủ ể ả ờ ệ

­ V  nghi m s  c a phề ệ ố ủ ương trình: x0 là nghi m c a (1)  thì ệ ủ

0

1

x  cũng là nghi m c a nó ệ ủ

   (ví d  trên : ­2 là nghi m   và     ­1/2 là ng ch   đ o c a nó cũng làụ ệ ị ả ủ  nghi m ;5 và 1/5là ngh ch đ o c a nhau)ệ ị ả ủ

* Bài luy n t p: Gi i các phệ ậ ả ương trình :

    a, x4 ­ 7x3 + 14 x2 ­ 7x + 1 = 0; b. x 6 + 3x5 ­ 30x4 ­ 29 x3 ­ 30 x2 + 3x + 1 = 0

 ; ( c 0)      

Đ i v i phố ớ ương trình h  s  đ i x ng b c 4ch  là m t trệ ố ố ứ ậ ỉ ộ ường h p đ cợ ặ  

bi t c a phệ ủ ương trình h i quy ồ

­Do x=0 không ph ilà nghi m c a phả ệ ủ ương trình (1) nên chia c  hai v  choả ế  

x2 ta được      a x2 +bx +c + 2

x

c x

d bx

d

    do        (d/b)2  =c/a       nên x2+ c/ a x2=t2 ­2. d/b

 Khi đó ta có phương trình a(t2 ­ 2b d ) bt +c =0

­ Ta được phươnmg trình (3) trung gian nh  sau :    atư 2+ bt +c=0     (3) 

­ Gi i (3) ta đả ược nghi m c a phệ ủ ương trình ban đ u ầ

 * Ví dụ        Gi i  ph ng trình :ả ươ

      x4­4x3­9x2+8x+4=0   (1) 

     Nh n xét 4/1=(ậ ) 2

4 8 ( ; Nên phương trình (1)    là phương trình h i quy ồ

• x=0 không ph i là nghi m c a (1) ả ệ ủ

• Do đó chia c  hai v  phả ế ương trình cho x2 ta được 

        V y t p nghi m c a phậ ậ ệ ủ ương trình đã cho là S=

2

33 5 ;

2

; 1

  *Nh n xét :    ậ

   ­ Cũng tương t   nh  gi i phự ư ả ương trình b c 4 h  s  đ i x ng  , ch  khácậ ệ ố ố ứ ỉ  

bước đ t  n ph          Đ t x+ặ ẩ ụ ặ bx m  =y      b => x2 + b

m y x b

m 2 2

2 2

2

        2.3 .4 .Phương trình d ng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=mạ    (a+d=b+c)         *

   Cách gi i ả   :

 nhóm ( x+a) v i (x+d)    ; (x+b) v i (x+c)   r i tri n khai các tích đó ớ ớ ồ ể

Khi đó phương trình có d ng    [xạ 2 +( a+d)x  +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0 

do a+d=b+c   nên ta đ t [xặ 2 +( a+d)x  + k ] =t   (2)  ( k có th  là ad  ho c bc ) ể ặ  

         ta có phương trình   At2 +Bt+  C =0       (V i A=1)ớ

  Gi i phả ương trình ta tìm được t thay vào (2) r i gi i tìm đồ ả ược nghi m  x ệ

* Ví dụ :

       Gi i phả ương trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = ­15     (1)   

• nh n xét 1+7 =3+5 ậ

• Nhóm h p lý      ợ   (x+1) (x+7 )  . (x+3) (x+5 ) +15=0  

          (x2 +8x +7 )  (x2 + 8x +  15) +15 =0   (2)       *Đ t (xặ 2 +8x +7 )   =t  (3)    thay vào (2) ta được 

 ­Đ i v i nh ng phố ớ ữ ương trình có d ng đ c bi t nh  trên ,n u ta khai  tri nạ ặ ệ ư ế ể  

v  trái ta s  đế ẽ ược phương trình b c 4 ( thậ ường là lo i b c 4 đ y đ  ) .Đ iạ ậ ầ ủ ố  

v i HS   THCS vi c gi i là r t khó khăn . Vì v y t  vi c nh n xét t ng haiớ ở ệ ả ấ ậ ừ ệ ậ ổ  

c p h  s  c a phặ ệ ố ủ ương trình b ng nhau  r i nhóm m t cách h p lí . Khi khaiằ ồ ộ ợ  tri n m i nhóm ,ta đ i bi n c a phể ỗ ổ ế ủ ương trình và đ a v  phư ề ương trình b cậ  hai trung gian 

­ Ta th y n u phấ ế ương trình b c hai trung gian vô nghi m thì phậ ệ ương trình ban đ u cũng vô nghi m . N u phầ ệ ế ương trình trung gian có nghi m thì ta trệ ả 

bi n l i và gi i ti p phế ạ ả ế ương trình b c hai đ i v i bi n x, nghi m c aậ ố ớ ế ệ ủ  

phương trình này là nghi m c a phệ ủ ương trình ban  đ u   ầ

* Bài luy n t p:ệ ậ

1.Gi i các phả ương trình :

a, x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8 ;       c, (4x + 3)2 (x + 1) (2x + 1) = 810

b, (x ­ 4)(x ­ 5) (x ­ 6)(x ­ 7) = 1680;   d, (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + 15 = 0  2.Cho phương trình: (x+3)(x+5)(x+9)(x+7) = m

      a, Tìm m đ  phể ương trình có 2 nghi mệ