Mục tiêu đề tài: Giúp cho học sinh hiểu sâu sắc và thực hiện thành thạo các dạng toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử. Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán của học sinh lớp 8 trong nhà Trường, phát triển chất lượng đại trà và mũi nhọn của bộ môn. Giúp học sinh có khả năng thành thạo khi phân tích đa thức thành nhân tử. Giúp học sinh yêu thích môn toán hơn, đồng thời phát triển năng lực tự học, tự nguyên cứu.
Trang 1I. PH N M Đ UẦ Ở Ầ
1. Lí do ch n đ tàiọ ề
Nh chúng ta đã bi t, Toán h c là ngôn ng chung c a vũ tr Toán hoc làư ế ọ ữ ủ ụ ̣
m t môn khoa h c đ c bi t quan tr ng trong m i lĩnh v c. Con ngộ ọ ặ ệ ọ ọ ự ười chúng ta trong b t kì hoàn c nh nào cũng không th thi u ki n th c v toán. Nghiên c u vấ ả ể ế ế ứ ề ứ ề toán cũng chính là nghiên c u m t ph n c a th gi i. Các ki n th c và phứ ộ ầ ủ ế ớ ế ứ ươ ngpháp toán h c là công c h tr đ c l c giúp h c sinh h c t t các môn h c khác,ọ ụ ỗ ợ ắ ự ọ ọ ố ọ
ho t đ ng có hi u qu trong m i lĩnh v c. Đ ng th i môn Toán còn giúp h c sinhạ ộ ệ ả ọ ự ồ ờ ọ phát tri n nh ng năng l c và ph m ch t trí tu , rèn luy n cho h c sinh t tể ữ ự ẩ ấ ệ ệ ọ ư ưở ng
đ o đ c và th m mĩ c a ngạ ứ ẩ ủ ười công dân.
Cùng v i s phát tri n c a đ t nớ ự ể ủ ấ ước, s nghi p giáo d c cũng đ i m iự ệ ụ ổ ớ không ng ng. Đ đào t o ra nh ng con ngừ ể ạ ữ ười nghiên c u v Toán h c thì trứ ề ọ ướ c
h t ph i đào t o ra nh ng con ngế ả ạ ữ ười có ki n th c v ng vàng v môn Toán. Đây làế ứ ữ ề nhi m v h t s c quan tr ng, lâu dài đ i v i ngành Giáo d c và đào t o.ệ ụ ế ứ ọ ố ớ ụ ạ Do đó đòi
h i m i th y cô giáo ph i lao đ ng, ph i có s lao đ ng ngh thu t sáng t o đ cóỏ ỗ ầ ả ộ ả ự ộ ệ ậ ạ ể
phương pháp d y h c hi u qu giúp ạ ọ ệ ả h c sinhọ h c và gi i quy t bài toán m t cáchọ ả ế ộ
t t nh t.ố ấ Phân tích đa th c thành nhân t là m t n i dung vô cùng quan tr ng trongứ ử ộ ộ ọ
chương trình toán h c trung h c c s Vi c n m v ng các phọ ở ọ ơ ở ệ ắ ữ ương pháp phân tích đa th c thành nhân t không nh ng giúp ứ ử ữ h c sinhọ làm t t các bài toán d ng nàyố ạ
mà còn là công c c n thi t giúp các em v n d ng t t vào gi i các phụ ầ ế ậ ụ ố ả ương trình,
ch ng minh…….Đ c bi t giúp ứ ặ ệ h c sinhọ phát tri n t duy sáng t o m t cách t tể ư ạ ộ ố
nh t.ấ Qua quá trình d y toán trung h c c s ,ạ ở ọ ơ ở qua kinh nghi m b i dệ ồ ưỡng h cọ sinh gi i và qua quá trình tìm tòi c a b n thân tôi đã h th ng đỏ ủ ả ệ ố ược m t sộ ố
phương pháp phân tích đa th c thành nhân t mà thi t nghĩ m i th y cô giáo d yứ ử ế ỗ ầ ạ toán đ u c n trang b choề ầ ị h c sinh ọ đ giúp các em gi i t t các bài toán phân tích đaể ả ố
Trang 2th c thành nhân t góp ph n nâng cao t duy toán h c t o đi u ki n cho vi c h cứ ử ầ ư ọ ạ ề ệ ệ ọ toán nói riêng và trong quá trình h c t p nói chung.ọ ậ Phân tích đa th c thành nhân tứ ử
là m t d ng toán g p r t nhi u trong toán trung h c c s ,ộ ạ ặ ấ ề ọ ơ ở nó đa d ng nên khi gi iạ ả các bài toán trên h c sinh ph i bi t l a ch n phọ ả ế ự ọ ương pháp phù h p đ i v i t ngợ ố ớ ừ bài đ phân tích đúng và tri t đ đ n k t qu cu i cùng.ể ệ ể ế ế ả ố Đ i v i giáo viên khi d yố ớ ạ
và b i dồ ưỡng h c sinhọ gi i c n n m v ng các phỏ ầ ắ ữ ương pháp phân tích đa th cứ thành nhân t s b sung nhi u vào kho ki n th c c a mình.ử ẽ ổ ề ế ứ ủ Đ i v i h c sinh số ớ ọ ẽ
kh c ph c nh ng h n ch trắ ụ ữ ạ ế ước đây giúp các em có tinh th n t tin h c t p bầ ự ọ ậ ộ môn toán
Kĩ năng gi i toán và bi t v n d ng ki n th c đã h c c a h c sinh vào gi iả ế ậ ụ ế ứ ọ ủ ọ ả bài t p là v n đ mà giáo viên luôn ph i quan tâm. Thông qua bài ki m tra 15 phút,ậ ấ ề ả ể bài ki m tra 1 ti t, ki m tra h c kì cho th y kĩ năng gi i toán và v n d ng ki nể ế ể ọ ấ ả ậ ụ ế
th c phân tích đa th c thành nhân t là ch a cao. Đây là v n đ băn khoăn c a r tứ ứ ử ư ấ ề ủ ấ nhi u giáo viên d y toán 8, k c toán 9. Vì v y, v i b n thân trong nh ng nămề ạ ể ả ậ ớ ả ữ
d y h c toán 8 tôi xây d ng thành “ M t s kinh nghi m giúp h c sinh áp d ngạ ọ ở ự ộ ố ệ ọ ụ
t t các phố ương pháp phân tích đa th c thành nhân t trong gi i toán 8 t i trứ ử ả ạ ườ ngTHCS Lương Th Vinh huy n Krông Ana t nh Đ k L k ”ế ệ ỉ ắ ắ
2. M c tiêu, nhi m v c a đ tàiụ ệ ụ ủ ề
Giúp h c sinh có kh năng thành th o khi phân tích đa th c thành nhân t ọ ả ạ ứ ử
Giúp h c sinh yêu thích môn toán h n, đ ng th i phát tri n năng l c tọ ơ ồ ờ ể ự ự
h c, t nguyên c u.ọ ự ứ
Trang 3b) Nhi m vệ ụ
Tìm hi u các sai l m ph bi n, nh ng khó khăn c a h c sinh l p 8 khiể ầ ổ ế ữ ủ ọ ớ phân tích đa th c thành nhân t ứ ử
Phân tích tìm ra được các sai l m khi gi i toánầ ả
Đ xu t các bi n pháp đ giúp h c sinh bi t v n d ng các phề ấ ệ ể ọ ế ậ ụ ương pháp phân tích đa th c thành nhân t trong gi i toán trung h c c c ứ ử ả ọ ơ ở
3. Đ i tố ượng nghiên c u ứ
Nghiên c u các ph ng pháp phân tích đa th c thành nhân t đ t đó h c sinhứ ươ ứ ử ể ừ ọ
bi t v n d ng linh ho t các phế ậ ụ ạ ương pháp vào gi i toán. ả
4. Gi i h n ph m vi nghiên c uớ ạ ạ ứ
H c sinh l p 8A1, 8A3 trọ ớ ường trung h c c s Lọ ơ ở ương Th vinh huy n Krôngế ệ Ana t nh Đ kl k năm h c 2017 2018. ỉ ắ ắ ọ
5. Phương pháp nghiên c uứ
Phương pháp nghiên c u qua tài li u: SGK, SBT, SGV toán 8, chu n ki n th c kĩứ ệ ẩ ế ứ năng, nâng cao và pháp tri n toán 8, các tài li u có liên quan; nghiên c u qua cácể ệ ứ quá trình gi i bài t p c a h c sinh; nghiên c u qua các bài ki m tra c a h c sinhả ậ ủ ọ ứ ể ủ ọ theo t ng đ t; nghiên c u t th c t gi ng d y, h c t p c a t ng đ i từ ợ ứ ừ ự ế ả ạ ọ ậ ủ ừ ố ượng h cọ sinh
Phương pháp th ng kê toán h c.ố ọ
Phương pháp đi u tra, kh o sát.ề ả
Phương pháp đàm tho i – g i m ạ ợ ở
Phương pháp thu th p và x lý s li u.ậ ử ố ệ
Phương pháp tác đ ng giáo d c .ộ ụ
Phương pháp th c nghi m. ự ệ
II. PH N N I DUNGẦ Ộ
Trang 41. C s lí lu nơ ở ậ
Căn c công văn hứ ướng d n s 04/PGDĐTTĐKT ngày 06 tháng 01 nămẫ ố
2015 c a Phòng GDĐT huy n Krông Ana v vi c hủ ệ ề ệ ướng d n viêt, đánh giá SKKNẫ ́
t năm h c 2015 2016 (ừ ọ Kèm theo Công văn s 232 /PGDĐTTĐKT ngày 09 ố tháng11 năm 2017).
Đ vi c d y h c đ t k t qu thì giáo viên ph i hi u sâu r ng v n đ c nể ệ ạ ọ ạ ế ả ả ể ộ ấ ề ầ truy n đ t, k t h p t t phề ạ ế ợ ố ương pháp truy n th ng và phề ố ương pháp hi n đ i; l yệ ạ ấ
h c sinh làm trung tâm c a quá trình d y và h c; phát huy kh năng t h c, tínhọ ủ ạ ọ ả ự ọ tích c c, sáng t o và t giác c a h c sinh. Trong quá trình gi ng d y, cùng v i sự ạ ự ủ ọ ả ạ ớ ự trao đ i qua các đ ng nghi p, tôi th y k t qu c a h c sinh trong khi h c m ngổ ồ ệ ấ ế ả ủ ọ ọ ả
ki n th c v phân tích đa th c thành nhân t đế ứ ề ứ ử ược th hi n r t rõ qua vi c luy nể ệ ấ ệ ệ
t p trên l p, bài ki m tra 15 phút l n m t và bài ki m tra m t ti t l n m t. Cóậ ớ ể ầ ộ ể ộ ế ầ ộ
nh ng bài h c sinh trình bày r t t t, sáng t o, tuy nhiên có nhi u bài làm trình bàyữ ọ ấ ố ạ ề
s sài, d th a ho c thi u sót nhi u, th m chí nhi u bài không đ nh hình đơ ư ừ ặ ế ề ậ ề ị ượ ccách trình bày…Và sau khi hướng d n, tìm cho các em nh ng m o nh , nh ngẫ ữ ẹ ớ ữ cách trình bày ng n g n thì các em ph n nào đã c i thi n đắ ọ ầ ả ệ ược ch t lấ ượng bài làm, nhi u em h c sinh khá gi i r t h ng thú v i m ng ki n th c này.ề ọ ỏ ấ ứ ớ ả ế ứ
Vi c d y h c ph i bám sát vào chu n ki n th c, kĩ năng c a chệ ạ ọ ả ẩ ế ứ ủ ương trình giáo d c ph thông đ xác đ nh m c tiêu c a bài h c, chú tr ng d y h c nh m đ tụ ổ ể ị ụ ủ ọ ọ ạ ọ ằ ạ
được các yêu c u c b n và t i thi u v ki n th c, kĩ năng, đ m b o không quáầ ơ ả ố ể ề ế ứ ả ả
t i; m c đ khai thác sâu ki n th c, kĩ năng ph i phù h p v i kh năng ti p thuả ứ ộ ế ứ ả ợ ớ ả ế
ki n th c c a h c sinh; sáng t o v phế ứ ủ ọ ạ ề ương pháp d y h c, phát huy tính chạ ọ ủ
đ ng, tích c c, t giác c a h c sinh t o ni m vui, ph n kh i, nhu c u hành đ ngộ ự ự ủ ọ ạ ề ấ ở ầ ộ
và thái đ t tin trong h c t p cho h c sinh; d y h c th hi n m i quan h tíchộ ự ọ ậ ọ ạ ọ ể ệ ố ệ
c c gi a giáo viên v i h c sinh, gi a h c sinh v i h c sinh, chú tr ng đ n vi cự ữ ớ ọ ữ ọ ớ ọ ọ ế ệ
đ ng viên, khuy n khích k p th i ti n đ c a h c sinh trong quá trình h c.ộ ế ị ờ ế ộ ủ ọ ọ
Mu n phân tích đa th c thành nhân t m t cách thành th o và nhanh chóngố ứ ử ộ ạ thì trước tiên ph i hi u phân tích đa th c thành nhân t là phân tích đa th c đã choả ể ứ ử ứ
Trang 5thành tích c a nh ng đa th c, sau đĩ n m ch c nh ng phủ ữ ứ ắ ắ ữ ương pháp c b n và cácơ ả
phương pháp nâng cao đ phân tích, đĩ là:ể
a) Phương pháp đ t nhân t chungặ ử A.B + A.C = A ( B + C)
b) Phương pháp dùng h ng đ ng th cằ ẳ ứ
Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức
( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
( A B )2 = A2 2AB + B2
A2 B2 = ( A + B )( A B )
( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
( A B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 B3
A3 B3 = ( A B )( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = ( A + B )( A2 AB + B2)
c) Phương pháp nhĩm nhi u h ng tề ạ ử
K t h p nhi u h ng t thích h p c a đa th c khi đa th c ch a cĩ nhân tế ợ ề ạ ử ợ ủ ứ ứ ư ử chung ho c ch a áp d ng đặ ư ụ ược h ng đ ng th c nh m m c đích:ằ ẳ ứ ằ ụ
+ Phát hi n nhân t chung ho c h ng đ ng th c t ng nhĩm.ệ ử ặ ằ ẳ ứ ở ừ
+ Nhĩm đ áp d ng phể ụ ương pháp đ t nhân t chung ho c h ng đ ng th c.ặ ử ặ ằ ẳ ứ+ Đ t nhân t chung cho tồn đa th c.ặ ử ứ
Trang 6V i các đa th c có b c t b c ba tr lên, đ d dàng làm xu t hi n các h sớ ứ ậ ừ ậ ở ể ễ ấ ệ ệ ố
t l ngỉ ệ ười ta thường dùng cách tìm nghi m c a đa th c.ệ ủ ứ
Khái ni m c a đa th c: s a đệ ủ ứ ố ược g i là nghi m c a đa th c f(x) n u f(a) = 0.ọ ệ ủ ứ ế
Nh v y n u đa th c có nghi m là a thì nó ch a nhân t x a.ư ậ ế ứ ệ ứ ử
Ta ch ng minh đứ ượ ằc r ng nghi m nguyên c a đa th c, n u có ph i là ệ ủ ứ ế ả ướ c
ở ế ả ằ n1, H ng t có b c th p nh t c a v trái b ng aạ ử ậ ấ ấ ủ ế ằ n
Vì v y –abậ n1= an suy ra an chia h t cho a t c a là ế ứ ướ ủc c a an
Chú ý khi xét nghi m nguyên c a đa th c, C n s d ng đ nh lí b sung sau:ệ ủ ứ ầ ử ụ ị ổ
+ Đa th c f(x) có nghi m h u t thì có d ng p/q trong đó p là ứ ệ ữ ỉ ạ ước c a h sủ ệ ố
t do, q là ự ước dương c a h s cao nh t ủ ệ ố ấ
g) Phương pháp tách h ng tạ ử thành nhi u h ng tề ạ ử
h) Phương pháp đ t bi n phặ ế ụ (phương pháp đ i bi n)ổ ế
Trang 7k) Phương pháp h s b t đ nhệ ố ấ ị
Đó là s đ ng nh t v h s c a hai v đ t đó suy ra các h s c n tìm ự ồ ấ ề ệ ố ủ ế ể ừ ệ ố ầtrong s phân tích đa th c thành nhân t ự ứ ử
m) Phương pháp xét giá tr riêngị
Trong phương pháp này, trước h t ta xác đ nh d ng các nh n t ch a bi nế ị ạ ậ ử ứ ế
c a đa th c, r i gán cho các bi n các giá tr c th đ xác đ nh nhân t còn l i. ủ ứ ồ ế ị ụ ể ể ị ử ạ
T k t qu kh o sát trên thông qua vi c đi u tra tình hình h c t p c a cácừ ế ả ả ệ ề ọ ậ ủ
em h c sinh tôi nh n th y m t s thu n l i nh : ọ ậ ấ ộ ố ậ ợ ư
+ Đượ ực s quan tâm ch đ o sát sao c a ban giám hi u nhà trỉ ạ ủ ệ ường
+ Đượ ực s giúp đ nhi t tình c a các đ ng chí đ ng nghi p.ỡ ệ ủ ồ ồ ệ
+ Nhà trường có tương đ i đ y đ phố ầ ủ ương ti n trang thi t b ph c v choệ ế ị ụ ụ
d y h c.ạ ọ
Tuy nhiên v n còn nhi u khó khăn:ẫ ề
+ Trình đ nh n th c c a các em không đ ng đ u (có nhi u h c sinh kháộ ậ ứ ủ ồ ề ề ọ
gi i nh ng cũng có không ít h c sinh y u kém).ỏ ư ọ ế
+ Đa s h c sinh ch a xác đ nh đố ọ ư ị ược m c đích c a vi c h c.ụ ủ ệ ọ
+ H c sinh không có s ôn luy n hè nhà.ọ ự ệ ở
Trang 8+ H c sinh còn ch u nh họ ị ả ưởng c a b nh thành tích nh ng năm trủ ệ ở ữ ướ ckhông c n h c cũng v n lên l p. ầ ọ ẫ ớ
+ H c sinh nh n th c ch m, nhi u em lọ ậ ứ ậ ề ườ ọi h c
+ H c sinh ch a hi u sâu r ng các bài toán v phân tích đa th c thành nhânọ ư ể ộ ề ứ
t đ c bi t là các bài toán khó, do các em ch a có đi u ki n đ c nhi u sách thamử ặ ệ ư ề ệ ọ ề
kh o. Khi g p m t bài toán h c sinh không bi t làm gì? Không bi t đi theo hả ặ ộ ọ ế ế ướ ngnào ? Không bi t liên h nh ng gì đã cho trong đ bài v i các ki n th c đã h c.ế ệ ữ ề ớ ế ứ ọ Suy lu n kém, ch a bi t v n d ng các phậ ư ế ậ ụ ương pháp đã h c vào t ng d ng toánọ ừ ạ khác nhau. Trình bày không rõ ràng, thi u khoa h c, lôgic. Các em ch a có phế ọ ư ươ ngpháp h c t p t t thọ ậ ố ường h c v t, h c máy móc thi u kiên nh n khi g p bài toánọ ẹ ọ ế ẫ ặ khó
+ M t s em h ng ki n th c t dộ ố ổ ế ứ ừ ưới (lên c p II mà b ng c u chấ ả ử ương ch aư thu c).ộ
+ Môn đ i s 8 lạ ố ượng ki n th c l n, trình bày c n logic ch t ch nh ng l aế ứ ớ ầ ặ ẽ ư ứ
tu i các em còn b ng và l p lu n hay ng nh n, thi u căn c ổ ỡ ỡ ậ ậ ộ ậ ế ứ
+ Giáo viên ch a có nhi u th i gian và bi n pháp h u hi u đ ph đ o h c sinhư ề ờ ệ ữ ệ ể ụ ạ ọ
Trang 9thành nhân t Ta đã bi t 7 h ng đ ng th c đáng nh đóng vai trò r t quan tr ngử ế ằ ẳ ứ ớ ấ ọ trong vi c gi i toán phân tích đa th c thành nhân t nh ng s v n d ng c a các emệ ả ứ ử ư ự ậ ụ ủ
ph n l n ch a t t, còn nhi u em ch a thu c chính xác 7 h ng đ ng th c đáng nh ầ ớ ư ố ề ư ộ ằ ẳ ứ ớ
H n n a, m t s kĩ năng ph c v cho bài toán phân tích đa th c thành nhân t nhơ ữ ộ ố ụ ụ ứ ử ư nhân – chia đ n th c, qui t c d u ngo c, m t s công th c v lũy th a là ch aơ ứ ắ ấ ặ ộ ố ứ ề ừ ư thành th o. Chính vì th mà kĩ năng phân tích đa th c thành nhân t là ch a cao.ạ ế ứ ử ư
Đ i v i giáo viên: Có th trong ti t luy n t p, ôn t p v n i dung bài toánố ớ ể ế ệ ậ ậ ề ộ liên quan đ n phân tích đa th c thành nhân t giáo viên ch a n m b t đế ứ ử ư ắ ắ ược nh ngữ
đ c đi m trên c a h c sinh. Cũng có th hặ ể ủ ọ ể ướng d n cho h c sinh t ng bài c thẫ ọ ừ ụ ể
nh ng ch a đ nh hư ư ị ướng cách gi i chung cho d ng toán này.ả ạ
3. N i dung và hình th c c a gi i pháp ộ ứ ủ ả
a. M c tiêu c a gi i pháp ụ ủ ả
Đ xu t các bi n pháp s ph m đ giúp h c sinh bi t s d ng cácề ấ ệ ư ạ ể ọ ế ử ụ
phương pháp phân tích đa th c thành nhân t vào gi i toán. Góp ph n nâng caoứ ử ả ầ
ch t lấ ượng d y h c toán l p 8.ạ ọ ở ớ Tôi đã s d ng ph i k t h p nhi u phử ụ ố ế ợ ề ương pháp
d y h c nh : Đ t v n đ , đàm tho i g i m , tr c quan, v n đáp, k t h p tròạ ọ ư ặ ấ ề ạ ợ ở ự ấ ế ợ
ch i đ tăng thêm đ ng l c, ni m ph n khích đ i v i các em… đ các em có thơ ể ộ ự ề ấ ố ớ ể ể
Trang 10Đ c bi t giỏo viờn ph i choặ ệ ả h c sinhọ nắm vững bản chất của việc phân tích
đa thức thành nhân tử
Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích của nhiều đơn thức và đa thức khác
Khi gi i m t s bài toỏn đ n gi n ngả ộ ố ơ ả ười ta cú th s d ng m t trong cỏc phể ử ụ ộ ươ ngphỏp gi i thụng thả ường nh :ư
Vớ d 4ụ : Phõn tớch đa th c thành nhõn t :ứ ử
A =
= ( 3x2 – 3xy) – ( 5x – 5y) (Nhúm cỏc h ng t )ạ ử
= 3x( x–y) –5( x–y) (Đ t nhõn t chung)ặ ử
= ( x–y) ( 3x –5) (Đ t nhõn t chung)ặ ử
Vớ d 5:ụ Phõn tớch đa th c thành nhõn t :ứ ử
B = x ư 2y + x2 ư 4xy + 4y2
= (x ư 2y) + (x2 ư 4xy + 4y2) (Nhúm cỏc h ng t )ạ ử
= (x ư 2y) + (x ư 2y)2 (Dựng h ng đ ng th c)ằ ẳ ứ
Trang 11= (x 2y) (1 + x 2y) (Đ t nhân t chung)ặ ử
V y mu n các em ph i h p t t các phậ ố ố ợ ố ương pháp trên giáo viên c n nh c cácầ ắ
em l u ý m t s bư ộ ố ước sau:
+ Ta đ t nhân t chung cho c đa th c n u có th đ t đó làm đ n gi n đaặ ử ả ứ ế ể ể ừ ơ ả
+ Đ t nhân t chung: xặ ử 2( x2 +2x + 1 9y2)
Trong ngo c có 4 h ng t hãy xét xem có h ng đ ng th c nào khôngặ ạ ử ằ ẳ ứ
+ Nhóm h ng t : ạ ử M = x2 x2 2x + 1 ) 9y2
+Dùng h ng đ ng th c: Mằ ẳ ứ = x2 ( x 1)2 (3 y)2 xem xét hai h ng t trongạ ử ngo c có d ng h ng đ ng th c nào.S d ng h ng đ ng th c hi u hai bìnhặ ạ ằ ẳ ứ ử ụ ằ ẳ ứ ệ
phương ta có: M = x2 (x 1+ 3y) (x 1 3y)
V y đ phân tích t t bài toán phân tích đa th c thành nhân t đòi h i chúng ta c nậ ể ố ứ ử ỏ ầ quan sát kĩ bài toán và s d ng linh ho t các phử ụ ạ ương pháp trên gi i bài toán m tả ộ cách logic và chính xác.
Ví d :ụ Phân tích đa th c sau thành nhân t :ứ ử
a a = a( a2 1 ) = am(a+1)(a1)
Trang 12* Bi n pháp 2: Cung c p thêm, m rog các phệ ấ ở ươ ng pháp thông
th ườ ng cho HS các ph ươ ng pháp phân tích đa th c thành nhân t ứ ử
Trong th c t làm toán nhi u trự ế ề ường h p chúng ta s d ng linh ho t h u h t t tợ ử ụ ạ ầ ế ấ
c các phả ương pháp trên nh ng v n ch a đ a đ n k t qu mong mu n,ư ẫ ư ư ế ế ả ố do đó chúng ta c n ầ giúp HS bi t thêm m t s phế ộ ố ương pháp khác khi làm m t s bài toánộ ố
+ Phương pháp xét giá tr riêng.ị
C th hóa các phụ ể ương pháp trên ta đi tìm hi u sâu m t s ví d sau:ể ộ ố ụ
M t cách t ng quát, đ phân tích tam th c b c hai axộ ổ ể ứ ậ 2 + bx +c thành nhân t chung,ử
ta làm nh sau:ư
Bước 1: Tìm tích ac
Bước 2: phân tích ac ra tích c a hai th a s nguyên b ng m i cách.ủ ừ ố ằ ọ
Bước 3: Ch n hai th a s mà t ng b ng b ọ ừ ố ổ ằ
Trang 14= a5 + a + 1+ a2 a2 ( Thêm b t aớ 2)
= (a5 a2 )+( a2 + a + 1) ( Nhóm h ng t )ạ ử
= a2(a 1))( a2 + a + 1) + ( a2 + a + 1) (Đ t nhân t chung và dùng h ng đ ngặ ử ằ ẳ
Phương pháp này khi ta thêm b t h ng t giúp chúng ta r t ti n l i tuy nhiênớ ạ ử ấ ệ ợ
c n thông minh đ thêm b t h ng t phù h p cho bài toán c a mình.ầ ể ớ ạ ử ợ ủ
3. Ph ươ ng pháp đ t n ph ( ph ặ ẩ ụ ươ ng pháp đ i bi n) ổ ế
Trang 15Nh n xét: ậ Trong ví d trên, nh phụ ờ ương pháp đ i bi t, ta đã đ a đa th c b c b nổ ế ứ ứ ậ ố
đ i v i x thành đa th c b c hai đ i v i bi n y ố ớ ứ ậ ố ớ ế
4. Phương pháp tìm nghi m c a đa th c:ệ ủ ứ
Cho đa th c axứ 3 + bx2 + cx+ d (1)
Phương pháp:N u đa th c (1) có nghi m thì theo đ nh lí B Zu có m làế ứ ệ ị ơ nghi m c a (1)thì đa th c ch a nhân t (x – m) khi đó dùng phép chia đa th c taệ ủ ứ ứ ử ứ có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x m) (a'x2 + b'x + c'), nhân t b c hai có th phân tích ti pử ậ ể ế
được d a vào các phự ương pháp nêu trên
Các phương pháp tìm nghi m c a đa th c.ệ ủ ứ
Chú ý: khi xét nghi m nguyên c a đa th c, c n s d ng đ nh lí b sung sau:ệ ủ ứ ầ ử ụ ị ổ+ Đa th c f(x) có nghi m h u t thì có d ng p/q trong đó p là ứ ệ ữ ỉ ạ ước c a h sủ ệ ố
t do, q là ự ước dương c a h s cao nh t ủ ệ ố ấ
+ N u f(x) có t ng các h s b ng 0 thì f(x) có m t nhân t là x – 1ế ổ ệ ố ằ ộ ử
Trang 16A = (x 1) (x2 4x + 4) Chia h t cho (x 1) ế
Sau đó dùng các phương pháp đã có đ các em làm ti pể ế
A= (x 1) (x 2)2
b) B = 4x3 13x2 + 9x 18
Ta th y các ấ ướ ủc c a 18 là ±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18
B(1) = 18 ; B(1) = 44 vì v y ±1 không ph i là nghi m c a B(x) . ậ ả ệ ủ
Ta th y 18/(31); 18/(±61); 18/(±91); 18/(±181) không nguyên nên ; 3; ±6; ±9;ấ
±18 không là nghi m c a B(x)ệ ủ
Ta th y 44/ (2+1) không nguyên nên 2 không là nghi m c a B(x). Ch còn 2 và 3ấ ệ ủ ỉ
ki m tra ta th y 3 là nghi m c a B(x) do đó ta tách h ng t đ xu t hi n nhân tể ấ ệ ủ ạ ử ể ấ ệ ử chung là x – 3 nh sau:ư
B = 4x3 13x2 + 9x 18