Mục tiêu của luận án là xây dựng các hệ thức, phương trình chủ đạo và thiết lập nghiệm giải tích của bài toán phân tích tĩnh và động kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt. Xây dựng mô hình, thuật toán Phần tử hữu hạn, sử dụng phần tử vỏ 3D suy biến phân tích tĩnh và động kết cấu vỏ thoải FGM có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ.
Trang 2Người hướng dẫn khoa học 1: PGS TS T ần Hữu Quốc - Trường Đại học y d ng Người hướng dẫn khoa học 2: PGS TS T ần Minh Tú - Trường Đại học y d ng
Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm
Viện Cơ học
Phản biện 2: GS TS Nguyễn Thái Chung
Học viện Kỹ thuật Quân sự
Phản biện 3: GS TS Nguyễn Tiến Chương
Trường Đại học Thủy lợi
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học y d ng
vào hồi giờ ', ngày tháng năm 2019
Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia và Thư viện Trường Đại học y d ng
Trang 3LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN
1 Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc, Duong Thanh Huan, and Nguyen Van Long (2014), Vibration
analysis of functionally graded plates using various shear deformation plate theories,
Proceedings of the 3rd International Conference of Engineering Mechanics and Automation - ICEMA3, University of Engineering and Technology – Vietnam National University, ISBN: 978-604-913-367-1, trang 580-587
2 Trần Minh Tú, Trần Hữu Quốc, và Dương Thành Hu n (2015), Phân tích tĩnh và động
Panel trụ làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT), Tuyển tập công trình Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ
XII, Thành phố Đà Nẵng, ISBN: 978-604-82-2028-0, Tập 2, trang 1506-1513
3 Trần Hữu Quốc, Dương Thành Hu n, Trần Minh Tú, và Nghiêm Hà T n (2017), Phân tích
Panel trụ FGM chịu uốn có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ - Lời giải giải tích và Lời giải số,
Tạp chí Khoa học Công nghệ y d ng, ISSN: 1859-2996, Tập 11 số 2, trang 38 – 46
4 Duong Thanh Huan, Tran Minh Tu and Tran Huu Quoc (2017), Analytical solutions for
bending, buckling and vibration analysis of functionally graded cylindrical panel, Vietnam
Journal of Science and Technology 55(5): p 587-597, DOI: 10.15625/2525-2518/55/5/8843
5 Duong Thanh Huan, Tran Huu Quoc, Tran Minh Tu and Le Minh Lu (2017), Free vibration
analysis of functionally graded doubly-curved shallow shells including thermal effect, Vietnam
Journal of Agricultural Sciences, Vol 15, No 10: p 1410-1422, ISSN: 1859-0004
6 Tran Huu Quoc, Duong Thanh Huan and Tran Minh Tu (2018), Dynamic behavior analysis
of FGM doubly curved panels considering temperature dependency of material properties,
Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ IV, Trường Đại học Trần Đại Nghĩa, Thành phố Hồ Chí Minh (Đã chấp nhận đăng)
7 Tran Huu Quoc, Duong Thanh Huan and Tran Minh Tu (2018), Free vibration analysis of
functionally graded doubly curved shell panels resting on elastic foundation in thermal environment, International Journal of Advanced Structural Engineering, 10(3): p 275-283, DOI:
10.1007/s40091-018-0197-x
8 Duong Thanh Huan, Tran Huu Quoc and Tran Minh Tu (2018), Free vibration analysis of
functionally graded shell panels with various geometric shapes in thermal environment,
Vietnam Journal of Mechanics, 40(3): p 199-215, DOI: 7136/10776
Trang 4https://doi.org/10.15625/0866-MỞ ĐẦU
1 Lý do lựa chọn đề tài
Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM) là loại vật liệu composite tiên tiến, không thuần nhất ở mức độ vi mô, cấu thành từ hai hoặc nhiều hơn hai pha vật liệu với tỷ lệ thể tích các vật liệu thành phần biến đổi liên tục Các đặc trưng cơ học của vật liệu vì thế cũng biến đổi trơn và liên tục, nên tránh được s bong tách, s tập trung ứng suất tại các bề mặt tiếp xúc như thường xảy ra đối với vật liệu composite truyền thống
Để tính toán và thiết kế các kết cấu tấm/vỏ bằng vật liệu FGM một cách tối ưu, cần hiểu rõ quy luật ứng xử cơ học của vật liệu và kết cấu Phát triển mô hình và phương pháp tính các kết cấu bằng vật liệu FGM vì thế luôn thu hút s quan t m của các nhà khoa học trong và ngoài nước Trên cơ sở đó luận án l a chọn đề tài:
“Phân tích tĩnh và động kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt”
2 Mục đích, nội dung nghiên cứu
Xây d ng các hệ thức, phương trình chủ đạo và thiết lập nghiệm giải tích của bài toán ph n tích tĩnh và động kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt
Xây d ng mô hình, thuật toán Phần tử hữu hạn, sử dụng phần tử vỏ 3D suy biến
ph n tích tĩnh và động kết cấu vỏ thoải FGM có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ
Viết chương trình tính trên nền Matlab để khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước hình học, điều kiện biên và nhiệt độ đến độ võng, ứng suất và ứng xử động của vỏ thoải FGM hai độ cong
3 Đối tượng, ph m vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong có hình chiếu bằng là hình chữ nhật làm việc trong môi trường nhiệt độ
Phạm vi nghiên cứu luận án là tính toán độ võng, ứng suất, tần số dao động riêng
và đáp ứng động của vỏ thoải FGM hai độ cong theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) dưới tác dụng của tải trọng cơ học và nhiệt độ
4 Cơ sở khoa học của đề tài
Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) đã và đang được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh v c kỹ thuật nhờ có nhiều ưu điểm so với vật liệu composite truyền thống, đặc biệt là khả năng làm việc trong môi trường nhiệt độ cao mà không bị bong, tách lớp, không xảy ra hiện tượng tập trung ứng suất,… Trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT), luận
án đã x y d ng nghiệm giải tích, thuật toán và mô hình phần tử hữu hạn để ph n tích tĩnh và dao động của vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ Các khảo sát về ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kết cấu và nhiệt độ đến ứng xử cơ học của vỏ FGM là nguồn tham khảo hữu ích có giá trị khoa học và th c tiễn phục vụ công tác tính toán, thiết
kế và bảo trì
5 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp giải tích: Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) thiết lập các phương trình chủ đạo phân tích ứng xử tĩnh và động của vỏ thoải FGM hai độ cong với một số điều kiện biên thông dụng
Phương pháp phần tử hữu hạn: Xây d ng mô hình, thuật toán Phần tử hữu hạn và viết chương trình tính để ph n tích tĩnh và động kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong với một
số hình dạng và điều kiện biên khác nhau
6 Những đóng góp mới
Đã thiết lập lời giải giải tích ph n tích tĩnh, dao động riêng và dao động cưỡng bức của vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ với một số loại điều kiện biên thông dụng Khi xét bài toán động, vỏ được coi như là có ứng suất ban đầu do nhiệt độ g y ra
Trang 5 Vận dụng có hiệu quả phần tử 3D suy biến để x y d ng mô hình và thuật toán PTHH cho các vỏ có hình dạng được mô tả bởi một hàm toán học, do đó mở rộng được các đối tượng nghiên cứu, khảo sát
Đã viết bộ chương trình tính trên nền Matlab để khảo sát ảnh hưởng của các tham
số vật liệu; kích thước hình học; điều kiện biên; quy luật truyền nhiệt theo chiều dày; tỉ lệ
cản; tỉ số tần số của l c cưỡng bức/tần số dao động riêng (tỉ số Ω/ω) đến: độ võng, các
thành phần ứng suất, tần số dao động riêng cơ bản và đáp ứng chuyển vị theo thời gian của
vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG ĐỀ TÀI LUẬN ÁN
Chương này giới thiệu tóm tắt về vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) - các tính chất
cơ học của vật liệu; kết cấu bằng vật liệu FGM và ứng dụng; tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về ph n tích tĩnh và động các kết cấu vỏ FGM trong môi trường nhiệt Nghiên cứu tổng quan cho thấy các công bố trên chủ yếu tập trung đối với kết cấu tấm FGM Với kết cấu vỏ FGM, các nghiên cứu về ảnh hưởng nhiệt chủ yếu tập trung vào các đối tượng
vỏ kín: vỏ trụ, vỏ nón Các dạng vỏ hở: vỏ hai độ cong, panel trụ, panel cầu, các nghiên cứu chủ yếu về ứng xử phi tuyến với lời giải giải tích nên chỉ hạn chế với những điều kiện biên và hình dạng vỏ đơn giản Các nghiên cứu về kết cấu vỏ có dạng hình học phức tạp, cũng như khảo sát s làm việc của chúng trong môi trường nhiệt còn tương đối ít, đặc biệt là các ph n tích về ứng suất nhiệt còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu Với bài toán động, các nghiên cứu đã công bố của các tác giả khác có thể chia thành hai cách tiếp cận:
Cách tiếp cận thứ nhất (loại 1): Ảnh hưởng của nhiệt độ đến đáp ứng động của kết
cấu chỉ thông qua việc làm thay đổi cơ tính của vật liệu làm kết cấu
Cách tiếp cận thứ hai (loại 2): Ảnh hưởng của nhiệt độ đến đáp ứng động của kết
cấu thông qua việc làm thay đổi cơ tính vật liệu của kết cấu, có kể đến ứng suất ban đầu do nhiệt độ g y ra
Từ các ph n tích trên, đề tài nghiên cứu của luận án đã được l a chọn
CHƯƠNG 2 PHÂN TÍCH TĨNH VÀ ĐỘNG VỎ THOẢI FGM HAI ĐỘ CONG TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT THEO LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT BẰNG TIẾP
CẬN GIẢI TÍCH 2.1 Mở đầu
Trong chương này, luận án sẽ hệ thống các hệ thức theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất để x y d ng phương trình chuyển động cho vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ theo cách tiếp cận thứ hai: nhiệt độ vừa làm cho cơ tính của vật liệu thay đổi vừa làm phát sinh ứng suất trước trước khi vỏ dao động Phương pháp Galerkin và phương pháp tích ph n Newmark được sử dụng để giải hệ phương trình vi ph n nhằm tính toán độ võng, ứng suất, tần số dao động riêng và đáp ứng động của vỏ thoải FGM với một số điều kiện biên thông dụng
2.2 Hình d ng hình học của vỏ FGM hai độ cong
Xét vỏ thoải FGM hai độ cong (hình 2.1) có chiều dày không đổi, mặt trung bình là mặt cong x-y, và trục vuông góc với mặt trung bình là trục z Vỏ có hình chiếu bằng là hình chữ nhật với kích thước theo phương x và y lần lượt là a và b; các bán kính theo phương x
và y lần lượt là R x và R y
Trang 6R R
Các phân tích trong luận án là tuyến tính, do đó chuyển vị của vỏ khi chịu tải trọng cơ
học và nhiệt độ được mô tả như trên Hình 2.2 và có thể viết dưới dạng:
u p u t u d
Như vậy, nhiệt độ làm thay đổi cơ tính của vỏ (E, ν) và làm cho vỏ xuất hiện biến
dạng và ứng suất tĩnh trước khi vỏ dao động Do đó, để xét ảnh hưởng của nhiệt độ đến ứng
xử của vỏ, luận án tiến hành th c hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Ph n tích, tính toán bài toán tĩnh khi vỏ chịu tải trọng nhiệt độ và các tải
trọng tĩnh nhằm tính được độ võng, ứng suất của vỏ
- Bước 2: Ứng suất tính từ bài toán tĩnh trên được coi là ứng suất trước của vỏ khi vỏ
dao động Các thành phần ứng suất trước này do đó sẽ được tính đến khi thiết lập phương trình bài toán động của vỏ
2.4 Phân tích tĩnh vỏ thoải FGM hai độ cong
Trong phần này, luận án sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Reissner – Mindlin
để thiết lập các phương trình chủ đạo cho vỏ thoải FGM hai độ cong chịu tải trọng cơ học tĩnh và nhiệt độ nhằm tính toán các thành phần chuyển vị và ứng suất tĩnh t
Trang 7Trong luận án này, cơ tính vật liệu được giả thiết là biến đổi theo chiều dày của vỏ và
đẳng hướng trên mặt cong, do đó α xx = α yy = α (z, T)
2.4.4 Các thành phần nội lực
Các thành phần nội l c trên một đơn vị dài của vỏ được xác định bằng cách tích phân các thành phần ứng suất tương ứng theo chiều dày vỏ, ta nhận được quan hệ giữa ứng l c – biến dạng:
t
55 yz
0 0 0 0 0 0 A 0 Q
0 0 0 0 0 0 0 A Q
yy t
N N 0 M M 0 0 0
Áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần c c tiểu để thiết lập hệ phương c n bằng cho
vỏ thoải FGM hai độ cong như sau:
Trang 8Thay các thành phần biến dạng và ứng suất từ công thức (2.6), (2.7) vào công thức (2.16), sau đó thay (2.16) và (2.17) vào (2.15), th c hiện tích ph n, biến đổi và nhóm theo các biến phân t t t t t
u , v , w , ,
thu được hệ phương trình c n bằng của vỏ thoải hai
độ cong như sau:
xx
xz
M M
Thay các thành phần ứng l c từ các công thức (2.9), (2.10), (2.11) và (2.13) vào (2.18)
ta nhận được hệ phương trình cân bằng với năm ẩn số chuyển vị t t t t t t
u u , v , w , ,
2.4.6 Lời giải giải tích
Với việc l a chọn dạng nghiệm cho các ẩn chuyển vị u t t t t t t
u , v , w , , thỏa mãn các điều kiện biên mong muốn, hệ phương trình (2.19) có thể được giải với một số phương pháp khác nhau Trong phần này, luận án th c hiện lời giải với ba loại điều kiện biên sau:
Điều kiện bốn biên t a khớp (SSSS):
Hình 2.4 Một số điều kiện biên khảo sát
Giả thiết các thành phần chuyển vị là các chuỗi lượng giác kép như sau [69]:
Trang 9Để thỏa mãn các điều kiện biên như trong (2.20), (2.21) và (2.22), các hàm lượng giác X m x và Y n y được chọn như trong Bảng 2.1 của luận án [69]
Tải trọng cơ học và tải trọng nhiệt cũng được giả thiết là chuỗi lượng giác kép như sau:
được các thành phần chuyển vị và ứng suất
2.5 Phân tích động vỏ thoải FGM hai độ cong t ong môi t ƣờng nhiệt độ
Như đã trình bày ở trên, chuyển vị của vỏ có thể biểu diễn dưới dạng p t d
u u u Chuyển vị tĩnh t
u của vỏ được xác định thông qua việc giải bài toán tĩnh Trong phần này,
luận án thiết lập và giải hệ phương trình chuyển động để tính toán và ph n tích đáp ứng động d
u của vỏ trong môi trường nhiệt độ theo cách tiếp cận thứ hai Theo cách tiếp cận
này, các thành phần ứng suất do nhiệt độ g y ra được tính toán như trong mục 2.4 và được
coi là ứng suất ban đầu khi thiết lập hệ phương trình chuyển động của vỏ
Áp dụng nguyên lý Hamilton để thiết lập hệ phương trình chuyển động cho vỏ thoải FGM hai độ cong như sau:
Thay các thành phần biến dạng từ công thức (2.6), các thành phần ứng suất từ (2.34) vào công thức (2.16), sau đó thay (2.16), (2.17), (2.36) và (2.37) vào (2.33) (với lưu ý các chỉ số t
được đổi thành d
), th c hiện tích ph n và biến đổi thu được hệ phương trình chuyển động của vỏ thoải FGM hai độ cong chịu tải trọng động trong môi trường nhiệt Áp
Trang 10dụng phương pháp Galerkin (tương t như trình bày trong bài toán tĩnh), từ phương trình (2.38) ta thu được hệ phương trình dưới dạng thu gọn như sau:
M K K F ( t ) (2.45) trong đó: K ini là ma trận độ cứng do ứng suất ban đầu g y nên
2.5.1 Phân tích dao động tự do
Từ phương trình (2.44), bỏ qua ảnh hưởng của tải trọng ta được phương trình dao động t do của
vỏ thoải FGM hai độ cong Đặt d 0 i t
Giải hệ phương trình (2.52) với mỗi cặp (m, n) ta được một tần số dao động riêng của
vỏ là ω mn ứng với dạng dao động tương ứng
2.5.2 Phân tích dao động cưỡng bức
Phương trình (2.45) là phương trình dao động cưỡng bức không cản của vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ Nhiệt độ và các tải trọng tĩnh khác được xét đến trong
bài toán tĩnh và có ảnh hưởng đến bài toán động thông qua ma trận độ cứng [K ini] Do đó, vế phải của phương trình chỉ còn lại thành phần tải trọng động cơ học d
M C K K F t (2.54) trong đó [C] là ma trận cản, và được tính theo [98]:
C a M 1 a 2 K K ini (2.55)
với a 1 và a 2 là hệ số cản khối lượng và hệ số cản độ cứng Rayleigh
Sử dụng phương pháp tích ph n Newmark- để giải hệ phương trình (2.54) thu được đáp ứng chuyển vị theo thời gian của vỏ thoải FGM hai độ cong chịu tải trọng cơ học trong môi trường nhiệt độ
2.7 Xây dựng chương t ình tính – Phương pháp Giải tích
Trên cơ sở lý thuyết đã trình bày Luận án viết 03 chương trình máy tính theo lời giải giải tích trên nền Matlab, bao gồm:
o Chương trình ShellpanelStatic(GT): Tính toán độ võng và ứng suất của vỏ FGM
thoải hai độ cong chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ
o Chương trình ShellpanelVibration(GT): Tính toán tần số và dạng dao động
riêng của vỏ FGM thoải hai độ cong trong môi trường nhiệt
o Chương trình ShellpanelForcedvibration(GT): Tính toán, ph n tích đáp ứng
động của vỏ FGM thoải hai độ cong trong môi trường nhiệt độ
Các chương trình trên được th c hiện theo các bước như được trình bày trên các lưu
đồ trong Hình 2.6, Hình 2.7 và Hình 2.8 trong luận án
Như vậy, trong chương này, luận án đã hệ thống lại các hệ thức và x y d ng phương trình chuyển động cho kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong theo lý thuyết biến dạng cắt bậc
Trang 11nhất Luận án đã sử dụng phương pháp Galerkin và phương pháp Newmark để x y d ng lời giải giải tích tính toán độ võng, ứng suất, tần số dao động riêng và đáp ứng động cho loại vỏ này trong môi trường nhiệt độ với một số điều kiện biên thông dụng
Trên cơ sở đó, luận án đã x y d ng các chương trình máy tính d a trên các lời giải giải tích đã thiết lập ở trên
Tuy nhiên, giới hạn của mô hình giải tích th c hiện trong chương hai này là:
- Chỉ có thể tính toán được với một số dạng kết cấu dạng vỏ có độ cong không đổi như
vỏ trụ, vỏ cầu và vỏ yên ng a
- Chỉ tính được với một số ít điều kiện biên thông dụng
Trong chương ba, luận án thiết lập mô hình phần tử hữu hạn để ph n tích tĩnh và động
vỏ FGM với nhiều hình dạng khác nhau trong môi trường nhiệt độ Mô hình phần tử hữu hạn sẽ khắc phục những hạn chế của mô hình giải tích
Luận án đã có một số công bố liên quan đến nội dung chương này bao gồm: (1), (2),
(3), (4), (5), (6), (7) (trong “Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến
đề tài luận án”)
CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH TĨNH VÀ ĐỘNG VỎ FGM TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 3.1 Mở đầu
Trong Chương 2, luận án đã x y d ng nghiệm giải tích để ph n tích, tính toán tĩnh
và động vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ Tuy nhiên, hạn chế của lời giải giải tích là chỉ giải được kết cấu vỏ hai độ cong với một số điều kiện biên nhất định Chương này, luận án sử dụng phần tử 3D suy biến d a trên lý thuyết Mindlin để
x y d ng mô hình phần tử hữu hạn ph n tích tĩnh và động vỏ FGM Phương pháp phần
tử hữu hạn sẽ khắc phục được một số hạn chế của phương pháp giải tích như có thể tính toán với vỏ có nhiều hình dạng và điều kiện biên khác nhau
3.2 Hình d ng hình học của vỏ
ét vỏ FGM có hình dạng bề mặt được
mô tả bởi một hàm có dạng z f x, y ,
hình chiếu bằng của vỏ là hình chữ nhật có
kích thước a x b, vỏ có chiều dày h không
đổi như trên Hình 3.1
Trang 123.4 Phần tử 3D suy biến
Như thể hiện trên Hình 3.2, phần tử
3D suy biến là s rút gọn từ phần tử khối về
trong đó véc tơ V là véc tơ chỉ phương theo chiều dày và được tính thông qua tọa độ các 3
nút ở mặt trên và mặt dưới của phần tử khối như thể hiện trong Hình 3.3 Tuy nhiên, với
cách xác định hệ tọa nút như trên thì việc chia lưới phần tử phải được th c hiện như chia lưới phần tử khi sử dụng phần tử khối
Trong luận án này, một cách xác định hệ tọa độ nút được đề xuất bằng cách từ hàm
số biểu diễn bề mặt vỏ z f x, y F x, y,z z f x, y 0 ta dễ dàng có được véc tơ pháp tuyến tại một điểm bất kỳ K x , y K K trên mặt vỏ như sau:
K T
V F x , y ,F x , y ,1 (3.7) trong đó:
Sau khi xác định được véc tơ V 3, việc xác định véc tơ V và 1 V th c hiện như đã trình 2
bày ở trên Với cách làm này, việc chia lưới phần tử trở nên dễ dàng hơn và mô hình cho phép
Trang 13l m n là các cosin chỉ phương của hai véc tơ V , V 1 2
như được xác định trong mục 3.5.1; xi , yi là góc xoay của đoạn pháp tuyến
Phương trình (3.11) có thể viết lại dưới dạng:
u' x' v' y' u' v' '
y' x' u' w' z' x' v' w' z' y'