Hướng dẫn học sinh giải bài toán số phức trong chương trình lớp 12 nhằm nâng cao chất lượng dạy học tại trường THPT quảng xương 4

Lí thuyết về số phức là một ngành toán học mới,mà học sinh còn nhiều bỡ ngỡ vì một thời gian dài học quen với số thực.Với mục đích mở rộng tập hợp số để cho phương trình bậc n luôn có n

Mục lục

Trang

MỤC LỤC……….1

I MỞ ĐẦU 2

1 Lý do chọn đề tài 2

2.Mục đích nghiên cứu 3

3.Đối tượng nghiên cứu 3

4.Phương pháp nghiên cứu 3

II NỘI DUNG 4

1.Cơ sở lý luận khoa học 4

2.Thực trạng vấn đề 4

3.Nội dung 4

Nội dung 1……… 4

Nội dung 2……… 7

III KẾT LUẬN ……… 16

Tài liệu tham khảo ……….17

I Mở đầu

1/ Lý do chọn đề tài

Lí thuyết về số phức là một ngành toán học mới,mà học sinh còn nhiều bỡ ngỡ

vì một thời gian dài học quen với số thực.Với mục đích mở rộng tập hợp số để cho phương trình bậc n luôn có n nghiệm trên một tập hợp số khác tập hợp số thực Chính

vì lẽ đó lí thuyết số phức ra đời và được đưa vào trong chương trình toán lớp 12 nhằm cung cấp cho học sinh THPT những kiến thức cơ bản về số phức và trong các đề thi THPTQG, cho thấy vị trí quan trọng của ngành toán học này

Để có thể học tốt số phức học sinh phải nắm vững các khái niệm và các kiến thức cơ bản của số phức đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán và tình huống cụ thể Qua thực tiễn giảng dạy số phức cho học sinh lớp 12 THPT- chương trình chuẩn môn Toán và các em thi THPTQG tôi nhận thấy: đa số các

em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản như: số phức liên hợp,moodun,biểu diễn hình học của số phức,…các em chỉ biết giải bài toán số phức trong một số kiểu bài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt kiến thức về số phức để giải quyết các tình huống cụ thể

Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 12, học sinh thi THPTQG nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều dạng câu hỏi trong đề thi TNKQ về số phức, tôi đã chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh giải các bài toán số phức trong chương trình lớp 12 nhằm nâng cao chất lượng dạy học tại trường THPT Quảng Xương 4 ”

Nội dung gồm :

Nội dung 1: Kiến thức về số phức

Nội dung 2: Một số dạng câu hỏi TNKQ ôn tập thi THPTQG.

2/ Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các dạng toán cơ bản của số phức đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán và tình huống

cụ thể

3/ Đối tượng nghiên cứu

- Khách thể: Học sinh l2 thi THPTQG

- Đối tượng nghiên cứu: các khái niệm và các dạng toán cơ bản của số phức

- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về số phức trong chương trình SGK chuẩn môn toán lớp 12

4/Phương pháp nghiên cứu

- Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học

- Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải quyết các bài toán ở những lớp trước

II Nội dung

1.Cơ sở lý luận khoa học :

Đối với học sinh THPT, việc hiểu một khái niệm là điều cần thiết Song để học sinh hiểu sâu và có hứng thú cần cho học sinh thấy được ý nghĩa và tác dụng của khái niệm, đặc biệt cần vận dụng khái niệm đó vào giải một số bài toán cụ thể

Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế các tiết dạy về lý thuyết và bài tập số phức trong chương trình sgk chuẩn lớp 12 mà trọng tâm là thưc hiện các phép tính trên tập số phức Khi giải bài tập về số phức, người học cần phải biết vận dụng được lý thuyết vào trong thực hành.Các tiết dạy bài tập phải được thiết kế theo hệ thống từ dễ đến khó, từ đó có thể giúp học sinh tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất,

và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt

2.Thực trạng vấn đề

Trong chương trình toán học lớp 12 khái niệm về số phức, modul,số phức liên hợp … khá trừu tượng Các bài tập liên quan đến chúng nhiều, phong phú và đa dạng vì vừa liên quan đến kiến thức đại số vừa liên quan đến kiến thức hình học phẳng

Toán số phức có nhiều dạng hay đã và đang được khai thác trong các đề thi TNKQ Đứng trước một bài toán này, học sinh các trường THPT nói chung và trường THPT Quảng Xương IV nói riêng còn có những bài lúng túng Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đưa ra một số biện pháp dạy học và các dạng câu hỏi TNKQ thường gặp trong các dạng đề thi nhằm giúp học sinh giải quyết hiệu quả khi gặp một bài toán về số phức

3 Nội dung

Nội dung 1 : Phuơng pháp dạy học số phức

Giáo viên cần làm cho học sinh đạt đuợc các mục tiêu sau :

a Kiến thức: Giúp học sinh nắm được:

- Dạng đại số, biểu diễn hình học của số phức

- Phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức dưới dạng đại số, mođun của số phức, số phức liên hợp,căn bậc hai của số phức, giải phương trình bậc hai trên tập số phức

b Kỹ năng :

- Biểu diễn hình học của số phức

- Thực hiện các phép toán trên tập số phức dưới dạng đại số

- Biết tìm căn bậc hai của số phức và giải phương trình bậc hai

c Thái độ:

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác

- Thấy được ứng dụng của toán học trong thực tiễn Qua đó học sinh thêm yêu môn toán

d Các năng lực hướng tới:

* Năng lực chung: Rèn luyện kĩ năng tính toán trên tập số phức

*Năng lực chuyên biệt:

- Giải một số phương trình qui về phương trình bậc hai trên tập số phức

e Mô tả mức độ câu hỏi, bài tập đánh giá năng lực học sinh qua từng nội dung:

cho học sinh Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng

thấp cao

Số phức

Chỉ ra phần thực, phần ảo…

Tìm modun, số phức liên hợp…

Thực hiện các phép toán cho nhiều số phức…

Tìm quỹ tích các điểm biểu diễn hình học của số phức

-Thưc hiện các phép toán trên tập số phức

- Tìm quỹ tích các điểm biểu diễn hình học của số phức

Căn bậc

hai của số

phức và

phương

trình

bậc hai

Chỉ ra phần thực và ảo của số phức…

Tìm căn bậc hai của số phức…

Giải phương trình bậc hai trên tập số phức…

Giải phương trình qui về phương trình bậc hai trên tập

só phức…

Giải phương trình bậc hai trên tập số phức

Giải phương trình qui về phương trình bậc hai trên tập

số phức

f Biên soạn câu hỏi và bài tập theo các mức độ nhận thức.

hiểu

Vận dụng thấp Vận dụng cao

I Số

phức

Dạng

đại số

của

số

phức

-Tìm phần thực, phần

ảo của số phức

-Tìm số phức liên hợp

VD: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :

a.z = 1 – 2i b.z = - e c.z = 3i VD: Tìm số phức liên hợp của các

số phức sau :

-Biểu diễn hình học của số phức

- Tính modun của

số phức

- Thực hiện các phép cộng, trừ,nhân, chia đơn giản

VD 1) Hãy tính modun và xác định tọa độ

Thực hiện các phép cộng, trừ, nhân, chia nhiều số

VD: Tính : a.(1 + 2i)(5 –3i) : 2i

b.(2 –i) : (5+4i)(1+i) c.(2+i)2 – (1 - i)3

-Thực hiện các phép tính

phức tạp

- Tìm quỹ tích các điểm

biễu diễn số phức

- Giải điều kiện cho trước tìm z

VD:

1.Tính : a.(1+3i)3(4 – 3i)2(2+i)2 (3+80i+i3)

b.(3 - i )16.(1+2i)16 2.Trong mặt phẳng Oxy,

tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết :

a z = 1 + 2i

b z = -2

c z = 3i

điểm biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng tọa

độ : a.z1 = 2 –3i b.z2 = - i c.z3 = 3

d.z4 = 0 2) Tính : a.z3 = z1 + 2z2

b.z4 = z3: z1 c.z3.z4

|z – (3 – 4i)| = 2 3.Tìm số phức z thỏa mãn:

|z|2 =2 và z2 là số ảo 4.Tìm số phức z thỏa mãn:

z z









cao II.

Căn

bậc hai

của số

phức

và

phương

trình

bậc hai

1.Căn bậc

hai của số

phức

Phát biểu định nghĩa căn bậc hai của số phức

-Xác định được phần thực a,và phần

ảo b

Lập được

hệ phương trình tìm căn bậc hai

Giải được phương trình tìm căn bậc hai

Giải điều kiện tìm z rồi sau

đó tìm căn bậc hai

Ví dụ 1:

Xác định phần thực a và ảo b của :

a.Z1 = - i b.Z2 = 1 – i c.Z3 = 2 + 2i

Ví dụ 2:

Lập các hệ phương trình tìm a,

b của

w = a +bi biết w lần lượt là căn bậc hai của các số phức

Ví dụ 3:

Giải các phương trình đó để tìm căn bậc hai

Ví dụ 4: Tìm căn bậc hai của z biết :

z2 = |z|2 + z

ở vd1

2.Phương

trình bậc

hai

Phát biểu(viết

ra được công thức phương trình bậc hai):

0

a z bz c a

 -Xác định được các hệ số

a, b, c

-Tính được biệt thức ( ')

 

- viết được công thức nghiệm

Giải được một số phương trình bậc hai, hoặc biến đổi đơn giản về bậc hai

Giải một số phương trình qui về phương trình bậc hai trên

tập số phức

Ví dụ 5:

Xác định hệ

số a,b,c trong các phương trình bậc hai sau:

2

a z  z 

2

b z  

2

c  z  z

Ví dụ 6:

-Tính biệt thức ( ')  của phương trình :

2 2 2

c z

 

Ví dụ 7:

Giải các phương trình sau:

2

a z z

Ví dụ 8: 1.Giải phương Trình:

(z+1)(z+2) (z+3)(z+4)

= 24

2 Cho z1, z2

là hai nghiệm phức của ptrình :

z2+2z+10 =

0 Tính giá trị của

biểu thức

A =

|z1|2 + |z2|2

Kết luận : Phương pháp ở đây, tôi đã sử dụng là: Hệ thống hóa khái niệm về số phức

và các khái niệm khác có liên quan , giải thích thông qua các ví dụ từ mô hình cụ thể đến các mô hình trừu tượng Sau đó hướng dẫn học sinh giải các bài tập tuơng ứng

N

ội dung 2 : Một số dạng câu hỏi về số phức trong đề thi TNKQ

Câu 1 : Cho phương trình x2 – 2x + 2 = 0 Gọi A và B lần lượt là các điểm biểu diễn các nghiệm của pt Khi đó diện tích tam giác OAB là :

HD : - Giải phuơng trình tìm tọa độ A , B

- Áp dụng công thức tính diện tích tam giác

Câu 2 : Cho 2 số phức z1 = - 1 + i ; z2 = - 2 + 2i Khi đó bằng :

HD : Áp dụng qui tắc thực hiện phép chia

Câu 3 : Cho pt : 2x2 – 6x + 5 = 0 Gọi z1 , z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình Kết luận nào sau đây là đúng :

A.z12 + z22 = B z12 - z22 = 7/4 C z12.z22 = 25/4 D z22 – z12 = 7/4

HD : - Giải phuơng trình tìm nghiệm

- Thay vào vế trái để tìm kết quả

Câu 4 : Cho số phức z = 1 – i Lựa chọn phương án đúng :

A.z3 = 2 – 2i B.z3 = 2 + 2i C.z3 = - 2 – 2i D.z3 = -2 + 2i

HD : Thay z vào vế trái để tìm kết quả

Câu 5 : Cho các số phức z1 = 1 + i ; z2 = - 2 + 2i ; z3 = - 1 – i được biểu diễn lần lượt bởi các điểm A , B, C trên mặt phẳng Gọi M là điểm thõa mãn :

Điểm M biểu diễn số phức :

A.z = 6i B.z = 2 C.z = - 2 D z = - 6i

HD : - Tìm tọa độ các điểm A, B, C

- Tìm tọa độ điểm M => số phức cần tìm

Câu 6 : Cho 3 số phức z1 = 1 – i ; z2 = - 1 + i ; z3 = 1 + i Lựa chọn phương án đúng :

A B z3 = C = z1 + z2 D

= 2

HD : Thay vào từng biểu thức để lựa chọn phuơng án đúng

Câu 7 : Mệnh đề nào sau đây sai :

bk R = 1

D Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau

HD : Sử dụng kiến thức về số phức

Câu 8 : Cho số phức z = - 3 – (3 Số phức liên hợp với số phức z là :

D

HD : Sử dụng kiến thức về số phức

Câu 9 : Cho hai số phức z1 = (1 – i)(2i – 3) và z2 = (1 + i)(3 – 2i) Lựa chọn phương

án đúng :

A.z1.z2 B.z1/ z2 C z1 D.z1 – 5z2

HD : Thay số phức vào vế trái để tìm kết quả

Câu 10 : Cho số phức : z = (1+ ) Kết luận nào sau đây là sai ?

HD : Thay số phức vào vế trái để tìm kết quả

Câu 11 : Gọi z1, z2 là hai nghiệm của pt z2 + 1 = 0.Tính : M = z14 + z24

A.2i B.0 C.-2i D.2

HD : - Giải phuơng trình tìm nghiệm

- Thay vào vế trái để tìm kết quả

Câu 12 : Cho z = - i Tính A = z3 +

A.- i B.0 C.2i D.2

HD : Thay số phức vào A để tìm kết quả

Câu 13 : Hệ phương trình Có bao nhiêu nghiệm phức phân biệt ?

A.0 B.1 C.2 D.4

HD : Đưa về phuơng trình đại số tìm nghiệm

Câu 14 : Nghiệm của phương trình - 2z2 + 3z – 2 = 0 trong tập số phức là :

D

HD : Giải phuơng trình bậc hai

Câu 15 : Tìm số phức z biết : , z = 25

A.z = 5; z = 3 – 4i B.z = -5 ; z = 3 – 4i C.z = 5; z = 3 + 4i D.z = -5; z = 3 + 4i

HD : Gọi dạng số phức z

- Đưa điều kiện giả thiết vào giải hệ phuơng trình tìm z

Câu 16 : Cho z = 1 – i, phần ảo của số phức w = ( )3 + 1 + z + z2 bằng :

A.0 B.- 1 C.- 2 D.- 3

HD : Áp dụng qui tắc tính

Câu 17 : Cho số phức z = 3 – i .Điểm M biểu diễn số phức có tọa độ là :

A.M(3;-1) B.M(3;1) C.M(- 3;- 1) D.M(- 3;1)

HD : Tìm số phức liên hợp rồi tìm tọa độ điểm M

Câu 18 : Trong mặt phức cho tam giác ABC vuông tại C Biết rằng A, B lần lượt biểu

diễn các số phức : z1 = - 2 – 4i; z2 = 2 – 2i Khi đó có một điểm C biểu diễn số phức :

A.z = 2 – 4i B.z = - 2 + 2i C.z = 2 + 2i D.z = 2 – 2i

HD : Tìm tọa độ điểm C

- Rồi tìm số phức

Câu 19: Cho 2 số phức z1 = 1+ i , z2 = 1 – i .Kết luận nào sau đây là sai?

A B.z1 + z2 = 2 C |z1.z2| = 2 D | z1 – z2| =

HD : Thay vào vế trái để tìm kết quả đúng

Câu 20 : Kết quả A = i5 là :

A.1 B.-i C.i D.-1

HD : Thực hiện phép tính

Câu 21 : Cho số phức z = 2 – 2i Kết luận nào sau đây là sai?

A.Số phức liên hợp của z là 2( 1 + )

B.Điểm M biểu diễn số phức z có tọa độ là M( 2 ; -2 )

C.z3 = 64 D

HD : Thực hiện phép tính tìm kết quả

Câu 22 : Trong mặt phẳng phức cho 2 điểm A( 0 ; 4 ), B ( 0 ; - 3) Điểm C thỏa mãn :

A.z = 4 – 3i B.z = -3 –4i C.z = -3 +4i D.z = 4 + 3i

HD : Tìm tọa độ điểm C

- Số phức cần tìm

Câu 23 : Cho số phức z = 2i Lựa chọn phương án đúng :

A.z-2 = ¼ B.|z| - 2 = 4 C z3 + + z = D.z6 = 64

HD : Thay vào vế trái tìm kết quả

Câu 24 : Cho z1 = 2i , z2 = 1 + i Khi đó bằng :

A ( i – 1) B.- ( i + 1) C ( 1 – i) D ( i + 1)

HD : Thực hiện quy tắc chia

Câu 25 : Cho 2 số phức z1 = 2 - , z2 = 4 + 3i Lựa cho phương án đúng :

A.| z1 + z2| B | z1 – z2 |= 5 C.| z1.z2| = D =

HD : thay vào vế trái tìm kết quả

Câu 26 : Trong mặt phẳng phức cho ba điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số phức

z1 = 2; z2 = 4 + i ; z3 = -4i M là điểm sao cho :

Khi đó M biểu diễn số phức : A.z = 18 –i B.z = -9 + 18i C.z = 2 – i D.z = -1 + 2i

HD : Tìm tọa độ điểm M

- Suy ra số phức

Câu 27 : Số phức nào sau đây là số thực?

D.z =

HD : Thực hiện phép tính tìm kết quả

Câu 28 : Khẳng định nào sau đây là sai :

A.|z| = | |

B.Điểm biểu diễn số phức z và đối xứng nhau qua trục Ox

C.Phần thực và phần ảo của số phức z bằng nhau khi và chỉ khi z = 0

D.|z| = 1 nếu điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm O bk R = 1

HD : Sử dụng kiến thức về số phức

Câu 29: Trong mặt phẳng phức cho điểm A(2 ; - 1).Điểm A’ đối xứng với A qua

đường phân giác của góc phần tư thứ nhất Điểm A’ biểu diễn số phức :

A.z = -1 + 2i B.z = 1 + 2i C.z = -2 + i D.z = 2 + i

HD : Tìm tọa độ điểm A’

- Suy ra số phức z

Câu 30 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức z1 = 1 + 2i B là điểm thuộc đường thẳng y = 2 sao cho tam giác OAB cân tại O B biểu diễn số phức nào sau đây :

A.z = -1 + 2i B.z = 1 – 2i C.z = -1 – 2i D.z = 1 + 2i

HD : Tìm tọa độ điểm B

- Số phức z cần tìm

Câu 31 : Nghiệm của phương trình z2 + 2z + 5 = 0 trong C là :

D.z1,2 = -1

HD : Giải phuơng trình bậc hai

Câu 32 : Phần ảo của số phức z = 1 + (1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…+(1+i)20 bằng :

A.210 B.210 + 1 C.210 – 1 D.- 210

HD : Sử dụng công thức ( zn – 1 )

Câu 33 : Tìm số phức z, biết

D

HD : Thực hiện phép tính tìm số phức liên hợp

- Từ đó tìm số phức z

Câu 34 : Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của pt z2 + 2z + 10 = 0

.Tính giá trị của biểu thức : B = |z1|2 + |z2|2

A.B =2 B.B = C.B = 20 D.B = 10

HD : Giải phuơng trình tìm nghiệm

- Thay vào biểu thức