Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)

Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆y (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Thủy

THÁI NGUYÊN – 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chưa được công bố trong bất cứ công trình nào

Tác giả

Phạm Thị Ngọc Hường

LỜI CẢM ƠN

Sau khoảng thời gian học tập tại Trường ĐHSP Thái Nguyên, tôi đã hoàn thành luận văn cao học của mình Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS Phạm Thị Thủy, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện

để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn cao học đã đã dành thời gian đọc và cho tôi những ý kiến quý báu để cuốn luận văn này được hoàn thiện

Tôi cũng xin tri ân các thầy cô trong khoa Toán Trường ĐHSP Thái Nguyên

đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt thời gian tôi theo học cao học tại trường Xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường ĐHSP Thái Nguyên, phòng SĐH

đã hộ trợ tôi trong suốt khóa học

Do thời gian và khả năng của bản thân còn hạn chế nên luận văn của tôi không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô

và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Tác giả luận văn

Phạm Thị Ngọc Hường

MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Một số quy ước và kí hiệu iv

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích của luận văn 1

3 Phương pháp nghiên cứu 1

4 Bố cục của luận văn 1

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm 3

1.1.1 Không gian tuyến tính 3

1.1.2 Không gian metric 4

1.1.3 Phương trình đạo hàm riêng 5

1.2 Không gian hàm 8

1.2.1 Đạo hàm suy rộng 8

1.2.2 Không gian 𝐿𝑝 9

1.2.3 Không gian Sobolev 10

1.3 Toán tử 10

1.3.1 Toán tử ∆𝛾 10

1.3.2 Một số tính chất 12

Chương 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG VIỆC TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN CHỨA TOÁN TỬ ∆𝜸 15

2.1 Bài toán 15

2.1.1 Bài toán 1 15

2.1.2 Bài toán 2 16

2.2 Sự tồn tại nghiệm 18

2.2.1 Sự tồn tại nghiệm của Bài toán 1

2.2.2 Sự tồn tại nghiệm của Bài toán 2 26

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU

Trong toàn bộ luận văn, ta thống nhất một số kí hiệu như sau:

‖𝑥‖ chuẩn Euclid của phần tử x trong không gian ℝ𝑁

𝐶𝑘(Ω) không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trong không gian Ω

𝐻′ không gian đối ngẫu của không gian Banach H

〈 , 〉𝐻 tích vô hướng trong không gian H

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm trở lại đây, bài toán biên luôn là chủ đề nghiên cứu được nhiều chuyên gia quan tâm bởi những ứng dụng rộng rãi của nó trong các ngành vật lý, hóa học và sinh học Đặc biệt là việc nghiên cứu điều kiện tồn tại và không tồn tại nghiệm của bài toán biên có chứa phương trình elliptic suy biến

là rất khó, phức tạp Do vậy các kết quả đạt được chiếm vị trí quan trọng trong phát triển lý thuyết toán học

Việc giải tìm nghiệm của các bài toán này rất phức tạp Bởi vậy người ta dùng nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán biên có chứa phương trình elliptic suy biến Trong đó phương pháp biến phân: phương pháp điểm tới hạn của một phiến hàm có nhiều ưu điểm đã và đang được nghiên cứu bởi rất nhiều các nhà toán học trong và ngoài nước

Xuất phát từ những lý do trên, tôi đã lựa chọn vấn đề nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình elliptic suy biến làm nội dung nghiên cứu của luận văn với tên gọi:

“Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình

elliptic suy biến chứa toán tử ∆𝜸”

2 Mục đích của luận văn

Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình elliptic suy biến chứa toán tử ∆γ

3 Phương pháp nghiên cứu

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình elliptic suy biến, tôi sử dụng phương pháp biến phân: phương pháp điểm tới hạn của một phiếm hàm

4 Bố cục của luận văn

Nội dung của luận văn gồm có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong Chương này tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm, các không gian hàm, toán tử và một số kiến thức bổ trợ được sử dụng trong Chương 2

Chương 2: Trình bày về việc sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm

nghiệm của phương trình elliptic suy biến chứa toán tử ∆γ của 2 bài toán

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm, các không gian hàm, toán tử và một số kiến thức bổ trợ được sử dụng trong Chương 2 Các kiến thức trong chương được trích dẫn từ các tài liệu [2],[3],[4]

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm

1.1.1 Không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp 𝑋 ≠ ∅ cùng với một phép toán hai ngôi viết theo

lối cộng (+) và một ánh xạ 𝜑: 𝐾 × 𝑋 → 𝑋 Với mỗi 𝛼 ∈ 𝐾 và mỗi 𝑥 ∈ 𝑋 thì phần

tử 𝜑(𝛼, 𝑥) được gọi là tích của số 𝛼 với phần tử x và được kí hiệu là 𝛼𝑥 Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:

1) 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋;

2) 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋;

3) Trong X tồn tại phần tử 𝜃 sao cho 𝑥 + 𝜃 = 𝜃 + 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋;

4) Với mỗi phần tử 𝑥 ∈ 𝑋, tồn tại phần tử đối (−𝑥) ∈ 𝑋 sao cho

Khi đó ta nói rằng X là một không gian tuyến tính trên trường K, K là trường

số thực ℝ hoặc trường số phức ℂ và mỗi phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 được gọi là một vectơ; còn các điều kiện trên được gọi là các tiên đề về không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.2 Cho X là một không gian tuyến tính trên trường K

Các vectơ 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋 gọi là độc lập tuyến tính nếu ∑𝑛𝑖=1𝛼𝑖𝑥𝑖 = 𝜃 kéo theo 𝛼𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛

Các vectơ 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋 gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không độc lập tuyến tính

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường K

Một hệ vectơ trong X gọi là hệ sinh của X nếu mọi vectơ của X đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó

Nếu X có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì X được gọi là một không gian tuyến tính hữu hạn sinh

Một hệ vectơ trong X gọi là một cơ sở của X nếu mọi vectơ của X đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử X là không gian tuyến tính hữu hạn sinh Khi đó X có cơ

sở hữu hạn và số phần tử của các cơ sở trong X đều như nhau Số đó được gọi là

số chiều của không gian tuyến tính X

Nếu X là một không gian tuyến tính trên trường K có số chiều n ta viết

𝑑𝑖𝑚𝑋 = 𝑛 hoặc 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑋 = 𝑛

Định nghĩa 1.1.5 Một tập con khác rỗng M của không gian tuyến tính X gọi là

một không gian con tuyến tính của X nếu nó ổn định với hai phép toán của X, nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau:

1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀, 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑀;

2) ∀𝑥 ∈ 𝑀, ∀𝛼 ∈ 𝐾, 𝛼𝑥 ∈ 𝑀

Định nghĩa 1.1.6 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K Ánh xạ

A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn:

1) 𝐴(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 với mọi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋;

2) 𝐴(𝛼𝑥) = 𝛼𝐴𝑥 với mọi 𝑥 ∈ 𝑋, 𝛼 ∈ 𝐾

A cũng được gọi là toán tử tuyến tính Khi đó, nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất Khi Y = K thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính

1.1.2 Không gian metric

Cho X là một tập tùy ý, khác rỗng

Định nghĩa 1.1.7 Một metric trong X là một ánh xạ

𝜌: 𝑋 × 𝑋 → ℝ của tích 𝑋 × 𝑋 vào đường thẳng thực ℝ, thỏa mãn các điều kiện sau đây:

Định nghĩa 1.1.7 Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ

bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X

1.1.3 Phương trình đạo hàm riêng

1.1.3.1 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng

Phương trình liên hệ giữa ẩn hàm 𝑢(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), các biến số độc lập

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 và các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng Nó có dạng:

Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của hàm u có mặt trong phương trình được gọi là cấp của phương trình

Ví dụ 1: Phương trình đạo hàm riêng cấp một của hàm hai biến 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) có dạng:

1.1.3.2 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu như hàm F tuyến tính đối với ẩn hàm 𝑢 = 𝑢(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) và tất cả các đạo hàm riêng của ẩn hàm

Ví dụ 1 Khi 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) ta có phương trình:

𝑎(𝑥, 𝑦)𝜕

2𝑢 𝜕𝑥2+ 2𝑏(𝑥, 𝑦) 𝜕

là phương trình tuyến tính cấp hai tổng quát đối với ẩn hàm 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) vì: Nếu

ta đặt vế trái của phương trình (2.2) bằng hàm F thì trong phương trình này hàm

F tuyến tính với ẩn hàm u và các đạo hàm riêng của ẩn hàm u

Ví dụ 2 Cho phương trình đạo hàm riêng cấp 3 của hàm 2 biến

Xét một điểm (𝑥0, 𝑦0) cố định Phương trình (1.4) tại điểm (𝑥0, 𝑦0) được gọi là:

1 Phương trình thuộc loại elliptic (hay phương trình elliptic) nếu như tại

điểm đó 𝑏2− 𝑎𝑐 < 0

2 Phương trình thuộc loại hypebolic (hay phương trình hypebolic) nếu như

tại điểm đó 𝑏2− 𝑎𝑐 > 0

3 Phương trình thuộc loại parabolic (hay phương trình parabolic) nếu như

tại điểm đó 𝑏2− 𝑎𝑐 = 0

Nếu như phương trình (1.4) thuộc một loại nào đó tại mọi điểm trong miền G thì

ta nói rằng phương trình thuộc loại đó trong miền G

Người ta chứng minh được rằng qua phép biến đổi bất kì

𝜉 = 𝜉(𝑥, 𝑦),

𝜂 = 𝜂(𝑥, 𝑦), với 𝜉(𝑥, 𝑦), 𝜂(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶2(𝐺) và

𝐽 = |𝜂𝜉𝑥 𝜉𝑦

𝑥 𝜂𝑦| = 𝜉𝑥𝜂𝑦 − 𝜉𝑦𝜂𝑥 = 𝐷(𝜉, 𝜂)

𝐷(𝑥, 𝑦) ≠ 0, (1.5) loại của phương trình sẽ không thay đ,uổi Từ đó thông qua phép đổi biến (𝑥, 𝑦) → (𝜉, 𝜂), ta sẽ đưa phương trình được xét về phương trình có dạng chính tắc Thật vậy, với phép đổi biến ở trên, ta có:

𝐷(Ω) = ⋂ 𝐷𝑘(Ω).

∞

𝑘=1

𝐷(Ω) là không gian tuyến tính các hàm khả vi vô hạn, có giá compact trong Ω

Định nghĩa 1.2.1 Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f là một phiếm

hàm tuyến tính liên tục trên 𝐷(Ω)

Hàm suy rộng f tác động lên mỗi 𝜑 ∈ 𝐷(Ω) được kí hiệu là 〈𝑓, 𝜑〉

Hai hàm suy rộng f,g được gọi là bằng nhau nếu:

𝐷𝛼(𝑓): 𝜑 ⟼ (−1)|𝛼|〈𝑓, 𝜑〉, với 𝜑 ∈ 𝐷(Ω)

Nhận xét

1 Với mỗi 𝛼 ∈ ℤ+𝑛, 𝑓 ∈ 𝐷(Ω), đạo hàm suy rộng cấp 𝛼 của hàm f trong Ω là

một hàm suy rộng, nói cách khác, đạo hàm suy rộng 𝐷𝛼𝑓 là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ 𝐷(Ω) vào ℂ vì:

 Với mỗi 𝜆, 𝜇 ∈ ℂ; 𝜑, 𝜓 ∈ 𝐷(Ω) ta có:

〈𝐷𝛼𝑓, 𝜆𝜑 + 𝜇𝜓〉 = (−1)|𝛼|〈𝑓, 𝐷𝛼(𝜆𝜑 + 𝜇𝜓)〉

= (−1)|𝛼|(𝜆〈𝑓, 𝐷𝛼𝜑〉 + 𝜇〈𝑓, 𝐷𝛼𝜓〉) = (−1)|𝛼|(𝜆〈𝐷𝛼𝑓, 𝜑〉 + 𝜇〈𝐷𝛼𝑓, 𝜓〉)

 Với 𝜑𝑘 ∈ 𝐷(Ω), 𝑘 = 1,2, … , 𝐷lim

𝑘→∞ 𝜑𝑘 = 0 thì:

𝐷lim𝑘→∞ 𝐷𝛼𝜑𝑘 = 0, 𝛼 ∈ ℤ+𝑛, nên lim

𝑘→∞〈𝐷𝛼𝑓, 𝜑𝑘〉 = lim

𝑘→∞〈𝑓, 𝐷𝛼𝜑𝑘〉 = 0

2 Mọi hàm suy rộng 𝐷′(Ω) đều có đạo hàm

3 Phép toán đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm

Chú ý rằng 𝐿𝑝(Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < 𝑝 < +∞

Định nghĩa 1.2.4 𝐿∞(Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được

và bị chặn hầu khắp trên Ω với chuẩn:

‖𝑢‖𝐿𝑝 (Ω) ≔ 𝑒𝑠𝑠 𝑠𝑢𝑝

𝑥∈𝛺|𝑢(𝑥)|

1.2.3 Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.2.5 𝑊𝑝𝑚(Ω), 1 ≤ 𝑝 < ∞ là không gian bao gồm tất cả các hàm

𝑢(𝑥) ∈\𝐿𝑝(Ω), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp 𝛼, |𝛼| ≤ 𝑚 thuộc

𝐿𝑝(Ω) và được trang bị chuẩn

Ta kiểm tra được 𝑊𝑝𝑚(Ω) là một không gian Banach với 1 ≤ 𝑝 < ∞ và là không gian Hilbert với 𝑝 = 2 Không gian 𝑊𝑝𝑚(Ω) với chuẩn trên được gọi là không gian Sobolev

được gọi là toán tử Grushin

Định nghĩa 1.3.1 Không gian 𝑆𝛾𝑝(Ω) (1 ≤ 𝑝 ≤ +∞) gồm tất cả các hàm 𝑢 ∈

𝐿𝑝(𝛺) mà 𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝑢 ∈ 𝐿𝑝(Ω) với mọi 𝑗 = 1,2, … , 𝑁.Ta định nghĩa chuẩn trong không gian này như sau

‖𝑢‖𝑆

𝛾𝑝(Ω) = {∫(|𝑢|𝑝 + ∑ |𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝑢|𝑝)𝑑𝑥

𝑁

𝑗=1 Ω

}

1/𝑝

Nếu p = 2, ta có thể định nghĩa tích vô hướng trong không gian 𝑆𝛾2(Ω) với

1.3.2 Một số tính chất

𝛾,02 (Ω) = (∫ ∑ |𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝜙𝜃|2d𝑋

𝑁

𝑗=1 Ω

)

1 2

= (∫ 1

𝜃𝑁 ̃∑ |𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝜙𝜃|2𝑁

𝑗=1

𝑑𝜃𝜀1𝑥1𝑑𝜃𝜀2𝑥2… 𝑑𝜃𝜀𝑁𝑥𝑁Ω

)

1 2

)

1 2

Do 𝑁̃

2− 1 − 𝑁̃

𝑝(𝜏) > 0, nên 𝐴𝜃 ⟶ ∞ khi 𝜃 ⟶ ∞

Định nghĩa 1.3.4 Cho H là không gian Banach Ánh xạ E : H → ℝ được gọi là

khả vi Fréchet tại điểm u ∈ 𝐻 nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính bị chặn DE(u) ∈ 𝐻

thỏa mãn

|𝐸(𝑢 + 𝑣) − 𝐸(𝑢) − 𝐷𝐸(𝑢)(𝑣)|

khi ‖𝑣‖𝐻 → 0

Khi đó DE(u) được gọi là đạo hàm Fréchet của E tại u Hơn nữa, đạo hàm của

E tại u theo hướng v khí hiệu bởi 〈 𝑣, 𝐷𝐸(𝑢)〉 ≔ 𝐷𝐸(𝑢)(𝑣)

Ánh xạ E là thuộc lớp 𝐶1 nếu ánh xạ u ⟼ 𝐷𝐸(𝑢) là liên tục

Định lí 1.3.5 Cho H là không gian Banach phản xạ và M ⊂ 𝐻 là tập đóng yếu

trong H Giả sử E : M ⟶ ℝ ∪ +∞ là bức trên M, tức là

1) E(u) ⟶ ∞ khi ‖𝑢‖𝐻 ⟶ ∞, u ∈ 𝑀;

Và E là nửa liên tục dưới yếu trên M, tức là

2) Với mỗi u ∈ 𝑀 dãy {𝑢𝑛} ⊂ 𝑀, 𝑢𝑛 ⇀ 𝑢 trong H thì

2.1 Bài toán

Trong Chương 2, ta đi tìm nghiệm của hai bài toán sau:

Và 𝑓 ∈ 𝐶(𝛺̅ × ℝ, ℝ) thỏa mãn một số giả thiết sau:

(H1) Tồn tại các hằng số 𝛼 ≥ 1 và 𝐶0 ≥ 0 sao cho

𝐹(𝑥, 𝑡) ≤ 0 𝑣ớ𝑖 |𝑡| ≤ 𝛿, 𝑥 ∈ Ω

2.1.2 Bài toán 2

Ta xét bài toán sau

với 𝛼, 𝛽 là các số thực không âm

Ta đưa ra các giả thiết sau:

(𝐵2) Với M > 0 bất kì

𝑉𝑜𝑙({𝑥 ∈ ℝ𝑁, 𝑏(𝑥) ≤ 𝑀}) < ∞

2.2 Sự tồn tại nghiệm

2.2.1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán 1

Giả sử Ω là một miền bị chặn có biên trơn trong ℝ𝑁, N ≥ 2 Ta xét các toán

Ta giả sử nó có các thuộc tính sau:

1) Tồn tại mở rộng của nửa nhóm {𝛿𝑡}𝑡>0, trong đó

𝛿𝑡: ℝ𝑁 → ℝ, 𝛿𝑡(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) = (𝑡𝜀1𝑥1, … , 𝑡𝜀𝑁𝑥𝑁),

1 = 𝜀1 ≤ 𝜀2 ≤ ⋯ ≤ 𝜀𝑁, như vậy 𝛾𝑗 𝑙à 𝛿𝑡− độ đồng nhất với cấp 𝜀𝑗 - 1,2,…

4) Đẳng thức 𝛾𝑗(𝑥) = 𝛾𝑗(𝑥∗), 𝑗 = 1,2, … , 𝑁, không đổi với 𝑥 ∈ ℝ𝑁, khi đó

= ∫ 𝑓(𝑥, 𝑢)𝑣𝑑𝑥Ω

Ω Ω

𝑆𝛾,02 (Ω)

Định nghĩa 2.2.2 Ta nói I ∈ 𝐶1(𝑆𝛾,02 (Ω), ℝ) thỏa mãn điều kiện Cerami tại c ∈

ℝ ((𝐶𝑒)𝑐 ngắn) nếu dãy bất kì {𝑢𝑛}𝑛=1∞ ⊆ 𝑆𝛾,02 (Ω) với

Mệnh đề 2.2.4 Giả sử không gian Banach thực B được phân tích thành tổng

trực tiếp 𝐵 = 𝐵1⊕ 𝐵2, ta có hai dãy không gian con sau:

4) Với mọi 𝑚 ∈ ℕ, 𝐼(𝑢) → −∞, như vậy ‖𝑢‖𝐵 → ∞, 𝑢 ∈ 𝐵𝑚1 ⊕ 𝐵2

Do đó I có ít nhất hai điểm tới hạn

Mệnh đề 2.2.5 Cho E là không gian Banach vô hạn chiều, và I ∈ 𝐶1(E, ℝ) là một hàm số chẵn thỏa mãn (PS) và như vậy I(0)=0 Giả sử rằng E = 𝑉 ⊕ 𝑋, do

đó I là hữu hạn chiều, và I thỏa mãn các điều kiện sau:

1’) Có các hằng số 𝜌, 𝛼 > 0 như vậy 𝐼\𝜕𝐵𝜌∩𝑋≥ 𝛼;

2’) Cho không gian con hữu hạn chiều 𝐸̃ ⊂ 𝐸, trong đó R=R(𝐸̃) như vậy

I ≤ 0 trên 𝐸̃\𝐵𝑅(𝐸̃)

Khi đó I có một dãy các giá trị tới hạn

Theo lí thuyết phổ của các toán tử compact, ta có thể viết dãy các giá trị riêng

−∞ < 𝜆1 < 𝜆2 ≤ 𝜆3 ≤ ⋯ ≤ 𝜆𝑛 < 0 ≤ 𝜆𝑛+1 ≤ 𝜆𝑛+2 ≤ ⋯

Cho bài toán về giá trị riêng

−∆𝛾𝑢 + 𝑎(𝑥)𝑢 = 𝜆𝑢 trong Ω, 𝑢 ∈ 𝑆𝛾,02 (Ω), (2.2) với các giá trị riêng được viết nhiều lần như bội số của nó, lim

𝑗→∞𝜆𝑗 → +∞, và

𝑢∈𝑆𝛾,02 (Ω),‖𝑢‖𝐿2(Ω)=1∫ (|∆𝛾𝑢|2+ 𝑎(𝑥)𝑢2)𝑑𝑥

ΩCho 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛, 𝑒𝑛+1, … là các hàm riêng biệt trực giao trong 𝐿2(Ω) Do đó

𝑆𝛾,02 (Ω) được phân tích thành 𝑆𝛾,02 (Ω) = 𝑉 ⊕ 𝑋, trong đó

𝑑𝑥 +1

2∫ 𝑎(𝑥)𝑢

2𝑑𝑥 − ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥

Ω Ω

xác định trong 𝑆𝛾,02 (Ω) Ta chỉ xét trường hợp khi 0 là một giá trị riêng của

−∆𝛾 + 𝑎 và

𝐹(𝑥, 𝑢) ≤ 0 với |𝑢| ≤ 𝛿 (2.3) Các trường hợp khác cũng tương tự và đơn giản hơn

Giả sử rằng 𝑆𝛾,02 (Ω) = 𝑉 ⊕ 𝑋, trong đó V (hữu hạn chiều) là không gian mở

của các hàm riêng biệt ứng với giá trị riêng của giá trị âm -∆𝛾 + 𝑎 và X là bổ sung trực giao của nó trong 𝑆𝛾,02 (Ω) Ta chọn một cơ sở Hilbert {𝑒𝑛}𝑛≥0 trong X

và định nghĩa

𝑋𝑚 = span{𝑒0, 𝑒1, … , 𝑒𝑚}, 𝑚 ∈ ℕ

1) Ta khẳng định rằng I có liên kết cục bộ tại 0 với mối quan hệ đến (V,X)

Ta sẽ phân tích X thành 𝑋1+ 𝑋2, trong đó 𝑋1 = ker(−∆𝛾 + 𝑎), 𝑋2 =(𝑉 + 𝑋1)⊥ Với u ∈ X, ta có 𝑢 = 𝑢1 + 𝑢2, 𝑢1 ∈ 𝑋1, 𝑢2 ∈ 𝑋2 Từ đó dim𝑋1 < ∞, tồn tại C > 0 sao cho