Tham khảo Tài liệu ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 8 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Yên Lâm để bổ sung kiến thức, nâng cao tư duy và rèn luyện kỹ năng giải đề chuẩn bị thật tốt cho kì thi HSG sắp tới các em nhé! Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!
Trang 1Đề thi môn Toán 8
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2018 - 2019 Môn: Toán – Lớp 8
ĐỀ BÀI:
A ĐẠI SỐ:
Câu 1:
a/ Phân tích đa thức: (x2 y2 5 )2 4x2y2 16xy 16thành nhân tử b/ Cho P=1+x+x2+…+x2004
+x2005 Chứng minh rằng: x.P - P=x2006 - 1
Câu 2:
a/ Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị là số
nguyên:
1
2
2 3
x
x x
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 9x2 6x 5
Câu 3:
a/ So sánh hai số:
) 1 3 )(
1 3 )(
1 3 )(
1 3 )(
1 3 (
1 3
16 8
4 2
32
B A
b/ Chứng minh rằng: n3 6n2 8nchia hết cho 48 với mọi số chẵn n
Câu 4:
a/ Cho abc 0 Rút gọn biểu thức: M a3b3c(a2b2) abc
b/ Chứng minh rằng: (x 3 )(x 11 ) 2003luôn luôn dương với mọi giá trị của x
Câu 5:
a/ Thực hiện phép tính: 10 4 12 8 8 24
3 41 : ) 3 9 4 3 81 5 27
b/ Tìm số tự nhiên n để ( 5x n2y7 8x n2y8)chia hết cho 3 1
5x y n
Câu 6: Thực hiện phép tính:
a/
) (
1 )
(
1 )
(
1 )
(
1
x y y y x x y x y y x
b/
) )(
(
1 )
)(
(
1 )
)(
(
1
b c a c c b a b c a b
Câu 7:
Cho abc 0 và a, b, c khác 0 Rút gọn biểu thức:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
b a c
ac a
c b
bc c
b a
ab M
Câu 8:
a/ Cho 12 22 32 102 385 Tính 2 2 2 2
20
6 4
b/ Tính nhanh:
2004 2003
1
4 3
1 3 2
1 2
1
Câu 9:
Trang 2Đề thi môn Toán 8
a/ Tìm a sao cho đa thức: x3ax2 5x 3 chia hết cho đa thức
3 2
2 x
x
b/ Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình
) 3 ( 4 ) 2 ( 3 ) 1 (
x
Câu 10:
a/ Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
) 10 3
( ) 2 3
( 5 ) 5 (
3 ) 3
(
5 n1 n1 n1 n1 n1 n1 n1
x y
x y
x y
x
b/ Cho a, b, c thỏa mãn a+b+c=0 Chứng minh rằng: a3b3c3 3abc
Câu 11: Cho 1 11 0
c b
a Tính giá trị của biểu thức:
c
b a b
a c a
c
b
Câu 12: Rút gọn các biểu thức ( n là số nguyên dương)
a/
) 1 2 )(
1 2 (
1
7 5
1 5 3
1 3 1
1
n n
A
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3 2 1
1
n n n B
Câu 13:
a/ Tìm các số a và b sao cho phân thức
2 3
5
3
2
x x
x
viết được thành
2
) 1 (
2
b x
a
b/ Rút gọn phân thức sau:
1
1
5 35
40 45
10 20 30 40
x x
x x
x x x x M
Câu 14: Thực hiện phép tính:
1
16 1
8 1
4 1
1 1
1 1
1
x x
x x
x
b/ Chứng minh rằng:
Nếu 1 1 1 2
z y
x và x+y+z=xyz thì 12 12 12 2
z y x
Câu 15: Cho phân thức:
8 2
6 3 4 2 2
2
2 3 4 5
x x
x x x x x M
a/ Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định
b/ Rút gọn phân thức
c/ Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 0
Trang 3Đề thi môn Toán 8
B HÌNH HỌC:
Bài 1: Cho tam giác ABC có A
= 600, các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I Qua E kẻ đường vuông góc với BD, cắt BC ở F Chứng minh rằng:
a/ E và F đối xứng với nhau qua BD
b/ IF là tia phân giác của BIC
c/ D và F đối xứng với nhau qua IC
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm của tam giác Gọi M, N,
P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC, còn R, S,T lần lượt là trung
điểm của các đoạn OA, OB, OC
a/ Chứng minh tứ giác MPTS là hình chữ nhật
b/ Chứng minh rằng ba đoạn RN, MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác của các góc của
hình bình hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH
a/ Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b/ Chứng minh rằng EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề mỗi đỉnh của hình bình hành ABCD
Bài 4: Cho hình thoi ABCD Trên tia đối của tia BA lấy điểm M, trên
tia đối của tia CB lấy điểm N, trên tia đối của tia DC lấy điểm P, trên tia đối của tia AD lấy điểm Q sao cho BM= CN = DP = AQ
a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
b/ Chứng minh rằng hình bình hành MNPQ và hình thoi ABCD
có chung tâm đối xứng
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có AD = 2AB Từ C kẻ CE vuông
góc với AB Nối E với trung điểm M của AD Từ M kẻ MFCE, MF cắt BC ớ N
a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao?
b/ Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao?
c/ Chứng minh rằng
AEM
Trang 4Đề thi môn Toán 8
ĐÁP ÁN:
Câu 1:
a/ (x2 y2 5 )2 4x2y2 16xy 16 = (x2 y2 5 )2 4 (x2y2 4xy 4 )
)]
2 ( 2 [ ) 5 (
) 2 ( 4 ) 5 (x y xy x y xy
= (x2 2xyy2) 1[(x2 2xy y2) 9 ] [(x y)2 1 ][(xy)2 9 ]
= (xy 1 )(xy 1 )(xy 3 )(xy 3 )
b/ Ta có: P=1+x+x2+…+x2004
+x2005
x.P= x+x2+x3+…+x2005
+x2006
x.P – P = (x+x2+x3+…+x2005
+x2006) - ( 1+x+x2+…+x2004
+x2005) = x+x2+x3+…+x2005
+x2005-1-x-x2-…-x2004-x2005) = x2006- 1
Câu 2:
a/ Chia tử thức cho mẫu thức ta được thương là x2 và dư là 2
Do đó: P(x)=
1
2
2 3
x
x x
= x2+
1
2
x
Để P(x) có giá trị nguyên thì
1
2
x phải là số nguyên (Vì x2 luôn nguyên,x )
x-1 phải là ước của 2 (hay 2 phải chia hết cho x-1)
x-1 1 ; 1 ; 2 ; 2
x 2 ; 0 ; 3 ; 1
Vậy với x= 2; 0; 3; -1 thì biểu thức P(x) có giá trị nguyên.
b/ A 9x2 6x 5 9x2 6x 1 4 ( 3x)2 2 3x 1 12 4 ( 3x 1 )2 4
Vì 3x 12 0 với mọi x nên 3x 12 4 4
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là 4 khi
3
1 0
1
3x x
Câu 3:
a/ Ta có:A 332 1 ( 316 1 )( 316 1 ) ( 316 1 )( 38 1 )( 38 1 )
= ( 316 1 )( 38 1 )( 34 1 )( 34 1 ) ( 316 1 )( 38 1 )( 34 1 )( 32 1 )( 32 1 )
= ( 316 1 )( 38 1 )( 34 1 )( 32 1 )( 3 1 )( 3 1 )
= 2 ( 3 1 )( 32 1 )( 34 1 )( 38 1 )( 316 1 ) Vậy A = 2.B
b/ n3 6n2 8n 48 với mọi số chẵn n
Ta có: n3 6n2 8n = n(n2 6n 8 ) n(n2 4n 2n 8 )
= n[n(n 4 ) 2 (n 4 )] n(n 2 )(n 4 ) Đặt n 2k( vì n chẵn)
Trang 5Đề thi môn Toán 8
Do đó: n(n 2 )(n 4 ) 2k( 2k 2 )( 2k 4 ) 2 2 2 k.(k 1 )(k 2 )
= 8 (k 2 )(k 1 )k 48 ( vì k 2(k 1 )klà tích ba số nguyên liên tiếp nên 6 k )
Vậy n3 6n2 8n 48 với mọi số chẵn n
Câu 4:
a/ M a3 b3 c a2 b2 abca3 b3 a2cb2cabc
) (
=(a3a2c) (b3b2c) abca2(ac) b2(bc) abc
=a2( b) b2( a) abc( Vì abc 0 ac b,bc a)
= ab(abc) 0 b/ (x 3 )(x 11 ) 2003 x2 8x 33 2003 x2 8x 1970
= (x2 8x 16 ) 1954 (x 4 )2 1954
Vì x 42 0 xx 42 1954 0 x
Vậy (x 3 )(x 11 ) 2003 > 0 với mọi x
Câu 5:
3 41 : ) 3 9 4 3 81 5 27
3 41 : ) 3 3 4 3 3 5 3
3 41 : ) 4 3 5 3 ( 3 3 41 : ) 3 4 3 5 3
= 328 : 41 = 8
b/ Để ( 5x n2y7 8x n2y8)chia hết cho 3 1
5x y n thì:
6 5
7 6 1 5
8 1
7 1
3 2
3 2
n n
n n n n
n n n n
Vậy n =5, n=6
Câu 6:
a/
) (
1 )
(
1 )
(
1 )
(
1
x y y y x x y x y y x
) ( )
xy xy y x xy
x y y
x xy
x y
b/
) )(
(
1 )
)(
(
1 )
)(
(
1
b c a c c b a b c a b
) )(
)(
( ) )(
)(
(
) ( ) ( )
c b c a b a
b a c a c b c
b c a b a
b a c a c b
Câu 7:
a/ Vì abc 0 ab c
Bình phương hai vế ta được: a2 2abb2 c2a2b2c2 2ab
Tương tự: b2c2 a2 2bc
c2a2b2 2ac
Trang 6Đề thi môn Toán 8
Do đó:
2
3 2
1 2
1 2
1 2
2
ac
ac bc
bc ab
ab A
Câu 8:
a/ Ta có: 2 2 4 2 6 2 20 2= 2
2 (12 22 32 102) 4 385 1540 b/
2004 2003
1
4 3
1 3 2
1 2
1
=
2004
2003 2004
1 1 2004
1 2003
1
4
1 3
1 3
1 2
1 2
1
Câu 9:
a/
Để đa thức x3ax2 5x 3 chia hết cho đa thức x2 2x 3 thì đa thức
dư bằng 0 với mọi giá trị của x, do đó: 3
0 3 9
0 2 6
a a
a
Vậy với a=3 thì đa thức x3ax2 5x 3 chia hết cho đa thức x2 2x 3
) 3 ( 4 ) 2 ( 3 ) 1 (
x
= x2 2 (x2 2x 1 ) 3 (x2 4x 4 ) 4 (x2 6x 9 )
= x2 2x2 4x 2 3x2 12x 12 4x2 24x 36
= 10x2 40x 50 (x2 10x 25 ) ( 9x2 30x 25 )
= 2 2
5 3
x
Câu 10:
a/ 5 ( 3 n1 n1) 3 ( n1 5 n1) 5 ( 3 n1 2 n1) ( 3 n1 10 )
x y
x y
x y
x
= 15 n1 5 n1 3 n1 15 n1 15 n1 10 n1 3 n1 10
x y
x y
x y
= 10
Vậy giá trị của biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến x,
y
b/ Ta có:
a+b+c = 0 a+b = -c 3 3
) ( ) (ab c
3
3a b ab c b
3 3
b
a +3ab(a+b) = c3 3 3
b
a +3ab(-c)= c3hay a3b3- 3abc= c3
3 3
b
a c3 3abc(đpcm)
-x x x
x ax x
3 2
3 5
2 3
2 3
6 3 ) 4 2 ( ) 2 (
3 2 2
2
2
a x a x
a
x x a
2
a x
6 2ax 9 3a
Trang 7Đề thi môn Toán 8
Câu 11:
c
b a b
a c a
c b
c
b a b
a c a
c b
c b a c b a c
c b a b
c b a a
c b a
Vì 111 0
c b
a nên M = -3
Câu 12:
a/
) 1 2 )(
1 2 (
1
7 5
1 5 3
1 3 1
1
n n
A
1 2
1 1 2
1
7
1 5
1 5
1 3
1 3
1 1
1 ( 2
1
n n
=
1 2 1 2
2 2
1 1 2
1 1 2
1
n
n n
n n
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3 2 1
1
n n n B
2 1
1 1
1
4 3
1 3 2
1 3 2
1 2 1
1 2
1
n n n
n
= 4 1 2
3 2
1 2
3
2
1 2 1
1 2
1 2
n n
n n n
n
n n n
n
Câu 13:
a/ (Dùng phương pháp hệ số bất định )
Ta có:
2 3
) 2 ( ) 2 ( )
1 )(
2 (
) 2 ( ) 1 ( ) 1 (
2 2
2
b a x b a ax x
x
x b x
a x
b x
a
Đồng nhất các hệ số với phân thức
2 3
5
3
2
x x
x
ta có:
5 2
0 2
1
b
a
b
a
a
2
1
b
a
Vậy
2 3
5
3
2
x x
x
) 1 (
2 2
1
x
b/
1
1
5 35
40 45
10 20 30 40
x x
x x
x x x x M
1
10 20 30 40 10
20 30 40
5
10 20 30 40
x x x x x
x x x
x
x x x x
1 1 1
1
5 5
10 20 30 40
10 20 30 40
x x
x x x x
x x x x
Câu 14:
Trang 8Đề thi môn Toán 8
1
16 1
8 1
4 1
1 1
1 1
1
x x
x x
x
1
16 1
8 1
4 1
2 1
2
x x
x x
1
16 1
8 1
8 1
16 1
8 1
4 1
4
x x
x x
x x
1
32 1
16 1
16
x x
b/ Ta có: 1 1 1 2
z y
z y x
12 12 12 2 ( 1 1 1 ) 4
zx yz xy z
y x
12 12 12 2( ) 4
xyz
z y x z
y x
12 12 12 2 4
xyz
xyz z
y
xyz
xyz z
y x
2 4 1 1 1
2 2
2
12 12 12 4 2 2
z y x
Câu 15:
8 2
6 3 4 2 2
2
2 3 4 5
x x
x x x x x M
a/ Giá trị của phân thức M được xác định khi:
2 1 9 0 1 9 0 0
8
2 x x x x
x
2 4 0 2 0
x x x và x 4 0 x 2và x 4
Vậy với điều kiện x 2và x 4 thì giá trị của phân thức M xác định b/ Ta có: x5 2x4 2x3 4x2 3x 6
= x4x 2 2x2x 2 3x 2 x 2 x4 2x2 3
= x 2 x2 12 4x 2 x2 3 x 1x 1
Vậy
4
1 1 3 4
2
1 1 3
x
x x x
x x
x x x
x M
c/ Giá trị của phân thức M bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0
Do đó: x2 3 x 1x 1 0
x 1 0 hoặc x 1 0 (vì x2 3 0 x)
x 1 hoặc x 1( thỏa điều kiện)
Vậy với x 1 ,x 1 thì M = 0
HÌNH HỌC
Trang 9Đề thi môn Toán 8
Bài 1: Cho tam giác ABC có A
= 600, các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I Qua E kẻ đường vuông góc với BD, cắt BC ở F Chứng minh rằng:
a/ E và F đối xứng với nhau qua BD
b/ IF là tia phân giác của BIC
c/ D và F đối xứng với nhau qua IC
Gt ABC, A
= 600, BD và CE là các đường phân giác
BDCE = I, EFBD( FBC)
Kl a/ E và F đối xứng với nhau qua BD b/ IF là tia phân giác của BIC
c/ D và F đối xứng với nhau qua IC
a/ v EOB v FOB(cạnh gv- gn) EBFcân tại B
Do BD là tia phân giác của B nên BD là đường trung trực của EF
Vậy E và F đối xứng với nhau qua BD
b/ Do A
= 600 B1+C2= 600
BIC = 1200
I1= 600 I2 = 600 I3= 600
Vậy IF là tia phân giác của BIC
c/ IDC IFC(g-c-g)
IF = ID, CF = CD
Do đó CI là đường trung trực của DF Vậy D và F đối xứng với nhau qua CI
3
60
4 2
1 1
O F
D I
E
B
A
C
Trang 10Đề thi môn Toán 8
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm của tam giác Gọi M, N,
P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC, còn R, S,T lần lượt là trung
điểm của các đoạn OA, OB, OC
a/ Chứng minh tứ giác MPTS là hình chữ nhật
b/ Chứng minh rằng ba đoạn RN, MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Chứng minh:
GT ABC, O là trực tâm của tam giác
M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC,
AC
R, S, T lần lượt là trung điểm của OA, OB,
OC
KL a/ Tứ giác MPTS là hình chữ nhật b/ Ba đoạn RN, MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
a/ Trong ABC có MP là đường trung bình
MP // BC và MP BC
2
1
(1) BOC có ST là đường trung bình
ST // BC và ST BC
2
1
Từ (1) và (2) MP // ST và MP = ST
Do đó tứ giác MPTS là hình bình hành
Do MP // BC và MS // AO
Mà AOBC (gt) Nên MPMS hay 0
90
SMP
Vậy hình bình hành MPTS có một góc vuông nên là hình chữ nhật
b/ Chứng minh tương tự, tứ giác MRTN là hình chữ nhật
Hai hình chữ nhật MPTS và MRTN có chung đường chéo MT Nên ba đoạn MT, SP, RN bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
T S
N
M
O B
A
C
Trang 11Đề thi môn Toán 8
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác của các góc của
hình bình hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH
a/ Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b/ Chứng minh rằng EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề mỗi đỉnh của hình bình hành ABCD
Chứng minh:
GT ABCD là hình bình hành
Các tia phân giác của các góc của hình bình
hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH
KL a/ Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b/ EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề mỗi đỉnh của hình bình hành ABCD
a/ Trong AFD ta có:
0 0 1
2
1 ) ( 2
1
D A D
A
Nên AFD = 900
Tương tự BHC = 900, 0
90
AEB
90
HEF
Vậy tứ giác EFGH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật b/ Do EFGH là hình chữ nhật nên:
EG = FH
EF // HG
AM // NC, MC // AN (gt)
Tứ giác ANNC là hình bình hành
ABM có BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên
ABM cân ở B
Do đó E là trung điểm của AM (1) Tương tự G là trung điểm của CN (2)
1 1
N
M
H
F
C
A
B
D
Trang 12Đề thi môn Toán 8
O
M
N
Q
P
Từ (1) và (2) EG là đường trung bình của hình bình hành AMCN
Nên EG = (MCAN) MC
2 1
Do ABM cân ở B nên BM = BA Vì thế CM = CB – BM = CB – BA
Vậy EG = FH = CB – BA
Bài 4: Cho hình thoi ABCD Trên tia đối của tia BA lấy điểm M, trên
tia đối của tia CB lấy điểm N, trên tia đối của tia DC lấy điểm P, trên tia đối của tia AD lấy điểm Q sao cho BM= CN = DP = AQ
a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
b/ Chứng minh rằng hình bình hành MNPQ và hình thoi ABCD
có chung tâm đối xứng
Chứng minh:
GT
ABCD là hình thoi, M tia đối của tia BA N tia đối của tia CB, P tia đối của tia DC, Q tia đối của tia AD sao cho BM = CN =
DP = AQ
KL a/ Tứ giác MNPQ là hình bình hành
b/ Hình bình hành MNPQ là hình thoi
ABCD có chung tâm đối xứng
a/BMN = DPQ (c.g.c) MN = PQ
AMQ = CPN (c.g.c) QM = NP
Tứ giác MNPQ có các cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành
b/ Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (1)
Trang 13Đề thi môn Toán 8
3 2 1
1
N F
M
E
C
A
B
D
Tứ giác AQCN là hình hành (AQ // NC và AQ = NC) Nên hai đường chéo AC và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (2)
Tứ giác MNPQ là hình bình hành nên hai đường chéo MP
và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (3)
Từ (1), (2) và (3) O là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD và O cũng là giao điểm hai đường chéo của hình hành MNPQ nên O là tâm đối xứng chung của hai hình đó
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có AD = 2AB Từ C kẻ CE vuông
góc với AB Nối E với trung điểm M của AD Từ M kẻ MFCE, MF cắt BC ớ N
a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao?
b/ Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao?
c/ Chứng minh rằng BAD 2AEM
Chứng minh:
GT
ABCD là hình bình hành, AD = 2AB,
CE AB, M là trung điểm AD, nối EM,
MFCE, MF cắt BC ớ N
KL a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao?
b/ Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao?
c/ Chứng minh rằng BAD 2AEM
a/ Ta có AB // CD
AEEC (gt)
MFCE
AE // MF Nên AE // MF // DC, do AD = 2AB
MN = MD = DC = NC Nên Tứ giác MNCD là hình thoi b/ MEC cân tai M vì có MF là đường cao