Nghiên cứu dao dộng ngẫu nhiên phi tuyến bằng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương tổng thế tt

Như vậy, cần thiết phải nghiên cứu phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương TTHTĐ cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên.. Qua đó đề xuất tiêu chuẩn sai số bình phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học: TS Lưu Xuân Hùng

GS TSKH Nguyễn Đông Anh

… năm 2019

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài

Việc tính toán, thiết kế dao động và điều khiển dao động có vai trò quan trọng nhằm duy trì hiệu năng, hiệu quả, cũng như tuổi thọ của các công trình, máy móc Hiện nay, hệ nhiều bậc tự do được sử dụng trong hầu hết các hệ thống kỹ thuật Như vậy, cần thiết phải nghiên cứu phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương (TTHTĐ) cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên

2 Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu để giải quyết việc xác định miền

hữu hạn [-rx , + rx] trong tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) Qua đó đề xuất tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng hoặc ồn màu Đánh giá sai số của tiêu chuẩn thông qua việc so sánh các mô men đáp ứng bậc hai gần đúng với các giá trị chính xác hoặc thu được bằng các phương

pháp tin cậy khác

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp số, mô phỏng Monte - Carlo Phương pháp giải tích được sử dụng để xây dựng tiêu chuẩn sai số: dựa trên quan điểm đối ngẫu trong phân tích đáp ứng các hệ phi tuyến (xem xét đồng thời hai chiều khác nhau của một vấn đề) cho phép khép kín về mặt giải tích để xác định giá trị trung bình các hệ số tuyến tính hóa Phương pháp số được sử dụng để lập trình bằng phần mềm Matlab để tính toán, phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do Mô phỏng Monte – Carlo để tìm

nghiệm mô phỏng đánh giá độ chính xác của lời giải tuyến tính hóa

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Đã phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương - một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất của Dao động ngẫu nhiên Cụ thể đã đề xuất tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (Global Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do

- Đã xây dựng hệ phương trình khép kín để xác định các mô men đáp ứng bậc hai Khảo sát và đánh giá hiệu quả của tiêu chuẩn nói trên cho nhiều hệ phi tuyến chịu kích động ồn trắng hoặc ồn màu

- Kết quả của luận án có khả năng sử dụng trong việc tính toán các hệ kỹ thuật phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên

5 Cấu trúc của luận án

Cấu trúc của luận án gồm: phần mở đầu, 4 chương nội dung, phần kết luận, danh mục công trình công bố, tài liệu tham khảo và phụ lục

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO

ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 1.1 Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất

Định nghĩa Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên [29],[69]: Thực hiện n phép thử, biến cố M xuất hiện m lần, thì xác suất xuất hiện biến cố M, ký hiệu là P(M) là giới hạn của tần suất f(M) = m/n khi số phép thử n tăng vô hạn

Đại lượng ngẫu nhiên X là đại lượng mà đối với mỗi kết cục r của phép thử, ta liên kết nó với một số thực X(r) sao cho:

a) tập hợp X  x thể hiện một biến cố M đối với mỗi số thực x,

b) xác suất của biến cố X =   bằng không:

Với x là số thực bất kỳ, hàm phân phối xác suất F(x) của X là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x:

1.2 Quá trình ngẫu nhiên

Trong mục này trình bày các nội dung sau: Hàm mật độ xác suất;

Mô men bậc cao; Kỳ vọng toán; Trung bình bình phương; Phương

sai; Hàm tự tương quan và hiệp phương sai

1.3 Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt

Trong mục này trình bày các nội dung sau: Quá trình ngẫu nhiên dừng và Ergodic; Quá trình ngẫu nhiên chuẩn hay Gauss; Quá trình

ồn trắng; Quá trình ồn màu; Quá trình Wiener và quá trình Markov

1.4 Một số phương pháp giải tích gần đúng phân tích dao động ngẫu nhiên

Cùng với phương pháp số, các phương pháp giải tích gần đúng là các phương pháp rất có hiệu quả Trong luận án đã lựa chọn một số phương pháp liên quan để trình bày chi tiết [29-31]:

- Phương pháp nhiễu (hay phương pháp tham số bé)

- Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK)

- Phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên

- Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên

1.5 Phương pháp phương trình Fokker – Planck - Kolmogorov (FPK) và phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên

1.6 Tổng quan một số nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên

Vấn đề dao động ngẫu nhiên đã được nghiên cứu và được trình bày trong nhiều sách giáo khoa [26–33] Việc phân tích dao động dựa trên các mô hình toán phi tuyến đòi hỏi phải có các phương pháp thích hợp Trong lý thuyết dao động ngẫu nhiên, phương pháp TTHTĐ ngẫu nhiên thay thế hệ phi tuyến bởi một hệ tuyến tính tương đương là một phương pháp phổ biến vì phương pháp này bảo tồn một số tính chất thiết yếu của hệ phi tuyến gốc Phương pháp này

đã được mô tả trong nhiều bài báo tổng quan [42, 43] và được tóm tắt trong các chuyên khảo [29] và [44] Mặc dù độ chính xác của của phương pháp TTHTĐ có thể không cao, nhưng điều này được khắc phục bằng các kỹ thuật cải tiến [43] Canor et al [45] cũng đã viết: Nhờ có kỹ thuật thực hiện dễ dàng và nhanh chóng, phương pháp tuyến tính hóa tương đương đã trở thành một cách tiếp cận xác suất chung phổ quát để phân tích các cấu trúc phi tuyến kích thước lớn Phương pháp TTHTĐ đã được sử dụng trong nhiều tài liệu nghiên cứu Một cách TTHTĐ dựa trên phương pháp giải tích được phát triển trong [46, 47] để phân tích các hệ khai thác năng lượng phi tuyến Hệ dao động phi tuyến của thiết diện cánh được nghiên cứu trong [48, 49] bằng cách sử dụng phương pháp TTHTĐ Silva - Gonzlez và cs [52] đã sử dụng phương pháp TTHTĐ ngẫu nhiên để nghiên cứu hệ kết cấu phi tuyến tính đàn dẻo chịu tải địa chấn

Tại Việt Nam luận án của Nguyễn Ngọc Linh [4] đã phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến của hệ một bậc tự do bằng phương

pháp TTHTĐ ngẫu nhiên theo tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số Trong Luận án của Nguyễn Như Hiếu [5] đã phát triển tiêu chuẩn đối ngẫu trong phương pháp TTHTĐ cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên Nguyễn Minh Triết đã thực hiện luận án tiến sĩ về vấn đề phân tích đáp ứng của Profile cánh máy bay theo cách tiếp cận đối ngẫu, trong đó nghiên cứu dao động tuần hoàn phi tuyến bằng phương pháp TTHTĐ [6] Trong luận án tiến sĩ năm

2002 [7] Lưu Xuân Hùng đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (Local Mean Square Error Criterion - LOMSEC) dựa trên ý tưởng thay thế tích phân trên miền vô hạn (-∞,

+∞) bằng tích phân trên một miền hữu hạn [-rx , + rx] nơi tập trung đáp ứng của hệ Phát triển tiếp tục hướng nghiên cứu này, trong luận án do NCS thực hiện sẽ nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên Trong việc phát triển này sẽ áp dụng cách tiếp cận

đối ngẫu để giải quyết việc xác định miền hữu hạn [-rx , + rx]

Kết luận chương 1

Chương 1 đã giới thiệu một số khái niệm và công thức cơ bản của lý xác suất và quá trình ngẫu nhiên, một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến Một số kết quả nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên phi tuyến liên quan đến luận án cũng đã được

tổng quan và phân tích làm cơ sở cho các chương tiếp theo

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG

BÌNH ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ 2.1 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương kinh điển

Ta trình bày phương pháp TTHTĐ cho hệ dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do dạng [9, 29, 44]:

2 0

x  hx   x  g x x    t

trong đó x , x và x  là dịch chuyển, vận tốc và gia tốc; h là hệ

số giảm chấn, g x x là hàm phi tuyến, ( , ) ( )t là kích động ồn trắng dừng Gauss có cường độ 2

 ; 0 là tần số dao động riêng ứng với

0

h  , g x x ( , ) 0 Phương trình TTHTĐ của (2.10) như sau:

2 0

x  hx   x  bx  kx    t

trong đó b, k là các hệ số tuyến tính hóa Sai số phương trình

giữa (2.10) và (2.11) phải thỏa mãn tiêu chuẩn cực tiểu hóa trung bình bình phương sai số phương trình do Caughey [10] đề nghị:

Giả thiết nghiệm là quá trình ngẫu nhiên dừng nên đáp ứng x , x

là độc lập, nghĩa là xx  0, giải hệ phương trình (2.15) thu được:

 2

,

xg x x b

x

 2

,

xg x x k

đề xuất bởi Atalik và Utku [59] như sau:

a) Gán giá trị ban đầu cho các mô men bậc hai x2 , x2 b) Dùng (2.17) để xác định các hệ số tuyến tính

c) Giải phương trình (2.11) để tìm mô men bậc hai tức thời mới

2 , 2

x x

d) Lặp lại b) và c) cho tới khi đạt được độ chính xác đã định

Ta xét hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên:

i

Q và

j

Q Ta có hệ TTHTĐ như sau:

 e  e  e   t ,

M + M q C + C q K + K q Q (2.21) trong đó e e e

M , C , K là các ma trận khối lượng, cản và độ cứng

tương đương Trong phương trình (2.21) ta sử dụng ký hiệu q t  để chỉ ra rằng đây chỉ là một nghiệm xấp xỉ của x t  trong phương trình phi tuyến gốc (2.20) Sai số giữa hệ (2.20) và hệ (2.21) là

e Φ q, q, q  M q + C q + K q  (2.22) Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình đòi hỏi cực tiểu hóa của trung bình bình phương sai số e theo e e e

Trong đó kỳ vọng trong vế trái của (2.24) được tính theo hàm mật độ xác suất đồng thời của (2.21) Atalik và Utku (1976) [59] cho thấy tiêu chuẩn (2.24) dẫn tới phương trình sau:

2.2 Một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương cải tiến

Trong nhiều thập kỷ, nhiều nghiên cứu về các tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đã được đề xuất để nâng cao độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa tương đương [11-24, 20-24, 67, 68]

2.3 Tiêu chuẩn sai số trung bình bình phương địa phương-tổng thể

Trong mục này ta sẽ đề xuất tiêu chuẩn TTH tương đương mới gọi là Tiêu chuẩn sai số trung bình bình phương địa phương-tổng thể Ta xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do dạng:

2 0

),(

2 2

x

x x x g x

x x x g

Sử dụng quan điểm đối ngẫu ta có thể đề nghị cho r thay đổi trên

toàn miền giá trị không âm và các hệ số TTH  , có thể chọn bằng giá trị trung bình toàn thể như sau [24]:

Tiếp theo, ta sẽ phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) cho hệ nhiều bậc tự do:

 z f t g

 1, 2, , nT

z z z z là vec tơ các biến trạng thái, n là số tự nhiên, g

là hàm phi tuyến của biến vec tơ z, f(t) là quá trình ngẫu nhiên chuẩn

có giá trị trung bình bằng không

Trong đó A  a ij là ma trận n×n Gọi vector y là một lời giải

dừng của phương trình tuyến tính sau:

Ký hiệu p(y) hàm mật độ PDF của véctơ đáp ứng y của phương

trình (2.65) Theo tiêu chuẩn LOMSEC ta có:

 

0

0 1 0

1 0

2 2

ij

yn n

yn n y

y

y y

n

y y

3.1.1 Hệ dao dộng Duffing chịu kích động ồn trắng

3.1.2 Hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng

Ta xét hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng:

trong đó các đáp ứng tập trung với xác suất 0.98 Các quan sát cho thấy miền đáp ứng co lại khi tham số phi tuyến  tăng thể hiện trên Bảng 3.2 và Hình 3.2 như sau

Bảng 3.2 Các giá trị của a phụ thuộc theo 

-2 0 2 4 x 0

-1 0 1

0 1 x 0

0.1 0.2 0.3 0.4 p

-1 0 1 x

a =0.1 b =100

Hình 3.2 Đồ thị hàm PDFcủa hệ cản phi tuyến, (=0.1; 100)

3.2 Các ví dụ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC)

3.2.1 Dao động có cản phi tuyến bậc ba

Xét hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên có dạng:

với b là hệ số tuyến tính hóa

Đáp ứng dịch chuyển bình phương trung bình của (3.12) là

 

2 2

1

s r s

phương pháp phi tuyến hóa tương đương 2

kd

x , cụ thể sai số lớn nhất của GLOMSEC chỉ là 1.93%

Bảng 3.4 Momen bậc hai của đáp ứng của hệ dao động cản phi

tuyến với h0.05,o1,  4h , và γ thay đổi

3.2.2 Dao động trong hệ Van der Pol với kích động ồn trắng

Xét dao động Van der Pol được mô tả bởi phương trình

o

x x x x t

s r s

Dịch chuyển bình phương trung bình 2

Để đánh giá các nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệm mô phỏng Monte Carlo, [29] Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ 2

Bảng 3.5 Đáp ứng bình phương trung bình của dao động Van

der Pol với α*ε=0.2; 0=1;   =2; σ* 2 thay đổi

1.00 0.7325 0.5525 24.58 0.6095 16.79 2.00 1.0310 0.7589 26.40 0.8349 19.02 4.00 1.4540 1.0513 27.70 1.1544 20.61

Trong bảng 3.5, kết quả 2

GL

x có độ chính xác tốt hơn so với 2

kd

x , trong đó các giá trị sai số lớn nhất tương ứng là 24.32% so

với 34.33%

3.2.3 Dao động trong hệ Duffing với kích động ngẫu nhiên

Ta xét hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên có dạng:

Hệ số TTH k tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình

địa phương – tổng thể (GLOMSEC) sẽ bằng:

r s

Dịch chuyển bình phương trung bình 2

GL

x của hệ Duffing (3.37) tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC::

x

x được tính theo (3.24) và trình bày trong Bảng 3.6

Bảng 3.6 Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing với o1,h0.25,  ;theo hệ số đàn hồi phi tuyến1 

10 0.1889 0.1667 11.768 0.1839 2.626

100 0.0650 0.0561 13.704 0.0624 4.076

Kết quả cho thấy nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn kinh điển có độ chính xác tốt với hệ số đàn hồi phi tuyến  nhỏ, sai số tăng lên trên 13% khi hệ số đàn hồi phi tuyến tăng lên Độ chính xác của tiêu chuẩn GLOMSEC là tốt hơn với sai số lớn nhất là 4.1%

3.2 4 Hệ Duffing với cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng 3.2.5 Dao động của tàu thủy

Chuyển động lăn của tàu trong sóng ngẫu nhiên đã được xét bởi [55], [56], [57] Phương trình chuyển động của tàu có dạng [56-57]

2

2D ( )t

       (3.63)

Áp dụng TTH tương đương hệ (3.63) thay bằng hệ tuyến tính

bật của kỹ thuật được đề xuất trong tiêu chuẩn GLOMSEC Các kết

quả được trình bày trong [1,3,5], Danh sách các công bố của luận án

CHƯƠNG 4 ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG

PHÂN TÍCH CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI

TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO 4.1 Hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do

Ta xét hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do được mô tả bởi hệ

phương trình sau [77]

3 3

các quá trình ồn trắng, trung bình bằng không và

 i( ) i( ) 2 i ( )

E w t w t     S (i=1, 2),  ( ) là hàm Delta Dirac, S S1, 2 =

const Hệ phương trình tuyến tính hóa tương đương sẽ là

giữa hệ phi tuyến gốc và hệ tuyến tính hóa tương đương sẽ là

1 1 1 2 1

3 3