Rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (2014)

Dạyhọc giải bài tập toán góp phần không nhỏ vào việc thực hiện mục đíchnày.Chương trình toán trung học có rất nhiều dạng toán khác nhau.Trong đó có những dạng toán khó, cụ thể như dạng t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

**********************

ĐÀO THỊ HỒNG HÂN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI

BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn khoa học Th.S ĐÀO THỊ HOA

Hà Nội - 2014

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhậnđược sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp và cácbạn sinh viên trong khoa Qua đây, em muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tớicác thầy cô trong tổ phương pháp, đặc biệt là cô Đào Thị Hoa – người đãđịnh hướng cho em lựa chọn đề tài, dẫn dắt, chỉ bảo tận tình, chu đáogiúp em hoàn thành khóa luận của mình

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viênĐào Thị Hồng Hân

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng em.Những số liệu và kết quả trong khóa luận hoàn toàn trung thực Đề tàinày chưa từng được công bố trong bất kì công trình khoa học nào

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viênĐào Thị Hồng Hân

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Cơ sở lí luận 3

1.1 Khái niệm bài toán và lời giải của bài toán 3

1.2 Vai trò, ý nghĩa của việc giải bài toán 3

1.3 Phân loại bài toán 6

1.4 Phương pháp tìm lời giải bài toán: Dựa theo 4 bước của G.POLYA 7

1.5 Một số kĩ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài toán 10

Chương 2 Rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 12

2.1 Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 12

2.2 Các kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 12

2.2.1 Kĩ năng sử dụng đạo hàm 12

2.2.2 Kĩ năng dùng các bất đẳng thức đặc biệt 15

2.2.3 Kĩ năng sử dụng miền giá trị của hàm số 17

2.2.4 Kĩ năng dùng luỹ thừa với số mũ chẵn 18

2.2.5 Kĩ năng dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm 19

2.2.6 Kĩ năng sử dụng toạ độ - vectơ 21

2.2.7 Kĩ năng lượng giác hoá 23

2.3 Hệ thống bài tập vận dụng 24

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

ẩn trong nội dung môn toán phát triển tư duy logic cho học sinh Dạyhọc giải bài tập toán góp phần không nhỏ vào việc thực hiện mục đíchnày.

Chương trình toán trung học có rất nhiều dạng toán khác nhau.Trong đó có những dạng toán khó, cụ thể như dạng toán “Tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số” Đây là một dạng toán khó đối vớihọc sinh phổ thông bởi các bài toán này rất phong phú, đa dạng và cóphạm vi rộng; là một trong những dạng toán được quan tâm nhiều trongcác kì thi đại học, kì thi tuyển chọn học sinh giỏi trong nước và quốc tế.Việc giải các bài toán này đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thứchợp lý, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ, đưa người học lại gần với cácbài toán trong thực tế Chính điều đó làm học sinh hứng thú hơn đối vớidạng toán này Tuy nhiên, các bài tập thuộc dạng này trong sách giáokhoa chưa nhiều và cách giải còn chưa được hệ thống

Với những lí do trên và với sự quan tâm, hứng thú của bản thân, emxin lựa chọn đề tài: “RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TÌMGIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Rèn luyện cho học sinh trung học phổ thông kĩ năng giải các bàitoán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Thông qua đónâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở phổ thông

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc giải toán

- Hệ thống các kiến thức, kĩ năng giải dạng toán tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Xây dựng hệ thống bài tập rèn luyện kĩ năng giải dạng toán tìm giátrị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

4 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu về các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củahàm số ở trường trung học phổ thông

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, em đã sử dụng một số phươngpháp sau:

Nghiên cứu lí luận

Quan sát, điều tra

6 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu học sinh được rèn luyện các kĩ năng giải bài tập tìm giá trị lớnnhất giá trị nhỏ nhất của một hàm số thì học sinh sẽ dễ dàng hơn trongviệc giải những bài toán cực trị và học sinh sẽ thấy hứng thú học toánhơn

7 CẤU TRÚC KHÓA LUẬN

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì khoá luậngồm hai chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận

Chương 2 Rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của hàm số

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Khái niệm bài toán và lời giải của bài toán

1.1.1 Khái niệm bài toán

Theo G.POLYA, bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm mộtcách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhấtđịnh trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt ngay được

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng:Bài toán là sự đòi hỏi phải đạt tới đích nào đó Như vậy bài toán có thểđồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán như: đề toán, bàitập,…

1.1.2 Khái niệm lời giải của bài toán

Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cầnthực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra

Như vậy, ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bàitoán

giải

Bài toán có thể: có một lời giải, không có lời giải hoặc nhiều lời

Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhấtmột lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải hoặc lí giảiđược bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải

1.2 Vai trò, ý nghĩa của việc giải bài toán

1.2.1 Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

Trong thực tế, một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệmtoán học và các kết luận toán học Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải

phân tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đềtoán và các kiến thức đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại

đề để ra kiến thức mới Và cứ như vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùngcác kiến thức đã biết trước phân tích, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mớinữa,…Cuối cùng chúng ta đi đến được lời giải của bài toán

Như vậy, khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã cótrong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toáncũng được củng cố qua lại nhiều lần

1.2.2 Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

Đặc điểm nổi bật của toán học cũng như của môn toán là một khoahọc suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề Do vậy, lời giảicủa bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để

đi đến một mục đích rõ rệt Vì vậy, khi giải một bài toán nó có tác dụngtrực tiếp rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các phép suy luận logic, suyluận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn,…

Chúng ta biết rằng, không thể có một phương pháp chung nào đểgiải được mọi bài toán Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốntìm ra được lời giải của bài toán chúng ta phải phân tích, phải biết cách

dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn

đề tương tự, gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá,

Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất

cứ bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ

môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giảiquyết được các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.

Trong việc giảng dạy toán, bài toán lại tham ra vào trong mọi tìnhhuống của quá trình dạy học môn toán

Trong giảng dạy khái niệm toán học, bài toán được sử dụng để tổchức, gây tình huống, để dẫn dắt học sinh có thể đi đến định nghĩa kháiniệm; bài toán được sử dụng để nêu ra làm các ví dụ hoặc phản ví dụminh hoạ cho khái niệm, bài toán được sử dụng để luyện tập củng cố,vận dụng khái niệm

Trong giảng dạy định lí toán học, bài toán có thể được sử dụng để

tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lítoán học, bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh tập sử dụng định

lí Đặc biệt là việc tổ chức, hướng dẫn học sinh chứng minh định lí chính

là việc tổ chức, hướng dẫn học sinh tập tìm ra lời giải của một bài toán

cơ bản có nhiều ứng dụng trong một phần hay một chương nào đó củamôn học

Trong luyện tập toán học, bài toán là phương tiện chủ yếu trong cáctiết luyện tập toán học Trong đó người giáo viên phải xây dựng đượcmột hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúphọc sinh củng cố các kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nàođó

1.2.4 Bồi dưỡng, phát triển nhân cách cho học sinh

Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt độngđều có mục đích rất rõ ràng Khi giải một bài toán ta luôn có hướng mụcđích rất rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rènluyện năng lực hoạt động của con người Để giải một bài toán, nhất làđối với các bài toán khó người giải phải vượt qua rất nhiều khó khăn,

phải kiên trì, nhẫn nại và nhiều khi người ta phải có quyết tâm rất lớn đểgiải bài toán đó Nói theo cách của G.POLYA là “khát vọng và quyếttâm giải được bài toán là một nhân tố chủ yếu trong quá trình giải mọibài toán” Do vậy ta thấy rằng: hoạt động giải toán chính là nhân tố chủyếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người.

1.3 Phân loại bài toán

Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạtđược mục đích nhất định thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi

1.3.1 Phân loại theo hình thức bài toán

Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: kết luận của bài toán đãcho hay chưa để phân chia bài toán ra thành hai loại:

Bài toán chứng minh: là bài toán kết luận của nó đã đưa ra một cách

rõ ràng trong đề bài toán

Bài toán tìm tòi: là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵntrong đề bài toán

1.3.2 Phân loại theo phương pháp giải bài toán

Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: bài toán này cóangorit giải hay chưa để chia các bài toán ra thành hai loại:

Bài toán có angorit giải: là bài toán mà phương pháp giải của nótheo một angorit nào đó hoặc mang tính chất angorit nào đó

Bài toán không có angorit giải: là bài toán mà phương pháp giải của

nó không theo một angorit nào hoặc không mang tính chất angorit nào

1.3.3 Phân loại theo nội dung bài toán

Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theothuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bàitoán thành các loại khác nhau như: bài toán số học, bài toán đại số, bàitoán hình học

1.3.4 Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bàitoán: bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩnăng nào đó hoặc là bài toán nhằm phát triển tư duy.Ta có hai loại bàitoán như sau:

Bài toán củng cố kĩ năng: là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngaysau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó

Bài toán phát triển tư duy: là bài toán nhằm củng cố một hệ thốngcác kiến thức cũng như kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có khả năng tưduy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

1.4 Phương pháp tìm lời giải bài toán: Dựa theo 4 bước của G.POLYA

1.4.1 Bước 1: Tìm hiểu đề

Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồitìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:

Những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?

Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tốthay đổi, biến thiên của bài toán?

Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán

Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết không?

1.4.2 Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xâydựng chương trình giải là bước quyết định, đồng thời cũng là bước khókhăn nhất Bước này đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã biết

để nhận xét, so sánh, bác bỏ, từ đó mới có thể tiếp cận tới lời giải của bàitoán

Đối với những bài toán không có angorit giải, chúng ta sẽ phải tiếnhành xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:

i, Phương pháp đi xuôi

Xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấy làm tiền đề bằngsuy luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic của các tiền đề đó.Tiếp tục chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận củabài toán làm tiền đề mới Lại bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các

hệ quả logic mới gần gũi hơn với kết luận…Cứ tiếp tục quá trình ấychúng ta tìm ra được hệ quả logic trùng với kết luận của bài toán Khi ấy,

ta tìm được lời giải của bài toán

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

A  B 

trong đó A, C là các giả thiết, còn X là kết luận

ii,Phương pháp đi ngược

Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán Bằng suy luậnhợp logic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này.Tiếp tục chúng ta chọn lọc để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết của bàitoán để làm kết luận mới, từ đó rút ra các tiền đề logic mới của các kếtluận mới này… Quá trình này lại được tiếp diễn, ta tìm được các tiền đềlogic trùng với giả thiết của bài toán và tìm được lời giải của bài toán Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

C  A

X   ,

D  B trong đó A, C là giả thiết còn X là kết luận

Chú ý: Thông thường trong nhiều trường hợp để tìm được lời giải của bài toán ta thường kết hợp hai phương pháp đi xuôi và phương pháp đi ngược.

iii, Phương pháp sử dụng các phép suy luận quy nạp

Trong toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có nhiều phươngpháp Tuy nhiên, không phải phương pháp nào cũng có thể đi tới lời giảicủa bài toán

Có những bài toán mà ta sử dụng nhiều phương pháp như: phươngpháp đi xuôi, phương pháp đi ngược, thậm chí kết hợp cả hai phươngpháp đó mà vẫn chưa tìm ra lời giải của bài toán đó Lúc này ta cầnchuyển hướng suy nghĩ theo hướng khác, tạm gọi là phương pháp sửdụng các phép suy luận quy nạp, nghĩa là: suy nghĩ đến bài toán liênquan, có tính chất gần với bài toán ta cần giải (có thể là bài toán con, bàitoán tương tự, đôi khi là là bài toán khái quát)

Bằng cách phân tích sử dụng lời giải của bài toán có liên quan vớibài toán đã cho, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải củabài toán đã cho Theo G.POLYA, chúng ta thường đặt ra các câu hỏi sau:

“Anh có biết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?”, “Đây

là một bài toán gần giống với bài toán của anh đã được giải rồi Anh cóthể dùng được nó làm gì không ?”, “Nếu anh không giải được bài toán đãcho thì trước hết hãy giải bài toán gần giống nó”

1.4.3 Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Đây là quá trình tổng hợp lại bước xây dựng chương trình giải, tadùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của toán học, cácmệnh đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán

Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ýphân biệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy

ra được chính là điều chứng minh được

1.4.4 Bước 4: Nhận xét lời giải và nghiên cứu sâu lời giải bài toán

Thử lại các kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải

đã tìm được của bài toán

Nghiên cứu các bài toán có liên quan.

1.5 Một số kĩ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài tập toán

Môn toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạtđộng trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quáthóa Do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệnày Và đó chính là những kĩ năng cần thiết cho việc rèn luyện kĩ nănggiải bài tập toán, cụ thể:

- Phân tích là tách (trong tư tưởng) một số hệ thống thành nhữngvật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ

- Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành nhữngvật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống

Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhaunhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạtđộng trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy Những hoạt động trí tuệ khácđều diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp

- Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặcđiểm không bản chất Đương nhiên sự phân biệt bản chất với không bảnchất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

- Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tậphợp đối tượng lớn hơn chứa tập ban đầu bằng cách nêu bật một số đặcđiểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát Như vậy, ta thấyngay rằng trừu tượng hóa là điều kiện cần của khái quát hóa

Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, trongmôn Toán học sinh còn thường phải thực hiện các phép tìm đoán, sosánh, tương tự, Do đó có điều kiện rèn luyện cho học sinh những hoạtđộng trí tuệ này

Những kĩ năng trên có thể được minh họa qua ví dụ sau:

í d ụ :

Tìm công thức tính sin 3x theo các hàm số lượng giác của đối số x Thoạt tiên hoạt động phân tích làm biến đổi sin 3x thànhsin 2x  x Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ

biểu

thức sin 3x với công thức sina  b  sin acosb  sinbcosa Việc

khớp

trường hợp riêng sin 2x 

x vào biểu thức tổng quát sin b a  là một

sự khái quát hóa; việc này được thực hiện nhờ trừu tượng hóa, nêu bật các đặc điểm bản chất “hàm số sin”, “ đối số có dạng tổng hai số” và

tách chúng khỏi những đặc điểm không bản chất như “ một số hạng của

tổng gấp đôi số hạng kia” Tiếp theo khái quát hóa là việc đặc biệt hóa

công thức sina  b  sin acosb 

 1 1

 2 2

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN

2.2 Các kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, chúng ta cóthể sử dụng nhiều kĩ năng khác nhau Sau đây là những kĩ năng tìm giátrị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2.2.1 Kĩ năng sử dụng đạo hàm

* Cơ sở của phương pháp: chủ yếu dùng đạo hàm để khảo sát chiềubiến thiên của hàm số và dựa vào bảng biến thiên cùng với các giá trị đặcbiệt trên tập xác định của hàm số mà suy ra kết quả

* Dạng toán: Cho hàm số y  f (x) có tập xác định D Hãy tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

* Giả sử hàm số y  f (x) liên tục và có đạo hàm trên a;b Hàm

y  f (x) tăng (giảm) trên a;b nếu f '(x) 

0 ( f '(x)  0 ) x a;b

(dấu “=” chỉ xảy ra ở một số hữu hạn điểm thuộc đoạn a;b )

- Nếu f (x) tăng trên đoạn a;b thì min f (x) 

Dựa vào bảng biến thiên ta được:

- Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi x  0

- Giá trị nhỏ nhất của y là  1

3 , đạt được khi x  2

* Nếu a1a2 a n  P không đổi

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là 6 3 , đạt được khi x  1

2

CHÚ Ý : Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, cần đặc biệt chú ý đến điều

kiện các a i phải không âm Cũng giống như khi sử dụng các bất đẳng thức khác, có khi phải biến đổi một số bước mới có thể áp dụng trực tiếp 2.2.2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski

Cho 2 bộ số(a1,a2 , ,a n ),(b1,b2 , ,b n ) ta có:

2 2 2 2 2 2 2

0  sin x  1  sin2 x  sin x

và 0  cos x  1  cos2 x  cos x

Do đó: y  sin x  cos x  sin2 x  cos2 x 1

Dấu " = " xảy ra khi

Ta dùng điều kiện tồn tại nghiệm để tìm miền giá trị của hàm số tức

là tìm điều kiện để phương trình y0  f (x) có nghiệm (với y0 là một giá

trị tùy ý của hàm số y  f (x) trên tập xác định D ) Sau đó, từ điều kiện

tìm được biến đổi về một trong các dạng sau:

1 Nếu

2 Nếu y0  M

y0  m

thì max f (x)  M , x  D thì min f (x)  m, x  D

3 Nếu m  y0  M thì max f (x)  M và min f (x)  m, x  D

2.2.4 Kĩ năng dùng luỹ thừa với số mũ chẵn

Ta biến đổi đưa về các biểu thức có số mũ chẵn dạng:

(1) M  m  A 2k 

B 2l

(k, l  , m là hằng số) Khi đó M  m

f x n 

có giá trị nhỏ nhất là m đạt được khi

*Hàm lõm:

x1  x2   x n

- Định nghĩa: Cho hàm số y  f (x) có tập xác định D, f (x) gọi là lõm

có giá trị lớn nhất là M, đạt được khi x1  x2   x n

Đây là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Jensen

Cho hàm số y  f (x) liên tục trên a;bvà n điểm x1, x2 , , x n tùy

ý trên a;b, các số thực không âm 1,2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2   x n

Nếu f ''(x)  0 trong khoảng

1 f (x1)  2 f (x2 )   n f

(x n ) 

f (1x1  2 x2   n x n )

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2   x n

Khi giải toán ta cũng có thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Jensennhưng để cho đơn giản ta thường dùng trường hợp đặc biệt của bất đẳngthức này

  

2

Ví dụ : Cho tam giác ABC là tam giác nhọn Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức M  tan A  tan B tan C.

2.2.6 Kĩ năng sử dụng toạ độ - vectơ

Cho 2 vectơ a  a1;a2  và b  b1;b2 Ta có các bất đẳng thức sau:



a2b2  0

V

í d ụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của

cos4 x  cos4 y  sin2 x  sin2 y x, y 

Xét các vectơ a  cos x; cos y , b  sin x; 0 , c  0; sin y Khi đó: a  b  c

Ta có: a b c a b c

Hay 2  cos4 x  cos4 y  sin4 x  sin4 y

cos4 x  cos4 y  sin2 x  sin2 y  2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a, b, c cùng hướng hay

 Khoảng cách từ điểm M0   x0 ; y0  đến đường thẳng (∆):

2.2.7 Kĩ năng lượng giác hoá

Thông thường, bằng cách đưa về biểu thức lượng giác một số bàitoán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có thể đưa về dạng lượng giác đểkhảo sát Khi đó, việc giải quyết sẽ thuận lợi hơn nhờ các công thức vàbất đẳng thức quen thuộc

CH

Ú Ý :

• Cần lưu ý đến giới hạn cung, góc, điều kiện.

• Dựa vào điều kiện ta có thể đặt ẩn phụ như sau :

 cos4   sin2 .cos2   sin4 

Vậy: max y 1 khi và chỉ khi

sin 2  0  sin  0    k k  hay x  0

min y  1

4 khi và chỉ khisin2 2 1    

 k  k  hay x 1

4 2Các phương pháp nêu trên đều có ưu, nhược điểm riêng Tùy theođặc điểm của từng bài mà ta có thể lựa chọn phương pháp phù hợp nhất

Kết luận: Không tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Khai thác bài toán:

+ Ngoài cách giải trên ta còn có thể làm như sau:

x3

Gọi m là một giá trị tùy ý của hàm số y 

x 1trên [-2;0].

Khi đó bài toán trở thành: Tìm m để phương trình sau ( ẩn x )

x3  mx  m  0 có nghiệm Từ đó ta được kết quả như trên.

+ Sai lầm: Khi giải bài tập này học sinh dễ mắc phải những sai lầm

 Học sinh quên không xét tập xác định của hàm số, do vậy đã lậpsai bảng biến thiên

 Cũng có nhiều học sinh do không hiểu định nghĩa nên sau khi đãlập đúng bảng biến thiên nhưng kết luận lại sai

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bảng biến thiên (học sinh tự lập)

Dựa vào bảng biến thiên ta có 0  f (x)  5 x  5

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 khi và chỉ khi

giá trị nhỏ nhất của hàm số

Khai thác bài toán:

x  5 , không tồn tại

+ Ngoài cách giải trên ta còn có thể làm như sau:

Gọi m là giá trị tùy ý của hàm số f (x) Khi đó bài toán trở thành: Tìm m để phương trình sau ( ẩn x )

được kết quả như trên

x  x  5  m có nghiệm Từ đó

tasau:

+ Sai lầm: Khi giải bài tập này học sinh dễ mắc phải những sai lầm

 Học sinh không hiểu rõ định nghĩa, nhầm lẫn giữa hai khái niệm

min f (x) và lim f (x) nên mặc dù đã lập đúng bảng biến thiên nhưng kết luận vẫn sai ( min f (x)  0 ).

 Do không nắm vững khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtnên rất nhiều học sinh nhầm lẫn giữa các khái niệm cực đại, cực tiểu vớigiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

So sánh các kết quả ta được giá trị nhỏ nhất của hàm số là 56 đạt

được khi và chỉ khi x 

Khai thác bài toán:

+ Ngoài cách giải trên ta còn có thể làm như sau:

3sin2 2x 

8

Ta biến đổi hàm số thành y 2sin2 2x  8

t  sin2 2x, t [0,1] Khi đó y  g(t)  3t  8

2t 8